椭圆
1.2.标准方程
3.4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.5．PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.9．椭圆（a＞b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.10．若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.11．若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.12．AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.13．若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.14．若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.15．若PQ是椭圆（a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则.16．若椭圆（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为,则(1)
;(2)
.17．给定椭圆：（a＞b＞0）,：,则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M.(ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点.18．设为椭圆（或圆）C:
(a＞0,.b＞0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k
2,则直线P1P2通过定点的充要条件是.19．过椭圆
(a＞0,b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.20．椭圆
(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F
2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点三角形的面积为，.21．若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,F
2是焦点，，则.22．椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,(,，).23．若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当
时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.24．P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.25．椭圆（a＞b＞0）上存在两点关于直线：对称的充要条件是.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P是椭圆（a＞b＞0）上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是.29．设A,B为椭圆上两点，其直线AB与椭圆相交于,则.30．在椭圆中，定长为2m（o＜m≤a）的弦中点轨迹方程为,其中,当时,.31．设S为椭圆（a＞b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动，记|AB|=，是AB中点，则当时，有,);当时，有,.32．椭圆与直线有公共点的充要条件是.33．椭圆与直线有公共点的充要条件是.34．设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记，，则有.35．经过椭圆（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2，则.36．已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.37．MN是经过椭圆（a＞b＞0）焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦，则.38．MN是经过椭圆（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦，则.39．设椭圆（a＞b＞0）,M(m,o)
或(o,m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1,A2为对称轴上的两顶点)的交点N在直线：(或)上.40．设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交
P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP
和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.41．过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.42．设椭圆方程,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线：的共轭直线上,而且.43．设A、B、C、D为椭圆上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则.44．已知椭圆（a＞b＞0）,点P为其上一点F1,F
2为椭圆的焦点，的外（内）角平分线为，作F1、F2分别垂直于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是().45．设△ABC内接于椭圆，且AB为的直径，为AB的共轭直径所在的直线，分别交直线AC、BC于E和F，又D为上一点，则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中点.46．过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.47．设A（x1,y1）是椭圆（a＞b＞0）上任一点，过A作一条斜率为的直线L，又设d是原点到直线
L的距离,分别是A到椭圆两焦点的距离，则.48．已知椭圆（a＞b＞0）和（），一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则.50．设P点是椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2)
