初三数学上第一章证明(二)知识点及典型题解析

第一篇：初三数学上第一章证明(二)知识点及典型题解析

初三数学上学期 第一章：证明(二)

考点1：利用定理证明

一、考点讲解：

公理

1、一直线截两条平行线所得的同位角相等，公理2．两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行．

公理3．若两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别相等，则这两个三角形全等． 公理4．全等三角形的对应边相等，对应角相等．

定理1.平行线的性质定理：两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补．

定理2．平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行．

定理3．三角形的内角和定理及推论：三角形的内角和等于180°，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．

定理4．直角三角形全等的判断定理：有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等．

定理5．角平分线性质定理及逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；三角形的三条角平分线相交于一点（内心）

定理6．垂直平分线性质定理及逆定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）定理7．三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

定理

8、等腰三角形，等边三角形，直角三角形的性质和判定定理．

二、经典考题剖析：

【考题1－1】（2004、深圳南山，5分）如图l－l－1，AB、CD交于点E，AD=AE，CB=CE，F、G、H分别是DE、BE、AC的中点．

（1）求证：AF⊥DE；

（2）求证：FH= GH．

证明：

（1）在△ADE中，AD=AE，F是DE的中点

∴ AF是等腰△ADE 底边DE上的中线∴ AF⊥DE．

（2）连结GC．∵AF⊥DEH是AC 的中点

∴FH是Rt△AFC斜边 AC上的中线∴FH2AC 同理：GH2AC∴FH=GH

【考题1－2】（2004、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；

(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.1

1(1)①∵∠ACD=∠ACB=90°∴∠CAD+∠ACD=90°∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCE

∵AC=BC∴△ADC≌△CEB

②∵△ADC≌△CEB∴CE=AD，CD=BE∴DE=CE+CD=AD+BE

(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE∵AC=BC∴△ACD≌△CBE

∴CE=AD，CD=BE∴DE=CE-CD=AD-BE

(3)当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等)

∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD－CE=BE－

AD.三、针对性训练：(15分钟)

1．如图1－1－4，Rt△ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高；DE⊥AB，DF⊥

AC，垂足分别是E、F，则图中与∠C（除∠C外）相等的角的个数是（）

A．2B．3C．4D．

52．如图1－1－5，△ABC中，△ABC和△ACB的外角平分线交于点O，设∠

BOC=α，则∠A等于（）C.180-2D.180-2A.90-2B.90-

3．如图1－1－6，△ABC是不等边

三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可作出（）

A．2个B．4个C．6个D．8个

4．如图1－1－7，△ABC是直角三角形，BC是斜边，△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP重合，如果AP=3，则PP′的长等于（）

A．3B．23C．32D．

45．如图1－1－8，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，点D、E、F分别是三边的中点，且CF=2 cm，则DE=_________cm．

考点2：命题

一、考点讲解：

1．命题的组成：命题由条件和结论两部分组成．

2．命题的形式：命题的形式通常写成“如果„„，那么„„”的形式．

3．真命题与假命题：正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题（注意：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题〕

二、经典考题剖析：

【考题2－1】（2004、南宁，8分）如图1－1－14，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）

① AE=AD②AB=AC③OB=OC④∠B=∠

C

点拨：解答本题时，可选取以上三种情况中的一种即可，注意：已知两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．

【考题2－2】（2004、江苏盐城，3分）下列命题中，假命题是（）

A．平行四边形的对角线互相平分

B．矩形的对角线相等

C．等腰梯形的对角线相等

D．菱形的对角线相等且互相平分

解: D 点拨：当菱形为正方形时，其对角线才有相等的性质，而一般菱形不具有对角线相等的性质．

三、针对性训练：(15分钟)

1．下列命题中，真命题是（）

A．面积相等的两个三角形是全等三角形

B．有两边及一组对应角相等的两个三角形全等

C．全等三角形的周长相等

D．有一条直角边对应相等的两个三角形全等

2．下列命题中正确的是（）

A．实数是有理数B．无限小数是无理数

C．数轴上的点与有理数一一对应

D．数轴上的点与实数一一对应

3．下列命题为假命题的是（）

A．等腰三角形的两腰相等

B．等腰三角形的两底角相等

C．等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合D．等腰三角形是中心对称图形

4．下列的真命题中，它的逆命题也是真命题的是（）

A．全等三角形的对应角相等

B．两个图形关于轴对称，则两个图形是全等形

C．等边三角形是锐角三角形

D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.5．如图1－1－15，在△ABC中，CD⊥ AB，请你添加一个条件，写出一个正确的结论（不在图中添加

