高中数学新课标函数讲座高二数学讲座之复数导数推理与证明

第一篇：高中数学新课标函数讲座高二数学讲座之复数导数推理与证明

高中数学新课标讲座之复数、推理与证明石嘴山市光明中学 潘学功

高中数学新课标讲座之复数与推理与证明

【基础回归】

1、(2009广东)下列n的取值中，使i=1（i是虚数单位）的是（）

A．n=

22、（2009全国）已知

B．n=

3C．n=

4D．n=

5n

z

=2+i，则复数z=（）1＋i

B．1-3iC．3+iD．3-i

17i3、（2009安徽）i是虚数单位，若abi(a,bR)，则乘积ab的值是（）

2iA．－1

5B．－

3C．3

D．15

A．-1+3i4、设i为虚数单位，则复数z

A．

〖例2〗若zC且|z|1，则|z22i|的最小值是（）

A．221B．22+1C．2-1D．22 〖例3〗已知点P(x,y)在圆x2(y1)21上运动。

（1）求

y1的最大值与最小值；（2）求2xy的最大值与最小值。x

2y1 x2

整理得：kxy2k10（1）令K

由112k1k2

解得：k

所以 3 3y133的最大值为；最小值为— x23

3（2）令b=2x+y

整理得 2x+y-b=0 由 1b解得：b1或b1

所以 2x+y 的最大值为15；最小值为1

5〖例4〗

设复数z满足z1，且(34i)z是纯虚数，求z。

解：设zabi,(a,bR)，由z11；



(34i)z(34i)(abi)3a4b(4a3b)i是纯虚数，则3a4b0

44aa4315543,或，zi,或i 5555b3b33a4b055

(1i)2

(34i)2

已知复数z满足: z13iz,求的值.2z

解：设zabi,(a,bR)，而z13iz,13iabi0

a10a4,z43i 则b3b30

宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习

(1i)2(34i)22i(724i)247i34i 2z2(43i)4i

〖例5〗设函数f(x)13xx2(m21)x,(xR,)其中m0 3

（Ⅰ）函数f(x)在区间(1,1)不单调，求m的取值范围．

（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；

（Ⅲ）

已知函数f(x)

有三个互不相同的零点

0，x1,x2，且x1x2。若对任意的x[x1,x2]，f(x)f(1)

恒成立，求m的取值范围。

函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)，且f(1m)=231mm2 33

宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习

（3）解：由题设，f(x)x(

所以方程121xxm21)x(xx1)(xx2)33124xxm21=0由两个相异的实根x1,x2，故x1x23，且1(m21)0，33

11解得m(舍)，m 22

3因为x1x2,所以2x2x1x23,故x21 2

1若x11x2,则f(1)(1x1)(1x2)0，而f(x1)0，不合题意 3

若1x1x2,则对任意的x[x1,x2]有xx10,xx20,则f(x)1x(xx1)(xx2)0又f(x1)0，所以函数f(x)在x[x1,x2]的最小值为0，于3

2是对任意的x[x1,x2]，f(x)f(1)恒成立的充要条件是f(1)m130,解得综m333上，m的取值范围是(,【能力培养】 13)231、（2008浙江）已知a是实数，A．

12、（2008辽宁）复数

A．iai是纯虚数，则a=A 1i C．2D．-2 B．-1

1511的虚部是（B）2i12i11B．C．i 55D．1

5z

2（B）

3、（2008宁夏）已知复数z1i，则z

1A． 2B．－2C．2iD．－2i4、由数列1，10，100，1000，„„，猜测该数列的A．aB．bC．a, b中较小的数D．a, b中较大的数

7、已知数列{an}为等差数列，若a1a,anb(n2，nN*)，则an1nba。类比等差数列的上述 n1

结论，对于等比数列{bn

}(b0,nN*)，若b1c,bnd(n3,nN*)，则可以得到bn1答案： 8．若

a3i为实数，则实数a 29i 9．如图1所示，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是 yx8，则f5

