证明、公理、平行线性质定理（合集）

第一篇：证明、公理、平行线性质定理

证明的必要性、公理与定理、平行线的判定（公）定理、平行线的性质（公）定理

基础知识1.证明：

2.公理：3.定理:

4.等量代换：公理：

5.平行线的判定定理：定理：公理

6.平行线的性质定理定理:基础习题 1.下列说法正确的是（）

A.所有的定义都是命题B.所有的定理都是命题

C.所有的公理都是命题D.所有的命题都是定理 22.若P（P5）是一个质数，而P1除以24没有余数，则这种情况（）

A.绝不可能B.只是有时可能

C.总是可能D.只有当P=5时可能

3.下列关于两直线平行的叙述不正确的是()

A.同位角相等,两直线平行；B.内错角相等,两直线平行毛

C.同旁内角不互补,两直线不平行；D.如果a∥b,b⊥c,那么a∥c 14.如左图，下列说法错误的是（）lllll3A、∵∠1＝∠2，∴3∥4B、∵∠3＝∠4，∴3∥4 lllll4C、∵∠1＝∠3，∴3∥4D、∵∠2＝∠3，∴1∥2 ll55.已知：如图，下列条件中，不能判断直线1∥2的（）l1A、∠1＝∠3B、∠2＝∠

3C、∠2＝∠4D、∠4＋∠5＝180 6.若两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的（）l

2A、一对同位角的平分线互相平行B、一对内错角的平分线互相平行

C、一对同旁内角的平分线互相平行D、一对同旁内角的平分线互相垂直

7.如图，AB∥CD，∠α＝（）BAA、50°B、80°C、85°D、95° C8.已知∠A＝50°，∠A的两边分别平行于∠B的两边，则∠B＝（）AB

A、50°B、130°C、100°D、50°或130° 9.如图，AB∥CD，AD、BC相交于O，∠BAD＝35°，∠BOD＝76°，则∠C的度数是（）A、31°B、35° C、41°D、76°

填空

10.如图，（1）如果AB∥CD，必须具备条件∠______＝∠________，D根据是____________________。（2）要使AD∥BC，必须具备条件∠______＝∠________，根据是

4____________________。B

11.如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是________。

D12.如图，已知∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC。（1）计算：∠DAB＋∠B=

（2）AB与CD平行吗？（）AD与BC平行吗？（）B

简答题：

13.如图，已知∠ADE＝60°，DF平分∠ADE，∠1＝30°，求证：DF∥BE 证明：∵DF平分∠ADE（已知）A 1∴________=∠ADE（）

2∵∠ADE＝60°（已知）D∴_________________＝30°（）

∵∠1＝30°（已知）

∴____________________（）BC∴____________________（）

14.已知：如图，∠B=∠C.(1)若AD∥BC，求证：AD平分∠EAC；

(2)AD平分∠EAC，求证：AD∥BC.15、如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B＝70°，∠ACB＝50°，求∠EDC和∠BDC的度数.能力提升

16.（1）如图（1），AB∥EF.求证：（1）∠BCF=∠B+∠F.（2）当点C在直线BF的右侧时，如

图（2），若AB∥EF，则∠BCF与∠B，∠F的关系如何？请说明理由.D

BC

第二篇：平行线的性质定理

鲁教版八年级数学（上）第三章 证明

（一）3.5平行线的性质定理

课型： 新授课执笔：尚善报审核：授课时间：

【学习目标】

1.进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式

2.会根据“两直线平行，同位角相等”证明平行线的其它性质定理

3.正确区别平行线的判定和性质.【学习重点】平行线的性质定理的应用.【学习过程】

一、课前准备

1.平行线有哪些性质？你能证明它们的正确性吗？

2.平行线的性质公理.【预习检测】

1.如图a∥b，写出相等的同位角：.写出相等的内错角，写出互补的同旁内角

2.如图a∥b，∠1=68°，那么：∠2的度数为

3.如图，已知：DE∥BC，∠ABC=52°，∠BED=18°

求：∠ABE的度数

二、课堂学习

【自主探究，同伴交流】

自学课本87—88页内容后，小组内合作交流，讨论以下问题;

