2.2椭圆 教学设计 教案

第一篇：2.2椭圆 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

1.知识目标：

(1).使学生掌握椭圆的性质，能根据性质正确地作出椭圆草图；掌握椭圆中a、b、c的几何意义及相互关系；

(2)通过对椭圆标准方程的讨论，使学生知道在解析几何中是怎样用代数方法研究曲线性质的，逐步领会解析法（坐标法）的思想。

(3)能利用椭圆的性质解决实际问题。2.能力目标：

培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决 实际问题的能力。3.德育目标：

(1)通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，使学生领悟其中所蕴涵 的数学思想和数学方法，体验探索中的成功和快乐，使学生在探索中喜欢数学、欣赏数学。

(2)通过“神舟7号”飞天圆梦，激发学生爱国之情。

(3)培养学生既能独立思考，又能积极与他人合作交流的意识和勇于探索创新的精神。

2.教学重点/难点

重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法。

难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点。

3.教学用具

多媒体课件、实物投影仪。

4.标签

教学过程

教学过程设计

（一）复习回顾

1.椭圆的定义：到两定点F1、F2的距离和为常数（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆。

2.若|MF1|+ |MF2|=2a（2a是常数）

当2a>|F1F2|时，点M的轨迹是________；（椭圆）当2a=|F1F2|时，点M的轨迹是________；（线段FF）当2a<|F1F2|时，点M的轨迹是________.（不存在）3.标准方程 焦点在x轴上时：

焦点在y轴上时：

求椭圆标准方程的方法：----------待定系数法.求椭圆标准方程的步骤：

(1)确定焦点位置，设椭圆的标准方程

(2)求a,b（常建立方程组）

(3)下结论

4.方程中a,b,c之间的关系：a2=b2+c2 思考回答下面问题

1.判断下列方程是否表示椭圆,若是, 求出 a, b, c.（5）若_______

表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是回答：（1）不是；（2）是，a=2，b=c=c=（5）(-16,4)∪(4,24)

；（3）不是；（4）是，a=3，b=2，2.若动点M到F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为2,则M的轨迹是__（线段F1F2）复习检测 1.已知椭圆=_________;2.已知椭圆，它上点P到F1的距离为6，则|PF2|=________;，则a=_____,c=______,焦点___________,焦距3.椭圆的焦距2，则m=_____________.4.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）与椭圆

（2）经过点P1（共焦点，且过点M（0，-2）； ,1), P2(,).解答：（1）10,8，（0,8），（0，-8）,16；（2）14；（3）5或3；

（4）

（二）创设情境

我们知道，飞船绕地运行了十四圈，在变轨前的四圈中，是沿着以地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行的。如果告诉你飞船飞离地球表面最近和最远的距离，即近地点距地面的距离和远地点距地面的距离，如何确定飞船运行的轨道方程？要想解决这一实际问题，就有必要对椭圆做深入的研究，这节课我们就一起探求椭圆的性质。（引出课题）

（三）探索研究 1.范围

教师：同学们继续观察椭圆，如果分别过A1、A2作y轴的平行线，过B1、B2作x轴的平行线（课件展示），同学们能发现什么？ 学生能答出：椭圆围在一个矩形内。

教师补充完整：椭圆位于四条直线x=±a, y=±b所围成的矩形里，说明椭圆是有范围的。

教师：下面我们想办法再用方程

来证明这一结论的正确性。启发学生，用方程讨论图形的范围就是确定方程中x、y的取值范围。从方程的结构特点出发，师生共同分析，给出证明过程。由，利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得，x2≤a2且y2≤b2,则有｜x｜≤a,｜y｜≤b, 所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。

设计意图：从“直观图形”与“方程思想”两个不同的角度研究椭圆范围 2．对称性的发现与证明

教师：椭圆的图形给人们以视觉上的美感（课件展示椭圆），如果我们沿焦点所在的直线上下对折，沿两焦点连线的垂直平分线左右对折，大家猜想椭圆可能有什么性质？（学生动手折纸，课前教师要求学生把上节学习椭圆定义时画的椭圆拿来。）学生们基本上能发现椭圆的轴对称性。

教师：除了轴对称性外，还可能有什么对称性呢？ 稍作提示容易发现中心对称性。

教师：这仅仅是由观察、猜想得到的结果，怎样用方程证明它的对称性？ 设计意图：让学生先从直观上认识椭圆的对称性，然后再用方程证明其对称性。提出问题

①把x换成-x，方程变吗？说明图象关于什么对称？

②把y换成-y，方程变吗？说明图象关于什么对称？

③把x换成-x，y换成-y，方程变吗？说明图象关于什么对称？ 得出重要结论：

（1）用方程f(x,y)=0判定图像对称性的方法：①把x换成-x；或用（-x,y）代f(x,y)=0,方程不变，图象关于y轴对称；②把y换成-y；或用（x,-y）代f(x,y)=0,方程不变，图象关于x轴对称；③把x换成-x，y换成-y，或用（-x,-y）代f(x,y)=0,方程不变,？图象关于关于原点成中心对称

