第1题
集合的性质与运算
I．题源探究·黄金母题
【例1】已知集合求，，．
【解析】甴已知利用数轴易得，，，．
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2018高考全国1，理2】已知集合，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】试题分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果．
试题解析：解不等式得或，或，故选B．
【例3】【2018高考全国2，理2】已知集合，则中元素的个数为（）
A．9
B．8
C．5
D．4
【答案】A
【解析】试题分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数．
试题解析：，又．当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A．
【例4】【2018高考天津，理1】设全集为，集合，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】试题分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果．
试题解析：由题意可得：，结合交集的定义可得：．故选B．
【例5】【2018高考北京，理8】设集合，则（）
A．对任意实数
B．对任意实数
C．当且仅当时，D．当且仅当时，【答案】D
【解析】试题分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解．
试题解析：若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D．
III．理论基础·解题原理
考点一
集合的基本概念
1．元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；
（2）集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为和；
（3）集合的表示法：列举法、描述法、Venn图．
2．常见数集及其表示符号
自然数集用表示，正整数集用或表示，整数集用表示，有理数集用表示，实数集用表示．
考点二
集合间的基本关系
（1）子集：对任意的，都有，则（或）；[来源:学科网ZXXK]
（2）真子集：若集合，但存在元素，且，则Ü（或Ý）；
（3）性质：；
（4）集合相等：若，且，则．
考点三
集合的并、交、补运算：
（1）并集：，或；
（2）交集：，且；
（3）补集：，且；为全集，表示集合相对于全集的补集．
（4）集合的运算性质：
①；
②；
③；
④
．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数的定义域、值域、解不等式有联系．
【技能方法】
解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算，如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算，先化简集合，常借助数轴求交集．求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．
【易错指导】
（1）在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如（），则有和两种可能；
（2）在子集个数问题上，要注意是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，任何集合是其本身的子集，在列举时千万不要忘记；
（3）在用数轴法判断集合间的关系时，其端点值能否取到，一定要注意用回代检验的方法确定．如果两个集合的端点值相同，则这两个集合是否能取到端点值往往决定这两个集合之间的关系．
V．举一反三·触类旁通
考向1
集合关系的判断
【例6】【2018湖北七校联盟2月考】若集合，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【跟踪练习】
1．【2018豫南九校六模】已知集合，则下列结论正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，，故选C．
学科~网
2．【2018宁夏银川一中二模】设集合，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，则
故选．
考向2
根据集合关系求参数的值或范围
【例7】【2017高考课标II，理2】设集合．若，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【点评】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．两个防范：一是不要忽视元素的互异性；二是保证运算的准确性．
【例8】【2017高考江苏，1】已知集合，若则实数的值为
▲
．
【答案】1
【解析】由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1．
【考点】元素的互异性
【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
(2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
(3)防范空集．在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解．
【跟踪练习】
1．【2018衡水金卷三】已知集合，若，则实数的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于集合，解得．由于故．
2．【2018河北衡水调研七】设集合，全集，若，则有（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，所以，故选C．
3．【2018江西新余一中四模】已知集合，若，则实数的取值范围（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
考向3
集合中的子集或元素个数问题
【例9】【2017高考全国III，理1】已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】B
