解析法证明平面几何题—高二中数学竞赛讲座（大全5篇）

第一篇：解析法证明平面几何题—高二中数学竞赛讲座

【高中数学竞赛讲座2】

解析法证明平面几何

解析法，就是用解析几何的方法来解题，将几何问题代数化后求解，但代数问题未必容易，采用解析法就必须有面对代数困难的准备，书写必须非常规范．

解析法的主要技巧：

1．尽量化为简单的代数问题，尽量利用对称性建系，选择恰当的坐标系与便于使用的方程形式；

2．运用各种代数技巧（巧妙消元，利用行列式等）不能一味死算．

例

1、证明：任意四边形四条边的平方和，等于两条对角线的平方和，在加上对角线中点连线的平方的4倍．

例

2、给定任一锐角三角形ABC及高AH，在AH上任取一点D,连结BD并延长交AC 与E,又连CD且延长交AB于F.证明：∠AHE=∠AHF．

AB1AC1，u．再在B1C1上ABAC

BDBDm取点D1,使11（，u，m，n都是实数）．延长A1D交BC于D，求． DCD1C1n例

3、在ABC的边AB上取点B1,AC取点C1,使

例

4、如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证： MQ∥NP．

例

5、[29届IMO]在RtABC中，AD是斜边上的高，M、N分别是ABD与ACD与的内心，连接MN并延长分别交AB与AC于K及L．求证明、：SABC2SAKL．

课后拓展训练与指导

钻研《教程》293~302例

1、例

2、例

3、例

7、例8

思考并完成《高二教程》303练习题

补充几道题目，请尝试用解析法研究

1、（2005全国联赛二试）在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．

C

D

GH

K

B AF2、（全国高中联赛二试）如图，圆O1和圆O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求P 证直线PA与BC垂直．

O1。O

2C E B3、（20届IMO）在ABC中，ABAC，有一圆内切ABC的外接圆，与AB 与AC分别相切于点P和Q．求证：P和Q连线中点是ABC的圆圆心．

第二篇：解析法证明平面几何经典问题--举例

五、用解析法证明平面几何问题----极度精彩！充分展现数学之美感！何妨一试？

例

1、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引两条直线分别交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）

B N

（例1图）（例2图）

例

2、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

求证：∠DEN＝∠F．

【部分题目解答】

例

1、(难度相当于高考压轴题)

如图，以MN为x轴，A为原点，AO为Y轴建立坐标系，设圆的方程为：x2(y-a)2r2,设直线AB的方程为：ymx,直线AD的方程为：ynx,点B(x1,y1)、C(x2，y2)；

D(x

3，y3)、E(x4，y4)；则B、C222x(y-a)r,消去y得：（1m2)x2-2amxa2-r2{ymx2ama2-r

2由韦达定理知：x1x22;x1x22,m1m12ana2-r2

同理得：x3x42;x3x42, n1n1直线CD方程为：y-y2y2-y3(x-x2), x2-x

3x3y2-x2y3, y2-y3由此得Q点横坐标：xQ

同理得P点横坐标：xPx1y4-x4y1 ,y4-y

1xy-xyxy-xy故，要证明APAQ，只需证明：xQ-xP3223-1441, y2-y3y4-y1

即证明：（x3y2-x2y3）（y4-y1）（-x1y4-x4y1）（y2-y3）

将上式整理得：y3y4(x1x2)y1y2(x3x4)x1y2y4x2y1y3x3y2y4x4y1y3

注意到：y1mx1,y2mx2;y3nx3,y4nx4，代入整理得：

左边m2x1x2(x3x4)n2x3x4(x1x2),右边mn[x1x2(x3x4)x3x4(x1x2)] 把上述韦达定理的结论代入得：

22a2-r22an2am2amn(a2-r2)(mn)2a-r左边m22n22 22m1n1n1m1(m1)(n1)2

a2-r22ana2-r22am2amn(a2-r2)(mn)右边mn(2)m1n21n21m21(m21)(n21)

可见：左边=右边，故xQ-xP，即APAQ.证毕！

【此题充分体现：化归思想、设而不求思想方法、数形结合方法、以及分析计算的能力】 标系.例

2、分析：如右图，建立坐

总体思路：设点A、B、C、D坐标后，求出直线AD、从而求出两个角度的正切值，证明这两个角度问题的关键是：如何设点C、D而C、D两点是相互独立运动的，故把点C、D设AD=BC= r，则C点可以看作是以B为圆心，r上的动点，类似看待D点，故，设

C(arcosθ,rsinθ)、D(-arcos,rsin), 从而得N(cosθcossinθsin,)22

易得：kBCtan,kADtan【此处充分展现了圆的,参数方程的美妙之处】kMN

sinθsintan;cosθcos2

第三篇：高考数学证明法高二

數學证明法（高二）

明确复习目标

1．理解不等式的性质和证明;