（2）椭圆图象的对称性：椭圆图象关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称

投影显示下图及问题

问题：椭圆的对称轴一定时x轴、y轴吗，对称中心一定是原点吗？图中的椭圆有对称轴和中心吗？

指导学生思考讨论后获取共识：坐标系是用来研究曲线的重要工具，而椭圆的对称性是椭圆本身固有的性质，无论椭圆在坐标系的什么位置，它都有两条互相垂直的对称轴，有一个中心，与坐标系的选取无关。（此问题也为后面研究平移变换埋下伏笔）。小试身手1 已知点P(3,6)在椭圆(A)点(-3,-6)不在椭圆上；

(B)点(-3,6)不在椭圆上；(C)点(3,-6)在椭圆上；

(D)无法判断点(-3,-6),(3,-6),(-3,6)是否在椭圆上 3.顶点的发现与确定

教师：我们研究曲线，常常需要根据曲线上特殊点的位置来确定曲线的位置。教师提问：你认为椭圆上哪几个点比较特殊？

由学生观察容易发现，椭圆上存在着四个特殊点，这四个点就是椭圆与坐标轴的交点，同时也是椭圆与它的对称轴的交点。

教师启发学生与一元二次函数的图像（抛物线）的顶点作类比，并给出椭圆的顶点定义。

教师：能根据方程确定这四个顶点的坐标吗？

由学生自主探究,求出四个顶点坐标。即令x=0,得 y=±b，因此B1(0,-b), B2(0,b)，令y=0，得x=±a，因此A1(-a,0), A2(a,0)。

结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，半焦距，点明方程中a、b和c的几何意义和数量关系。

由学生探究得出椭圆的一个焦点F2到长轴两端点A1 , A2的距离分别为a+c和a-c。教师指出，这在解决天体运行中的有关实际问题时经常用到。小试身手2 说出椭圆范围：4．离心率

教师：我们在学习椭圆定义时，用同样长的一条细绳画出的椭圆形状一样吗？ 的范围,长轴长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:

上，则（C）同学们能回答出：不一样，有的圆一些，有的扁一些。请同学们思考：椭圆的圆扁程度究竟与哪些量有关呢？

此时学生展开讨论，可能有的说与a、c有关，也可能说与a、b有关等等。通过观察演示实验，化抽象为具体，引导学生思考。

教师引导学生从演示实验观察到由于椭圆位于直线x=±a,y=±b围成的矩形里，矩形的变化对椭圆形状的影响。

矩形越狭长，椭圆越扁；矩形越接近于正方形，椭圆越接近于圆；当矩形变为正方形时，即a=b时,椭圆变为圆。即当比值越小，椭圆越扁；比值

越大，椭圆越接近于圆。

由于扁；当越小时，所以当越大时，越小，椭圆越

越大，椭圆越接近于圆。把比值e=叫椭圆的离心率，分析出离心率的范围：0＜e＜1。

结论：椭圆在-a＜x＜a，-b＜x＜b内，离心率e越大，它就越扁；离心率e越接近于0，它就越接近于圆。所以说离心率是描述椭圆圆扁程度的量。小试身手3 3.比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁?

思考：焦点在y轴上的几何性质如何呢？ 总结椭圆的几何性质，填写下表

（四）巩固与创新应用

为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1 例1

.已知椭圆16x2+25y2=400，它的长轴长是：

，短轴长是：

，焦距是：，离心率等于：

，焦点坐标是：，顶点坐标是：

，外切矩形的面积等于：。

解析：先把方程化为标准方程，a=5,b=4,c=3

长轴长：10，短轴长：8，焦距：6离心率：3/5焦点坐标：（-3,0）（3,0）

顶点坐标：（-5,0）（5,0）（0，-4）（0,4）面积是：80 练习1.已知椭圆方程为6x²+y²=6 它的长轴长是：

。短轴长是：

。焦距是：

。离心率等于：

。焦点坐标是：

。顶点坐标是：

。外切矩形的面积等于：

。解析：先把方程化为标准方程，a=,b=1,c=

长轴长：2点坐标：（0，-）（0，,短轴长：2，焦距：2）

离心率：，焦

顶点坐标：（-1,0）（1,0）（0，-4）（0,）面积是：例2 椭圆的一个顶点为A（2,0）,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

解析：椭圆的标准方程为

或

.练习2.已知椭圆的离心率，求k的值。

解答：当椭圆的焦点在x轴上时，k=4

当椭圆的焦点在y轴上时，例3.已知椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在y轴,长轴是短轴的2倍,焦距为2,离心率为，求椭圆的方程。

