第一篇：北师大版,九年级数学上册,证明(二)(三)知识点总结（最终版）
第一章 证明
（二）知识点
一、证明三角形全等的方法
SSSSASASAAASHL
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
二、与等腰三角形有关的定理
定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形
1、等边对等角
2、等腰三角形三线合一（底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线）
3、等角对等边
三、与等边三角形有关的定理
定义：有三条边相等的三角形是等边三角形
1、等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于
60°
2、三个角都相等的三角形是等边三角形
3、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
四、与直角三角形有关的定理
1、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一
半，那么这条直角边所对的锐角等于30°
3、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于
斜边的平方
4、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等
于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
五、与线段的垂直平分线有关的定理
1、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
2、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
3、三角形三条边的垂直平分线相较于一点，并且这
一点到三个顶点的距离相等
六、与角平分线有关的定理
1、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上
3、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点
到三条边的距离相等
七、线段垂直平分线的作法
八、角平分线的作法
第三章证明
（三）知识点
一、平行四边形：
1、性质定理：
平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分。
2、判定定理：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
二、等腰梯形：
1、性质定理：
等腰梯形在同一底上的两个角相等； 等腰梯形的两条对角线相等。
2、判定定理：
同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。三、三角形中位线定理：
三角形的中位线平行且等于第三边的一半。
四、矩形：
1、性质定理：
矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等
2、判定定理：
有一个角是90°的平行四边形是矩形（定义）； 有三个角是直角的四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形。
3、定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
五、菱形：
1、性质定理：
菱形的四条边相等．
菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．
2、判定定理：
有一组临边相等的平行四边形是菱形（定义）；四条边都相等的四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
六、正方形：
1、性质定理
正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
2、判定定理
有一组临边相等的矩形是正方形（定义）； 有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。菱形的面积等于对角线乘积的一半。
七、中点四边形：
任意四边形的中点四边形是平行四边形；平行四边形的中点四边形是平行四边形； 矩形的中点四边形是菱形； 菱形的中点四边形是矩形； 正方形的中点四边形是正方形； 等腰梯形的中点四边形是菱形。
第二篇：九年级上册数学知识点总结
九年级上册数学知识点总结归纳
第二十一章
一元二次方程
第二十二章
二次函数
第二十三章
旋转
第二十四章
圆
第二十五章
概率初步
第二十一章
一元二次方程
知识点1：一元二次方程的概念
一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为
0，这样的方程叫一元二次方
程．
一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）。注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
知识点2：一元二次方程的解法
1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=
=-a+
=-a-
2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b<0，则原方程无解．
3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是(b2－4ac≥0)。步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程乘积的形式，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：
⑴
在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．
⑵
应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解．
⑶
利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)
=3（x＋4）中，不能随便约去x＋4。
⑷
注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．
6．一元二次方程解的情况
⑴b2－4ac≥0方程有两个不相等的实数根；
