2．1 椭圆 教学设计 教案

第一篇：2．1 椭圆 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

知识与技能

掌握椭圆的定义，掌握椭圆的四种标准方程形式及其对应的焦点、准线． 过程与方法

掌握对椭圆标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法．通过本节课的学习，提高学生观察、类比、分析和概括的能力

情感、态度与价值观

通过本节的学习，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想．

2.教学重点/难点

教学重点：

椭圆的定义及焦点及椭圆标准方程． 教学难点：

在推导椭圆标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系

3.教学用具

多媒体

4.标签

教学过程

教学过程设计

新知探究

探究点一

椭圆的定义 【问题导思】 1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时能在图板上画出一个圆．

如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处(如图)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出什么样的一个图形？

【提示】 椭圆．

2.命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a为常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，且A、B是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的（）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析 若P点的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，且a为常数)，所以命题甲是命题乙的必要条件．

若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，且a为常数)，不能推出P点的轨迹是椭圆． 这是因为：仅当2a>|AB|时，P点的轨迹是椭圆； 而当2a＝|AB|时，P点的轨迹是线段AB； 当2a<|AB|时，P点无轨迹． 所以命题甲不是命题乙的充分条件．

综上可知，命题甲是命题乙的必要不充分条件．

探究点二 椭圆的标准方程

问题1 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．

答案:

(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0)、F2(c,0)．

(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为

问题2建系时如果焦点在y轴上会得到何种形式的椭圆方程？怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？

答案:焦点在y轴上，椭圆方程为

在椭圆的两种标准方程中，总有a>b>0.椭圆的两种标准方程中，如果x2项的分母大，焦点就在x轴上，如果y2项的分母大，则焦点就在y轴上． 问题3椭圆方程中的a、b以及参数c有什么意义，它们满足什么关系？

答案:椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半，叫半焦距．a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.【典例精讲】

题型一

椭圆定义的理解及简单应用

(1)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，则到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是________；

(2)已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的弦DE过焦点F1，若直线DE的倾斜角为α(α≠0)，则△DEF2的周长为()A．64

B．20 C．16

D．随α变化而变化

【解析】(1)由于动点到F1，F2的距离之和恰巧等于F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段F1F2.(2)由椭圆的定义可得：|DF1|＋|DF2|＝2a＝8，|EF1|＋|EF2|＝2a＝8，∴△DEF2的周长为|DF1|＋|DF2|＋|EF1|＋|EF2|＝16，故选C.【答案】(1)线段F1F2(2)C 【小结】1．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭圆的定义可知，集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，a＞0，c＞0，且a，c为常数． 当a＞c时，集合P为椭圆上点的集合； 当a＝c时，集合P为线段上点的集合； 当a＜c时，集合P为空集．

因此，只有|F1F2|＜2a时，动点M的轨迹才是椭圆．

2．注意定义的双向运用，即若|PF1|＋|PF2|＝2a(a＞|F1F2|)，则点P的轨迹为椭圆；反之，椭圆上任意点到两焦点的距离之和必为2a.【变式训练】设F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，过F1的直线与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|的长为________．

【解析】 因为|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，所以2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，又由椭圆的定义知：|AF2|＋|AF1|＋|BF2|＋|BF1|＝4，即|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4，所以3|AB|＝4，即|AB|＝

【答案】

题型二

求椭圆的标准方程

例2(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点求它的标准方程；

(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程，并写出焦点坐标 解

(1)方法一 因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

当椭圆的焦点在y轴上时，方法二 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． ∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，【小结】1．求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法，即先由条件确定焦点位置，设出方程，再设法求出a2，b2代入所设方程，也可以简记为：先定位，再定量．

2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)和焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的． [变式训练]

(1)已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q(2,1)且与椭圆有公共的焦点，求椭圆的标准方程；