解析：由题可得：设椭圆方程为，因为2a=4b,2c=2,e=,b= ,又因为a2=b2+c2,所以c=1,a=

所以椭圆方程为：

1)练习3.已知椭圆的方程为x2+m2y2=m2，m>0且m

0

m>1 时 它的长轴长是： 2m

;

它的长轴长是：

;

短轴长是：

;

短轴长是： 2m

;

例4.我国发射的“神舟七号”飞船在变轨前是沿以地球的中心F2为一个焦点的椭圆轨道运行的。已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面约为200km,远地点B（离地面最远的点）距地面约为350km，地球半径为6371km并且F2、A、B在同一直线上，求飞船运行的轨道方程。（结果精确到0.01km）设置本题的主要意图是:第一,为增强学生的数学应用意识和运用数学知识解决实际问题的能力；第二，为满足中等及中等以上层次学生的学习需求。

师生共同分析：先把实际问题转化为数学问题。（求神舟五号飞船的轨道方程，就是求椭圆的方程）。

教师：求椭圆的方程又需要先做什么呢？（建立坐标系）。

怎样建系？（以过A、B的直线为x轴，F2为椭圆的右焦点，记F1为左焦点建立如图所示的直角坐标系（课件上作图、建系）则它的标准方程为

下面确定a、b的值，题中提供的信息是近地点、远地点到地面的距离以及地球的半径，由这些条件我们可以知道些什么呢？

学生对照图形认真思考，相互讨论由学生得出解法。｜F2A｜=6371+200，｜F2B｜=6371+350 又∵｜F2A｜=｜oA｜-｜oF2｜=a-c 因此,有 a-c=｜oA｜-｜oF2｜=｜F2A｜=6371+200=6571 同理,得 a+c=｜o B｜+｜oF2｜=｜F2B｜=6371+350=6721 解得

a=6646，c=75 b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=44163691≈6645.582 因此，飞船的轨道方程为计算过程由学生用计算器求得。

教师最后课件展示：用计算机画出飞船运行的轨迹。

课堂小结

本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。

布置学生最后小结下列表格：

课后习题

1.在下列方程所表示的曲线中，关于x轴，y轴都对称的是（D）A.x2=4y

B.x2+2xy+y=0

C.x2-4y2=5x D.9x2+y2=4 2.椭圆以坐标轴为对称轴，离心率，长轴长为6,则椭圆的方程为（C）

3.若椭圆的一个焦点与短轴的两端点构成一个正三角形，则椭圆的离心率为（）

4.求符合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)经过点(-3,0)、(0,-2);

(2)长轴的长等于20,离心率等于0.6 解答：

板书

第二篇：2．1 椭圆 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

知识与技能

掌握椭圆的定义，掌握椭圆的四种标准方程形式及其对应的焦点、准线． 过程与方法

掌握对椭圆标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法．通过本节课的学习，提高学生观察、类比、分析和概括的能力

情感、态度与价值观

通过本节的学习，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想．

2.教学重点/难点

教学重点：

椭圆的定义及焦点及椭圆标准方程． 教学难点：

在推导椭圆标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系

3.教学用具

多媒体

4.标签

教学过程

教学过程设计

新知探究

探究点一

椭圆的定义 【问题导思】 1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时能在图板上画出一个圆．

如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处(如图)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出什么样的一个图形？

【提示】 椭圆．

2.命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a为常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，且A、B是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的（）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析 若P点的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，且a为常数)，所以命题甲是命题乙的必要条件．

若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，且a为常数)，不能推出P点的轨迹是椭圆． 这是因为：仅当2a>|AB|时，P点的轨迹是椭圆； 而当2a＝|AB|时，P点的轨迹是线段AB； 当2a<|AB|时，P点无轨迹． 所以命题甲不是命题乙的充分条件．

综上可知，命题甲是命题乙的必要不充分条件．

探究点二 椭圆的标准方程

问题1 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．

答案:

(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0)、F2(c,0)．

(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为

问题2建系时如果焦点在y轴上会得到何种形式的椭圆方程？怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？

答案:焦点在y轴上，椭圆方程为

在椭圆的两种标准方程中，总有a>b>0.椭圆的两种标准方程中，如果x2项的分母大，焦点就在x轴上，如果y2项的分母大，则焦点就在y轴上． 问题3椭圆方程中的a、b以及参数c有什么意义，它们满足什么关系？

答案:椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半，叫半焦距．a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.【典例精讲】

题型一

椭圆定义的理解及简单应用

(1)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，则到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是________；

(2)已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的弦DE过焦点F1，若直线DE的倾斜角为α(α≠0)，则△DEF2的周长为()A．64