2．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。

建构知识网络

1.比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：

（1）比差法：步骤是：①作差；②分解因式或配方；③判断差式符号；

（2）比商法：要证a>b且b>0，只须证 a1。b

说明：①作差比较法证明不等式时，通常是进行通分、因式分解或配方，利用各因式的符号或非负数的性质进行判断；

②证幂、乘积的不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。运用比商法时必须确定两式的符号；

2.综合法：利用某些已经证明过的不等式（如均值不等式，常用不等式，函数单调性）作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式的方法。

3.分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程

4．对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法,或比较法加以证明。

5.要掌握证明不等式的常用方法，此外还要记住一些常用不等式的形式特点,运用条件,等号、不等号成立的条件等。

经典例题做一做

【例1】（1）已知a,b∈R,求证:a2+b2+1>ab+a

a

22b22（2）设a0,b0,求证()()a2b2.ba

【例2】已知a+b+c=0，求证：ab+bc+ca≤0.111

1【例3】已知ABC的三边长为a,b,c,且m为正数.求证:abc.ambmcm

【例4】设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的两根x1、x2满足1＜x1＜x2＜1.a

（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f（x）＜x1；

（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证x0＜x1.2【研讨.欣赏】已知a＞1，m＞0，求证：loga（a+m）＞loga+m（a+2m）.提炼总结以为师

1.比较法是一种最重要的、常用的基本方法，其应用非常广泛，一定要熟练掌握.步骤是：作差→变形(分解因式或配方)→判断符号.对于积或幂的式子可以作商比较,作商比较必须弄清两式的符号.2.对较复杂的不等式需要用分析法,分析使不等式成立的充分条件,再证这个条件(不等式)成立.3.综合法是最简捷明快的方法,常需用分析法打前站,用分析法找路,综合法写出.有时也需要几种方法综合运用.4.要熟练掌握均值不等式、四种平均值之间的关系，记住一些常用的不等式，记住它们的形式特点、证明方法和内在联系。

【解答题】

y11x7.(1)已知a、b、x、y∈R+且＞，x＞y.求证：＞ abxayb

(2)若a＞0，b＞0，a3+b3=2．求证a+b≤2，ab≤1．

8．己知a,b,c都是正数，且a,b,c成等比数列，求证：a2b2c2(abc)2.9.设x>0,y>0且x≠y,求证xy3133x2y



附錄：不等式基本概念

一．考试要求：

(1)理解不等式的性质及其证明.(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单不等式.(4)掌握简单不等式的解法.(5)理解│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

【注意】不等式在数学的各个分支中都有广泛的应用，同时还是继续学习高等数学的基础.纵观历年试题，涉及不等式内容的考题大致可分为以下几类：①不等式的证明；②解不等式；③取值范围的问题；④应用题.三．基础知识:

1.常用不等式：

（1）a,bRab2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2

2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2

333（3）abc3abc(a0,b0,c0).（2）a,b

R

（4）柯西不等式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.（5）ababab.2.极值定理

已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p；

（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值

3.一元二次不等式axbxc0(或0)212s.4(a0,b24ac0)，22如果a与axbxc同号，则其解集在两根之外；如果a与axbxc异号，则其解

集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；

xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).4.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有

xax2aaxa.xax2a2xa或xa.5.指数不等式与对数不等式

(1)当a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.f(x)g(x)

(2)当0a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)

三．基本概念

1、不等式的性质：

（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若ab,cd，则acbd（若ab,cd，则acbd），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若ab0,cd0，则acbd

若ab0,0cd，则ab； cd

nn（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若ab0，则a

b

（4）若ab0，ab，则1111；若ab0，ab，则。abab

2.不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

3.利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。

4.常用不等式有：

(根据目标不等式左右的运算结构选用)；（1222（2）a、b、cR，abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）；

bbm（3）若ab0,m0，则（糖水的浓度问题）。aam5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有：11111112 nn1n(n1)nn(n1)n1n

6.简单的一元高次不等式的解法：

标根法：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；

（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；

（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。

7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

8.绝对值不等式的解法：

（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：

（2）利用绝对值的定义；

（3）数形结合9、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是„”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；

（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。

11.含绝对值不等式的性质：

a、b同号或有

0|ab||a||b|||a||b|||ab|；

a、b异号或有

0|ab||a||b|||a||b|||ab|.12.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）