(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过

两点，求椭圆的标准方程．

解析：

(1)由已知的椭圆方程知：所求的椭圆的焦点在x轴上，设方程为

(2)由已知，设椭圆的方程是Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，故

即所求的椭圆标准方程是

题型三

求与椭圆有关的轨迹方程

例3.求过点P(3,0)且与圆x2＋6x＋y2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程． 【解析】将点(3,0)代入x2＋6x＋y2－91＝－64＜0，所以点P在圆内，圆方程配方整理得(x＋3)2＋y2＝102，圆心为C1(－3,0)，半径为R＝10.设所求动圆圆心为C(x，y)，半径为r，依题意有＝|CC1|⇒|PC|＋|CC1|＝R，即|PC|＋|CC1|＝10.又P(3,0)，C1(－3,0)，且|PC1|＝6＜10.可见动圆圆心C的轨迹是以P，C1为两焦点的椭圆，且c＝3,2a＝10，所以a＝5，从而b＝4，故所求的动圆圆心的轨迹方程为

消去r得R－|PC|【小结】利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤

【变式训练】已知(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P点，则动点P的轨迹方程为________．

【解析】 如图，依题意知|PA|＝|PB|，所以|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝2，所以点P的

当堂检测

1．设P是椭圆|PF2|等于()的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋A．4

B．8

C．6

D．18 【解析】 依定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.【答案】 C 2．一椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程()【解析】 由题意c＝8，a＝10且焦点在y轴上，∴b2＝a2－c2＝100－64＝36，∴方程为

【答案】 C

3.已知方程范围为__________．

表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值4．已知一椭圆标准方程中b＝3，c＝4，求此椭圆的标准方程． 【解】 ∵b2＝9，c2＝16，∴a2＝b2＋c2＝25.∵此椭圆的焦点不确定，∴标准方程为

课堂小结

1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；

当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．

2．求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．

3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.板书

第二篇：2.2椭圆 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

1.知识目标：

(1).使学生掌握椭圆的性质，能根据性质正确地作出椭圆草图；掌握椭圆中a、b、c的几何意义及相互关系；

(2)通过对椭圆标准方程的讨论，使学生知道在解析几何中是怎样用代数方法研究曲线性质的，逐步领会解析法（坐标法）的思想。

(3)能利用椭圆的性质解决实际问题。2.能力目标：

培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决 实际问题的能力。3.德育目标：

(1)通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，使学生领悟其中所蕴涵 的数学思想和数学方法，体验探索中的成功和快乐，使学生在探索中喜欢数学、欣赏数学。

(2)通过“神舟7号”飞天圆梦，激发学生爱国之情。

(3)培养学生既能独立思考，又能积极与他人合作交流的意识和勇于探索创新的精神。

2.教学重点/难点

重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法。

难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点。

3.教学用具

多媒体课件、实物投影仪。

4.标签

教学过程

教学过程设计

（一）复习回顾

1.椭圆的定义：到两定点F1、F2的距离和为常数（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆。

2.若|MF1|+ |MF2|=2a（2a是常数）

当2a>|F1F2|时，点M的轨迹是________；（椭圆）当2a=|F1F2|时，点M的轨迹是________；（线段FF）当2a<|F1F2|时，点M的轨迹是________.（不存在）3.标准方程 焦点在x轴上时：

焦点在y轴上时：

求椭圆标准方程的方法：----------待定系数法.求椭圆标准方程的步骤：

(1)确定焦点位置，设椭圆的标准方程

(2)求a,b（常建立方程组）

(3)下结论

4.方程中a,b,c之间的关系：a2=b2+c2 思考回答下面问题

1.判断下列方程是否表示椭圆,若是, 求出 a, b, c.（5）若_______

表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是回答：（1）不是；（2）是，a=2，b=c=c=（5）(-16,4)∪(4,24)

；（3）不是；（4）是，a=3，b=2，2.若动点M到F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为2,则M的轨迹是__（线段F1F2）复习检测 1.已知椭圆=_________;2.已知椭圆，它上点P到F1的距离为6，则|PF2|=________;，则a=_____,c=______,焦点___________,焦距3.椭圆的焦距2，则m=_____________.4.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）与椭圆