.51．设过椭圆的长轴上一点B（m,o）作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过H点的直线MN：于M，N两点,则.52．L是经过椭圆（a＞b＞0）长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点，若，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.53．L是椭圆（a＞b＞0）的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点，e是离心率，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.54．L是椭圆（a＞b＞0）的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点，,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且或（当且仅当时取等号）.55．已知椭圆（a＞b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起来，则（当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号）.56．设A、B是椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，，，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2)
.(3)
.57．设A、B是椭圆（a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且、的横坐标，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则.58．设A、B是椭圆（a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，（若B
P交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称），且，则点A、B的横坐标、满足；（2）若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且,则点A、B的横坐标满足.59．设是椭圆的长轴的两个端点，是与垂直的弦，则直线与的交点P的轨迹是双曲线.60．过椭圆（a＞b＞0）的左焦点作互相垂直的两条弦AB、CD则.61．到椭圆（a＞b＞0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.62．到椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.63．到椭圆（a＞b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（e为离心率）.64．已知P是椭圆（a＞b＞0）上一个动点，是它长轴的两个端点,且,，则Q点的轨迹方程是.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆（a＞b＞0）长轴的端点为,是椭圆上的点过P作斜率为的直线，过分别作垂直于长轴的直线交于,则（1）.（2）四边形面积的最小值是.67．已知椭圆（a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点.68．OA、OB是椭圆（a＞0,b＞0）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）直线AB必经过一个定点.(2)
以O
A、O
B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是.69．是椭圆（a＞b＞0）上一个定点，P
A、P
B是互相垂直的弦，则（1）直线AB必经过一个定点.（2）以P
A、P
B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是
(且).70．如果一个椭圆短半轴长为b，焦点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，那么（1），且F1、F
2在 同侧直线L和椭圆相切.（2），且F1、F2在L同侧直线 和椭圆相离，（3），或F1、F2在L异侧直线L和椭圆相交.71．AB是椭圆（a＞b＞0）的长轴，是椭圆上的动点，过的切线与过A、B的切线交于、两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是.72．设点为椭圆（a＞b＞0）的内部一定点，AB是椭圆过定点的任一弦，当弦AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时.当弦AB垂直于长轴所在直线时,.73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)
78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89.已知椭圆(包括圆在内)上有一点,过点分别作直线及的平行线，与轴于，与轴交于.,为原点，则：（1）；（2）.90.过平面上的点作直线及的平行线，分别交轴于，交轴于.（1）若，则的轨迹方程是.(2)若，则的轨迹方程是.91.点为椭圆(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记
与的面积为，则：.92.点为第一象限内一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记
与的面积为，已知，则的轨迹方程是.椭圆性质92条证明
1.椭圆第一定义。2.由定义即可得椭圆标准方程。3.椭圆第二定义。
4.如图，设，切线PT（即）的斜率为k，所在直线斜率为，所在直线斜率为。
4图
5图
由两直线夹角公式得：
同理可证其它情况。故切线PT平分点P处的外角。
5.如图，延长F1P至A，使PA=PF2，则是等腰三角形，AF2中点即为射影H2。则，同理可得，所以射影H1，H2的轨迹是以长轴为直径的圆除去两端点。
6.设P，Q两点到与焦点对应的准线的距离分别为，以PQ中点到准线的距离为，以PQ为直径的圆的半径为r，则，故以PQ为直径的圆与对应准线相离。
7图
8图
7.如图，两圆圆心距为，故两圆内切。
8.如图，由切线长定理：，而，与重合，故旁切圆与x轴切于右顶点，同理可证P在其他位置情况。
9.10.在椭圆上，对求导得：
切线方程为即
11.设，由10得：，因为点在直线上，且同时满足方程，所以
12.作差得：
13.由12可得：
14..由12可得：
15.设，则
16.将直线AB代入椭圆方程中得：，设则，17.设椭圆内直角弦AB的方程为：即。
当斜率k存在时，代入椭圆C1方程中得：
设得，则
即直线AB过定点，此点在C2上。当直线斜率不存在时，直线AB也过C2上的定点。
由上可知C1和C2上点由此建立起一种一一对应的关系，即证。
18.必要性：设P1P2：。k存在时，代入椭圆方程中得：