1).恒成立问题

若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxminA

若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB

第四篇：高二数学构造函数法在不等式证明中运用

构造函数法在不等式证明中运用

作者：酒钢三中 樊等林

不等式的证明历来是高中数学的难点，也是考察学生数学能力的主要方面。不等式的证明方法多种多样，根据所给不等式的特征，巧妙的构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式、函数的奇偶性、单调性、有界性等来证明不等式，统称为函数法。本文通过一些具体的例子来探讨一下怎样借助构造函数的方法证明不等式。

一、构造函数利用判别式证明不等式 ①构造函数正用判别式证明不等式

在含有两个或两个以上字母的不等式中，若使用其它方法不能解决，可将一边整理为零，而另一边为某个字母的二次式，这时可考虑用判别式法。一般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元二次方程的，都可考虑使用判别式，但使用时要注意根的取值范围和题目本身条件的限制。

例1.设：a、b、c∈R，证明：a2acc23b(abc)0成立，并指出等号何时成立。

解析：令f(a)a2(3bc)ac23b23bc

⊿＝(3bc)24(c23b23bc)3(bc)2 ∵b、c∈R，∴⊿≤0 即：f(a)0，∴a2acc23b(abc)0恒成立。

当⊿＝0时，bc0，此时，f(a)a2acc23ab(ac)20，∴abc时，不等式取等号。

4例2.已知：a,b,cR且abc2,a2b2c22，求证： a,b,c0,。

3abc222解析：2 消去c得： a(b2)ab2b10，此方程恒成立，22abc2∴⊿＝(b2)24(b22b1)3b24b0，即：0b4同理可求得a,c0,

34。3② 构造函数逆用判别式证明不等式

对某些不等式证明，若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)2

由f(x)0，得⊿≤0，就可以使一些用一般方法处理较繁琐的问题，获得简捷明快的证明。

例3.设a,b,c,dR且abcd1，求证：4a14b14c14d1﹤6。解析：构造函数：

f(x)(4a1x1)2(4b1x1)2(4c1x1)2(4d1x1)

2＝8x22(4a14b14c14d1)x4.(abcd1)由f(x)0，得⊿≤0，即⊿＝4(4a14b14c14d1)21280.∴4a14b14c14d142﹤6.例4.设a,b,c,dR且abc1，求解析：构造函数f(x)(＝(1axa)2(149的最小值。abc2bxb)2(3cxc)2

1492)x12x1,(abc1)abc111由f(x)0（当且仅当a,b,c时取等号），632149得⊿≤0,即⊿＝144-4（）≤0

abc111149

∴当a,b,c时，()min36

632abc

二、构造函数利用函数有界性证明不等式

例5.设a﹤1，b﹤1，c﹤1，求证：abbcac﹥-1.解析：令f(x)(bc)xbc1为一次函数。

由于f(1)(1b)(1c)﹥0，且f(x)(1b)(1c)﹥0，∴f(x)在x(1,1)时恒有f(x)﹥0.又∵a(1,1)，∴f(a)﹥0，即：abbcac1﹥0 评注：考虑式中所给三个变量的有界性，可以视其为单元函数，转化为f(a)1。

三、构造函数利用单调性证明不等式

abab例6.设a,bR，求证：﹥ 1a1b1ab解析：设f(x)又x11，当x﹥0时，f(x)是增函数，1x1xabababab2abababf(abab)，＝﹥＝1a1b(1a)(1b)(1a)(1b)1abab而a,bR，∴abab﹥ab，∴f(abab)﹥f(ab)故有： abab﹥ 1a1b1ab例7.求证：当x﹥0时，x ﹥ln(1x)。解析：令f(x)xln(x1)，∵x﹥0，∴f/(x)11x ﹥0.x1x1又∵f(x)在x0处连续，∴f(x)在0,上是增函数，从而，当x﹥0时，f(x)xln(1x)﹥f(0)＝0，即：x﹥ln(1x)成立。

评注：利用函数单调性证明不等式和比较大小是常见的方法，特别是在引入导数后，单调性的应用将更加普遍。

四、构造函数利用奇偶性证明不等式

xx(x0)。例8.求证：﹤x212xxxxx2xx＝解析：设f(x)-(x0)，f(x)＝xxx221212212xxxxx1(12)x＝＝f(x).212x212x所以f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称。

当x﹥0时，12x﹤0，故f(x)﹤0；当x﹤0时，依图象关于y轴对称知f(x)﹤0。

xx(x0)﹤212x评注：这里实质上是根据函数奇偶性来证明的，如何构造恰当的函数充分利用其性质是关健。

由上述几种情况可以看出，能否顺利地构造函数利用其函数性质和使用数学思想来证明不等式，最重要的是要有扎实的基本功和多种思维品质，敢于打破常规，创造性地思维，才能独辟蹊径，使问题获得妙解。故当x0时，恒有f(x)﹤0，即