1.已知：a∥b

求证：∠1=∠

2你证明的命题用文字叙述为

可以简单地叙述为

2.已知：如图 a∥b，∠1，∠2是直线a和b被 直线c截出的同旁内角，求证：∠1+∠2=180°

你证明的命题用文字叙述为

可以简单地叙述为

3.已知：如图 AD∥BC，AB∥DC

求证：∠A=∠C

4.已知：如图DE∥AB，∠1=∠A

求证：DF∥AC

【自主应用，高效准确】

1.已知：如图∠1=∠2，∠3=1000，求：∠4的度数

2.已知：如图a∥b，b∥c求证：a∥c

你证明的命题用文字叙述为

可以简单地叙述为

3.已知：如图∠1=∠2=∠3=550，求：∠4的度数

【拓展延伸，提升能力】

4、已知：如图AB∥CD求证：∠A＋∠C＋∠E=1800

5.已知：如图AB∥CD，猜想∠A、∠C、∠E的关系，并证明你的猜想.6.已知：如图AB∥CD，∠B=1000，∠C= 1200，，求 ∠E的度数

【当堂巩固，达标测评】

1.如图所示AB∥CD，∠C=1150，∠A= 250，则∠E的度数为（）

A．700B．800 C．900D．1000

2..如图所示a∥b，∠1=1050，∠2=1400则∠3的度数为（）

A．750B．650 C．550D．500

3.如图所示AB∥CD，AC⊥BC,∠BAC=650，则∠BCD=

4.如图已知AB∥CD∥EF，EG∥BD则图中和∠1相等的角有

5.潜望镜的两个镜面是平行放置的，光线经过平面镜的两次反射后互相平行，请运用学过的数学知识进行解释其中的原理.【课堂小结，作业布置】：

【课后反思】

参考答案

3.5平行线的性质定理

一、课前准备

【预习检测】

1同位角：∠4=∠2∠5=∠8∠3=∠6∠1=∠7

内错角：∠1=∠2∠5=∠6同旁内角：∠2与∠5互补∠6与∠1互补 2、68°

3、解：∵DE∥BC∠BED=18°

∴∠CBE=∠BED=18°(两直线平行内错角相等)

∵∠ABC=52°

∴∠ABE=∠ABC-∠CBE=34°

二、课堂学习

【自主探究，同伴交流】

1、证明：∵a∥b∴∠2=∠3（两直线平行同位角相等）

∵∠1=∠3（对顶角相等）

∴∠1=∠2（等量代换）

证明的命题用文字叙述为：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 可以简单地叙述为：两直线平行内错角相等

2、证明：∵a∥b，∴∠2=∠3（两直线平行同位角相等）

∵∠1+∠3=180°（1平角=180°）

∴∠1+∠2=180°（等量代换）

证明的命题用文字叙述为：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 可以简单地叙述为：两直线平行同旁内角互补

3、证明：∵AD∥BC，AB∥DC

∴∠A+∠B=180°∠C+∠B=180°(两直线平行同旁内角互补)∴∠A=180-∠B∠C =180-∠B(等式的性质)

∴∠A=∠C(等式的性质)

4、证明：∵DE∥AB

∴∠A+∠AED=180°（两直线平行同旁内角互补）

∵∠1=∠A（已知）

∴∠1+∠AED=180°（等量代换）

∴DF∥AC(同旁内角互补两直线平行)

【自主应用，高效准确】

1、∠4 =80°

2、证明：∵a∥b，b∥c

∴∠1=∠2∠2 =∠3（两直线平行同位角相等）

∴∠1 =∠3（等量代换）

∴a∥c（同位角相等两直线平行）

证明的命题用文字叙述为：如果两条直线都与第三条直线互相平行，那么这两条直线互相平行

可以简单地叙述位：平行于同一条直线的两直线平行

3、∠4 =125°

【拓展延伸，提升能力】

4、提示：过E做EF∥AB或连接AC5、∠A+∠C=∠E证明：略

6、∠E =40°

【当堂巩固，达标测评】

1、C2、B3、25°4、5个

5、略

第三篇：平行线的性质定理教法建议

平行线的性质定理教法建议

为了使学生能够掌握平行线性质定理的证明和简单应用，建议如下：

1.引导学生类比平行线判定定理的处理方式来解决“一起探究”中提出的问题。应使学生认识到，“一起探究”中的前两个问题是为证明定理作铺垫的准备过程。教师应给予高度重视，给学生留出充分的时间进行思考、研讨和交流，从而使他们能够顺利地写出定理的证明过程。