设得，k不存在时，P1P2：x=mx0则，必要性得证。
充分性：设P1P2过定点，则P1P2：。代入椭圆方程得：
设得，则
注意到m≠1，解（1）（3）得，代入（2）式，成立。
验证k不存在的情况，也得到此结论。故过定点，充分性得证。
19.设AB：即
20.由余弦定理：
21.由34：
22.由第二定义得：
23.24.25.设椭圆上的点关于对称。
由12得：
又在椭圆内，若，则
26.由5即可得证。
27.设P，则切线，A
27图
30图
28.29.设。联立得：，由韦达定理：
同理。则APBQ=
而的符号一定相反，故==0。所以AP=BQ
30.设，为AB中点。
则
而
设，则
解得，代入m2得：
令得：
所以定长为2m（0＜m≤a）的弦中点轨迹方程为。
其中,当时,。
31.设，为AB中点。则：
二次函数y=e2x2-mx+a2与在内的交点即为x0的值。由图易知y=e2x2-mx+a2与的左交点为x0的值。当m增大时，x0减小。要使x0最大，则要使m最小。，此时等号成立时
31图
35图
当此式成立时
当时：
当时：当时。
当时，当，即AB垂直于x轴时x0最大。
考虑到对称性对任意情况均成立。，32.33.当时，即为32：
34.由正弦定理得，所以。
35.设，则P点处的切线为，由此可得：
36.（1）同15.（2）由15,36（3）：
（3）设，37.设，椭圆
37图
38图
则
将AB的方程代入椭圆的标准方程中得：，由参数t的几何意义可知：
38.作半弦OQ⊥OP，由37得：，由15：
39.设，将的方程代入椭圆得：
由韦达定理得：，直线A1P的方程为，直线A2Q的方程为，联立A1P和A2Q得交点N的横坐标，代入化简：
所以交点一定在直线上。同理可证M在y轴上的情况。
引理（张角定理）：A,C,B三点按顺序排列在一条直线上。直线外一点P对AC的张角为α，对CB的张角为β。
则：
40图
41图
40.如图，A为左顶点时，设，则。
对F-APM由张角定理：
即FM平分，同理FN平分。即MF⊥NF
当A为右顶点时，由39可知左顶点A’与P、M；Q、N分别共线，于是回到上一种情况。
41.如图，设，则
对F-QA2M和F-A1PM由张角定理：
两式相减并化简得：
即FM平分，同理FN平分。即MF⊥NF
42.由12即可证得。
43.设，AB：，CD：，将AB的方程代入椭圆得：
由参数t的几何意义可知：，同理
44.对于外角平分线的情况由5即可证得，下仅证为内角平分线的情况。
设P，则
则。分别联立、和、得：，则，对点：，代回式得：
同理对点得。故点、点的轨迹方程为
45.由伸缩变换将椭圆（左图）变为圆（右图），椭圆中的共轭直径变为圆中相互垂直的直径。所证命题变为证CD与圆O相切的充要条件是D为EF中点。
充分性：若D为EF中点
∵C在圆上，AB⊥OE
∴FC⊥CE，OF⊥OB
∴CD=DE=DF
∴∠DCF=∠OFB=∠OAC=∠OCA
∴∠OCD=∠OCA+∠ECD=∠ECD+∠DCF=∠ECF=90°∴OC⊥CD
∴CD与圆相切。
必要性：若CD与圆相切，则∠OCD=∠ACB=∠FOB=90°∴∠DCF=∠OCA=∠OAC=∠CFD
∴DF=DC
∵∠ECF=90°
∴∠DEC=90°－∠CFD=90°－∠DCF=∠DCE
∴CD=DE=DF
即D为EF中点。
46.设，由椭圆极坐标方程：，47.由10可知为切线
由22:
48.同29。
49.50.同20。
51.设，代入椭圆方程得：
由韦达定理得：
由A、P、M三点共线得，同理
52,53,54为同一类题（最佳观画位置问题），现给出公式：若有两定点A，B，点P在直线x=m上（m>k），则当时，∠APB最大，其正弦值为。
52.k=c,m=a
∴sinα≤e,当且仅当PH=b时取等号。
53.k=a,m=
∴sinα≤e,当且仅当PH=时取等号。
54.k=c,m=
∴sinα≤e2,当且仅当PH=时取等号。
55.设∠AF2x=，∴当=0°时，；当=90°时，∴
56.（1）设，代入椭圆方程得：
∵AP=≠0
∴AP=
（2）设则
（3）
由（2）：
57.由58可证。
58.（1）易知PQ的斜率为0和斜率不存在时，对任意x轴上的点A都成立。设，A（m，0）
代入椭圆方程得：，则
若，则
（2）作P关于x轴的对称点，由（1）即证。
59.同9。
60.设椭圆。
则
当时，有最小值；当或时，有最大值
61,62,63为同一类问题，现给出公式：若点P到两定点A，B的距离之比，则P点的轨迹为一个圆，圆心坐标为，圆的半径为。
下三个题的比值均为，代入上述公式得：圆心坐标为，圆的半径为。
61.m=c，圆心坐标为，圆的半径为。轨迹方程是姊妹圆。
62.m=a，圆心坐标为，圆的半径为。轨迹方程是姊妹圆。
63.m=，圆心坐标为，圆的半径为。轨迹方程是姊妹圆。
64.设，由得
消去参数得Q点的轨迹方程：
65.同37。
66.（1）同35（2）由基本不等式，则梯形面积的最小值为。
67.设AC交x轴于M，AD⊥于D。由椭圆第二定义：
∴AC过EF的中点。
68.（1）由17可知当椭圆方程为时，AB过定点。当椭圆方程变为
时，椭圆向右平移了个单位，定点也应向右平移了个单位，故此时AB过定点即
（2）由69（2）P为原点，即m=n=0时Q点的轨迹方程是。
69.（1）由17可知当椭圆方程为时，AB过定点。当椭圆方程变为
时，椭圆向右平移了个单位，定点也应向右平移了个单位，故此时AB过定点即。
（2）先证椭圆中心在原点的情况。椭圆方程为：，AB的斜率为。
由17（1）：AB过定点，设AB：，PQ：
两者联立得，则
当椭圆方程变为时，椭圆向右平移了个单位，圆心也应向右平移了个单位，而半径不变。故此时圆心的坐标为即，半径的平方仍为。
∴Q点的轨迹方程为。
70.设L:Ax+By+C=0,则
将L代入椭圆方程得：，直线 和椭圆相离，且F1、F2在L同侧。
直线L和椭圆相切，且F1、F
2在 同侧。
直线L和椭圆相交，或F1、F2在L异侧。
71.由35：
由得，消去参数得M点的轨迹方程为：
72.由43：。当即AB与椭圆长轴平行时，；当即AB与椭圆短轴平行时，73.同7。
74.同8。
75.由8可知，处的切线长，同理可证P在其他位置情况。
76.如图，由切线长定理PS=PT，PS+PT=PF1+PF2-F1S-F2T=
PF1+PF2-F1Q-F2Q=
2a-2c，所以PS=PT=a-c
76图
77图
77.设P，由79中得到的内点坐标和22中的焦半径公式：，78.79.设P，则外角平分线（即切线），由此得外点
同理内角平分线（即法线），由此得内点
80.由79中得到的内外点坐标可得：，即证。
81.由79中得到的内外点坐标可得：，即证。
82.同5。
83.同5。
84.由5,7即证。
85.设P，则外角平分线（即切线），由50得：，则
86.由4即证。
87.同4。
88.由71：，同理：，即两焦点在以两交点为直径的圆上。
89.设P，则
同理
∴
同理
同理
90.设P，则
同理：
均推出P点的轨迹方程为。
91.92.设P，则
由此得P点的轨迹方程为。
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