第五篇：高二数学上学期期中期末考试50题基础解析版

期中解答题精选50题（基础版）

1．（2020·浙江）已知平面内两点M（4，﹣2），N（2，4）.（1）求MN的垂直平分线方程；

（2）直线l经过点A（3，0），且点M和点N到直线l的距离相等，求直线l的方程.【答案】（1）x﹣3y＝0（2）x＝3或3x+y﹣9＝0

【详解】解：（1）平面内两点M（4，﹣2），N（2，4），所以MN中点坐标为（3，1），又直线MN的斜率为，所以线段MN的中垂线的斜率为，线段MN的中垂线的方程为，即x﹣3y＝0.（2）当直线l与直线MN平行时，由（1）知，kMN＝﹣3，所以此时直线l的方程为y＝﹣3（x﹣3），即3x+y﹣9＝0；

当直线l经过点（3，1）时，此时直线的斜率不存在，所以直线方程为x＝3；

综上知，直线l的方程为x＝3或3x+y﹣9＝0.2．（2020·长春市第二十九中学高二期中（文））已知两条直线

与的交点为P，直线的方程为：

（1）求过点P且与平行的直线方程；

（2）求过点P且与垂直的直线方程．

【答案】（1）；（2）．

【详解】解：（1）由得,∴，∵，∴过点P且与平行的直线方程为：，即

（2）∵，过点P且与垂直的直线方程为：

即

3．（2021·全国高二期中）已知点在圆C：上．

（Ⅰ）求该圆的圆心坐标及半径长；

（Ⅱ）过点M（﹣1，1），斜率为的直线l与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长．

【答案】（Ⅰ）圆心，半径；（Ⅱ）弦长

【详解】（Ⅰ）由题可知：

所以圆的标准方程为

所以圆心，半径

（Ⅱ）直线的方程为，即

则圆心到直线的距离为

所以弦长

4．（2020·六安市裕安区新安中学高二期中（理））已知△ABC的三个顶点分别为A(2，4)，B(1，1)，C(7，3).（1）求BC边上的中线所在直线的方程；

（2）求BC边上的高所在直线的方程.【答案】（1）x+y-6=0；（2）3x+y-10=0.【详解】（1）因为B(1，1)，C(7，3)，所以BC的中点为M(4，2).因为A(2，4)在BC边上的中线上，所以所求直线方程为=，即BC边上的中线所在直线的方程为x+y-6=0.（2）因为B(1，1)，C(7，3)，所以直线BC的斜率为=.因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直，所以BC边上的高所在直线的斜率为-3.因为A(2，4)在BC边上的高上，所以所求直线方程为y-4=-3(x-2)，即BC边上的高所在直线的方程为3x+y-10=0.5．（2020·六安市裕安区新安中学高二期中（理））已知实数满足，求的最小值.【答案】5.【详解】

表示点与圆上动点之间的距离的平方，若最小，则也最小，数形结合知的最小值为，故的最小值为5.6．（2020·重庆市万州南京中学）在直角坐标系中，已知圆与直线相切，（1）求实数的值；

（2）过点的直线与圆交于､两点，如果，求.【答案】（1）；（2）.【详解】解:（1）圆的方程可化为，圆心，半径，其中，因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离等于半径，即，解得；

（2）当直线斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线的距离，由垂径定理，不合题意；

故直线斜率存在，设其方程为，即，圆心到直线的距离，由垂径定理，即，解得，故直线的方程为，代入圆的方程，整理得，解得，于是，这里，)，所以.7．（2019·静宁县第一中学高二期中（理））过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA．

(1)求弦OA中点M的轨迹方程；

(2)延长OA到N，使|OA|=|AN|，求N点的轨迹方程.【答案】(1)x2+y2-4x=“0;“

(2)x2+y2-16x=0

试题分析：（1）设M点坐标为（x，y），那么A点坐标是（2x，2y），A点坐标满足圆x2+y2-8x=0的方程，所以，（2x）2+（2y）2-16x=0，化简得M

点轨迹方程为x2+y2-4x=0．

（2）设N点坐标为（x，y），那么A点坐标是（），A点坐标满足圆x2+y2-8x=0的方程，得到：（）2+（）2-4x=0，N点轨迹方程为：x2+y2-16x=0．

8．（2019·芜湖市城南实验中学（文））在中，边上的高所在的直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为．