10．若直线ya与函数f(x)x33x的图象有三个不同的交点，则a

宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习

第二篇：高中数学新课标函数讲座高二数学讲座之复数导数推理与证明student

高中数学新课标讲座之复数、推理与证明石嘴山市光明中学 潘学功

高中数学新课标讲座之复数与推理与证明

【基础回归】

1、(2009广东)下列n的取值中，使i=1（i是虚数单位）的是（）

A．n=

22、（2009全国）已知

B．n=

3C．n=

4D．n=

5n

z

=2+i，则复数z=（）1＋i

B．1-3iC．3+iD．3-i

17i3、（2009安徽）i是虚数单位，若abi(a,bR)，则乘积ab的值是（）

2iA．－1

5B．－

3C．3

D．15

A．-1+3i4、设i为虚数单位，则复数z

A．

高中数学新课标讲座之复数、推理与证明石嘴山市光明中学 潘学功

(1i)2(34i)

2〖例4〗已知复数z满足: z13iz,求的值。2z

〖例5〗设函数f(x)13xx2(m21)x(xR)，其中m0。

3（Ⅰ）函数f(x)在区间（－1，1）上不单调，求m的取值范围；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值。

【能力培养】

1、（2008浙江）已知a是实数，A．

12、（2008辽宁）复数11的虚部是（）2i12i

A．iai是纯虚数，则a=（）1iB．-1C．2D．-2

15B．15C．i 1

5D．1

53、（2008宁夏）已知复数z1i，则z

2（）z

1A． 2B．－2C．2iD．－2i4、由数列1，10，100，1000，„„，猜测该数列的第n项可能是（）

A．10nB．10n

1nC．10n1D．11 n5、设数列{an}的前n项和为Sn，令TnS1S2Sn，称T为数列a，a，„„，a的“理想数”，n12n

已知数列a1，a2，„„，a500的“理想数”为2004，那么数列2，a1，a2，„„，a500的“理想数”为（）

A．2008B．2004C．2002D．2000 1,x0(ab)(ab)f(ab)(ab)的值为（）

6、设f(x)，则21,x0

A．aB．bC．a, b中较小的数D．a, b中较大的数

*

7、已知数列{an}为等差数列，若a1a,anb(n2，nN)，则an1nba。类比等差数列的上述 n1

*结论，对于等比数列{bn}(b0,nN*)，若b1c,bnd(n3,nN)，则可以得到bn1a3i8．若为实数，则实数a29i

9．如图所示，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f5

310．若直线ya与函数f(x)x3x的图象有三个不同的交点，则a宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习

第三篇：高中数学新课标函数讲座高二数学讲座之导数与推理与证明student

高中数学新课标讲座之导数与推理与证明石嘴山市光明中学 潘学功

高中数学新课标讲座之导数与推理与证明

【基础回归】

1．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，„，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，„，这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）

A．289B．1024C．1225D．1378

2．在R上定义运算:xyx(1y)，若不等式(xa)(xa)1对任意实数x成立，则（）A．1a1B．0a2C．1a3D．3a1 222

23．已知数列{an}满足a10,an1

an3an1(nN*)，则a20=（）A．0B．3C．3D．/2

2231151117,122,1222，„，则可归纳出式子为（）2342323

41n24．观察式子：1A．1

C．112213212n12n1nB．1D．11221321n212n11

221

321

n21

221

321

n22n 2n1

315．设n为正整数，f(n)111„，经计算得f(2)，f(4)2，f(8)5，f(16)3，2n22

37f(32)。观察上述结果，可推测出一般结论（）2

A．f(2n)n22n1B．f(n2)n2C．f(2n)D．以上都不对 222

26．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2 成立时，总可推出f(k1)≥(k1)

成立”，那么，下列命题总成立的是若（）成立

A．f(1)1成立，则f(10)100B．f(2)4成立，则f(1)≥1

C．f(3)≥9成立，则k≥1时，均有f(k)≥k2D．f(4)≥25成立，则k≥4时，均有f(k)≥k2

7．设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，bS，对于有序

元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）．若对任意的a，bS，有a*(b*a)b，则对任意的a，bS，下列等式中不恒成立的是（）

A．(a*b)*aaB．[a*(b*a)]*(a*b)aC．b*(b*b)b

则必有（）

A．bf(a)≤af(b)

【典例剖析】

〖例1〗用分析法证明：722。

B．af(b)≤bf(a)C．af(a)≤f(b)D．bf（b)

≤f(a)D．(a*b)*[b*(a*b)]b )上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a，b，若ab，8． f(x)是定义在(0，宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习

