高二数学椭圆人教版教学教案

第一篇：高二数学椭圆人教版教学教案

高二数学椭圆

【同步教育信息】

一.本周教学内容：

椭圆

教学目标：

1.掌握椭圆的定义。（第一定义和第二定义）。2.能根据条件熟练求出椭圆的标准方程；

3.掌握椭圆的几何性质及标准方程中的a、b、c、e的几何意义，及a、b、c、e间的相互关系；

4.能综合应用椭圆的有关知识解决最值问题及参数的取值范围；

5.理解直线与椭圆的位置关系，会求椭圆截直线所得的弦长，会应用弦中点的性质求解问题。

能力训练：进一步巩固求曲线方程的方法，提高运用坐标法的自觉性及解决几何问题的能力；进一步培养数形结合的能力；同时提高代数运算能力、综合分析问题解决问题的能力。

二.重点、难点：

重点：椭圆的定义、标准方程及几何性质的应用。

难点：椭圆的定义、标准方程、几何性质在解题过程中的灵活运用。

【典型例题】

一.知识提要：

1.椭圆的第一定义：平面内，与两个定点F1、F2的距离和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。2.椭圆的第二定义：

a2的距离的平面内，动点M与定点F（c，0）的距离和它到定直线l：xcc比是常数(ac0)的点M的轨迹是椭圆。定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭

ac圆的准线，常数叫椭圆的离心率。

a 3.椭圆的标准方程及几何性质： 标准方程 x2y221(ab0)2aby2x221(ab0)2ab图形 范围 对称性 顶点 axa，byb bxb，aya 关于x轴、y轴、坐标原点对称 关于x轴、y轴、原点对称 A1（－a，0），A2（a，0）B1（0，－b），B2（0，b）A1（0，－a），A2（0，a）B1（－b，0），B2（b，0）离心率 ce，(0e1)ae c，(0e1)a

例1.求焦点在坐标轴上，且经过A(3，2)和B(23，1)两点的椭圆 的标准方程。

分析：求椭圆的标准方程，就是求中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程。但焦点

22在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx+ny=1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程即知。解：设所求椭圆的方程为mx+ny=1，（m>0，n>0）

∵点A(3，2)和点B(23，1)在椭圆上，223m4n1m(3)n(2)1即 ∴

2212mn1m(23)n²111m15 ∴

n15x2y21。

故所求椭圆的方程为155 例2.x2y2已知椭圆221(ab0)，F1，F2是它的焦点。AB是过F1的直线

ab与椭圆交于A、B两点，求△ABF2的周长。

解析：数形结合，由椭圆定义即可求得答案。

解：∵|AF1||AF2|2a

|BF1||BF2|2a

又∵△ABF2的周长=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a ∴△ABF2的周长为4a。

x2y21上一点，P到左准线的距离为10，则P到右准

例3.设P为椭圆10036线的距离为（）A.6

B.8

C.10

D.15 解析：法一：应用椭圆的第二定义即可求出结果为15。

2a2，又知P到

法二：应用椭圆的几何意义，点P到两准线的距离之和为c左准线距离，作差即可求出点P到右准线距离。

例4.点P与定点F（2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。

分析：根据椭圆的第二定义可知，动点P的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，且知焦点为F1（－2，0）、F2（2，0），准线方程x=±8，离心率e1。2a28，∴a216，解：依椭圆第二定义知：c2，c ∴b2a2c216412。

x2y21。∴所求椭圆的方程为1612x2y21，轨迹为椭圆。

即点P的轨迹方程为：1612 例

5.22x2已知点P在圆C：x(y4)1上移动，点Q在椭圆y21上移动，4求|PQ|的最大值。

分析：做此题要数形结合，从图中可见，要求|PQ|的最大值，只要考虑圆心到椭圆上的点的距离即可，而椭圆上的点是有范围的，于是转化为二次函数在闭区间上的最值问题。

设：椭圆上的一点Q（x，y），又C（0，4）。

222 则|QC|=x+(y－4)