B．20 C．16

D．随α变化而变化

【解析】(1)由于动点到F1，F2的距离之和恰巧等于F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段F1F2.(2)由椭圆的定义可得：|DF1|＋|DF2|＝2a＝8，|EF1|＋|EF2|＝2a＝8，∴△DEF2的周长为|DF1|＋|DF2|＋|EF1|＋|EF2|＝16，故选C.【答案】(1)线段F1F2(2)C 【小结】1．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭圆的定义可知，集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，a＞0，c＞0，且a，c为常数． 当a＞c时，集合P为椭圆上点的集合； 当a＝c时，集合P为线段上点的集合； 当a＜c时，集合P为空集．

因此，只有|F1F2|＜2a时，动点M的轨迹才是椭圆．

2．注意定义的双向运用，即若|PF1|＋|PF2|＝2a(a＞|F1F2|)，则点P的轨迹为椭圆；反之，椭圆上任意点到两焦点的距离之和必为2a.【变式训练】设F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，过F1的直线与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|的长为________．

【解析】 因为|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，所以2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，又由椭圆的定义知：|AF2|＋|AF1|＋|BF2|＋|BF1|＝4，即|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4，所以3|AB|＝4，即|AB|＝

【答案】

题型二

求椭圆的标准方程

例2(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点求它的标准方程；

(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程，并写出焦点坐标 解

(1)方法一 因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

当椭圆的焦点在y轴上时，方法二 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． ∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，【小结】1．求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法，即先由条件确定焦点位置，设出方程，再设法求出a2，b2代入所设方程，也可以简记为：先定位，再定量．

2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)和焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的． [变式训练]

(1)已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q(2,1)且与椭圆有公共的焦点，求椭圆的标准方程；

(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过

两点，求椭圆的标准方程．

解析：

(1)由已知的椭圆方程知：所求的椭圆的焦点在x轴上，设方程为

(2)由已知，设椭圆的方程是Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，故

即所求的椭圆标准方程是

题型三

求与椭圆有关的轨迹方程

例3.求过点P(3,0)且与圆x2＋6x＋y2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程． 【解析】将点(3,0)代入x2＋6x＋y2－91＝－64＜0，所以点P在圆内，圆方程配方整理得(x＋3)2＋y2＝102，圆心为C1(－3,0)，半径为R＝10.设所求动圆圆心为C(x，y)，半径为r，依题意有＝|CC1|⇒|PC|＋|CC1|＝R，即|PC|＋|CC1|＝10.又P(3,0)，C1(－3,0)，且|PC1|＝6＜10.可见动圆圆心C的轨迹是以P，C1为两焦点的椭圆，且c＝3,2a＝10，所以a＝5，从而b＝4，故所求的动圆圆心的轨迹方程为

消去r得R－|PC|【小结】利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤

【变式训练】已知(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P点，则动点P的轨迹方程为________．

【解析】 如图，依题意知|PA|＝|PB|，所以|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝2，所以点P的

当堂检测

1．设P是椭圆|PF2|等于()的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋A．4

B．8

C．6

D．18 【解析】 依定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.【答案】 C 2．一椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程()【解析】 由题意c＝8，a＝10且焦点在y轴上，∴b2＝a2－c2＝100－64＝36，∴方程为

【答案】 C

3.已知方程范围为__________．

表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值4．已知一椭圆标准方程中b＝3，c＝4，求此椭圆的标准方程． 【解】 ∵b2＝9，c2＝16，∴a2＝b2＋c2＝25.∵此椭圆的焦点不确定，∴标准方程为

课堂小结

1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；

当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．

2．求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．

3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.板书

第三篇：椭圆及其标准方程教案2(精)

椭圆及其标准方程教案2

教学目的

(1)使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程；

(2)通过椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．

教学过程

一、椭圆概念的引入

第一组问题——复习提问：

1．什么叫做曲线的方程？

2．直线方程的一般形式是什么？简述直线与二元一次方程的关系．

3．圆的一般方程是什么？主要特征是什么？

对上述问题学生的回答基本正确，如一般同学均能初步了解曲线方程的意义，理解直线与二元一次方程Ax＋By＋C＝0是一一对应关系，掌握圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，它是关于x、y的二元二次方

22程，且具有以下重要特征：(1)x与y的系数都是1；(2)缺xy这样的项；(3)D2＋E2－4F＞0．

[温故而知新，以旧带新，便于引导学生在已有的知识基础上去探求新知识．]

第二组问题——引导学生联想、归纳、分析、发现新问题：

1．如前所述，每一个二元一次方程都表示一条直线，那么每一个二元二次方程是否都表示圆，若不是，具备什么条件下它所表示的曲线就不是圆？

对此问题学生一般能回答：“当x2与y2系数不相等时或xy项的系数不为零[有的同学指出不满足上述条件(3)时]，这样的方程所表示的曲线都不是圆．”