⑵b2－4ac=0方程有两个相等的实数根；
⑶b2－4ac≤0方程没有实数根。
解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首先考虑用b2－4ac解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。
知识点3：根与系数的关系:韦达定理
对于方程ax2＋bx+c=0(a≠0）来说，x1
+x2
=—，x1●x2=。
利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如。
解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理。
知识点4：一元二次方程的应用
一、考点讲解：
1．构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下：
⑴
与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等；
⑵
有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的等量关系是a(1±x）2=b，其中a表示增长（降低）前的数据，x表示增长率（降低率），b表示后来的数据。注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过1。
⑶
经济利润问题：总利润=（单件销售额－单件成本）×销售数量；或者，总利润=总销售额－总成本。
⑷
动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。
2．注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．
一元二次方程与实际问题
1、病毒传播问题
2、树干问题
3、握手问题（单循环问题）
4、贺卡问题（双循环问题）
5、围栏问题
6、几何图形（道路、做水箱）
7、增长率、降价率问题
8、利润问题（注意减少库存、让顾客受惠等字样）
9、数字问题
10、折扣问题
第二十二章
二次函数一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2.二次函数的结构特征：
⑴
等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵
是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式：的性质：
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
时，随的增大而
；时，随的增大而
；时，有最
值
．
时，随的增大而
；时，随的增大而
；时，有最
值
．
2.的性质：
上加下减。的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
时，随的增大而
；时，随的增大而
；时，有最
值
．
时，随的增大而
；时，随的增大而
；时，有最
值
．
3.的性质：
左加右减。的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
时，随的增大而
；时，随的增大而
；时，有最
值
．
时，随的增大而
；时，随的增大而
；时，有最
值
．
4.的性质：的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
时，随的增大而
；时，随的增大而
；时，有最
值
．
时，随的增大而
；时，随的增大而
；时，有最
值
．
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤：
方法一：⑴
将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵
保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左
右，上
下
”．
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）
⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
四、二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
五、二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.六、二次函数的性质
1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
七、二次函数解析式的表示方法
1.一般式：（，为常数，）；
2.顶点式：（，为常数，）；
3.两根式（两点式）：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴
当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵
当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2.一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴
在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，即抛物线对称轴在轴的右侧．
⑵
在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
总结：
3.常数项
⑴
当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵
当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶
当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1.关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
2.关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
3.关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
5.关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数：
①
当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.②