4(1y2)(y4)

23y28y20

4276) 33 又∵1y1∴当y1时，|QC|大5 3(y ∴|PQ|的最大值为5+1=6。

x2y21内有一点P(1，1)，F是椭圆的右焦点，在椭圆

例6.已知椭圆43上求一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，求点M的坐标。

分析：|MF|是椭圆上一点到焦点的距离，根据椭圆的第二定义，有

|MF|1∴|MM|2|MF|

|MM|2 ∴|MP|2|MF||MP||MM|

显然，P、M、M'三点共线时，|PM|+|MM'|有最小值。

解：过P作PM'⊥l交椭圆于M，由椭圆方程知 a2，b3，c1，ey1 223x4y12 ∴所求M点坐标为M(例7.226x解得3

y126，1)。3x2y2过椭圆1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所

164在的直线方程。

分析：所求直线过定点M（2，1），因此，设为y－1=k(x－2)，再利用弦中点条件求出直线的斜率k。

解法一：设所求直线方程为y－1=k(x－2)，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)ykx12k22①x4y160②(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160

消去y

8(2k2k)，又∵M为弦AB的中点，x1x224k1x1x24(2k2k)12∴k ∴ 2224k1 ∴所求直线方程为：x2y40。

解法二：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）

∵M（2，1）为AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2。

又∵A、B两点在椭圆上，则x14y116①，x24y216②

①②x1x24(y1y2)0

(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0 2222222y1y2xx2411

x1x24(y1y2)4³221 即kAB。故所求直线的方程为：x2y40 ∴ 解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A（x，y），由于中点为M（2，1），则另一个交点B（4－x，2－y）。

∵点A、B都在椭圆上。

22x4y16 ∴22(4x)4(2y)16 ①②得x2y40。

①②

由于过A、B的直线只有一条，∴所求直线的方程为x2y40。

【模拟试题】

x2y21上一点，F1、F2是焦点，∠F1PF2=30°，求△F1PF2的面积。1.已知P是椭圆 2516

2.已知椭圆的焦点F1（0，－1），F2（0，1），直线y=4是它的一条准线，P是椭圆上一点，且|PF2|－|PF1|=1，求△F1PF2的面积。

3.椭圆xy1的焦点为F1，F2，点P为其上一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横9422坐标的取值范围。

4.求与椭圆xy1相交于A、B两点，并且线段AB的中点M（1，1）的直线方程。94 22试题答案

1.解：设|PF1|m，|PF2|n

11mnsin30°mn。24 在△F1PF2中，62m2n22mncos30° ∴S△F1PF2 36(mn)22mn3mn(23)mn64

64。

2316416(23)

∴S△F1PF2²423 mn 即△F1PF2的面积为16(23)。

2.分析：可以由椭圆定义及已知条件求出|PF1|和|PF2|的长，再计算面积。

a24∴a2 解：∵c1c3|PF||PF1||PF2|412 

|PF||PF|1512|PF2|225943444 又∵|F1F2|2，∴cosP，∴sinP

53552²²2213513543 ∴S△F1PF2²²²sinP²²²

22222252 3.分析：先求出使∠F1PF2=90°的点P的横坐标，根据点P的运动观察出P点横坐标的取值范围。

∵a3，b2，∴c5 ∴S△F1PF2 S△F1PF21|F1F2|²|yP|2设|PF1|m|PF2|n

11|F1F2|²|y|5|y|S△F1PF2mn 22222 又∵mn20，(mn)2mn20∴mn8

4x2y2 ∴5y4y，代入1

94533即当x±时，∠F1PF290° 得x±5533x时，∠F1PF2为钝角。

∴当55 5.解：设A（x1，y1），B（x2，y2）

∵A、B都在椭圆上，x12y121①94 ∴ 22x2y21②49(xx2)(yy2)(x1x2)1(y1y2)0

①－② 194 ∵AB的中点M（1，1），∴x1x22，y1y22

y1y244，即为直线AB的斜率为。

9x1x294 ∴y1(x1)，即4x9y130 ∴所求直线方程为：4x9y130。∴

第二篇：高二数学椭圆教案

1，教学目标

学习椭圆的典型例题

2，例题

例1 已知椭圆mx23y26m0的一个焦点为（0，2）求m的值．

0，a3b，求椭圆的标准方程． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点P3，例3 ABC的底边BC16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．