辅助线）

条件：_____________________________________

结论：

_____________________________________

考点3：尺规作图

一、考点讲解：

1．五种基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平

分线；作三角形．

2．尺规作图要求：了解尺规作图的步骤，会写已知、求作和作法（不要求证明）．

二、经典考题剖析：

【考题3－1】（2004、湖北宜昌，7分）如图1－l－17，已知△ABC，（1）作∠B的角平分线（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)

（2）若∠C=90○，∠B=60○，BC=4，∠B的平分

线交AC于点D，请求出线段BD的长．

解：（1）如图1－1－18，BD为∠ABC的角平分线；

（2）因为BD为∠ABC的平分线，∠ABC=60○．

所以∠CBD=30○．又∠C=90○，所以 BD=2CD，设CD=x，则BD=2x．而BC=4，所以（2x）2－x2 =42所以,所以BD=

2点拨：求BD的长，也可利用三角函数知识求解．

三、针对性训练：(15分钟)

1．利用基本作图，不能作出唯一三角形的是（）

A．已知三边B．已知两边及夹角

C．已知两角及夹边 D.已知两边及其中一边的对角

2．用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是（）

A．已知两条直角边B．已知两个锐角

C．已知一直角边和一锐角D已知斜边和一直角边

3．作线段的垂直平分线的理论，根据是_______和两点确定一条直线．

4．请根据图1－l－19所示的作图痕迹，填写画线段AB的垂直平分线的步骤．

第一步：分别以_______、________为圆心，以大于_________半的长度为半径画弧，两弧在AB的两侧分别相交于点_____和_______；

第二步：经过点_______和______画______，直线CD就是线段AB的垂直平分线．

5、∠AOB如图1－l－20所示，请用直尺和圆规作出∠AOB的平分线．要求保留作图痕迹，不写作法）

各地中考真题回顾

1、如图1－1－22,在等腰RtABC 中,AC=BC,以斜边AB为一边作等边ABD,使点C,D在AB的同侧;再以CD为一边作等边CDE,使点C,E落在AD的异侧.若AE=1,则CD的长为（）

2、下面是数学课堂的一个学习片断．阅读后，请回答下面的问题：

学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．

同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°”．还有一些同学也提出了不同的看法．

（1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？

（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）

3、如图，在Rt△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点P沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。A

⑴、求x为何值时，PQ⊥AC；

⑵、设△PQD的面积为y(cm2)，QO

当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；

⑶、当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积； 图1－1－24 BD

⑷、探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系。请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程)

4、已知：如图1－1－24，AG∥BC，DE∥AG，GF∥AB，点点E为AC的中点，求证：DE=FC5、已知：如图1－1－25，△ABC中，∠B=90°，∠BAD=∠ACB,AB=2，BD=l，过点D作DM⊥AD交AC于点M，DM的延长线与过点C的垂线交于点P．

(1)求sin∠ACB的值；

(2)求MC的长；

图

－1－

5(3)若点Q以每秒1个单位的速度由点C向点P运动，是否存在某一时刻t，使四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积；若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由

6、如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知∠ABD＝∠ACD,∠BDE＝∠CDE．求证：BD＝CD7、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30。，则顶角的度数为（）图1－1－26(A)60(B)120(C)60或50(D)60或120

8、已知△ABC，(1)如图1－1－27，若P点是ABC和ACB的角平分线的交点，则 P=901A； 2

(2)如图1－1－28，若P点是ABC和外角ACE的角平分线的交点，则P=90A；

(3)如图1－1－29，若P点是外角CBF和BCE的角平分线的交点，则P=902A。

第二篇：初三数学《证明二》测试题

初三数学《证明二》测试题

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、两个直角三角形全等的条件是（）

A、一锐角对应相等 B、两锐角对应相等 C、一条边对应相等D、两条边对应相等

2、如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是（）

A、SASB、ASAC、AASD、SSS3、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）

7、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=12cm，则△DEB的周长（）

A、6cmB、8cmC、12cm D、24cm8、如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（）

A.2mB.3mC.6mD.9m9、如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加

一个条件，即可推出AB=AB′，那么该条件可以是（）

A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACBD、∠ABC=

∠AB′C10、如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE

A.△ABC 的三条中线的交点B.△ABC 三边的中垂线的交点 C.△ABC 三条角平分线的交点D.△ABC

与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论要：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数（）

4．如图所示，AB = AC，要说明△ADC≌△AEB

不能是（．．BE)A．∠

B ＝∠CB.AD = AEC．∠ADC＝∠AEBD.DC =

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题(每小题3分，共30分)