（1）求点的坐标；

（2）求直线BC的方程；

（3）求点C的坐标．

【答案】（1）（2）（3）

试题分析：（1）直线和直线的交点得，即的坐标为，（2）∵直线为边上的高，由垂直得，所以直线BC的方程为

（3）∵的平分线所在直线的方程为，A(-1,0),B（1，2），,设的坐标为，则，解得，即的坐标为．

9．（2020·六安市城南中学高二期中（文））求圆心为且与直线相切的圆的标准方程．

【答案】．

【详解】解：由题意可知圆的半径为，所以所求的圆的方程为

10．（2020·山西大同一中高二期中（理））已知直线

（1）求直线的斜率；

（2）若直线m与平行，且过点，求m的方程.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由，可得，所以斜率为；

（2）由直线m与平行，且过点，可得m的方程为，整理得：.11．（2020·清远市清新区凤霞中学）圆的圆心坐标为，且过点

（1）求圆的方程；

（2）判断直线与圆的位置关系，说明理由.如果相交，则求弦长．

【答案】（1）；（2）直线与圆相交；.【详解】（1）圆的半径．故圆的方程为．

（2）圆心到直线的距离，即，直线与圆相交，可知弦长为．

12．（2020·天津市滨海新区汉沽第六中学高二期中）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．

（1）斜率是，且经过点；

（2）斜率为4，在轴上的截距为；

（3）经过，两点；

【答案】（1）（2）（3）

【详解】（1）由直线的点斜式方程可得

即

（2）由直线的斜截式方程可得

即

（3）由直线的两点式方程可得

即

13．（2020·安徽宣城·高二期中（文））若点A与点B到直线的距离相等，求a的值．

【答案】或

【详解】因为点A与点B到直线的距离相等，所以有：或，解得：或.14．（2020·湖北）已知点，直线L经过A，且斜率为.（1）求直线L的方程；

（2）求以B为圆心，并且与直线L相切的圆的标准方程.【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）由题意，直线的方程为：，整理成一般式方程，得，∴直线L的方程为；

（2）由已知条件，得所求圆的圆心为，可设圆B方程为：，∵圆B与直线相切，∴

∴.故圆B的方程为.15．（2020·重庆市凤鸣山中学）已知直线，圆C以直线的交点为圆心，且过点A(3,3)，（1）求圆C的方程；

（2）若直线

与圆C交于不同的两点M、N，求|MN|的长度；

（3）求圆C上的点到直线的距离的最大值．

【答案】（1）；（2）：（3）．

【详解】（1）联立直线方程，即可得交点C(1,3)，圆C的半径，∴圆C的方程为：.（2）由C点到直线的距离，∴|MN|=2．

（3）由C点到直线的距离，即圆C上点到直线距离的最大值为．

16．（2020·四川高二期中（理））已知直线过点和两点

（1）求出该直线的直线方程(用点斜式表示)

（2）将（1）中直线方程化成斜截式，一般式以及截距式且写出直线在x轴和y轴上的截距.【答案】（1）；（2）答案见解析.【详解】解；（1）直线AB的斜率为

故直线AB的点斜式方程为：或.（2）由，得，可化为，当时，当时，所以斜截式：，一般式：，截距式：，在x轴上的截距为；在y轴上的截距为

17．（2020·四川省成都市盐道街中学高二期中）在中，边上的高所在的直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为.（1）求点的坐标.（2）求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）联立，解得，可得.（2）∵边上的高所在的直线的方程为，∴，即，∴直线的方程为，整理得.18．（2020·合肥市庐阳高级中学高二期中（文））直线l经过点，（1）直线l与直线垂直，求直线l的方程；

（2）直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）或

【详解】（1）直线的斜率为，所以直线的斜率为，直线的方程为，即.（2）当直线过原点时，直线的方程为，当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点的坐标得，解得，所以直线的方程为.19．（2020·九龙坡·重庆市育才中学）（1）已知直线经过点且与直线垂直，求直线的方程.（2）已知直线与轴，轴分别交于两点，的中点为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）．

【详解】（1）直线的斜率，则，故直线的方程为；

（2）设，的中点为，知，则直线的方程为．

20．（2018·北京市第二中学分校高二期中（理））如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．

（）求与平面所成角的正弦．

（）求二面角的余弦值．

【答案】(1)

.(2)

.详解：

（）∵是矩形，∴，又∵平面，∴，即，两两垂直，∴以为原点，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，由，得，，，则，，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，∴，∴，故与平面所成角的正弦值为．

（）由（）可得，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，∴，∴，故二面角的余弦值为．

21．（2021·广西平果二中高二期中（理））如图，四棱锥中，为正三角形，为正方形，平面平面，、分别为、中点.（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析;(2).详解：（1）连接，∵是正方形，是的中点，∴是的中点，∵是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，设平面的法向量，则，取得，设与平面所成角为，则.22．（2021·横峰中学高二期中（理））如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．