分析：（1）由已知可得GCGB20，再利用椭圆定义求解．

（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程．

例4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为

45和325，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

3x2y2例5 已知椭圆方程221ab0，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，Pab是椭圆上一点，A1PA2，F1PF2．求：F1PF2的面积（用a、b、表示）．

0，且在定圆B：例6 已知动圆P过定点A3，x3y264的内部与其相内切，2x211y21，（1）求过点P，且被P平分的弦所在直线的方例7 已知椭圆222程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（3）过A2，（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOPkOQ求线段PQ中点M的轨迹方程．

1，2

例8 已知椭圆4x2y21及直线yxm．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为

210，求直线的方程． 5x2y21的焦点为焦点，过直线l：xy90上一点M作椭圆，要例9 以椭圆123使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．

x2y21表示椭圆，求k的取值范围． 例10 已知方程k53k解：

3，作业

例11 已知x2siny2cos1(0)表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围．

例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(3,2)和B(23,1)两点的椭圆方程．

例1

3知圆x2y21，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹．

例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为

的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长． 3

x2y21上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则ON例15 椭圆259（O为坐标原点）的值为A．B．2 C．8 D．2x2y21，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y4xm，例16 已知椭圆C：43椭圆C上有不同的两点关于该直线对称．

例17 在面积为1的PMN中，tanM以M、N为焦点且过P点的椭圆方程．

1，tanN2，建立适当的坐标系，求出2x2y21所截得的线段的中点，求直线l的方程． 例18 已知P(4,2)是直线l被椭圆

369

第三篇：高二数学椭圆的标准方程教案

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椭圆的标准方程（—）

教学目标：

1、通过本节课课前及课堂上的探索研究过程，使学生理解椭圆的定义，掌握

椭圆的标准方程；

2、复习和巩固求轨迹方程的基本方法.3、能够理解椭圆轨迹和方程之间的关系，进一步提高学生解析能力；

教学重点：

1、椭圆的定义和椭圆的标准方程及其求法，2、椭圆曲线和方程之间的相互关系．

教学难点：

1、建立适当的坐标系，求椭圆标准方程．

2、利用椭圆的定义和标准方程研究曲线．

教学方式：体验式 教学手段：多媒体演示．

学生特点：本节课的教学对象为高中实验班学生，数学基础较好．

教学过程：

1、给出椭圆定义

由学生根据课前的预习叙述椭圆的定义：

1）椭圆的定义：

平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于（或集合）叫做椭圆．F1，F2叫做椭圆的焦点；）的点的轨迹叫做椭圆的焦距．

2）展示学生通过预习椭圆知识，结合椭圆的知识所作的“图形”，并介绍椭圆的做法，帮助同学了解椭圆的定义，同时引出椭圆标准方程

2、推导椭圆标准方程

推导方程：（以下方程推导过程由学生完成）

①建系：以

和

所在直线为轴，线段

坐标系； 的中点为原点建立直角

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高中数学辅导网 http://www.xiexiebang.com ②设点：设是椭圆上任意一点，设

；，则，③列式：由得

④化简：移项平方后得，；

整理得，两边平方后整理得，由椭圆的定义知，即，∴，令，其中，代入上式，得，两边除以，得：（））

3．进一步认识椭圆标准方程

（掌握椭圆的标准方程，以及两种标准方程的区分）

（1）方程

（上，焦点坐标为）叫做椭圆的标准方程．它表示焦点在轴，其中

．

（2）方程方程（）也是椭圆的标准方程．它表示焦点，其中

． 在轴上，焦点坐标为

4．通过例题巩固椭圆的标准方程.例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆上任意一点与两焦点的距离的和等于8；(2)两个焦点的坐标分别是(0,－4)，(0，4)，并且椭圆经过点