当时，图象与轴只有一个交点；
③
当时，图象与轴没有交点.当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
2.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；
3.二次函数常用解题方法总结：
⑴
求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵
求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶
根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷
二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.抛物线与轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.⑸
与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
图像参考：
十一、函数的应用
二次函数应用
二次函数考查重点与常见题型
1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以为自变量的二次函数的图像经过原点，则的值是
2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是（）
y
y
y
y
0
x
o-1
x
0
x
0
x
A
B
C
D
3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：
已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。
4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：
已知抛物线（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－
（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1
（1）二次函数的图像如图1，则点在（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
(1)
(2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1
A
1个
B.2个
C.3个
D．4个
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（）
A(2，-3)
B.(2，1)
C(2，3)
D．(3，2)
例4、如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．
（1）写出y与x的关系式；
（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y=x2+x-．
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．
例6.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于，两点，交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB．
(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO>∠ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．
例7、“已知函数的图象经过点A（c，－2），求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
点评：
对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。
用二次函数解决最值问题
例1
某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x（元）
…
y（件）
…
若日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．
例2.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4
m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5
m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5
m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)
（）
A．1．5
m
B．1．625
m
C．1．66
m
D．1．67
m
分析：本题考查二次函数的应用
第二十三章
旋转
一、旋转
1、定义
把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
二、中心对称
1、定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3、判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
考点五、坐标系中对称点的特征
（3分）
1、关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）
2、关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）
3、关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）
第二十四章
圆
一、知识回顾
圆的周长：
C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr²
圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）
二、知识要点
一、圆的概念
集合形式的概念：
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内
点在圆内；
2、点在圆上
点在圆上；
3、点在圆外
点在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离
无交点；
2、直线与圆相切
有一个交点；
3、直线与圆相交