（2）经过点P1（共焦点，且过点M（0，-2）； ,1), P2(,).解答：（1）10,8，（0,8），（0，-8）,16；（2）14；（3）5或3；

（4）

（二）创设情境

我们知道，飞船绕地运行了十四圈，在变轨前的四圈中，是沿着以地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行的。如果告诉你飞船飞离地球表面最近和最远的距离，即近地点距地面的距离和远地点距地面的距离，如何确定飞船运行的轨道方程？要想解决这一实际问题，就有必要对椭圆做深入的研究，这节课我们就一起探求椭圆的性质。（引出课题）

（三）探索研究 1.范围

教师：同学们继续观察椭圆，如果分别过A1、A2作y轴的平行线，过B1、B2作x轴的平行线（课件展示），同学们能发现什么？ 学生能答出：椭圆围在一个矩形内。

教师补充完整：椭圆位于四条直线x=±a, y=±b所围成的矩形里，说明椭圆是有范围的。

教师：下面我们想办法再用方程

来证明这一结论的正确性。启发学生，用方程讨论图形的范围就是确定方程中x、y的取值范围。从方程的结构特点出发，师生共同分析，给出证明过程。由，利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得，x2≤a2且y2≤b2,则有｜x｜≤a,｜y｜≤b, 所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。

设计意图：从“直观图形”与“方程思想”两个不同的角度研究椭圆范围 2．对称性的发现与证明

教师：椭圆的图形给人们以视觉上的美感（课件展示椭圆），如果我们沿焦点所在的直线上下对折，沿两焦点连线的垂直平分线左右对折，大家猜想椭圆可能有什么性质？（学生动手折纸，课前教师要求学生把上节学习椭圆定义时画的椭圆拿来。）学生们基本上能发现椭圆的轴对称性。

教师：除了轴对称性外，还可能有什么对称性呢？ 稍作提示容易发现中心对称性。

教师：这仅仅是由观察、猜想得到的结果，怎样用方程证明它的对称性？ 设计意图：让学生先从直观上认识椭圆的对称性，然后再用方程证明其对称性。提出问题

①把x换成-x，方程变吗？说明图象关于什么对称？

②把y换成-y，方程变吗？说明图象关于什么对称？

③把x换成-x，y换成-y，方程变吗？说明图象关于什么对称？ 得出重要结论：

（1）用方程f(x,y)=0判定图像对称性的方法：①把x换成-x；或用（-x,y）代f(x,y)=0,方程不变，图象关于y轴对称；②把y换成-y；或用（x,-y）代f(x,y)=0,方程不变，图象关于x轴对称；③把x换成-x，y换成-y，或用（-x,-y）代f(x,y)=0,方程不变,？图象关于关于原点成中心对称

（2）椭圆图象的对称性：椭圆图象关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称

投影显示下图及问题

问题：椭圆的对称轴一定时x轴、y轴吗，对称中心一定是原点吗？图中的椭圆有对称轴和中心吗？

指导学生思考讨论后获取共识：坐标系是用来研究曲线的重要工具，而椭圆的对称性是椭圆本身固有的性质，无论椭圆在坐标系的什么位置，它都有两条互相垂直的对称轴，有一个中心，与坐标系的选取无关。（此问题也为后面研究平移变换埋下伏笔）。小试身手1 已知点P(3,6)在椭圆(A)点(-3,-6)不在椭圆上；

(B)点(-3,6)不在椭圆上；(C)点(3,-6)在椭圆上；

(D)无法判断点(-3,-6),(3,-6),(-3,6)是否在椭圆上 3.顶点的发现与确定

教师：我们研究曲线，常常需要根据曲线上特殊点的位置来确定曲线的位置。教师提问：你认为椭圆上哪几个点比较特殊？

由学生观察容易发现，椭圆上存在着四个特殊点，这四个点就是椭圆与坐标轴的交点，同时也是椭圆与它的对称轴的交点。

教师启发学生与一元二次函数的图像（抛物线）的顶点作类比，并给出椭圆的顶点定义。

教师：能根据方程确定这四个顶点的坐标吗？

由学生自主探究,求出四个顶点坐标。即令x=0,得 y=±b，因此B1(0,-b), B2(0,b)，令y=0，得x=±a，因此A1(-a,0), A2(a,0)。