.5．再次展示学生所作椭圆，让学生利用椭圆方程和椭圆定义来判断所作的“椭圆”，并说明判断的依据，进一步椭圆定义和椭圆的标准方程.6．小结：

这节课我们围绕椭圆及其标准方程研究了椭圆这几个方面的问题：

（1）椭圆的定义；

（2）椭圆的标准方程推导；

（3）利用椭圆的定义和标准方程研究曲线；

7．作业：

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高中数学辅导网 http://www.xiexiebang.com（1）P42，练习A第1，2，3，4题；

（2）求演示图形5中椭圆的方

程.京翰教育1对1家教 http://www.xiexiebang.com/

第四篇：人教A版数学选修2-1《2.2.1椭圆及其标准方程》教案

2.2.1椭圆及其标准方程

◆ 知识与技能目标

理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．

◆ 过程与方法目标（1）预习与引入过程

当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗2．1．1椭圆及其标准方程．

（2）新课讲授过程

（i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义．

〖板书〗把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M时，椭圆即为点集PM|MF1MF22a．

（ii）椭圆标准方程的推导过程 提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．

无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．

设参量b的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何意义．

y2x2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程221ab0．

ab（iii）例题讲解与引申

例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是2,0，2,0，并且经过点标准方程．

分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c．引导学生用其他方法来解．

53,，求它的22x2y253另解：设椭圆的标准方程为221ab0，因点,在椭圆上，ab2292512a102则4a． 4ba2b24b6例2 如图，在圆x2y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？

分析：点P在圆x2y24上运动，由点P移动引起点M的运动，则称点M是点P的伴随点，因点M为线段PD的中点，则点M的坐标可由点P来表示，从而能求点M的轨迹方程．

x2y21上动点，求线段AP中点M的轨迹方引申：设定点A6,2，P是椭圆

259程．

解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设Mx,y，Px1,y1；②（点与伴随点的关

x12x6系）∵M为线段AP的中点，∴；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵

y2y21x3y1x12y121M1，∴点的轨迹方程为；④伴随轨迹表示的范围．

2592594例3如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为224，求点M的轨迹方程． 9分析：若设点Mx,y，则直线AM，BM的斜率就可以用含x,y的式子表示，由于直线AM，BM的斜率之积是的关系式，即得到点M的轨迹方程．

解法剖析：设点Mx,y，则kAM4，因此，可以求出x,y之间9yx5，x5yx5； x5yy4，化简即可得点M的轨迹方程． 代入点M的集合有x5x59kBM

引申：如图，设△ABC的两个顶点Aa,0，Ba,0，顶点C在移动，且kACkBCk，且k0，试求动点C的轨迹方程． 引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当k值在变化时，线段AB的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．

◆ 情感、态度与价值观目标

通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；必须让学生认同与体会：椭圆的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是线段；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量ba2c2的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美；让学生认同与领悟：例1使用定义解题是首选的，但也可以用其他方法来解，培养学生从定义的角度思考问题的好习惯；例2是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹，培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题；通过例3培养学生的对问题引申、分段讨论的思维品质．

◆能力目标

（1）想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和抛物线的实际例子，能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示．

（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．

（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．

（4）数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．（5）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．

练习：第45页1、2、3、4、作业：第53页2、3、

第五篇：人教版数学高二年级《椭圆第二定义的教学》教学设计

椭圆第二定义的教学

江苏省如皋中学

郝 茹

郝劲赴

现行高中《平面解析几何》课本对椭圆第二定义采用了从具体事例入手，引出一个新概念的定义的方法，这是数学教学中常用的从具体到抽象、从特殊到一般地讲授新概念的方法，符合人们从感性到理性的认识事物的规律．但是，在这里我们要注意，从认识事物的原型到认识事物的本质，这是对事物认识的质的飞跃，妥善处理好这个过程，是教学成功的关键．为此，我们在教学椭圆第二定义时，作了如下安排：