高中数学新课标讲座之导数与推理与证明石嘴山市光明中学 潘学功

〖例2〗用三段论证明函数yx22x在（－∞，1]上是增函数。

222〖例3〗已知：sin30sin90sin15033222； sin5sin65sin125。22

通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度都成立的一般性的命题，并给予证明。

22xy〖例4〗已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C:221(ab0)上关于原点O对称的两个点，点P是 ab

椭圆C上任意一点，且直线PM,PN的斜率都存在(记为kPM,kPN)，则kPM·kPN是与点P位置无关

x2y2的定值。试写出双曲线E:221(a0,b0)的类似性质，并加以证明。ab

【思维训练】

1．对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：

① a122220；②(ab)a2abb；③ 若|a||b|，则ab；④ 若aab，则ab。a

那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是（）

A．①②B．②③C．③④D．②④

2())≥0，2．已知二次函数f(x)axbxc的导数为f(x)，f(0)0，对于任意实数x，有f(x则f1

f(0)的最小值为（）

A．3B．5/2C．2D．3/2

3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个

四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为_____

21114.已知函数f(x)x，那么f(1)f(2)f()f(3)f()f(4)f()____________ 2341x2

5．在△ABC中，射影定理可以表示为abcosCccosB，其中a,b,c分别为角A、B、C的对边，类似以上定理，在四面体PABC中，S1、S2、S3、S分别表示△PAB、△PBC、△PAC、△ABC的面积，，，分别表示面PAB、面PBC、面PAC与底面ABC所成角的大小，请给出一个空间四面体性质的猜想：________________

宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习

第四篇：高二文科半期考试(导数、复数、推理与证明)

文宫中学高二半期测试题(文)

一、选择题(每小题5分，共50分)

1、设f(x)是可导函数，且

D.一切偶数都能被2整除，2100是偶数，所以2100能被2整除.7.黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第五个图案中有白色地面

砖（）块.lim

f(x02x)f(x0)

2,则f(x0)（）

A.21B.22C.20x0

x

A．

2B．－1C．0D．－22、f(x)是f(x)的导函数，f(x)的图象如右图所示，则f(x)的图象只可能是（）

（A）（B）（C）（D）

3、已知y

3x3bx2(b2)x3是R上的单调增函数，则b的取值范围是（）A.b1，或b2B.b1，或b

2C.1b2D.1b24、函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10, 则点(a,b)为（）

A.(3,3)B.(4,11)C.(3,3)或(4,11)D.不存在5、函数y2x33x212x5在[0，3]上的最大值和最小值分别是（）

A.5，15B.5，4C.5，15D.5，16

6.下面几种推理是类比推理的是（）

A.两直线平行，同旁内角互补，若A、B是两平线的同旁内角，则AB180； B.由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质；

C.某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以

推测各班都超过50位团员.D.2

38．若f(ab)f(a)f(b)且f(1)2，则

f(2))f(1)



f(4)f(3)



f(6f(5)

()

A．

5B．

375

C．6 D．8

9．在复平面内，复数

2i1i

对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10．若复数Z满足方程Z220，则Z3的值为（）

A

．2B

．

2．2D

．2

二、填空题(每小题5分，共25分)

11．点P是曲线yx2lnx上任意一点, 则点P到直线yx2的距离最小值是 12．已知

m1i

1ni，其中m、n是实数，i是虚数单位，则mni

13．在复平面内，若复数z满足|z1||zi|，则z所对应的点的集合构成的图形是 14.在数列an

n中，a11,an1

2a*

a

2nN

,猜想这个数列的通项公式是

n15．将全体正整数排成一个三角形数阵：23 456 78910 ．．．．．．．

按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．

三、解答题（6大题，共75分）

16．(求解以下两个小题，共12分)

（1）已知n≥

0





（2）已知xR，ax21，b2x2。求证a，b中至少有一个不少于0。

17．(本题12分)已知复数z满足|z|

2，z

2的虚部为2，（1）求z；

（2）设z，z2，zz2

在复平面对应的点分别为A，B，C，求ΔABC的面积.18．(本题12分)设z

11是虚数，z2z1z是实数，且1≤z2≤1

（1）求|Z1|的值以及z1的实部的取值范围；

（2）若1z11z，求证：为纯虚数.19、（12分）已知直线l1为曲线yx2x2在点(0,2)处的切线，l2为该曲线的另一条

切线，且l1ll2的方程；（Ⅱ）求由直线l1l2和x轴所围成的三角形的面积

20．(本题12分)已知f(x)ax3bx22xc，在x2时有极大值6，在x1时

有极小值，求a,b,c的值；并求f(x)在区间[－3，3]上的最大值和最小值.21．(本题15分)设函数f(x)x36x5,xR

（1）求f(x)的单调区间和极值；

（2）若关于x的方程f(x)a有3个不同实根，求实数a的取值范围.（3）已知当x(1,)时，f(x)≥k(x1)恒成立，求实数k的取值范围.