1、如果等腰三角形的一个角是80°，那么顶角是().2、等腰三角形的两个底角相等的逆命题是()．

3、等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形周长分为15cm和12cm的两部分，则底边长为()．

5、如图，△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交CB边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数为（）A、2B、3C、4D、56、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则．．．．．

C的个数是（）

A．6

是点

4、如图，点F、C在线段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还须补充一个条件()

5、如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE，AB=AC。若∠B=20°，则∠C=()°.B．7 C．8 D．96、在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC边上的中线AD=4cm，则∠ADC的度数是()度.7、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，则∠BCD的度数为().8、如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于点D，BD∶DC=2∶1，BC=7.8cm，则D到AB的距离为()cm.9、等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为().10、如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C．AE＝AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。其中正确的结论是()（注：将你认为正确的结论都填上．）

三、解答题

1、已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC2、如图，△ABC中，AD⊥BC于D,AB+BD=DC,求证：∠B=2∠C3、如图，BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别是点E,F.BE,CF 交于点D，且BD=CD，求证：AD平分∠BAC.（选做）

4、已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．

（1）求证：AB＝BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．

C D

（选做）

5、如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。

第三篇：北师大初三数学证明二知识要点

证明

（二）知识点一、三角形分类：

钝角三角形

1.按角分直角三角形



锐角三角形不等边三角形2.按边分

底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

底和腰相等的等腰三角形（即等边三角形）

二、三角形全等 1.三角形全等判定方法

① 公理 三边对应相等的两个三角形全等。（简称“边边边”或“SSS”）

② 公理 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。（简称“边角边”或“SAS”）③ 公理 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。（简称“角边角”或“ASA”）④ 推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（简称“角角边”或“AAS”）

⑤ 定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

（简称“斜边、直角边”或 “HL”）2.全等三角形性质

公理 全等三角形的对应边、对应角相等。

三、等腰三角形

（）定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

(2)判定：可用定义

1.等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称:等角对等边）

(3)性质： 定理 等腰三角形的两个底角相等。（简称:等边对等角）



推论 等腰三角形顶多的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。（简称“三线合一”）等腰三角形是轴对称图形。（）定义： 三条边相等的三角形是等边三角形。

1(2)判定：可用定义

有一个角等于602.等边三角形的等腰三角形是等边三角形。

三个角都相等的三角形是等边三角形。



(3)性质： 等边三角形的三边相等。等边三角形三个角都相等且都等于60。等边三角形具有等腰三角形的性质。

四、直角三角形。

1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

2.勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角

三角形；

3.性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

4.判定定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。

5.性质定理：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

五、线段的垂直平分线。

1.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

（线段垂直平分线上的点有何性质）

2.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（满足什么条件的点在线段的垂直平分线上）

3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。角平分线。（这一点叫做三角形的外心）

4.外心：三角形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心。5.三角形外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等。

六、角平分线上

1.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（角平分线上的点有何性质）

2.判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

（满足什么条件的点在角平分线上）

3.三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（这一点叫做三角形的内心）

4.内心：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。5.三角形内心的性质：内心到三角形三条角平分线的距离相等。4.逆命题、互逆命题的概念，及反证法

如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

七、反证法、逆命题、互逆命题、互逆定理。

第四篇：初中数学几何证明中考知识点真题

10．（3分）（2015•攀枝花）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，∴S四边形BCDG=S四边形CMGN，S四边形CMGN=2S△CMG，∵∠CGM=60°，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论： ①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=

CG

2；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．

其中正确的结论个数为（）

A．4 B． 3

考点： 四边形综合题．.分析： ①先证明△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；

②证明∠BGE=60°=∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC=∠DGC=60°，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，所以S四边形BCDG=S四边形CMGN，易求后者的面积； ③过点F作FP∥AE于P点，根据题意有FP：AE=DF：DA=1：3，则FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF； ④因为点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，当点E，F分别是AB，AD中点时，CG⊥BD；

⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°． 解答： 解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A=∠BDF=60°，又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，故本选项正确；

②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，∴∠BGC=∠DGC=60°，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），则△CBM≌△CDN（AAS），∴GM=CG，CM=

CG，∴S四边形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=

CG2，故本选项错误；

③过点F作FP∥AE于P点（如图2），∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，C．∴ 2 FP：BE=FP：

=1：D6．，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG=FP：BE=1：6，即BG=6GF，故本选项正确；

④当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3），由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，∵点E，F分别是AB，AD中点，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG，在△GDC与△BGC中，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；

⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，故本选项正确；

综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故选B．

点评： 此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键．

第五篇：中考数学几何证明、计算题及解析

1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1)求证：DC=BC;

(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；

(3)在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值.AB[解析]（1）过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以DM