１．自读推敲，引导剖析 首先让学生自读课本Ｐ．７６例３及由此引出的椭圆第二定义，自己推敲这一定义的内涵及外延，并提出以下问题供学生思考：

（１）定义中有哪些已知条件？

（２）定点、定直线、定比在椭圆定义中的名称各是什么？

（３）定比是哪两个量的比？这两个量本身是变量还是常量？定比是什么范围的值？（４）定点、定直线、定比一定是例３给出的数量关系（Ｆ（c,0),x定直线方程是否可为其他的形式？

对第（１）、（２）、（３）三个问题学生容易从课本中找出答案，但第（４）个问题则一石激起千层浪，学生们议论纷纷．这时，教师启而不答．

２．通过变式，提示内涵 让学生研究课本Ｐ．７９第１０题“点Ｐ与一定点Ｆ（２，０）的距离和它到一定直线x＝８的距离的比是１：２，求点Ｐ的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．”

学生很快根据例３求出c＝２，又由eca12a2c,eca1)吗？定点坐标、，得a＝４，而由xa2c422可知满足题意．从8，而得点Ｐ的轨迹方程为x216y2121，所以点Ｐ的轨迹是椭圆．

接着，我将上题稍加改动，让学生研究：“点Ｐ与一定点Ｆ（２，０）的距离和它到一定直线x＝８的距离的比是13，求点Ｐ的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．”学生沿用上题的解法，得c2，由

x2ca13，得a6,b6232，得轨迹方程为22236y2321，有的学生由

a2c362188而提出该题题设

c2c2,11e，而认为此题无解． 矛盾，所以无解，也有的学生列出方程组a2，解得238a4,c这时，教师不评价学生的解法，而是提示他们比较该题题意与课本给出的椭圆第二定义是否一致，由他们自己发现满足题意的动点轨迹是椭圆，进而重新寻求解题的途径．不少学生建立方程(x2)yx82213(x5，化简得

481)2y2921，由此可见，这是中心在点（54,0)，对称轴为直线x5416及y0的椭圆．

—1— 从该例让学生看到椭圆第二定义中的定点、定直线、定比的数量关系不一定是课本Ｐ．７６例３给出的定点Ｆ（c，０）、定直线xa2c、定比eca，当不满足这个数量关系时，建立椭圆方程不能套用例３的结果去解．当给出定点Ｆ（n，０）、定直线x＝m（m≠n）、定比为e（０＜e＜１)时，可建立方程

me2(xn)yxm22(xe，解得

n21e22e(mn)(1e)22)2y222e(mn)1e21．

显然，只要m≠n，即点Ｆ（n，０）不在直线x＝m上时，都是椭圆方程．

这样，就让学生自己在解决问题的过程中，求得思考题（４）的第一个问题的答案．进而指导学生深入推敲椭圆第二定义，让他们深切地理解定义中的定点一般为(x0,y0)，定直线一般为ax+by+c＝０，并告诉学生在学过坐标变换之后，可通过坐标变换，将所求的轨迹方程化为椭圆的标准方程．

通过以上研究，让学生明确：课本Ｐ．７６例３题设中给出的数量关系是椭圆的标准方程的条件，而不是所有椭圆方程所要求的条件，即不是椭圆方程的本质特征，这样，学生对椭圆第二定义的内涵和外延的理解就深刻多了．

３．列举反例，防患未然 要使学生深刻理解新概念，除了要正面剖析概念，运用变式比较，揭示概念本质以外，我们还经常列举一些反例让学生判别，防止常见错误的发生．为此，给出以下两例，让学生判别命题是否正确．

例１ 点Ｐ到点Ｆ（２，０）的距离比它到定直线x=7的距离小１，点Ｐ的轨迹是什么图形？ 给出如下解法让学生判别：

解：设Ｐ点的坐标为（x,y），则(x2)y221x7(x2)yx72211.而(x2)yx722(x2)yx7221＝１，所以点Ｐ到定点Ｆ（２，０）的距离与它到定直线x=7的距离的比小于１，故点Ｐ的轨迹是椭 圆．