结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，半焦距，点明方程中a、b和c的几何意义和数量关系。

由学生探究得出椭圆的一个焦点F2到长轴两端点A1 , A2的距离分别为a+c和a-c。教师指出，这在解决天体运行中的有关实际问题时经常用到。小试身手2 说出椭圆范围：4．离心率

教师：我们在学习椭圆定义时，用同样长的一条细绳画出的椭圆形状一样吗？ 的范围,长轴长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:

上，则（C）同学们能回答出：不一样，有的圆一些，有的扁一些。请同学们思考：椭圆的圆扁程度究竟与哪些量有关呢？

此时学生展开讨论，可能有的说与a、c有关，也可能说与a、b有关等等。通过观察演示实验，化抽象为具体，引导学生思考。

教师引导学生从演示实验观察到由于椭圆位于直线x=±a,y=±b围成的矩形里，矩形的变化对椭圆形状的影响。

矩形越狭长，椭圆越扁；矩形越接近于正方形，椭圆越接近于圆；当矩形变为正方形时，即a=b时,椭圆变为圆。即当比值越小，椭圆越扁；比值

越大，椭圆越接近于圆。

由于扁；当越小时，所以当越大时，越小，椭圆越

越大，椭圆越接近于圆。把比值e=叫椭圆的离心率，分析出离心率的范围：0＜e＜1。

结论：椭圆在-a＜x＜a，-b＜x＜b内，离心率e越大，它就越扁；离心率e越接近于0，它就越接近于圆。所以说离心率是描述椭圆圆扁程度的量。小试身手3 3.比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁?

思考：焦点在y轴上的几何性质如何呢？ 总结椭圆的几何性质，填写下表

（四）巩固与创新应用

为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1 例1

.已知椭圆16x2+25y2=400，它的长轴长是：

，短轴长是：

，焦距是：，离心率等于：

，焦点坐标是：，顶点坐标是：

，外切矩形的面积等于：。

解析：先把方程化为标准方程，a=5,b=4,c=3

长轴长：10，短轴长：8，焦距：6离心率：3/5焦点坐标：（-3,0）（3,0）

顶点坐标：（-5,0）（5,0）（0，-4）（0,4）面积是：80 练习1.已知椭圆方程为6x²+y²=6 它的长轴长是：

。短轴长是：

。焦距是：

。离心率等于：

。焦点坐标是：

。顶点坐标是：

。外切矩形的面积等于：

。解析：先把方程化为标准方程，a=,b=1,c=

长轴长：2点坐标：（0，-）（0，,短轴长：2，焦距：2）

离心率：，焦

顶点坐标：（-1,0）（1,0）（0，-4）（0,）面积是：例2 椭圆的一个顶点为A（2,0）,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

解析：椭圆的标准方程为

或

.练习2.已知椭圆的离心率，求k的值。

解答：当椭圆的焦点在x轴上时，k=4

当椭圆的焦点在y轴上时，例3.已知椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在y轴,长轴是短轴的2倍,焦距为2,离心率为，求椭圆的方程。

解析：由题可得：设椭圆方程为，因为2a=4b,2c=2,e=,b= ,又因为a2=b2+c2,所以c=1,a=

所以椭圆方程为：

1)练习3.已知椭圆的方程为x2+m2y2=m2，m>0且m

0

m>1 时 它的长轴长是： 2m

;

它的长轴长是：

;

短轴长是：

;

短轴长是： 2m

;

例4.我国发射的“神舟七号”飞船在变轨前是沿以地球的中心F2为一个焦点的椭圆轨道运行的。已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面约为200km,远地点B（离地面最远的点）距地面约为350km，地球半径为6371km并且F2、A、B在同一直线上，求飞船运行的轨道方程。（结果精确到0.01km）设置本题的主要意图是:第一,为增强学生的数学应用意识和运用数学知识解决实际问题的能力；第二，为满足中等及中等以上层次学生的学习需求。