2．圆的几何特征是什么？

一般学生能回答：“圆上任意一点到圆心(定点)的距离等于半径(定长)”．这时要进一步提问：“除上述特征外，你还能说出具有哪些特征的点的轨迹也是圆？”启发学生回忆所学的例题、习题中有关的轨迹命题．学生翻阅课本后能回答：

“到两定点距离平方和为常量的动点轨迹是圆．”

“到两定点距离之比为一常量的动点轨迹也是圆．”

(对此，经提示，有学生补充这一常量应不等于1，否则为线段的垂直平分线．)

“到两定点连线斜率乘积等于－1的动点轨迹也是圆．”(当然还应除去两定点．)

[启发学生对已有的知识进行归纳、提炼，以便为新概念的引入作好自然的铺垫．]

第三组问题——深入思考与探索：

1．一般二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0既然不完全表示圆，那么它还可能表示什么样的曲线呢？当系数A、B、C、D、E取各种不同数值时，相应的方程代表的曲线将有什么差别呢？能否找到一般性规律，得出这些曲线的大致形象？

这些问题并不一定要求学生回答，旨在引起学生积极思考，激发学生强烈的探索欲望．

2．如上，我们已经知道“到两定点距离平方和为常量”或“到两定点距离之比为常量”的点的轨迹，你是否可类似地提出一些轨迹命题作更广泛的探索？

类比的能力大部分学生是具备的(尽管程度有差别)，经过教师启发引导，学生们会提出下列轨迹命题，如：

“到两定点距离之和等于常量的动点轨迹．”

“到两定点距离平方差等于常量的动点轨迹．”

“到两定点距离之差等于常量的动点轨迹．”

“到定点与定直线距离相等的动点轨迹．”

以上是学生受到已做习题的启发而提出的．

还有学生通过类比提出：

“到两定点距离的立方和(差)等于常量的动点轨迹”；“到定点与定直线距离的比为常量的动点轨迹”；“到定点与定直线的距离和(差)等于常量的动点轨迹”；等等．

对同学们这种大胆设想，勇于探索的精神教师予以大力肯定，表示赞赏，并指出同学们所提出的这些问题正是我们后一段学习中要逐步解决的问题，而同学们自己也可运用坐标法探求它们的方程，根据方程描点画图，也可设法用实验方法描绘具有这些特征的几何图形．

[以上从方程与曲线两方面，也就是从数与形两条“线路”引导学生联想、分析、探索，这样，引出新曲线的概念已是水到渠成了．]

譬如说，同学们提出的“若动点到两定点距离之和等于常量，则此动点轨迹是什么？请同学们不妨尝试一下，看看能否设计一种 绘图方法，画出符合这种几何条件的轨迹．

(课前要求学生准备图钉若干，细线一根．)

学生纷纷动手，相互磋商，观摩，不一会大部分同学已画出；再让一个学生在黑板上用准备好的工具演示，同学们都高兴地叫起来，轨迹是椭圆！

教师问：“椭圆，在哪些地方见过？”

有的学生说：“立体几何中圆的直观图．”

(立体几何中采取的也是近似画法，但教材中已提出椭圆名称．)

有的学生说：“人造卫星运行轨道．”

(这是学生从物理课本中了解的．)

有的学生说：“饼干罐头盒，洒水车，装油车等．”

教师指出：确切地说，应是它们的横截面的轮廓线．

[按学生认识规律与心理特征引导学生自己分析、探索、启发学生认识新的概念，至于新概念在实际中的形象也放手让学生自己对照、回顾，增强实践感受，这样更有利于学生学习能力的培养．]

在上述基础上，引导学生概括椭圆定义．学生开始只强调主要几何特征——到两定点距离之和等于常量．这时教师通过演示(将穿有粉笔的细线拉到黑板平面外)启发学生思考．学生认识到需加上限制条件：“在平面内．”教师则追问：“否则会形成什么几何图形？”学生想象到是椭球形．教师边演示边提示学生注意：这里的常量有什么限制吗？若这个常量等于两定点距离？小于呢？学生认识到，这时都不可能形成椭圆，前者变成了线段，后者轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常量大于两定点之间的距离．”

这样，学生得出了完整的椭圆定义：平面内到两定点的距离之和等于常数(大于两定点距离)的点的轨迹叫做椭圆．

教师顺便指出：我们规定其中两定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距．

二、推导椭圆的标准方程

给出椭圆的定义后，教师即可提出：由椭圆定义，可以知道它的基本几何特征，但对于这种新曲线还具有哪些性质，我们几乎一无所知，因此需要利用坐标法先建立椭圆的方程．

[让学生明确思维的目的，才能调动学生思维的积极性．]

如何建立曲线方程？首先应建立适当的坐标系．建立坐标系时，一般应符合简单和谐化的原则．如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性．

