初三数学证明及相关公理、定理、推论（共5篇）

第一篇：初三数学证明及相关公理、定理、推论

第一次课：证明及相关公理、定理、推论

一、考点、热点回顾

1、《证明

（一）》知识点回顾：全等三角形的四个公理和一个推论

公理三遍对应相等的两个三角形全等。(SSS)

公理两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)

公理两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)

公理全等三角形的对应边、对应角相等。

推论两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等。(AAS)

2、课堂新知

等腰三角形性质定理：

定理等腰三角形的两个底角相等。（简单叙述：等边对等角）

等腰三角形性质定理推论：

推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

等腰三角形的判定定理：

定理有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简单叙述：等角对等边）

等边三角形判定定理1：

定理有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。

等边三角形判定定理2：

定理三个角都相等的三角形是等边三角形。

含有30角的直角三角形的性质定理：

定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等边三角形性质定理：

等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60。

3、反证法

在ABC中，BC，求证：ABAC

反证法一般用于不方便直接证明的命题，从其反面予以证明不成立，从而肯定本命题整理，基本步骤为：假设命题结论不成立；从这个假设出发应用正确的推理方法；得出与定义、公理、已证定理或已知的矛盾；从而否定假设，得出肯定的结论。

4能力拓展：

（1）、利用辅助线构造等腰三角形或全等三角形解决问题

（2）、等腰三角形的性质在实际生活中的应用 

二、典型例题

ABDC

F

1F

例

1、（2010·昆明中考题）如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BC=FD，AB=EF。

（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使ABCEFD，你添加的条件是；（2）添加了条件后，证明ABCEFD。

例

2、（2011·济南模拟题）在ABC中，ABAC,点D在AC边上，且BDBCAD，则A的度数为（）。

A.30B.36C.45D.70

例

3、（2010·成都调研题）点D、E在ABC的边BC上，ABAC,ADAE,求证：BDCE。

例

4、（2011·宁波模拟题）在ABC中，ABC、ACB的角平分线相交于点O，过点O的直线









例

1MN//BC，分别交于点M、N，求证：MNBMCN。

例

5、（2011·乐山模拟题）在等边ABC中，点D、E分别在BC、AB上，且BDAE，AD与CE交于点F。

（1）求证：ADCE；（2）求DFC的度数。

例

6、（2010·北京四中测试题）D、E在线段BC上，A

BDCE，ACB120o，求证：ADE为等边三角形。

B

DE

C

例6

例

7、（2011·长春模拟题）已知如图，ABC是等边三角形，且1=2=3，求证：DEF是等边三角形。

D

A

C

E

B

例

8、（2010·华师一附中测试题）在ABC中，例7

F

ABA,CBAC12o，0是BCD的中点，DEAB于点E，求证：EB3EA

例

9、（2010·哈尔滨联考题）用反证法证明等腰三角形的底角都是锐角。

例

10、(2010·天津调研题)如图，D为等边ABC内一点，且

C

DBDA,BPAB,DBPDBC.求BPD的度数。

PD

B

例7

A

三、课后练习

1、D在AB上，点E在AC上，ABCACB,那么补充下列一个条件后，仍无法判定

ABEACD的是（）

A.ADAEB.AEBADCC.BECDD.ABAC

2、如图，ABAE,ABCAED,BCED,点F是CD的中点。（1）、求证：AFCD；

（2）、在连接BE后，还能得出什么结论？（至少写出三个）

3、如图，已知点C是线段AB上一点，分别以AC、CB为一边在AB的同侧作等边ACD和等边CBE，AE交CD于M，BD交CE于

B

E

C

FD

DA

C

EN

B

N。求证：MCN为等边三角形。

4、一艘船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东，又航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东，若小岛周围3.8海里内有暗礁，该穿一直向东航行有无触礁的危险？

5、在等腰ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合75o

60o

P

AB

C

FP

E

AHB的任意一点，连接AP并延长交BC于点E，连接BP并延长交AC于点F。（1）求证：CAECBF（2）求证：AEBF

（3）以线段AE、BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E和点F重合于点G），记ABC和ABG的面积分别为SABC和SABG，如果存在点P，能使得SABC=SABG，求A CB的取值范围。

6、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。

第二篇：公理3的推论3的证明

公理3的内容是：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。

公理3的推论3是：两条平行的直线确定一个平面。

所有的推论是由相应的公理证明的。

证明：

设两直线l和m互相平行，取l上两个点A和B，取m上两个点C和D，显然任意三点都不共线，否则l和m将会相交，与两直线平行矛盾，根据公理3，知道

过A、C、D有且只有一个平面，设为平面α；过B、C、D有且只有一个平面，设为平面β；

假设两平面α和β不重合，则B在α外，在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线，所以在α内过A且与CD平行的直线有且只有一条，不妨设为AE，此时，AB和AE都与CD平行，与“过直线外一点与此直线平行的直线有且只有一条"矛盾,所以B也在α内，此时α和β重合，即α和β是同一个平面，即两条平行的直线确定一个平面。

第三篇：证明公理三的推论三

证明公理三的推论三

1.平面通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、p来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：a)A∈l—点A在直线l上;Aα—点A不在平面α内;b)lα—直线l在平面α内;c)aα—直线a不在平面α内;d)l∩m=A—直线l与直线m相交于A点;e)α∩l=A—平面α与直线l交于A点;f)α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.2.平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.3.空间线面的位置关系共面平行—没有公共点(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外)相交—有且只有一公共点(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)平行—没有公共点