（1）求异面直线EF与所成角的大小．

（2）证明：平面．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：，，，∴，，．

（1），∴

∴异面直线EF和所成的角为．

（2）

∴，即，∴即．

又∵，平面且

∴平面．

23．（2021·上海市进才中学高二期中）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系的原点，半径为1，且球O分别与x､y､z轴的正半轴交于A､B､C三点，已知球面上一点.（1）求证：；

（2）求D､C两点在球O上的球面距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）由题意，，，，；

（2），，D，C两点在球O上的球面距离为；

24．（2021·重庆市第二十九中学校高二期中）在边长为2的菱形中，点是边的中点（如图1），将沿折起到的位置，连接，得到四棱锥（如图2）

（1）证明：平面平面；

（2）若，连接，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析，（2）.【详解】（1）连接图1中的，因为四边形为菱形，且

所以为等边三角形，所以

所以在图2中有，因为

所以平面，因为，所以平面平面

（2）因为平面平面，平面平面，所以平面

以为原点建立如图空间直角坐标系

所以

所以

设平面的法向量为，则，令，则，所以

所以直线与平面所成角的正弦值

25．（2021·浙江温州市·高二期中）在等腰梯形中，，E为中点，将沿着折起，点C变成点P，此时．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】（1）证明：取BE中点记为H,连结PH、CH，是CD中点,，且，四边形ABED是平行四边形，是边长为2等边三角形，由题意可知，是边长为2的等边三角形，是中线，PH是中线，，又，平面PCH，；

（2）解：由（1）可求得，，又，平面，以为原点，HB，HC，HP所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系，，设平面BCP的法向量为，即，令,则，平面BCP的法向量为，设直线与平面所成角为，所以直线与平面所成角的正弦值为.26．（2021·渝中·重庆巴蜀中学高二期中）如图1所示，在等腰梯形ABCD中，，，把沿BE折起，使得，得到四棱锥.如图2所示.（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）在等腰梯形中，，可知，由可得.又，则，则，又，可得平面

（2）又，则以点E为原点，以EB，ED，EA所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间之间坐标系E-BDA.，，设平面的法向量为，则：

注意到，面AED的法向量，设平面ABC与平面AED所成锐二面角的平面角为，故

27．（2020·江西宜春市·宜春九中高二期中（文））已知圆，其中

（1）如果圆C与圆外切，求m的值；

（2）如果直线与圆C相交所得的弦长为，求m的值．

【答案】（1）；（2）

【详解】解：（1）圆C的圆心为，半径

因为圆C与圆外切，所以两圆的圆心距等于其半径和，即，解得

（2）圆C的圆心到直线的距离

因为直线与圆C相交所得的弦长为，所以，解得

28．（2020·合肥市庐阳高级中学高二期中（文））（1）求过点，且圆心在直线上的圆的标准方程.（2）已知圆C：，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为求圆的一般方程.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）线段的中点为，线段的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为，线段的垂直平分线方程为.，即圆心坐标为，半径为，所以圆的标准方程为.（2）圆心，∵圆心在直线上，∴，即.①

又∵半径长，∴.由①②可得或

又∵圆心在第二象限，∴，即.则.故圆的一般方程为.29．（2020·合肥市庐阳高级中学高二期中（文））直线l经过点，（1）直线l与两个坐标轴围成的三角形的面积是4的直线方程.（2）直线l与两个坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时的直线方程.【答案】（1）；（2）.【详解】设直线方程为，由直线l经过点可得，（1）由题可得，解得，，则直线方程为；

（2），∴，当且仅当，时面积取最小值，则直线方程为.30．（2020·黑龙江佳木斯一中高二期中（文））已知的三个顶点，．

（1）求边上的中线所在直线方程以及中线的长度；

（2）求边上的高线的长度．

【答案】（1）；；（2）.【详解】（1）的三个顶点，，故边上的中点，所以边上的中线的长度，边上的中线所在直线方程为，即．

（2）由于边所在的直线方程为，即，故边上的高线的长度，即点到直线的距离为．

31．（2020·通城县第二高级中学高二期中）求过点，且与圆相切的直线l的方程.【答案】或.【详解】设切线方程为，即，∵圆心到切线l的距离等于半径2，∴，解得，∴切线方程为，即，当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径2.综上可知，所求直线方程为或.32．（2020·四川省泸县第二中学（理））已知两条直线，．