例２ 点Ｐ到定直线x=8的距离与它到点Ｆ（２，０）的距离的比为

12，则点Ｐ的轨迹是椭圆．

22对上述两个问题，引导学生逐一分析，让学生明确：例１中，比值

(x2)yx71，但不是一个常数，故不可断定点Ｐ的轨迹是椭圆．例２中要注意椭圆第二定义中的定比是动点到定点的距离比动点到定点直线的距离，其比的前后项顺序不可倒置，故不可断定此题中的点Ｐ的轨迹是椭圆．经过对上述两例中典型错误的剖析，学生对椭圆第二定义的本质属性有了更深刻的认识．

４．设置新题，检测运用

经过前面的教学过程，应该说基础知识已经讲清了．但是，要让学生深刻理解教学的内容，并且能够正确运用，这需要让学生有一个独立运用所学知识解决问题的过程．于是，我们让学生独立解以下题目：一动点Ｐ到直线2x+y－８=0的距离与它到点（１，２）的距离的比值为5，求动点Ｐ的轨迹方程，并判 —2— 断点Ｐ的轨迹是何种曲线．

2xy8解：设Ｐ点的坐标为（x,y），则

25(x1)(y2)25

5(x1)(y2)22222xy8

2225(x2x1y4y4)4xy644xy32x16y 21x4xy24y18x84y610． 22从方程看，现在我们还不能判定此方程的曲线是何种曲线，但仔细分析题意，可将已知条件改述为动点Ｐ到点（１，２）的距离与它到直线２x＋y－８＝０的距离之比为１：5，这显然符合椭圆第二定义，可知Ｐ点的轨迹为椭圆．

通过这一例的教学让学生更深切地理解了椭圆的第二定义，也让学生看到椭圆的非标准方程所具有的形式．

５．拓展课本，活化知识

xa22课本对于椭圆的准线方程作了如下叙述：“对于椭圆yb221，相应于焦点Ｆ（c，０）的准线方程为xa2c，根据椭圆的对称性，相应于焦点Ｆ′（－c，０）的准线方程为xa2c；所以，椭圆有两条准线．”由此启发学生看到命题（称做Ａ）：点Ｍ（x,y）与定点Ｆ′（－c，０）的距离与它到直线l′：xa2c的距离之比是常数ca（a＞c＞０），则点Ｍ（x，y）的轨迹方程也是椭圆的标准方程．于是我们引导学生明确结论：课本Ｐ．７６例３给出的数量关系：定点Ｆ（c，０）、定直线l：xa2c、常数

ca（a＞c＞０），以及命题Ａ给出的数量关系：定点Ｆ′（－c，０）、定直线l′：xa2c、常数

ca（a＞c＞０）均分别是动点Ｍ的轨迹方程为椭圆标准方程的充要条件，并且，二者是等价的．接着，我们又引导学生再次分析本文第２部分所讲到的命题（称为Ｂ）：定点为Ｆ（n，０），定直线为x＝m（m≠n），定比为e

(xme2n2（０＜e＜１)，得出的椭圆方程

1e22e(mn)(1e)22)2y222e(mn)1e2me2n0,让他们看到当且仅当1e21．

1e202即e2nm1时，动点Ｍ的轨迹方程为椭圆的标准方程．即条件“enm1”是动点Ｍ的轨迹方程为椭圆标准方程的充要条件．

—3— 在此基础上，要求学生自行命题，设计出动点的条件，使其轨迹方程分别符合下列要求： ①轨迹方程为椭圆的标准方程；

②轨迹方程为中心在x轴上且短轴平行于y轴的椭圆方程．

从而，让学生不但能正确地解命题Ｂ型的问题，而且能自行设计命题Ｂ型的问题，使学生对椭圆第二定义的理解、掌握和运用达到新的境界．

—4—