存在性：

在每一条直线上都任意取一点(不是交点),不在同一直线上的三个点有一个平面(公理3)。

唯一性：

不在同一直线上的三个点只有一个平面(公理3)。

综上所述，两条相交的直线确定一个平面。

1)三点确定一个平面

2)在一条直线A上取一个点E，与另一条直线B可确定一个平面C。

3)在A上任取一点D(不与E重合)，证明D与B确定的平面与C重合。

否则可导致A，B不平行。

两点定一条直线

三点(不直线)定一个平面

两条平行的直线中其中一条直线可以确定2个点

另一条中找随便一个点，这个点在第一条直线外

所以不在一直线上的三个点可确定一个平面

第四篇：证明公理3的推论3

证明公理3的推论3

公理3的内容是：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。

公理3的推论3是：两条平行的直线确定一个平面。

所有的推论是由相应的公理证明的。

证明：

设两直线l和m互相平行，取l上两个点A和B，取m上两个点C和D，显然任意三点都不共线，否则l和m将会相交，与两直线平行矛盾，根据公理3，知道

过A、C、D有且只有一个平面，设为平面α;过B、C、D有且只有一个平面，设为平面β;

假设两平面α和β不重合，则B在α外，在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线，所以在α内过A且与CD平行的直线有且只有一条，不妨设为AE，此时，AB和AE都与CD平行，与“过直线外一点与此直线平行的直线有且只有一条“矛盾,所以D也在α内，此时α和β重合，即α和β是同一个平面，即两条平行的直线确定一个平面。

2公理3的内容是：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。

公理3的推论3是：两条平行的直线确定一个平面。

所有的推论是由相应的公理证明的。

证明：

设两直线l和m互相平行，取l上两个点A和B，取m上两个点C和D，显然任意三点都不共线，否则l和m将会相交，与两直线平行矛盾，根据公理3，知道

过A、C、D有且只有一个平面，设为平面α;过B、C、D有且只有一个平面，设为平面β;

假设两平面α和β不重合，则B在α外，在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线，所以在α内过A且与CD平行的直线有且只有一条，不妨设为AE，此时，AB和AE都与CD平行，与“过直线外一点与此直线平行的直线有且只有一条”矛盾,所以D也在α内，此时α和β重合，即α和β是同一个平面，即两条平行的直线确定一个平面。

两点定一条直线

三点(不直线)定一个平面

两条平行的直线中其中一条直线可以确定2个点

另一条中找随便一个点，这个点在第一条直线外

所以不在一直线上的三个点可确定一个平面

存在性：

在每一条直线上都任意取一点(不是交点),不在同一直线上的三个点有一个平面(公理3)。

唯一性：

不在同一直线上的三个点只有一个平面(公理3)。

综上所述，两条相交的直线确定一个平面。

第五篇：证明、公理、平行线性质定理

证明的必要性、公理与定理、平行线的判定（公）定理、平行线的性质（公）定理

基础知识1.证明：

2.公理：3.定理:

4.等量代换：公理：

5.平行线的判定定理：定理：公理

6.平行线的性质定理定理:基础习题 1.下列说法正确的是（）

A.所有的定义都是命题B.所有的定理都是命题

C.所有的公理都是命题D.所有的命题都是定理 22.若P（P5）是一个质数，而P1除以24没有余数，则这种情况（）

A.绝不可能B.只是有时可能

C.总是可能D.只有当P=5时可能

3.下列关于两直线平行的叙述不正确的是()

A.同位角相等,两直线平行；B.内错角相等,两直线平行毛

C.同旁内角不互补,两直线不平行；D.如果a∥b,b⊥c,那么a∥c 14.如左图，下列说法错误的是（）lllll3A、∵∠1＝∠2，∴3∥4B、∵∠3＝∠4，∴3∥4 lllll4C、∵∠1＝∠3，∴3∥4D、∵∠2＝∠3，∴1∥2 ll55.已知：如图，下列条件中，不能判断直线1∥2的（）l1A、∠1＝∠3B、∠2＝∠

3C、∠2＝∠4D、∠4＋∠5＝180 6.若两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的（）l

2A、一对同位角的平分线互相平行B、一对内错角的平分线互相平行

C、一对同旁内角的平分线互相平行D、一对同旁内角的平分线互相垂直

7.如图，AB∥CD，∠α＝（）BAA、50°B、80°C、85°D、95° C8.已知∠A＝50°，∠A的两边分别平行于∠B的两边，则∠B＝（）AB

A、50°B、130°C、100°D、50°或130° 9.如图，AB∥CD，AD、BC相交于O，∠BAD＝35°，∠BOD＝76°，则∠C的度数是（）A、31°B、35° C、41°D、76°

填空

10.如图，（1）如果AB∥CD，必须具备条件∠______＝∠________，D根据是____________________。（2）要使AD∥BC，必须具备条件∠______＝∠________，根据是

4____________________。B

11.如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是________。

D12.如图，已知∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC。（1）计算：∠DAB＋∠B=

（2）AB与CD平行吗？（）AD与BC平行吗？（）B

简答题：

13.如图，已知∠ADE＝60°，DF平分∠ADE，∠1＝30°，求证：DF∥BE 证明：∵DF平分∠ADE（已知）A 1∴________=∠ADE（）

2∵∠ADE＝60°（已知）D∴_________________＝30°（）

∵∠1＝30°（已知）

∴____________________（）BC∴____________________（）

14.已知：如图，∠B=∠C.(1)若AD∥BC，求证：AD平分∠EAC；

(2)AD平分∠EAC，求证：AD∥BC.15、如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B＝70°，∠ACB＝50°，求∠EDC和∠BDC的度数.能力提升

16.（1）如图（1），AB∥EF.求证：（1）∠BCF=∠B+∠F.（2）当点C在直线BF的右侧时，如

图（2），若AB∥EF，则∠BCF与∠B，∠F的关系如何？请说明理由.D

BC