（1）当为何值时，与垂直；

（2）当为何值时，与平行．

【答案】（1）；（2）.【详解】（1）若与垂直，则，解得：；

（2）若与平行，则，解得：.33．（2020·湖南湘潭市·湘潭一中高二期中）已知直线：

().（1）证明：直线过定点；

（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为(为坐标原点)，求的最小值并求此时直线的方程．

【答案】（1）证明见解析；（2）4，.【详解】（1）证明：直线的方程可化为，令，则，解得，∴无论取何值，直线总经过定点.（2）由题意可知，再由的方程，得，．

依题意得：，解得．

∵.当且仅当，即时取等号，∴，此时直线的方程为．

34．（2021·全国高二期中）已知斜率为的直线与圆心为的圆相切于点，且点在轴上.（1）求圆的方程；

（2）若直线与直线平行，且圆上恰有四个不同点到直线距离等于，求直线纵截距的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）依题意，设点的坐标为.，解得，即点的坐标为，从而圆的半径.故所求圆的方程为.（2）因为，设：，由圆上恰有四个不同点到直线距离等于，得圆心到直线的距离，解得.即直线纵截距的取值范围为.35．（2020·黑龙江哈尔滨·哈九中高二期中（理））已知的三个顶点的坐标分别为，.（1）求边上中线所在直线的方程；

（2）求边上高所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）中点为，直线方程为：，即；

（2），直线方程为：，即.36．（2021·安徽省怀宁中学高二期中（文））大家知道，等边三角形的重心(三条中线的交点)､外心(三条边的中垂线的交点)､垂心(三条高的交点)三点重合.（1）观察等腰直角三角形(如图)，若其重心是､外心为､垂心为，判断､､的位置关系以及线段和的长度之间的数量关系.（2）若是等腰三角形(如图)，且，验证（1）的结论是否成立？若成立，请证明你的结论.【答案】（1）可得到､､三点共线，且；（2）答案见解析.【详解】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设等腰直角三角形中，所以有，显然重心的坐标为：，外心的坐标为：，显然垂心与点重合，，所以有，因此､､三点共线，且；

（2）建立如图所示的直角坐标系：

因为，所以有，显然重心的坐标为：，设，由，即

且，解得，即，设，因此有：，即，即，，所以有，因此､､三点共线，且.37．（2020·安徽立人中学高二期中（文））已知圆过点，且与圆关于直线对称．

（1）求圆、圆的方程；

（2）过点Q向圆和圆各引一条切线，切点分别为C，D，且，则是否存在一定点M，使得Q到M的距离为定值？若存在，求出M的坐标，并求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1），；（2）存在，Q到M的距离为定值．

【详解】（1）设圆的圆心，因为圆与圆关于直线对称，可得，解得，设圆的方程为，将点，代入可得，所以圆的方程为，圆的方程为．

（2）由，根据切线长公式，可得，设，则，化简得，所以存在定点使得Q到M的距离为定值．

38．（2021·安徽高二期中（文））已知圆：.（1）若圆的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程；

（2）从圆外一点向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有，求使最小的点P的坐标.【答案】（1），；（2）.【详解】（1）圆：的标准方程为，所以圆心，.设圆的切线在x轴和y轴上的截距分别为a，b，①当时，切线方程可设为，即，由点到直线的距离公式，得.所以切线方程为.②当时，切线方程为，即.由点到直线的距离公式，得，.所以切线方程为，.综上，所求切线方程为，.（2）由圆的切线性质可知：，∵，∴.即.整理得.∴.当时，最小，此时，∴.39．（2021·上海市长征中学高二期中）1972年9月，苏步青先生第三次来到江南造船厂，这一次他是为解决造船难题、开发更好的船体数学放样方法而来，他为我国计算机辅助几何设计的发展作出了重要贡献.造船时，在船体放样中，要画出甲板圆弧线，由于这条圆弧线的半径很大，无法在钢板上用圆规画出，因此需要先求出这条圆弧线的方程，再用描点法画出圆弧线.如图，已知圆弧的半径

r

=29米，圆弧所对的弦长l

=12米，以米为单位，建立适当的坐标系，并求圆弧的方程（答案中数据精确到0.001米，）.【答案】

【详解】

如图，以所在直线为轴，弦的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，设圆弧的圆心为，连接，则，所以，即圆心的坐标为，所以圆弧的方程为

40．（2020·阜阳市耀云中学高二期中）三角形的顶点是A（，0）、B（，3）、C（0，5）.求这个三角形的三边所在直线的方程.【答案】，．

【详解】由题意直线方程为，即，直线方程为，即，直线方程为，即．

41．（2010·贵州遵义市·高二期中）已知正方形的中心为，一边所在直线的方程为，求其他三边所在的直线方程.【答案】，【详解】正方形的中心到四边的距离均为，设正方形中与已知直线平行的边所在的直线方程为，则，即，解得（舍去）或.故与已知直线平行的边所在的直线方程为；