师生共同分析：先把实际问题转化为数学问题。（求神舟五号飞船的轨道方程，就是求椭圆的方程）。

教师：求椭圆的方程又需要先做什么呢？（建立坐标系）。

怎样建系？（以过A、B的直线为x轴，F2为椭圆的右焦点，记F1为左焦点建立如图所示的直角坐标系（课件上作图、建系）则它的标准方程为

下面确定a、b的值，题中提供的信息是近地点、远地点到地面的距离以及地球的半径，由这些条件我们可以知道些什么呢？

学生对照图形认真思考，相互讨论由学生得出解法。｜F2A｜=6371+200，｜F2B｜=6371+350 又∵｜F2A｜=｜oA｜-｜oF2｜=a-c 因此,有 a-c=｜oA｜-｜oF2｜=｜F2A｜=6371+200=6571 同理,得 a+c=｜o B｜+｜oF2｜=｜F2B｜=6371+350=6721 解得

a=6646，c=75 b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=44163691≈6645.582 因此，飞船的轨道方程为计算过程由学生用计算器求得。

教师最后课件展示：用计算机画出飞船运行的轨迹。

课堂小结

本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。

布置学生最后小结下列表格：

课后习题

1.在下列方程所表示的曲线中，关于x轴，y轴都对称的是（D）A.x2=4y

B.x2+2xy+y=0

C.x2-4y2=5x D.9x2+y2=4 2.椭圆以坐标轴为对称轴，离心率，长轴长为6,则椭圆的方程为（C）

3.若椭圆的一个焦点与短轴的两端点构成一个正三角形，则椭圆的离心率为（）

4.求符合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)经过点(-3,0)、(0,-2);

(2)长轴的长等于20,离心率等于0.6 解答：

板书

第三篇：椭圆及其标准方程(第1课时)教学设计

椭圆及其标准方程（第1时）教学设计

一、教材内容分析

本节是整个解析几何部分的重要基础知识。这一节是在《直线和圆的方程》的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆几何性质的基础，同时还为后面学习双曲线和抛物线作好准备。它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，所以椭圆是学生学习解析几何由浅入深的一个台阶，它在整章中具有承前起后的作用。

二、学情分析

高中二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应知识基础，所以他们乐于探索、敢于探究。但高中生的逻辑思维能力尚属经验型，运算能力不是很强，有待于训练。

基于上述分析，我采取的是“创设问题情景-----自主探索研究-----结论应用巩固”的一种研究性教学方法，教学中采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。使学生真正成为堂的主体。

三、设计思想、把章头图和引言用微机以影像、录音和图片的形式给出，生动体现出数学的实用性；

2、进行分组实验，让学生亲自动手，体验知识的发生过程，并培养团队协作精神；

3、利用《几何画板》进行动态演示，增加直观性；

四、教学目标

、知识与技能目标：

理解椭圆定义、掌握标准方程及其推导。

2、过程与方法目标：注重数形结合，掌握解析法研究几何问题的一般方法，注重探索能力的培养。

3、情感、态度和价值观目标：

探究方法激发学生的求知欲，培养浓厚的学习兴趣。

进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学习。

五、教学的重点和难点

教学重点：椭圆定义的理解及标准方程的推导。

教学难点：标准方程的推导。

四、说教学过程

（一）、创设情景，导入新。（3分钟)、利用微机放映“彗星运行”资料片，引入题——椭圆及其标准方程。

2、提问：同学们在日常生活中都见过哪些带有椭圆形状的物体？对学生的回答进行筛选，并利用微机放映几个例子的图片。

设计意图：通过观看影音资料，一方面使学生简单了解椭圆的实际应用，另一方面产生问题意识，对研究椭圆产生心理期待。通过图片、实物，吸引学生的注意力，提高参与程度，为后续学习做好准备。从而激发学生的学习积极性和参与热情。

（二）、动画演示，探索研究

或

设问：①两种方程有何异同？

②怎样根据条确定焦点的位置？

设计意图：

1、通过方程的推导，学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。培养学生的发现、探究、研究能力；