第五篇：新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结

《推理与证明》知识归纳总结

第一部分合情推理

学习目标：

了解合情推理的含义（易混点）

理解归纳推理和类比推理的含义，并能运用它进行简单的推理（重点、难点）了解合情推理在数学发展中的作用（难点）

一、知识归纳：

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：

归纳推理:

1.归纳推理:由某类事物的对象具有某些特征，推出该类事物的具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.2.归纳推理的一般步骤:

第一步，通过观察个别情况发现某些相同的性质;

第二步，从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）.思考探究:

1.归纳推理的结论一定正确吗?

2.统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理?

题型1用归纳推理发现规律

.对于任意正实数a,b

成立的一个条件可以是____.点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故ab222、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂

巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂

巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图

有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以

f(n)表示第n幅图的蜂巢总数.则f(4)=_____;f(n)=___________.【解题思路】找出f(n)f(n1)的关系式

[解析]f(1)1,f(2)16,f(3)1612,f(4)16121837

f(n)1612186(n1)3n23n

1总结：处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系

类比推理

1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.2.类比推理的一般步骤:

第一步：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

第二步：用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想.思考探究:

1.类比推理的结论能作为定理应用吗?

2.(1)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体?

(2)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论?

题型2用类比推理猜想新的命题

[例]已知正三角形内切圆的半径是高的______.【解题思路】从方法的类比入手

[解析]原问题的解法为等面积法，即S

等体积法，V1，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是3111ah3arrh，类比问题的解法应为2231111Sh4Srrh即正四面体的内切球的半径是高 334

4总结：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比

（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等

合情推理

1.定义:归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.简言之，合情推理就是合乎情理的推理.2.推理的过程:

→

→

思考探究:

1.归纳推理与类比推理有何区别与联系?

1）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

2）类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。第二部分演绎推理

学习目标：

理解演绎推理的含义（重点）

掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单推理（重点、难点）

合情推理与演绎推理之间的区别与联系

一、知识归纳：

演绎推理的含义:

1.演绎推理是从一般性的原理出发，推出的结论.演绎推理又叫推理.2.演绎推理的特点是由的推理.思考探究:

演绎推理的结论一定正确吗?

演绎推理的模式

1.演绎推理的模式采用“三段论”:

(1)大前提——已知的(M是P);

(2)小前提——所研究的(S是M);

(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断(S是P).2.从集合的角度看演绎推理:

(1)大前提:x∈M且x具有性质P;

(2)小前提：y∈S且SM

(3)结论：y具有性质P.演绎推理与合情推理

合情推理与演绎推理的关系:

(1)从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特说的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.第三部分直接证明与间接证明

学习目标：

1、了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

2、了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

知识归纳：

三种证明方法:

综合法、分析法、反证法

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证

结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

反证法：它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：

(1)假设命题的结论不成立；

(2)根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止

(3)断言假设不成立

(4)肯定原命题的结论成立

用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题

考点1综合法

在锐角三角形ABC中,求证:sinAsinBsinCcosAcosBcosC

[解析]ABC为锐角三角形，AB

2A

2B，ysinx在(0,)上是增函数，sinAsin(B)cosB 22

同理可得sinBcosC，sinCcosA 

sinAsinBsinCcosAcosBcosC

考点2分析法

已知ab0,求证abab

[解析]要证aab，只需证(a)2(ab)2

即ab2abab，只需证bab，即证ba

显然ba成立，因此aab成立

总结：注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”，而不是“因为---所以---” 考点3反证法已知f(x)axx2(a1)，证明方程f(x)0没有负数根 x1

x02 x01【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾[解析]假设x0是f(x)0的负数根，则x00且x01且ax0

0ax0101x021，解得x02，这与x00矛盾，2x01

故方程f(x)0没有负数根

总结：否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多

第四部分数学归纳法

学习目标：

1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。

2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题

3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。

知识归纳：

数学归纳法的定义：

一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:

(1)证明当n=n0时命题成立;

(2)假设当n=k（