高二数学 立体几何的概念、公理、定理

第一篇：高二数学 立体几何的概念、公理、定理

立体几何的概念、公理、定理

王 春 老师 编辑 2007-12-20

一．写出以下公理、定理，并根据图形写出它们的条件与结论。

（一）立体几何三公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。A∈a，B∈aA∈a，B∈a

公理

2a?bA耷ab=a,A a aÌa a

公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

A、B、C不在同一直线上

Þ有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α

推论

1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

∈a AÏa Þ有且只有一个平面a，使 Ìa

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

a∩b＝AÞÌa 有且只有一个平面a，使Ìa

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

a∥b＝AÞ有且只有一个平面a，使Ìa Ìa

（二）空间直线

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。c

a

b a∥Þb∥a//c 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

AB//A/B/

?BAC B/A/C/

//AC//ACÞ

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。

用心 爱心 专心116号编辑

Zishi2007-12-20

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，A∈a

PÏa l与a异面 aÌa

（三）直线和平面

Þ

直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和 这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

l

ab

a//b bÌa aËa

Þ

a//a

aÌa

直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

ab



a//aa?bbaÌb



Þ

a//b

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么

baa烫a,ba

a//b a?bOb^a轣cab^b c^a,c^

Þ

定理 ：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面。

a

定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

α∥βl⊥α

l⊥β

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

a

b

a^a

b^

b

Þ

a//b



射影定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3）垂线段比任何一条斜线段都短。

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

Zishi2007-12-20

用心 爱心 专心116号编辑

PA^aPA^a

aaÌa定理：aÌ

轣POa逆定理：

AO^a

PO^a

轣AOa

（四）平面与平面

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行另一个平面的两条相交直线，那么这两个平面平行。

a烫a,baa?b

O

a//b,b//b

定理Þa//b



b///推论

a?bO

a烫a,baa/烫b,b/

a//a/,b//b/a?bO

Þa//b

/

b

/

定理：垂直于同一直线的两个平面平行。定理：平行于同一平面的两个平面平行。

a

a^a a^b

Þ

a//b

a//b

g//b

Þa//g



两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

a//b

a?gaÞa//bb?gb

两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面

互相垂直。

a^aaÌb

Þ

a

a^b



两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直

线垂直于另一个平面。a^b

a?b CD

轣ABb ABÌa

AB^CD

定理：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。a^b PÎa

尢aaPÎa

a^b

Zishi2007-12-20

用心 爱心 专心116号编辑

二、概念与性质

（一）空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面

1、异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线。

（二）直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行

1、直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

2、直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面 的垂线，平面叫做直线a的垂面。

（三）两个平面的位置关系：平行、相交

1、两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点。

2、两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

（四）角

1．两异面直线所成的角：过空间任意一点引两条直线分别平行

ba

b'a'

（或重合）于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）。范围为(0°，90°]

2、直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影 所成的锐角。

所成的角为0°角。直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°]

（2）最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角。

（3）若斜线与平面所成的角为α，其在此平面内的射影与平面内的一 条直线所成的为β，斜线与这条直线所成的角为γ则cosγ＝cosα·cosβ

3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为 [0°，180°]

（1）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。（2）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

（五）距离

1、两点的距离：连结两点的线段的长度。

B

A

a（1）规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，2、平行平面间距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离。

3、两异面直线间距离: 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度。

4、两异面直线上两点的距离：若两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA'的长度为d．在直线a、b上分别取点E、F，设，A'E＝m，AF＝n，则

Zishi2007-12-20

用心 爱心 专心116号编辑

5、点到平面的距离．从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离。

6、平行直线和平面的距离：直线上任意一点到平面的距离。

（六）棱柱

1、棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。

2、棱柱的性质

（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形

（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形

（3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形

（七）棱锥

1、棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥

2、棱锥的性质：

（1）侧棱交于一点。侧面都是三角形

（2）平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方

3、正棱锥

（1）正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。（2）正棱锥的性质：

①各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。②多个特殊的直角三角形

4、a、相对棱互相垂直的正三棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。b、侧棱相等的棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的外心。