2.通过教师的引导，经过学生讨论后，使每个人的思路、证法和过程在吸纳别人意见的基础上得到完善。

3.让学生独立完成“做一做”中的证明，得到平行线的性质定理二。在此过程中，教师要关注学习有困难的学生，并及时辅导，使他们也能较好地完成证明过程。

4.例题是需要应用平行线的性质定理来完成的，建议由学生独立完成，并通过交流和教师讲评，规范书写格式。

5.让学生将平行线的判定公理与定理以及性质公理与定理进行比较，并引导他们发现其间的关系后，接着结合“大家谈谈”的内容对自己的分析进行巩固，这时教师给出原命题和逆命题以及互逆命题和互逆定理的概念就自然而合理了，最后再让学生举例，以加深理解。

第四篇：命题与证明之公理定理

公理和定理

教学要求：了解公理与定理到概念，以及他们之间的内在联系；了解公理与定理都是真命题，它们都是推理论证的依据；掌握教材十条公理和已学过的定理。

重点难点

十条公理和已学过的定理。

一 选择题（每小题5分，共25分）下面命题中：

（1）旋转不改变图形的形状和大小，（2）轴反射不改变图形的形状和大小

（3）连接两点的所有线中，线段最短，（4）三角形的内角和等于180°

属于公理的有（）

A1个B2个C3个D4个下面关于公理和定理的联系说法不正确的是（）

A 公理和定理都是真命题，B公理就是定理，定理也是公理，C 公理和定理都可以作为推理论证的依据D公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 3推理：如图∵ ∠AOC=∠BOD，∴∠AOC+∠AOB=∠BOD+∠AOB,这个推理的依据是（）

A 等量加等量和相等，B等量减等量差相等C 等量代换 D 整体大于部分推理：如图：∵∠A=∠ACD,∠B=∠BCD,(已知)∴AD=CD,CD=DB(等腰三角形的性质)AD=DB()

括号里应填的依据是（）

A 旋转不改变图形的大小 B

C等量代换 D 5（）

A 两条直线被第三条直线所

截，若同位角相等，则这两条 直线平行

B 线段垂直平分线上的点到线段 4题图 两个端点的距离相等 3题图

C平行四边形的对角线互相平分

D对顶角相等

∴

二 填空题（每小题5分，共25分）人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为____运用基本定义和公理通过推理证明是真的命题叫_______;

7定理： “直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆定理是：___________________ _______________________________________;____________________________________________________是定理“两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”的逆定理如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下面结论中

（1）△ABC≌△DEF,（2）∠DEF=90°，(3)AC=DF(4)AC∥DF(5)EC=CF 正确的是______________(填序号)，你判断的依据是_______________________________________要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的是 _____________,依据是______

三 解答题（3×12+14=50分）11 仔细观察下面推理，填写每一步用到的公理或定理 如图：在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E

为垂足，如果∠A=125°，求∠BCE

解：∵四边形ABCD是平行四边形(已知)

∴AD∥BC（）∵∠A=125°（已知）∴∠B=180°-125°=55°（）

∵△BEC是直角三角形（已知）∴∠BCE=90°-55°=35°()如图将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A’OB’若A点

11题图

A

D

D

BE

CF

B

C

9题图

10题图

为（a,b）,则B点的坐标

为

（13题图），你用到的依.据是________________________________________________

13如图所示，在直角坐标系xOy中，A(一l，5)，B(一3，0)，C(一4，3)．根据轴反射的定义和性质完成下面问题：(1)在右图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′；(2)写出点C关于y轴的对称点C′的坐标

14如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于O，用所学公理、定理、定义说明（1）△ABC≌△ADC,(2)OB=OD,AC⊥BD

第五篇：经典命题逻辑公理系统定理证明算法设计

Http://logic.zsu.edu.cn/journal.htm 逻辑与认知 Vol.2, No.4, 200

4---

收稿日期：2004-11-25；

作者简介：杜国平，1965 年生，男，汉族，江苏盱眙人，南京大学副教授。

基金项目：国家社科基金项目（02CZX008）；南京大学引进人才基金项目；南京大学笹川青年教育基金项 目。

联系方式：210093 南京大学哲学系 Email: dgpnju@126.com 电话：025-8359716

1经典命题逻辑公理系统定理证明算法设计

杜国平1，2（1.南京大学哲学系 210093；2.南京航空航天大学计算机系 210016）

内容提要：本文利用演绎定理的证明思路给出了一个由演绎证明构造公理证明的一般程序，并增加了一条 简化命令，使该程序既严格又具有实际可操作性。

关键词： 演绎证明 公理证明 程序

中图分类号：B81 文献标识码：A

在经典命题逻辑常见的公理系统中，仅仅从公理和推理规则出发进行定理的形式证明一 般没有能行的程序，对于初学者而言是比较困难的。但是，在经典命题逻辑公理系统中，演 绎定理成立，而使用演绎定理来构造定理的形式证明是比较简单的。实际上，演绎定理的证 明过程已经表明：有了一个使用演绎定理的形式证明（简称为演绎证明），就可以构造出仅 仅从公理和推理规则出发的形式证明（简称为公理证明）。本文拟对由演绎证明构造公理证 明的具体算法和技巧进行一些探讨。