[让学生在思考议论中加强对这种优化原则的认识．]

这样，大多数学生认识到下列选取方法是适宜的：

以两定点F1．F2的连线为x轴；以线段F1F2的垂直平分线为y轴，设|F1F2|＝2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任一点，则有F1(－c，0)，F2(c，0)．

下面让学生利用两点间距离公式，根据椭圆定义即可写出椭圆的方程

[正确选取坐标系是解析几何解题的基本技巧之一，教学中应着重培养学生这方面的能力．]

教师指出：上面所得方程直接反映了椭圆定义所确定的椭圆本质属性，但为了更进一步利用方程探讨椭圆其他性质，需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化．

(化简方程可让学生完成．)

多数学生利用初中简化无理方程的一般方法进行，移项后两边平方逐步化去根号，与教材中化简过程类似，教师在巡回观察指导中，启发几个反映较快的学生仔细观察两个根号下代数式的特征，设法先化去其中一个根号．即将等式

[(x＋c)2＋y2]－[(x－c)2＋y2]＝4cx，两边分别除以方程两边，即得

与原方程联立易得

注意a＞c，则可得

为使方程更为对称和谐起见，由a2－c2＞0，令a2－c2＝b2，则得方程

[坐标法即用代数方法研究几何问题，因此熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑．缺乏一定的运算能力在解析几何中几乎是寸步难行，因此教学中必须注意不失时机加强运算技能的训练！]

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，教师可简要作些提示：

若点(x′，y′)适合方程

则此点应在椭圆上，事实上由

由上述变形逆推即可得

注意到a＞c，且|x′|≤a，则可知

即点(x′，y′)到两定点F1和F2距离之和为2a．

故点(x′，y′)必在椭圆上．

教师指出：由于我们恰当地选取了坐标系，充分运用了图形的对称特征，因此得到的方程简单、对称，具有和谐美，特别便于根据方程分析研究椭圆许多有趣的性质．这一简化的方程称为椭圆的标准方程(焦点在x轴上)．

三、供课后思考的参考题

1．推导椭圆方程时，若使焦点在y轴上[即为F1(0，－c)，F2(0，c)]，你能知道此时方程形式吗？它与焦点在x轴上的方程有何联系？

(1)椭圆的对称性；(2)椭圆的范围及常数a、b具有什么几何特征；(3)这一方程与圆x2＋y2＝a2作一比较，两者有何联系？由两方程分别得出

回顾三角函数图像y＝Asinx与y＝sinx的关系你能提出什么设想？

等式中发现椭圆的又一重要特征吗？

教案说明

(1)这份教案是针对重点中学班级设计的，也在笔者所在学校不止一次实施过．教案设计的基本指导思想是着眼于提高学生学习数学的自觉性与基本学习能力，增强课堂教学的启发性与培养性，因此教学安排与一般设想不同．目前教学中常受考试干扰，比较注重实用性与所谓“硬指标”．如本节课常常直接给出定义，尽快得出两种标准方程，举例示范，使学生课外能学会使用方程解答课本习题．而这份教案却花一定气力引导学生回顾、探索、分析，然后引出椭圆的概念，随后只建立了焦点在x轴上的标准方程，并没有要求学生会使用；另外关于由方程研究椭圆性质常常安排在后面的课内，这里却又提前让学生思考，似乎都是“软指标”，在考试中也不一定用得上．不同的设想反映出不同的着眼点与数学教学目的的认识差别，把知识与方法作为结果给予学生，还是着重引导学生领悟获得这些结果的思想与方法，是把学生作为接受教师传授知识的客体，还是增强学生的内在活力，使学生成为自觉主动学习的主体．本教案如前所述，重点放在概念引入与方程建立的思维过程上，从圆锥曲线整体结构考虑，让学生获得比较完整的认识过程，初步建立起总体思维框架，至于结果的熟练与运用在以后的逐步强化训练中是不难达到的．教学的实践也证明，这样是有利于学生基本数学素质的提高，在以后的双曲线、抛物线的教学中可见其成效．

(2)这份教案设计的另一思想是探索在基础知识教学过程中如何加强学生能力的培养．数学上每一个重要概念的引入与定义，每一个重要定理(法则、公式)的发现与推证，几乎都历经前人长期观察、比较、分析、抽象、概括、创造的漫长过程．这样长期的探索过程中往往蕴含着数学中一些重要的思想方法，对思维有着重要的启迪作用，教学中若不充分认识甚至放弃这些绝好的培养机会，将是教学上的重大失策．当然，作为教学不必要(也不可能)完全重复前人漫长的探索过程，但若细心体会、抓住方法的精神实质，精心组织设计，创造良好情景，就可使多数学生处于亢奋状态，增强探索者的自信心理，学习前人的探究精神，逐步领会其中的主要思想方法．在教学中长期坚持这样做，必可大大提高学生的思维素质与学习能力，使教学获得良好的效果．