【解析】集合中的元素为点集，由题意，结合A表示以
为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线
上所有的点组成的集合，圆
与直线
相交于两点，则中有两个元素．故选B．学科！网
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
【例10】【2018高考北京理20】
设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记
．
（I）当时，若，求和的值；
（II）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值；
（III）给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，．写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．
【答案】（I）；（II）
最大值为4；（III）答案见解析．
试题解析：解：（Ⅰ），．
（Ⅱ）设，则．
由题意知，且为奇数，中1的个数为1或3．
．
将上述集合中的元素分成如下四组：
；；；．
经验证，对于每组中两个元素，均有．
所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素，所以集合B中元素的个数不超过4．
又集合满足条件，[来源:学#科#网]
所以集合B中元素个数的最大值为4．
（Ⅲ）设，则．
对于中的不同元素，经验证，．
中的两个元素不可能同时是集合B的元素，中元素的个数不超过．
取且．
令，则集合B的元素个数为，且满足条件．
故B是一个满足条件且元素个数最多的集合．
【名师点睛】解决新定义问题的两个着手点（1）正确理解新定义．耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口．（2）合理利用有关性质是破解新定义型问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用性质的一些因素，并合理利用．
【例11】【2018高考上海21】给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”．
（1）设是首项为1，公比为的等比数列，判断数列是否与接近，并说明理由；
（2）设数列的前四项为：是一个与接近的数列，记集合，求中元素的个数；
（3）已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在，中至少有100个为正数，求的取值范围．
【答案】（1）与接近；（2）或；（3）．
解析】（1）由已知得与“接近”．
（2）是一个与接近的数列，中至多有两个相等，即或．
（3）与接近，即．
①若，则恒成立，不符合条件；
②若，令，则．
当为偶数时，；当为奇数时，．
存在使中至少有100个为正数．
综上：．
【跟踪练习】
1．【2018广东佛山模拟】若，则集合中元素的个数为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
2．【2018湖北部分重点中学联考二】已知集合，则集合的子集的个数为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】集合，集合的子集的个数为8个，故选B．
3．【2018河南天一大联考三】已知集合，则的真子集个数为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】联立解得，则有两个元素，真子集个数为
故选B．
考向4
集合与不等式
【例12】【2017高考新课标，理1】已知集合则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由可得，则，即故选A．
【例13】【2018四川成都七中一模】已知集合若则实数的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【跟踪练习】
1．【河北涞水波峰中学联考】已知集合，若，则的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】，则，所以，故选D．学科#网
2．【2018河南商丘二模】已知集合，若，则实数的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
3．【2018齐鲁名校教科研协作体】已知集合，集合，则
A．
．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，则，所以，故选C．
考向5
集合与解析几何
【例14】【2018重庆二模】设集合，记，则点集所表示的轨迹长度为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得圆的圆心在圆上，当变化时，该圆绕着原点转动，集合A表示的区域是如图所示的环形区域．学科%网
由于原点到直线的距离为，所以直线恰好与圆环的小圆相切．
所以表示的是直线截圆环的大圆所得的弦长．
故点集所表示的轨迹长度为．选D．
【名师点睛】解答本题的关键是正确理解题意，弄懂集合和的含义，然后将问题转化为求圆的弦长的问题处理，在圆中求弦长时要用到由半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形，然后利用勾股定理求解．
【例15】【2018江苏徐州期中考】设集合，当中的元素个数是时，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
圆心在，半径为的圆的下半部分，表示斜率为的平行线，其中是直线在轴上的截距，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即圆心到直线的距离，解得或（舍去），由图知的取值范围是，实数的取值范围是，故答案为．
【方法点睛】本题主要考查集合的交集、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于难题．
数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解．
【跟踪练习】