c、侧面与底面所成的二面角相等的棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的内心。

（八）多面体欧拉公式：V（角）+F（面）-E（棱）=

2（九）正多面体只有五种：正四、六、八、十二、二十面体。

（十）球

1、球面：到定点的距离等于定长的点的轨迹。

2、球体：与定点的距离等于或小于定长的点的集合．

3、经度：某地点的经度就是经过这点的经线和地轴确定的半平面与本初子午线与地轴确定的半平面所成二面角的平面角的度数．

4、纬度：某地的纬度就是经过这点的球半径和赤道平面所成的角度．

5、两点的球面距离：球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。

6、定理：球心与小圆的圆心的连线与小圆所在的平面垂直。

437、球的表面积：S球面=4pR8、体积公式：V球=pR9、V圆锥=

Zishi2007-12-20

133

pRV圆柱=pR333

用心 爱心 专心116号编辑

第二篇：高中数学立体几何模块公理定理

高中数学立体几何模块公理定理汇编

Hzoue/2009-12-12

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

Al，Bl，且Aα，Bαlα．（作用：证明直线在平面内）

公理2 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（作用：确定平面）推论 ①直线与直线外一点确定一个平面．

②两条相交直线确定一个平面．

③两条平行直线确定一个平面．

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． Pα，且Pβαβ＝l，且Pl．（作用：证明三点/多点共线）

公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行．（平行线的传递性）空间等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 线面平行判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 面面平行判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 推论 一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行． 线面平行性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行． 面面平行性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行． 线面垂直判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面平行． 三垂线定理 如果平面内一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直． 逆定理 如果平面内一条直线与平面的一条斜线垂直，则它和这条直线的射影垂直． 射影定理 从平面外一点出发的所有斜线段中，若斜线段长度相等则射影相等，斜线段较长则射影较长，斜线段较短则射影较短． 面面垂直判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

线面垂直性质定理1 如果一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线． 线面垂直性质定理2 垂直于同一个平面的两条直线平行．

面面垂直性质定理1 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 面面垂直性质定理2 两个平面垂直，过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在该平面内．

第三篇：高二数学立体几何基本知识及定理

1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：

定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱 或用对角线的端点字母，如五棱柱

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：

定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：

定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：

定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间点、直线、平面的位置关系

（1）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）

（2）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

（5）空间直线与直线之间的位置关系

① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线

② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

④ 异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

（6）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。

（7）空间直线与平面之间的位置关系——平行、相交、线在面内

（8）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点；相交——有一条公共直线。

3、空间中的平行问题

（1）直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（2）平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。，（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）

（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）

7、空间中的垂直问题

（1）线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

（2）垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

第四篇：苏教版高二数学立体几何八大定理

高二数学期末复习——立体几何八个定理

1.直线与平面平行的判定定理：

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

l m

l//

l//m 

2.直线与平面平行的性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．

ll//m

m

3.直线与平面垂直的判定定理：

l//l



如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.lmlnmnBl

mn

4.直线与平面垂直的性质定理：

如果两条直线垂直于同一平面，那么这两条直线平行.aa//b b

5.两个平面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

a

 b abA//

a//  b//

6.两个平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行．

//aa//b

b

7.平面与平面垂直的判定定理：



如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.a bb

b 

8.平面与平面垂直的性质定理：

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. b aa 

ab

第五篇：初一数学中的公理定理

（一）学过的公理：

1、直线公理：两点确定一条直线。

2、线段公理：两点之间，线段最短。

3、垂线公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

4、平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

5、平行线判定公理：同位角相等，两直线平行。

6、平行线性质公理：两直线平行，同位角相等。

7、全等三角形性质公理：全等三角形对应边相等，对应角相等

（二）学过的定理及推论

1、三角形内角和定理：三角形内角和等于180° • 推论1：直角三角形两锐角互余

• 推论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。• 推论3：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。

2、公理：两点之间，线段最短。• 定理：三角形两边之和大于第三边 • 推论：三角形两边之差小于第三边。

3、补角的性质：同角或等角的补角相等

4、余角的性质：同角或等角的补角相等

5、对顶角的性质：对顶角相等

6、垂线的性质：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短。

7、平行线公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

8、平行线判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，简记为：同位角相等，两直线平行。• 定理1：内错角相等，两直线平行。• 定理2：同旁内角互补，两直线平行

9、平行线性质公理：两直线平行，同位角相等。• 定理1：两直线平行，内错角相等。• 定理2：两直线平行，同旁内角互补。• 推论：垂直于同一直线的两直线的互相平行。