2、设置问题，引导学生独立思考、使之成为知识的发现者；

3、鼓励学生富于个性化的理解和表达。

、操作演练、拓展思维（分钟）

例题:求适合下列条的椭圆的方程：

①、两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10。

②、两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10。

③、焦距为8，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10。

设计意图：学以致用，运用研究成果解决问题，并通过变式训练，质疑讨论、师生互动，培养学生乐于动手、勇于实践的能力。通过变式训练来强化概念，开拓学生的思维，训练学生思维的严谨性。深化知识点的掌握，突出重点、难点。

练习1：已知椭圆的标准方程为，为椭圆上的一点，到一个焦点的距离是3，则它到另一个焦点的距离等于。

练习2：下列各组椭圆中,其焦点相同的是:

A、与

B、与

、与

D、与

练习3：已知椭圆，、是它的焦点，AB是过的直线被椭圆截得的线段长，求△的周长。

练习4：求适合下列条的椭圆的标准方程：

焦点坐标为、，a=;

焦点在x轴上,焦距等于4,并且经过点P;

设计意图：练习一是填空题，设计此题的目的让学生加深对椭圆的定义的理解，以便更好的夯实基础知识；练习二是选择题，融入相对练习一较多的知识点，渗透类比思想，让学生从不同的角度分析、补充，强化学生的发散思维、培养学生的创新意识；练习三、四则是练习一与二的有机综合，充分渗透数形结合思想，较好的提高了学生的综合能力，从中感受数学的魅力。也为下一节的进一步提高作了铺垫。

（五）堂总结，完善认知（1分钟)

一个概念：椭圆：

二个方程：；；

三个意识：求美意识；求简意识；猜想的意识。

四个思想：数形结合、类比、方程、转化与化归

设计意图：培养归纳、概括能力，并巩固研究成果。同时，通过小结，使学生理清这节的重难点，深化对基本概念，基本理论的理解，同时培养学生宏观掌握知识的能力，为进一步学习打下坚实的基础。

（六）布置作业，巩固提高：

、教材96页——习题81第3、4题

2、后实践操作题：一束光线垂直于一个墙面，将一圆形纸板置于光源与墙面之间，墙面上会出现纸板的影子，变化纸板与光线的角度，观察影子会出现哪些不同的形状？

设计意图：使学生探究、思考、实践的过程延伸到后。体现分层教学的思想，提高学生的学习积极性，使各层次的学生都找到各自的学习区，进一步完善教学目标的实现。

（七）板书设计

8．1椭圆及其标准方程

、椭圆的定义

2、有关概念

3、标准方程

（1）焦点在轴上

（2）焦点在轴上

标准方程的推导过程书写

例1：（写要点）

变式1：（写要点）

变式2：

（1）详写

（2）写关键步骤

第四篇：椭圆标准方程教学设计

椭圆标准方程推导教学设计

类比的思想学：新旧知识的类比。

引入：自然界处处存在着椭圆，我们如何用自己的双手精确的画出椭圆呢？

回忆圆的画法：一个钉子，一根绳子，钉子固定，绳子的一端系于钉子上，抓住绳子的另一端，固定绳子的长度，绕钉子旋转一圈就得到圆。

下面我们介绍椭圆的画法：找两个钉子和一根绳子，把两个钉子固定，两个钉子的距离小于绳子的长度，把绳子的两端分别系在两个钉子上，绷紧绳子旋转一周就得到椭圆。（以上是画法上的对比）

回忆圆的定义：平面上到顶点的距离等于定长的点的集合。

（根据刚才椭圆的画法及类比圆的定义，归纳得出椭圆的定义。）椭圆的定义：平面上到两个定点F1,F2的距离之和为定值（大于F1F2）的点的集合。

（以上是定义上的对比）

怎样推导椭圆的标准方程呢？（类比圆的标准方程的推导步骤）求动点方程的一般步骤：坐标法

（1）建立适当的直角坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P(M)；（3）用坐标表示P(M)，列数方程；（4）化方程为最简形式。