有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）
无交点；
外切（图2）
有一个交点；
相交（图3）
有两个交点；
内切（图4）
有一个交点；
内含（图5）
无交点；
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径
②
③
④
弧弧
⑤
弧弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧
六、圆心角定理
顶点到圆心的角，叫圆心角。
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①；②；
③；④
弧弧
七、圆周角定理
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角
∴
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙中，∵是直径
或∵
∴
∴是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
∴△是直角三角形或
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中，∵四边形是内接四边形
∴
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端
∴是⊙的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
∴
平分
十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙中，∵弦、相交于点，∴
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙中，∵直径，∴
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙中，∵是切线，是割线
∴
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙中，∵、是割线
∴
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：垂直平分。
即：∵⊙、⊙相交于、两点
∴垂直平分
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：中，；
（2）外公切线长：是半径之差；
内公切线长：是半径之和。
十四、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在中进行，：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在中进行，.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：；
（2）扇形面积公式：
：圆心角
：扇形多对应的圆的半径
：扇形弧长
：扇形面积
2、圆柱：
（1）A圆柱侧面展开图
=
B圆柱的体积：
（2）A圆锥侧面展开图
=
B圆锥的体积：
第二十五章
概率初步
一、概率的概念
某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率.2、事件类型：
①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.②不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.③不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.3、概率的计算
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都
相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为
（1）
列表法求概率
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
（2）
树状图法求概率
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
4、利用频率估计概率
①利用频率估计概率
：在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
②在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。
③随机数：在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。
第三篇：最新北师大版三年级数学上册知识点总结（范文模版）
北师大版三年级数学上册知识点总结 班级-——————姓名————————
1、一年 有（12）个月，一个月有（31）天的月份叫(大月)，有(7)个大月：包括（1 月、3 月、5 月、7 月、8 月、10 月、12 月），一个月有（30）天的月份叫小月，有(4)个小月：包括（4 月、6 月、9 月、11 月），还有一个特别的 2 月，有 28 天或 29 天。2、2 月有 28 天的年份叫平年。平年的 2 月有 28 天，平年一年有 365 天，也就是52个星期多1天。
月有 29 天的年份叫闰年。闰年的 2 月有 29 天，闰年一年有 366 天，也就是52个星期多2天。3、2 月 29 日只有闰年才有，每四年才出现一次。
4、一年 有4 个季度，第一季度包括：1 月、2 月、3 月，平年共计90天，闰年共计91天；第二季度包括：4 月、5 月、6 月 共计：91 天； 第三季度包括：7 月、8 月、9 月 共计：92 天；第四季度包括：10 月、11 月、12 月 共计：92 天 ；
5、每年的下半年天数都相同，都有 184 天。
6、每年的上半年天数有所不同，平年上半年有 181 天，闰年的上半年有 182 天。
7、判断平年、闰年的方法： 1）、将年份或者年份末两位数除以 4（4 年一闰）没有余数是闰年，有余数就是平年 2）、遇到末尾有 2 个 0 的整百年份，要将年份除以 400，没有余数是闰年，有余数就是平年。
9、小明今年12岁了，他只过了3个生日，她的生日是2月29日。
10、一天 有24 小时，时针走 2 圈。（时针走一圈 12 小时，分针走一圈 60 分即 1 小时），一 天（从凌晨 0 点起）