1．【2018北京丰台期末考】全集，非空集合，且中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称．下列命题：
①若，则；
②若，则中至少有8个元素；
③若，则中元素的个数一定为偶数；
④若，则．
其中正确命题的个数是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
①若，则，正确；
②若，则，，能确定4个元素，不正确；
③根据题意可知，若能确定4个元素，当也能确定四个，当也能确定8个所以，则中元素的个数一定为偶数正确；
④若，由中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称可知，，即，故正确，综上：①③④正确，故选C．
【名师点睛】图象的变换：（1）平移：左加右减，上加下减；
（2）对称：①变为，则图象关于y轴对称；②变成，则图象关于x轴对称；
③变成，则图象关于原点对称；④变成，则将x轴正方向的图象关于y轴对称；⑤变成，则将x轴下方的图象关于x轴对称．
2．【2018豫南九校期末考】已知集合，则集合中子集个数是__________．
【答案】4
【解析】由题意知中的元素为圆与直线交点，因为圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离，所以直线与圆相交．集合有两个元素．故集合中子集个数为4．
3．设集合．若，则实数的取值范围是
．
【答案】．
考向6
集合与计数原理、数学归纳法
【例16】【2018北京首师附零模】设，其中，定义．
（Ⅰ）若，写出所有可能的；
（Ⅱ）若，求的最大值；
（Ⅲ）若，求的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）63；（Ⅲ）8．
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题设新定义，即可写出所有可能的；
（Ⅱ）由题得：，取，为首项为，公差为的等差数列，利用等差数列的求和，即可得到最大值的值；
（Ⅲ）由题，取，，，得此时，再由区间中的整数均可用，得到此时集合，进而可确定的最小值．
试题解析：
（Ⅰ）
（Ⅱ）由题得：，取，为首项为，公差为的等差数列，则，则，所以的最大值为63．
（Ⅲ）由题得：，取，，，，则，此时．
又因为，且，而区间中的整数均可用表示，其中，则此时，所以的最小值为8．学科&网
【名师点睛】本题是综合考查了集合、数列与推理的综合运用，解答中涉及到集合的关系和等差数列的求和等知识的应用，这类题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析题意，准确理解题设中新定义的内涵，以找出解题的突破点，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题．
【例17】【2018北京东城期中考试】已知集合，其中，．
表示中所有不同值的个数．
（）设集合，分别求和．
（）若集合，求证：
．
（）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）见解析；（3）．
试题解析：
（）由，，，得，由，，，得．
（）证明：∵最多有个值，∴，又集合，任取，当时，不妨设，则，即，当，时，∴当且仅当，时，即所有的值两两不同，∴．
（）存在最小值，且最小值为，不妨设，可得，∴中至少有个不同的数，即，取，则，即的不同值共有个，故的最小值为．
【例18】【2015江苏高考，23】已知集合，整除或整除，令表示集合所含元素的个数．
（1）写出的值；
（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明．
【答案】（1）13（2）
【分析】（1）根据题意按分类计数：共13个（2）由（1）知，所以当时，的表达式要按除的余数进行分类，最后不难利用数学归纳法进行证明
【解析】（1）．
（2）当时，（）．
下面用数学归纳法证明：
①当时，结论成立；
②假设（）时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，中产生，分以下情形讨论：
3）若，则，此时有，结论成立；
4）若，则，此时有，结论成立；
5）若，则，此时有，结论成立；
6）若，则，此时有，结论成立．
综上所述，结论对满足的自然数均成立．
【点评】用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：
①归纳奠基：证明当取第一个自然数时命题成立；[来源:Zxxk.Com]
②归纳递推：假设，(，)时，命题成立，证明当时，命题成立；
③由①②得出结论．
【跟踪练习】
1．数列：
满足：
．记的前项和为，并规定．定义集合，．
（Ⅰ）对数列：，，，求集合；
（Ⅱ）若集合，证明：
；[来源:学科网ZXXK]
（Ⅲ）给定正整数．对所有满足的数列，求集合的元素个数的最小值．
【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）．
（Ⅲ）设集合，不妨设，则由（Ⅱ）可知，同理，且．所以可证．
因为，所以的元素个数．
试题解析：（Ⅰ）因为，，，所以．
（Ⅱ）由集合的定义知，且是使得成立的最小的k，所以．
又因为，所以所以．
（Ⅲ）因为，所以非空．
设集合，不妨设，则由（Ⅱ）可知，同理，且．
所以．
因为，所以的元素个数．
取常数数列：，并令，则，适合题意，且，其元素个数恰为．
综上，的元素个数的最小值为．
【名师点睛】本题是新定义概念题，考察学生逻辑思维能力，全面考察分析问题，解决问题的能力，是一道难题．
2．【2018北京朝阳区期末考】已知集合，其中
．
表示
中所有不同值的个数．
（Ⅰ）若集合，求；[来源:学科网ZXXK]
（Ⅱ）若集合，求证：的值两两不同，并求；
（Ⅲ）求的最小值．（用含的代数式表示）
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）．
试题解析：（Ⅰ）从任取两个数相加，共有个不同的值，所以
（Ⅱ）形如和式
共有项，所以．
对于集合中的和式，：
当时，时，；
当时，不妨设，则．
所以的值两两不同．
且．
（Ⅲ）不妨设，可得．
中至少有个不同的数，即．
设成等差数列，则对于每个和式，其值等于（）或
中的一个．去掉重复的一个，所以对于这样的集合，．
则的最小值为．
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