y♦探讨建立平面直角坐标系的方案yyyF1OOO设P(x, y)是椭圆上任意一点，yF2Ｐ(x , y)xF10F2yMMOF2椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).xF1xxxOP与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c)由椭圆的定义得，限制条件：|PF1||PF2|2a由于得方程|PF1|(xc)2y2,|PF2|(xc)2y2x方案一方案二原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)(对称、“简洁”)(xc)2y2(xc)2y22a（问题：下面怎样化简？）移项，再平方(xc)2y24a24a(xc)2y2(xc)2y2a2cxa两边再平方，得刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程，如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？由椭圆的定义得，限制条件：|PF1||PF2|2a由于得方程|PF1|x2(yc)2,|PF2|x2(yc)2(xc)2y2a42a2cxc2x2a2x22a2cxa2c2a2y2整理得(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)由椭圆定义可知2a2c,即ac,所以x2(yc)2x2(yc)22aa2c20,设a2c2b2(b0),（问题：下面怎样化简？）b2x2a2y2a2b2两边除以a2b2得x2y21(ab0).a2b2椭圆的标准方程x2y21(ab0).a2b2焦点在x轴(xc)2y2(xc)2y22a♦再认识！♦椭圆的标准方程的特点：YMMF1(-c,0)OF2(c,0)XOF1(0,-c)XYF2(0 , c)标准方程x2y2+=1 a>b>0a2b2yPx2y2+=1 a>b>0b2a2yF2Pxx2y21(ab0)a2b2y2x21(ab0)a2b2不同点图形F1OF2xOF1焦点坐标F1-c , 0，F2c , 0F10,-c，F20,c（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。相同点定义a、b、c 的关系焦点位置的判断平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹a2=b2+c2分母哪个大，焦点就在哪个轴上

第五篇：《椭圆及其标准方程》教学设计

《椭圆及其标准方程》教学设计

山西省太原师范学院附属中学 薛翠萍

一、教学内容解析

椭圆的定义是一种发生性定义，教学内容属概念性知识，是通过描述椭圆形成过程进行定义的作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，理应作为本堂课的教学重点 同时，椭圆的标准方程作为今后研究椭圆性质的根本依据，自然成为本节课的另一教学重点

学生对“曲线与方程”的内在联系(数形结合思想的具体表现)仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识

但由于学生比较了解圆的性质，从“曲线与方程”的内在联系角度来看，学生并未真正有所感受

所以，椭圆定义和椭圆标准方程的联系成为了本堂课的教学难点

圆锥曲线是平面解析几何研究的主要对象

圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活和科学技术中有着广泛的应用，而且是今后进一步数学的基础 教科书以椭圆为学习圆锥曲线的开始和重点，并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，可见本节内容所处的重要地位

通过本节学习，学生一方面认识到一般椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为后面利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础

学习过程启发学生能够发现问题和提出问题，善于思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力

二、教学目标设置：

1．知识与技能目标

(1)学生能掌握椭圆的定义 明确焦点、焦距的概念．

(2)学生能推导并掌握椭圆的标准方程．

(3)学生在学习过程中进一步感受曲线方程的概念，体会建立曲线方程的基本方法，运用数形结合的数学思想方法解决问题．

2．过程与方法目标：

(1)学生通过经历椭圆形成的情境感知椭圆的定义并亲自参与归纳．培养学生发现规律、认识规律的能力．

(2)学生类比圆的方程的推导过程尝试推导椭圆标准方程，培养学生利用已知方法解决实际问题的能力．

(3)在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等价转化等数学思想方法．

3．情感态度与价值观目标：

（1）通过椭圆定义的获得让学生感知数学知识与实际生活的密切联系培养学生探索数学知识的兴趣并感受数学美的熏陶．

（2）通过标准方程的推导培养学生观察,运算能力和求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”．

（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识．

三、学生学情分析

1．能力分析

①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程，②对含有两个根式方程的化简能力薄弱．

2．认知分析

①学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤，②学生已经掌握直线和圆的方程,对曲线的方程的概念有一定的了解，③学生已经初步掌握研究直线和圆的基本方法．

3．情感分析

学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究．

四、教学策略分析

教学中通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历 “创设情境——总结概括——启发引导——探究完善——实际应用” 的过程，发现新的知识，又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质．