11、普通计时法 →转换成 24 时计时法： 中午 12 点之前：数字不变，只要去掉前面的限定词；例如：上午11时（11时），凌晨1时（1时）中午 12 点之后：先去掉前面的限定词，再加上 12；例如：：下午1时（13时），晚上11点（23时），晚上12时（24时或者0时）时计时法 → 转化成普通计时法： 小于 12 时：数字不变，在前面加上凌晨、上午或者中午。如：1时（凌晨1时），上午11时（11时）
大于 12 时：数字要减去 12，再在前面加上下午、晚上或者深夜。如：13时（下午1时），22时（晚上10时）
12、“经过了几个小时？”的问题 一定要用后面的时间去减前面的时间，而且两个时间的计时方法一定要一样。（都为24时计时法或都为普通计时法）
13、搭配问题一定要注意顺序。思考时要有先后顺序（先确定一项，再考虑另一项）。如果第一项有a种，第二项有b种，那么搭配的方案就有（a×b）种。
14、日历中的规律：1）横着看每行相邻的两个数相差1，右边的数总比左边的数大1.2）竖着看每列相邻的两个数相差7，下面的数总比上面的数大7.3）九个数中对角线上三个数的和，横着竖着正中间的三个数的和都相等。4）九个数的和是正中间那个数的9倍。
15、乘数末尾有几个零，积的末尾不一定有几个零。如：2000÷4=500
16、被除数的末尾有几个零，商的末尾不一定有几个零。如：20÷4 = 5
17、用竖式计算两、三位数乘一位数时要注意：（1）数位要对齐，计算时，从个位开始乘。（2）与哪一位相乘，积就写在哪一位上。（3）哪一位满几十，就向前一位进几。
18、连乘、连除、乘除混合运算 运算顺序：先算前面的再算后面的，有小括号的先算小括号里面的。连乘：① 乘数的位置可以随意交换 ② 只要有一个乘数是零，积就是零。19、0 乘任何数都得零，1 乘任何数还得原来的数。0加任何数还得原来的数。20、单价×数量=总价，总价÷数量=单价；速度×时间=路程，速度=路程÷时间
收入-花费=节余，收入-节余=花费，节余+花费=收入
21、两个乘数的和不变，那么大小比较接近的两个数的乘积要大一些。
22、乘数中间有0，积中间不一定有0.23、图形一周的长度叫做图形的周长。
24、求图形的周长就是求围成周长各小段的长度的和。
25、找周长要注意：① 沿着边线找 ② 从哪点出发要回到哪点
26、长方形的周长 = 长+宽+长+宽 = 长×2＋宽×2 = ﹙长＋宽﹚×2
条件：必须知道一个长和一个宽或一个长加一个宽的和 长方形的长+宽=周长÷2（必须知道周长）长=周长÷2-宽（必须知道周长和宽）宽=周长÷2-长（必须知道周长和长）
27、正方形的周长 = 边长×4 边长 =正方形的周长÷4
28、用铁丝折成正方形，铁丝的长度就是围成的正方形的周长。
29、长方形中最大的正方形,边长等于长方形的宽(较短的一条).30、由四个小正方形拼成大正方形，四个小正方形的周长是大正方形周长的2倍，或四个小正方形的周长比大正方形多4条大正方形的边长。
31、正方形的周长扩大几倍，它的边长也扩大几倍。
32、周长相等的两个正方形，它们的边长一定也相等。
33、周长相等的两个长方形，它的形状不一定相同。
34、小数的组成部分：整数部分、小数点、小数部分。
计算小数加减法时，小数点一定要对齐，也就是相同数位一定要对齐。
35、小数的读法：如5.98读作五点九八，也就是整数部分和整数的读法一样，小数点读作点，小数部分就像读电话号码一样，依次读出每一个数位上的数。
36、小数点后面有一位数的我们叫做一位小数，如7.9 8.6 4.7 0.1等等；小数点后面有两位数的我们叫做两位小数，如0.01 7.89 6.34
37、以元为单位的小数，如6.78元表示6元7角八分，也就是以元为单位的小数，整数部分表示几元，小数点后面第一位表示几角，小数点后面第二位表示几分，如果出现表示7角，我们用小数表示是0.70元，生活中表示价格习惯上保留两位小数，当然表示成0.7也对。
38、以米为单位的小数：1米=10分米=100厘米，把1米平均分成10份，每份是1分米，也是十分之一米，表示成小数是0.1米，注意0.1中的1表示1分米，分母是10的分数，表示成小数是一位小数。把1米平均分成100份，其中的一份是1厘米，也就是一百分之一米，表示成小数是0.01米，0.01中的1是1厘米，分母是100的分数，表示成小数是两位小数
这里注意以米为单位的小数，整数部分表示几米，小数点后面第一位表示几分米，小数点后面第二位表示几厘米。
39、小数大小的比较，先比较整数部分，整数部分大的他就大；如果整数部分一样，再比较小数点后面第一位，小数点后面第一位大的它就大；如果小数点后面第一位又一样，再比较小数点后面第二位，小数点后面第二位大的它就大。40、从不同的方位观察物体，看到的形状可能是不同的；
41、不管从哪个方位观察，一次最多只能看到三个面。（例如：观察长方体或正方体时，从固定位置最多能看到三个面。）
42、当我们从某一方位看到两个或三个面的时候，这些面都是相邻的面；不可能从某一方位同时看到物体相对的面。
43、正确辨认方位的方法：正面，上面和侧面是相对于观察者而言的，以观察者所站的位置来确定。
44、从左面观察和从右面观察是不一样的；从正面观察和从背（后）面观察不一样，位置恰好相反。
45、在计算混合运算时，有括号的先算括号里面的，再算乘除法，最后算加减法。46、1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米
1毫米=0.1厘米 1厘米=0.1分米 1分米=0.1米
1元=10角 1角=10分 1分=0.1角 1角=0.1元 1分=0.01元 7.89元=7元8角9分 2.08米=2米0分米8厘米 元.角 分 米.分米 厘米 5个1角，就是5个0.1元，是0.5元 10个1角，就是10个0.1元，是1元 6个1分米，就是6个0.1米，是0.6米 10个1分米，就是10个0.1米，是1米 12个0.1元是1.2元，12个0.1米是1.2米。
第四篇：北师大版小学数学知识点总结 (上册)
Y.E.S.教育金牌学案
一年级
第一册 一单元 生活中的数
一、数数
二、识数，认识阿拉伯数字
三、写阿拉伯数字
第二单元 比较
一、介绍等号，大于符号，小于符号，以及其表示的意义
二、比较数的大小
三、从数的大小到生活中各类事物的大小，多少，高矮，轻重的比较
第三单元 加减法
一、介绍加法符号，以及十以内的无进位的加法。加法交换律的初步认识
二、介绍减法符号，减法的意义，十以内数字的减法
三、加法与减法的内在联系，进一步理解减法的意义
第四单元 分类
一、对事物进行简单的归类，根据归类进行分类。
第五单元 位置与顺序
一、前后顺序，位置的前后给事物排序
二、大小顺序，数的大小排序
三、上下顺序
四、左右顺序
五、将各种顺序与生活中的实际情况相联系
第六单元 认识物体
一、从实际出发认识几何物体
二、从直观上认识正方体，长方体，圆柱体，球体
第七单元 加减法
（二）一、十以上的数的认识，数位的初步的认识