设正方形中与已知直线垂直的边所在的直线方程为，则，即，解得或，所以正方形另一组对边所在的直线方程分别为和；

综上所述，正方形其他三边所在的直线方程分别为，.42．（2020·北京市第十二中学高二期中）已知圆经过点，．

（1）求圆的方程；

（2）若直线：与圆交于，两点，且，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【详解】解：（1）根据题意，设圆的方程为，圆经过，三点，则有，解可得：，，故要求圆的方程为；

（2）根据题意，圆的方程为，圆心坐标为，半径，若直线与圆交于，两点，且，则圆心到直线的距离，则有：，解可得：，故．

43．（2020·北京市第十二中学高二期中）已知三个顶点的坐标分别为，．求：

（1）过点且与直线平行的直线方程．

（2）中，边上的高线所在直线的方程．

【答案】（1）；（2）．

【详解】解：（1）因为三个顶点的坐标分别为，，所以直线的斜率为，则过点且与直线平行的直线方程为，即.（2）因为直线的斜率为，所以中边上的高所在直线的斜率为-1，又高所在直线过点，所以高所在直线的方程为，即．

44．（2021·江西高安中学高二期中（理））如图所示的几何体中，是菱形，平面，.（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）证明：取中点，连结，设交于，连结，在菱形中，∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，∵，分别是，的中点，∴，又，∴，且，∴四边形是平行四边形，则，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）由（1）中证明知，平面，则，两两垂直，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.由及是菱形，得，，则，，，，设平面的一个法向量为，则，即，取，求得，所以，同理，可求得平面的一个法向量为，设平面与平面构成的二面角的平面角为，则，又，∴，∴平面与平面构成的二面角的正弦值为.45．（2020·安徽淮北·高二期中（理））如图所示，与都是边长为的正三角形，平面平面，平面，．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【详解】（1）证明：取中点，因为为正三角形，所以．

由于平面平面，平面平面，所以平面．

又因为平面，所以．又平面，平面，所以平面．

（2）连接，则，又平面．

取为原点，直线，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示．，则各点坐标分别为，，．．

设平面的法向量为，由

得，解得，取，得．又平面的法向量为，所以，设所求二面角为，则．

46．（2021·北京一七一中）如图，在四棱锥中，平面平面，O，M分别为线段AD，DE的中点．四边形BCDO是边长为1的正方形，．

（1）求证：平面ABE；

（2）求直线DE与平面ABE所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【详解】解：（1）如图取线段中点，连接、，为中点，，又四边形是边长为1的正方形，，．四边形为平行四边形，．

面，面，平面；

（2）连接，为中点，．

面，面面，面面．

面．

又面，面，，如图建立空间直角坐标系．，，0，，1，，1，，0，，设面的法向量为，由，可取．，．

直线与平面所成角的正弦值为；

47．（2021·北京延庆·高二期中）如图，正方体中，棱长为2，分别是，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．

【详解】解：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，．

因为是的中点，所以，．

因为是的中点，所以，．

所以，．

所以四边形是平行四边形．

所以．

因为平面，平面，所以平面．

（Ⅱ）因为正方体中，以点为坐标原点，分别以直线，为，轴建立空间直角坐标系．

所以，，所以，，设平面的法向量为，所以

所以直线与平面所成角的正弦值．

48．（2021·重庆实验外国语学校）如图1，在等腰梯形中，分别是的两个三等分点．若把等腰梯形沿虚线折起，使得点和点重合，记为点，如图2．

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【详解】解：（1）因为分别是的两个三等分点，所以四边形是正方形；

所以，又因为，且，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面．

（2）过作于，过作的平行线交于，则面，又所在直线两两垂直，故以它们所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，易知，所以，设平面的法向量为，则，取，则

同理，设平面的法向量为，则，取，则，所以，所以平面与平面所成锐二面角的大小为.49．（2020·山西晋城·高二期中（理））如图，在多面体中，平面，点到平面的距离为，是正三角形，．

（1）证明：．

（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，．，且，就是点到平面的距离，即平面

平面，又，四边形是平行四边形，是正三角形，．

（2）解：由（1）得平面，以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，，则由得，令，得．

设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值．

50．（2020·天津市天津中学高二期中）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点和分别为和的中点.（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）求点到平面的距离；

（4）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；（4）.【详解】（1）证明：以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，因为，分别为，的中点，则，由题意可知，是平面的一个法向量，又，所以，又平面，故平面；

（2）解：由（1）可知，，设平面的法向量为，则，令，则，故，设平面的法向量为，则，令，则，故，所以，故二面角的正弦值为；

（3）解：因为，，设平面的法向量为，则，令，则，故，所以，设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为；

（4）解：由题意，设，其中，则，所以，又时平面的一个法向量，因为直线和平面所成角的正弦值为，则，整理可得，又，解得或（舍），故线段的长为.