第四篇：椭圆标准方程教学设计

椭圆标准方程推导教学设计

类比的思想学：新旧知识的类比。

引入：自然界处处存在着椭圆，我们如何用自己的双手精确的画出椭圆呢？

回忆圆的画法：一个钉子，一根绳子，钉子固定，绳子的一端系于钉子上，抓住绳子的另一端，固定绳子的长度，绕钉子旋转一圈就得到圆。

下面我们介绍椭圆的画法：找两个钉子和一根绳子，把两个钉子固定，两个钉子的距离小于绳子的长度，把绳子的两端分别系在两个钉子上，绷紧绳子旋转一周就得到椭圆。（以上是画法上的对比）

回忆圆的定义：平面上到顶点的距离等于定长的点的集合。

（根据刚才椭圆的画法及类比圆的定义，归纳得出椭圆的定义。）椭圆的定义：平面上到两个定点F1,F2的距离之和为定值（大于F1F2）的点的集合。

（以上是定义上的对比）

怎样推导椭圆的标准方程呢？（类比圆的标准方程的推导步骤）求动点方程的一般步骤：坐标法

（1）建立适当的直角坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P(M)；（3）用坐标表示P(M)，列数方程；（4）化方程为最简形式。

y♦探讨建立平面直角坐标系的方案yyyF1OOO设P(x, y)是椭圆上任意一点，yF2Ｐ(x , y)xF10F2yMMOF2椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).xF1xxxOP与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c)由椭圆的定义得，限制条件：|PF1||PF2|2a由于得方程|PF1|(xc)2y2,|PF2|(xc)2y2x方案一方案二原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)(对称、“简洁”)(xc)2y2(xc)2y22a（问题：下面怎样化简？）移项，再平方(xc)2y24a24a(xc)2y2(xc)2y2a2cxa两边再平方，得刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程，如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？由椭圆的定义得，限制条件：|PF1||PF2|2a由于得方程|PF1|x2(yc)2,|PF2|x2(yc)2(xc)2y2a42a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2整理得(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)由椭圆定义可知2a2c,即ac,所以x2(yc)2x2(yc)22aa2c20,设a2c2b2(b0),（问题：下面怎样化简？）b2x2a2y2a2b2两边除以a2b2得x2y21(ab0).a2b2椭圆的标准方程x2y21(ab0).a2b2焦点在x轴(xc)2y2(xc)2y22a♦再认识！♦椭圆的标准方程的特点：YMMF1(-c,0)OF2(c,0)XOF1(0,-c)XYF2(0 , c)标准方程x2y2+=1 a>b>0a2b2yPx2y2+=1 a>b>0b2a2yF2Pxx2y21(ab0)a2b2y2x21(ab0)a2b2不同点图形F1OF2xOF1焦点坐标F1-c , 0，F2c , 0F10,-c，F20,c（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。相同点定义a、b、c 的关系焦点位置的判断平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹a2=b2+c2分母哪个大，焦点就在哪个轴上

第五篇：《椭圆及其标准方程》教学设计

《椭圆及其标准方程》教学设计

山西省太原师范学院附属中学 薛翠萍

一、教学内容解析

椭圆的定义是一种发生性定义，教学内容属概念性知识，是通过描述椭圆形成过程进行定义的作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，理应作为本堂课的教学重点 同时，椭圆的标准方程作为今后研究椭圆性质的根本依据，自然成为本节课的另一教学重点

学生对“曲线与方程”的内在联系(数形结合思想的具体表现)仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识

但由于学生比较了解圆的性质，从“曲线与方程”的内在联系角度来看，学生并未真正有所感受

所以，椭圆定义和椭圆标准方程的联系成为了本堂课的教学难点

圆锥曲线是平面解析几何研究的主要对象

圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活和科学技术中有着广泛的应用，而且是今后进一步数学的基础 教科书以椭圆为学习圆锥曲线的开始和重点，并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，可见本节内容所处的重要地位

通过本节学习，学生一方面认识到一般椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为后面利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础

学习过程启发学生能够发现问题和提出问题，善于思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力

二、教学目标设置：

1．知识与技能目标

(1)学生能掌握椭圆的定义 明确焦点、焦距的概念．

(2)学生能推导并掌握椭圆的标准方程．

(3)学生在学习过程中进一步感受曲线方程的概念，体会建立曲线方程的基本方法，运用数形结合的数学思想方法解决问题．

2．过程与方法目标：

(1)学生通过经历椭圆形成的情境感知椭圆的定义并亲自参与归纳．培养学生发现规律、认识规律的能力．

(2)学生类比圆的方程的推导过程尝试推导椭圆标准方程，培养学生利用已知方法解决实际问题的能力．

(3)在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等价转化等数学思想方法．

3．情感态度与价值观目标：

（1）通过椭圆定义的获得让学生感知数学知识与实际生活的密切联系培养学生探索数学知识的兴趣并感受数学美的熏陶．

（2）通过标准方程的推导培养学生观察,运算能力和求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”．

（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识．

三、学生学情分析

1．能力分析

①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程，②对含有两个根式方程的化简能力薄弱．

2．认知分析

①学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤，②学生已经掌握直线和圆的方程,对曲线的方程的概念有一定的了解，③学生已经初步掌握研究直线和圆的基本方法．