二、加数有十以上，和为二十以下无进位的加法 三、二十以内无借位的减法 四、二十以内有进位的加法 五、二十以内有借位的减法
第八单元 认识钟表
一、认识钟表的各组成部分，时针，分针的认识，以及其代表的意义
二、从时针，分针分布的位置大致的判断时间
第九单元 统计
/1
Y.E.S.教育金牌学案
一、分类统计基础，认识条形统计图，学画条形统计图
二、统计图的运用，根据统计图比较统计中各项的大小
三、总复习
二年级
第一单元 数一数与乘法
一、从几个相同的数相加，引出乘法的定义。乘法的符号，乘法算式的读法
二、用乘法表示几个相同的数相加，列乘法算式
三、进一步了解乘法算式意义，体会乘法与加法的联系
第二单元 乘法口诀 一、五的乘法口诀 二、二的乘法口诀 三、三的乘法口诀
四、复习五，二，三的乘法口诀
第三单元 观察物体
一、认识观察物体的不同方面，上面，正面，左右面
二、从不同方面观察物体，能分辨是从哪个方面观察的图形
第四单元 分一分与除法
一、从均分东西引出除法的概念，认识除法的意义
二、对除法进行介绍，除法符号，算式的读法，算式中各项的名称
三、理解除法与乘法之间的联系，通过乘法口诀求商
四、倍的概念，理解什么是倍，用除法求倍数
第五单元 方向与位置
一、认识方向，东南西北
二、认识路线图，辨认方向，上北下南，左西右东 第六单元 时分秒
一、认识钟面，钟面的刻度，以及时分秒针
二、计时单位时分秒的认识，以及单位之间的换算
第七单元 乘法口诀
（二）一、六的乘法口诀 二、七的乘法口诀 三、八的乘法口诀 四、九的乘法口诀
五、整理与复习乘法口诀
第八单元 除法
/2
Y.E.S.教育金牌学案
一、利用乘法口诀做除法，进一步了解乘除法之间的关系
二、用除法解决实际问题 第九单元 统计与猜想
一、数据的调查，整理
二、通过显示活动进行初步统计
三年级
第一单元 乘除法
一、整
十、整百、整千数乘以一位数的乘法
二、两位数与一位数的乘法 三、一位数除整
十、整百、整千数的除法
四、除数是一位数的除法
第二单元 观察物体
一、从不同方向观察立体图形，二、能区别从不同方向观察到的立体图形
第三单元 千克、克、吨
一、结合实际了解克、千克的重量
二、介绍一千克与克之间的关系，克、克进行换算
三、结合实际了解吨的重量
四、介绍吨与千克之间的关系，对吨、千克、克进行换算
五、搭配，初步的排列、组合
第四单元 乘法
一、两、三位数乘一位数的乘法，无进位
二、有零的乘法
三、因数中间或末尾有零的乘法
四、连乘
五、黄豆问题，结合实际的估算
第五单元 周长
一、周长的概念，介绍什么是周长
二、测算三角形，平行四边形，梯形的周长
三、正方形，长方形的周长计算公式
四、利用周长，乘除法解决生活中的问题
第六单元 除法
一、两位数除以一位数
二、零作为被除数的除法
三、两位数除以一位数，商中间或末尾有零的除法 四、三位数除以一位数的除法，被除数最高位上的数小于除数的除法
/3
Y.E.S.教育金牌学案
五、连乘，除混合运算
第七单元 年月日
一、年月日的认识，闰年，平年，大月，小月
二、认识日历 三、二十四小时与上十二小时时制之间的换算 第八单元 可能性
一、从实际除法，了解事物发生的可能性。可能性的相关概念，了解可能性的大小
二、对生活中的现象进行推理、判断
四年级
第一单元 认识更大的数
第一节 数一数 通过实例体会更大的数的必要性，介绍什么是更大的数 第二节 人口普查 估计多位数，正确的读写多位数 第三节
国土面积 数据改写的必要性，数据改写的方法 第四节 森林面积近似数 四舍五入法求近似数
第二单元 线与角
第一节 显得认识 介绍直线，线段，射线的相关概念，用字母表示自限，线段，射线的方法 第二节平移与平行平行线，平移的概念，用三角板、直尺作平行线的方法
第三节 相交与垂直 相交与垂直的认识，用三角尺画垂线的方法，垂直的记法，殿宇线段之间垂线最短的介绍
第四节 旋转与角平角、周角的介绍，角度的认识，用工具画角、量角
第三单元 乘法
第一节 卫星运行时间，三位数乘两位数的计算方法，列竖式计算 第二节 体育场 三位数乘两位数的估算
第三节 神奇的计算器 电子计算器 运用计算器进行四则运算，探索计算规律 第四节 巩固计算器的运用，探索数学规律
第五节 计算工具的演变 简要介绍一些计算工具的演变
第六节 乘法结合律、交换律 通过探索发现乘法结合律。并用字母将其表示。利用乘法结合律进行简便计算
第七节 乘法分配律 探索乘法分配律，应用乘法分配律进行简便运算 第四单元 图形的变换
第一节 图形的旋转 图形的旋转和平移 图形旋转的三要素
第五单元 除法
第一节 买文具 除数是整十数的除法
第二节 路程、时间与速度 时间与路程、速度之间的关系。利用路程时间速度之间的关系解决问题 第三节 参观苗圃 桑拿位数除以两位数，有余数的除法 第四节 秋游 体会改商的过程
第五节 国家体育馆 以亿为单位的大数的认识
/4
Y.E.S.教育金牌学案
第六节 商不变的规律 介绍商不变的规律
第七节 中括号 中括号的性质，运算的优先级，四则运算中的运算顺序 第六单元 方向与位置
第一节 确定位置 确定位置的方法，用数对确定位置
第二节 确定位置
（二）方向与距离对确定位置的作用，根据方向和距离确定位置，描述路线图。
第七单元 生活中的负数
第一节 温度 对零下温度的介绍，读写方法以及其两个零下温度的比较，直观的理解负数的意义 第二节 正负数 从现实生活出发介绍负数的意义，并用负数表示生或中的问题。第八单元 统计
第一节 栽蒜苗 条形统计图中一格表示多个单位数字 第二节 栽蒜苗
（二）折现统计图的认识 总复习
五年级
第一单元 倍数和因数
第一节 数的世界 自然数 整数的的概念与区分。倍数和因数，联系乘法认识倍数和因数
第二节 倍数的特征 认识5、3、2等数的倍数及其特征
第三节 找因数 用小正方形拼长方形的活动体会找因数的方法，在一到一百之内找出所有自然数的因数 第四节 找质数 由长方形分解为小正方西的活动体会找质数与合数 第五节 数的奇偶性 奇数，偶数的性质，特征
第二单元 图形的面积
第一节 面积的意义，借助方格纸估计图形的面积
第二节 地毯上的图形面积 直接在方格图上数出面积，介绍分割的方法，将复杂的图形转换为简单的图形 第三节 动手做 介绍平行四边形的面积，平行四面形底和高的认识 第四节平行四边形的面积平行四边形的面积公式和推导过程 第五节 三角形的面积 三角形的面积公式 第六节 梯形的面积公式
第三单元 分数
第一节 分数的再认识，进一步认识分数，理解分数的意义
第二节 分饼 真分数，假分数，带分数的认识，会读写带分数，加假分数化作带分数 第三节 分数与除法 分数与除法的关系 用分数表示两数相除的商，利用分数与除法的关系，进行假分数的与带分数的互化
第四节
分数的基本性质 理解分数的性质，分数的分子分母同时乘除零以外的数，分数的大小不变
第五节 找最大公因数，一辆额数找公因数，介绍公因数和最大公因数的意义，找公因数和最大公因数的方法
第六节