课堂教学中创设问题的情境，激发学生主动的发现问题解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生思维品质，这是本节课的教学原则．根据这样的原则及所要完成的教学目标，我采用如下的教学方法和手段：

1．引导发现法：用课件演示动点的轨迹，启发学生归纳、概括椭圆定义．

2．探索讨论法：由学生通过联想、归纳把原有的求轨迹方法迁移到新情况中，有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点，发挥其创造性．

这两种方法是适应新课程体系的一种全新教学模式，它能更好地体现学生的主体性，实现师生、生生交流，体现课堂的开放性与公平性．

在教学中适当利用多媒体课件辅助教学，增强动感及直观感，增大教学容量，提高教学质量．

五、教学过程：

（一）复习引入

1．说一说你对生活中椭圆的认识．伴随图片展示使同学们感到椭圆就在我们身边．

意图：（1）、从学生所关心的实际问题引入，使学生了解数学来源于实际．

（2）、使学生更直观、形象地了解后面要学的内容；

2． 手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上同一定点，套上笔拉紧绳子，移动笔尖画出的轨迹是圆．再将这一条定长的细绳的两端固定在画图板上的两定点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆随后动画呈现．

意图：

(1)通过画图给学生提供一个动手操作、合作学习的机会；调动学生学习的积极性

(2)多媒体演示向学生说明椭圆的具体画法，更直观形象．

（二）讲解新课 由学生画图及教师演示椭圆的形成过程，引导学生归纳定义．椭圆定义：

平面内与两个定点的距离之和等于常数2a的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

练习1：已知两个定点坐标分别是(-4,0)、（4，0），动点P到两定点的距离

之和等于8，则P点的轨迹是

练习2：已知两个定点坐标分别是(-4,0)、（4，0），动点P到两定点的距离

之和等于6，则P点的轨迹是

通过两个练习思考：椭圆定义需要注意什么（2a大于

意图：让学生通过练习反思画图，归纳定义，理解定义，突破了重点．

（1）、当2a>|F1F2|时，是椭圆；（2）、当2a=|F1F2|时，是线段；（3）、当2a<|F1F2|轨迹不存在．）

2．根据定义推导椭圆标准方程：

要求

（1）学生在画板上建立适当的坐标系，（2）根据定义推导椭圆的标准方程．

同时引导学生类比圆回顾解析几何研究问题的特点及求轨迹方程步骤

意图：让学生自己去建系推导椭圆的标准方程，给学生较多的思考问题的时间和空间，变“被动”为“主动”，变“灌输简洁美”为“发现简洁美”．教师结合猜想加以引导．化简无理方程为难点通过发现问题解决问题突破难点．

正确推导过程如下：

解：取过焦点

设

则，又设M与

距离之和等于

（）（常数）为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是

（）． 的直线为轴，线段的垂直平分线为

轴，化简，得

由定义义）

令 代入，得，,（学生通过自己画图建系的过程找到的几何意，两边同除得

此即为椭圆的一个标准方程

它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是程

学生思考：若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程

如果椭圆的焦点在轴上（选取方式不同，调换

轴）焦点则变成，中心在坐标原点的椭圆方,只要将方程

中的调换，即可得，也是椭圆的标准方程

请学生观察归纳两个方程的特征，从而区别焦点在不同坐标轴上的椭圆标方程；过程中要渗透数学对称美教学．

理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在个轴上即看 与这两个标准方程中，都有分母的大小 的要求，因而焦点在哪3．精心设计课堂练习使学生在实际应用中进一步巩固知识，运用知识突破重难点：

（1）判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出 的值 ① ；②；③；④

意图：学生感悟椭圆标准方程的结构特点．

（2）椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为）

A．5

B．6 C．4

D．10

意图：学生理解椭圆定义与标准方程关系．

（3）椭圆的焦点坐标是（）

A．(±5，0)

B．(0，±5)C．(0，±12)

意图：学生感悟椭圆标准方程中焦点位置以及a，b，c的关系．

（4）化简方程：

意图：培养学生运用知识解决问题的能力．



．(±12，0)（D