3．情感分析

学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究．

四、教学策略分析

教学中通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历 “创设情境——总结概括——启发引导——探究完善——实际应用” 的过程，发现新的知识，又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质．

课堂教学中创设问题的情境，激发学生主动的发现问题解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生思维品质，这是本节课的教学原则．根据这样的原则及所要完成的教学目标，我采用如下的教学方法和手段：

1．引导发现法：用课件演示动点的轨迹，启发学生归纳、概括椭圆定义．

2．探索讨论法：由学生通过联想、归纳把原有的求轨迹方法迁移到新情况中，有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点，发挥其创造性．

这两种方法是适应新课程体系的一种全新教学模式，它能更好地体现学生的主体性，实现师生、生生交流，体现课堂的开放性与公平性．

在教学中适当利用多媒体课件辅助教学，增强动感及直观感，增大教学容量，提高教学质量．

五、教学过程：

（一）复习引入

1．说一说你对生活中椭圆的认识．伴随图片展示使同学们感到椭圆就在我们身边．

意图：（1）、从学生所关心的实际问题引入，使学生了解数学来源于实际．

（2）、使学生更直观、形象地了解后面要学的内容；

2． 手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上同一定点，套上笔拉紧绳子，移动笔尖画出的轨迹是圆．再将这一条定长的细绳的两端固定在画图板上的两定点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆随后动画呈现．

意图：

(1)通过画图给学生提供一个动手操作、合作学习的机会；调动学生学习的积极性

(2)多媒体演示向学生说明椭圆的具体画法，更直观形象．

（二）讲解新课 由学生画图及教师演示椭圆的形成过程，引导学生归纳定义．椭圆定义：

平面内与两个定点的距离之和等于常数2a的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

练习1：已知两个定点坐标分别是(-4,0)、（4，0），动点P到两定点的距离

之和等于8，则P点的轨迹是

练习2：已知两个定点坐标分别是(-4,0)、（4，0），动点P到两定点的距离

之和等于6，则P点的轨迹是

通过两个练习思考：椭圆定义需要注意什么（2a大于

意图：让学生通过练习反思画图，归纳定义，理解定义，突破了重点．

（1）、当2a>|F1F2|时，是椭圆；（2）、当2a=|F1F2|时，是线段；（3）、当2a<|F1F2|轨迹不存在．）

2．根据定义推导椭圆标准方程：

要求

（1）学生在画板上建立适当的坐标系，（2）根据定义推导椭圆的标准方程．

同时引导学生类比圆回顾解析几何研究问题的特点及求轨迹方程步骤

意图：让学生自己去建系推导椭圆的标准方程，给学生较多的思考问题的时间和空间，变“被动”为“主动”，变“灌输简洁美”为“发现简洁美”．教师结合猜想加以引导．化简无理方程为难点通过发现问题解决问题突破难点．

正确推导过程如下：

解：取过焦点

设

则，又设M与

距离之和等于

（）（常数）为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是

（）． 的直线为轴，线段的垂直平分线为

轴，化简，得

由定义义）

令 代入，得，,（学生通过自己画图建系的过程找到的几何意，两边同除得

此即为椭圆的一个标准方程

它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是程

学生思考：若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程

如果椭圆的焦点在轴上（选取方式不同，调换

轴）焦点则变成，中心在坐标原点的椭圆方,只要将方程

中的调换，即可得，也是椭圆的标准方程

请学生观察归纳两个方程的特征，从而区别焦点在不同坐标轴上的椭圆标方程；过程中要渗透数学对称美教学．

理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在个轴上即看 与这两个标准方程中，都有分母的大小 的要求，因而焦点在哪3．精心设计课堂练习使学生在实际应用中进一步巩固知识，运用知识突破重难点：

（1）判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出 的值 ① ；②；③；④

意图：学生感悟椭圆标准方程的结构特点．

（2）椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为）

A．5

B．6 C．4

D．10

意图：学生理解椭圆定义与标准方程关系．

（3）椭圆的焦点坐标是（）

A．(±5，0)

B．(0，±5)C．(0，±12)

意图：学生感悟椭圆标准方程中焦点位置以及a，b，c的关系．

（4）化简方程：

意图：培养学生运用知识解决问题的能力．



．(±12，0)（D