约分 介绍约分的含义，以及约分的方法，并通过约分将分数化为最简分数
第七节 找最大公倍数 介绍公倍数和最小公倍数的意义以及其相关应用，找公倍数和最小公倍数的方法 第八节 分数的大小 分数大小的比较方法 不同分母的分数的大小比较方法，就爱那个不同分母的数化作同分母
/5
Y.E.S.教育金牌学案
第九节 数学与交通 利用所学知识列方程解决问题
第十节
旅游费用，利用所学知识从给定条件中选择最佳方案 第十一节 看图找关系 数量关系，图表的认识
地四单元 分数的加减
第一节 折纸 介绍异分母分数的加减法则
第二节 星期日的安排 分数的加减混合运算法则
第三节 看课外书时间 分数与小数的比较，分数小数的互化方法
第五单元 图形的面积
（二）第一节 组合图形面积 将组合图形分为简单图形，组合图形面积的计算方法
第二节
成长的脚印 不规则图形的面积的估算，用数格子的方法计算不规则的图形的面积 第三节
鸡兔同笼 用列表、作图的方法解决鸡兔同笼的问题 第四节 点阵中的规律，长日常现象中法相特殊规律
第六单元 可能性的大小
第一节 摸求游戏 数据表达可能性
第二节
设计活动方案 分数表示可能性 第三节 迎新年 从图表中获取信息
第四节 铺地砖 运用面积公司，方程解决问题
六年级
第一单元 圆
第一节 圆的认识 圆的特征，圆周率。会用圆规画圆 第二节 圆的认识
（二）圆心，半径，直径的认识
第三节 圆的周长 圆的周长与直径的关系，圆的周长公式 第四节 圆的面积 圆的面积公式，能计算圆的面积
第二单元 百分数的应用
第一节 百分数的应用
（一）一个数比另一个数多少百分之几的认识，及其相关应用题 第二节 百分数的应用
（二）增加，减少了百分之几的认识及其应用题
第三节 百分数的应用
（三）一个数占总数的百分之几的认识及其相关应用题 第四节 百分数的应用
（四）银行利率，及其相关应用题
第三单元 图形的变换
第一节 图形的变换 利用平移，旋转，轴对称等知识对图形进行变换 第二节 图形的设计 进一步利用平移，旋转和轴对称知识对图形进行变换 第三节 数学欣赏 对简单图形，利用平移，旋转后组成复杂图形 第四节 数学与体育 简单的排列组合 第五节 起跑线 半径不同圆的周长和运用
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Y.E.S.教育金牌学案
第四单元 比的知识
第一节 生活中的比，从生活中的现象了解比的含义，认识比与除法的联系，比的读写，比的性质 第二节 比的化简 比的化简 应用公约数将比化简
第三节 比的应用 应用比的性质，解决按照一定比例进行分配的问题
第五单元 统计
第一节 复式条形统计图 认识复式条形统计图的特点，理解单式与复式统计图的异同，用其表示相应数据，用统计图进行判断和预测
第二节 复式折线统计图认识复式折线统计图，了解折现统计图的特点，从统计图中获取信息 第三节 生活中的数 对估计的数进行计算
第四节 正负数
（一）理解负数的意义，相反数的初步认识 第五节 正负数
（二）正负数在额很能够或中的应用
第六单元 观察物体
第一节 搭一搭 下哦那个不同方面观察立体物体，根据各方面观察的图形，还原立体图形 第二节 观察的范围 结合实际将眼睛视线与观察的范围抽象为点线区域的过程
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第五篇：北师大九年级数学上册第一章证明(二)复习要点
第一章知识要点
1.（1）三角形全等的性质（公理）：全等三角形的对应边相等，对应角也相等
.B
F
（2）三角形全等的判定（公理及推论）：SSS、SAS、ASA、AAS、2.等腰三角形的判定、性质及推论
(1)性质定理：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
.A
BC
(2)推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）.AB
D
C
(3)判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.BC
3.等边三角形的性质及判定定理
（1）性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60 °.B
C
（2）判定定理：
①有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形.B
C
②三个角都相等的三角形是等边三角形.4.直角三角形
(1)勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方
.A
CB
(2)勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
.A
C
B
(3)含30°角的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直
角边等于斜边的一半.A
C
B
(4)判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）
(2)判定定理：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.A
B
C
E
5.线段的垂直平分线
(1)性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.(3)三角形三条角平分线的性质定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
.A
B
B
(2)判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.C
7.尺规作图（基本作图）
（1）用尺规作图法作线段的垂直平分线：分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于点C、D两点；作直线CD，则直线CD就 是线段AB的垂直平分线
.A
B
(3)三角形三边垂直平分线的性质定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等
.（2）用尺规作图法作出角平分线：在OA和OB上分别分别截取OD、OE，使OD = OE，分别以D、E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C，作射线OC，OC就是∠AOB的平分线．
6.角平分线
(1)性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.B
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