(2)等腰三角形.21.即DC=BC.2F

D

C证明：因为DEDF,EDCFBC,DCBC.所以，△DEC≌△BFC

所以，CECF,ECDBCF.所以，ECFBCFBCEECDBCEBCD90

即△ECF是等腰直角三角形.（3）设BEk,则CECF

2k，所以EF.因为BEC135，又CEF45，所以BEF90.所以BF3k 所以sinBFEk1.3k32、已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

[解析]（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．

∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝11AB，CF＝CD ． 2

2∴AE＝CF

∴△ADE≌△CBF ．

（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形 AGBD是矩形．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC ．

∵AG∥BD，∴四边形 AGBD 是平行四边形．

∵四边形 BEDF 是菱形，∴DE＝BE ． ∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE ．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB＝90°．∴四边形AGBD是矩形

3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段

BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

A(B(E)

图13－1 图13－

2图13－

3[解析]（1）BM=FN．

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF． 又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．

（2）BM=FN仍然成立．

（3）证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF． ∴∠MBO=∠NFO=135°．

又∵∠MOB=∠NOF，∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．

4、如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。

（1）若sin∠BAD，求CD的长；

5（2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）。

[解析]（1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5

所以∠ADB＝90°，AB＝10

BD

AB

3BD

3，所以BD6 又sin∠BAD，所以

5105

在Rt△ABD中，sin∠BAD

AD

AB2BD22628

因为∠ADB＝90°，AB⊥CD

所以DE·ABAD·BD，CEDE 所以DE1086 所以DE5

485

所以CD2DE

（2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD

所以CBBD，ACAD

所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD 因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO 所以∠CDB＝∠ADO

设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x

由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝x 因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90° 所以4x4xx90 所以x＝10°

所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100° 所以∠AOC＝∠AOD＝100°

⌒⌒⌒⌒

S扇形OAC

100125

52360185、如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.

（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

[解析](1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF

∴

EHAECE，∵HE＝EC，∴BF＝FD



BFAFFD

(2)方法一：连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵F是BD中点，∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线---------6′

方法二：可证明△OCF≌△OBF(参照方法一标准得分)(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC可证得：FA＝FG，且AB＝BG由切割线定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2○2 在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2 ○

1、○2得：FG2-4FG-12=0 由○

解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去）

∴AB＝BG＝42 ∴⊙O半径为226、如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3），⊙A的半径为2．过A作直线l平行于x轴，点P在直线l上运动．（１）当点P在⊙O上时，请你直接写出它的坐标；

（２）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由.[解析]

解: ⑴点P的坐标是（2,3）或（6,3）

⑵作AC⊥OP,C为垂足.∵∠ACP=∠OBP=90,∠1=∠

1∴△ACP∽△OBP



ACAP

OBOP

AC 在RtOBP中,OP又AP=12-4=8,∴ 3∴

∴

AC=241.9

4∵1.94<

2∴OP与⊙A相交.7、如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C.求证：∠ACB=

∠OAC.3O

A

B

[解析]

证明：连结OE、AE，并过点A作AF⊥DE于点F，（3分）

∵DE是圆的一条切线，E是切点，∴OE⊥DC，又∵BC⊥DE,∴OE∥AF∥BC.∴∠1=∠ACB，∠2=∠

3.∵OA=OE，∴∠4=∠3.∴∠4=∠2.又∵点A是OB的中点，∴点F是EC的中点.∴AE=AC.∴∠1=∠2.∴∠4=∠2=∠1.即∠ACB=

∠OAC.3



8、如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为60． ⑴求AO与BO的长；

⑵若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；

②如图３，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点．若∠POP’＝ 15，试求AA’的长．



[解析]

⑴RtAOB中,∠O=90,∠α=60 ∴,∠OAB=30，又ＡＢ＝4米，





AB2米

.2

OAABsin604.--------------(3分)

∴OB

⑵设AC2x,BD3x,在RtCOD中,OC2x,OD23x,CD4

根据勾股定理:OC2OD2CD2

∴2x



23x2

42-------------(5分)

∴13x2

12x0 ∵x0∴13x12830

∴x-------------(7分)

即梯子顶端A沿NO

.----(8分)

⑶∵点P和点P分别是RtAOB的斜边AB与RtA'OB'的斜边A'B'的中点∴PAPO，P'

A'P'O-------------(9分)∴PAOAOP,PAOAOP-------(10分)∴PAOPAOAOPAOP

∴PAOPAOPOP15

∵PAO30

∴PAO45

-----------------------(11分)

∴AOABcos45

4

分)

∴AAOAAO米.--------(13分)