为了说明的方便，我们取如下的命题逻辑公理系统PC 来进行讨论。

系统 PC 由如下三条公理模式和一条推理规则构成：

公理模式为：

(Ax1)A(B A)

(Ax2)(A (B C))((AB)(B C))

(Ax3)(AB)((AB)A)

推理规则即分离规则（Modus ponens）：由A和AB可以推出B。简记为MP。

在系统 PC 中显然可以证明：

演绎定理(DT)：如果，A + B，那么+ AB。

因为任一证明序列都是有限长的，因此，演绎证明中需要引入的假设也是有限的。所以 我们只考虑假设集为有限集的情况，令1 2 1 , , , , m m A A A A L。

假设有一个 0 U A + B的演绎证明，该证明的公式序列为： 1 2 , , , n C C L C B。那么我们可按照下述程序构造出一个+ 0A B的演绎证明。

经典命题逻辑公理系统定理证明算法设计

2[1] 如果A0 Cn是公理或者0 n A C ，则执行如下子程序[1']，即直接写入：

0 n A C

[2] 如果n C 是公理，则执行如下子程序[2'] ：

C

0()n n C A C n

0 n A C

[3] 如果n C 是0 A，则执行如下子程序[3'] ：

A ((B A)A)

0 0 0 0 0 0 0(A ((BA)A))((A (B A))(A A))

0 0 0 0(A (BA))(A A)

0 0 A (BA)

0 0 A A 0 0 0

[4] 如果n k C A ，k 1, 2, L , m，则执行如下子程序[4'] ：

A

0()k k A A A

0 k A A k

[5] 如果n C 是由i C，()(, 1, 2, , 1)j i n C C C i jL n 经使用分离规则而得 到，则对j C 执行如下子程序[5'] ：

(())(()())i n i n A C C A C A C

0 0()()i n A C A C

0 n A C

[6] 对[4]中出现的i C，j C 重复执行程序[1]～[6]。

[7] 若程序全部进入[1]～[4]，则执行完[1'] ～[4']，程序终止。

对 + 0A B 反复使用上述程序m 次之后，就可以得到一个

+ 1 1 0((()))m m A A A A B L L 的公理证明。

例 1 在系统PC中构造定理+((AB)C)(BC)的公理证明。

首先，我们构造一个((AB)C), B + C的演绎证明。

证明1' ：(AB)C 假设B 假设B(AB)(Ax1)AB 2、3 MPC 1、4 MP

其次，由(AB)C，B + C的演绎证明构造(AB)C+ BC的演绎证明。

1、这可以通过回溯检查逐步完成。证明1'的第5 行为C，进入程序[1]检查BC，0 0 0

发现它既不是公理也不属于假设集((AB)C)；进入程序[2]～[5]发现C由第1、4 行(AB)C和AB分离而得。因此，执行子程序[5']：

逻辑与认知 Vol.2, No.4, 200

4(B ((AB)C))((B(AB))(B C))

(B (AB))(BC)

BC2、进入程序[6]，对(AB)C和AB执行程序[1]～[6]。

3、进入程序[1]，检查B((AB)C)，发现它既不是公理也不属于假设集

((AB)C)；进入程序[2]～[5]发现(AB)C属于假设集((AB)C)。

因此，执行子程序[4'] ：

(AB)C

((AB)C)(B ((AB)C))

B((AB)C)

4、进入程序[1]，检查B(AB)，发现它是公理。因此，执行子程序[1']：

B(AB)

5、程序已经全部进入[1]～[4]，并且已经执行完子程序[1'] ～[4']，因此程序终止。所以我们得到一个(AB)C+ BC的演绎证明。

证明1'' ：(AB)C 假设((AB)C)(B ((AB)C))(Ax1)B((AB)C)1、2 MPB(AB)(Ax1)(B ((AB)C))

((B(AB))(B C))(Ax2)(B (AB))(BC)3、5 MPBC 4、6 MP

再次，由(AB)C+ BC的演绎证明构造+((AB)C)(BC)的公

理证明。

1、进入程序[1] 检查((AB)C)(BC)，发现它不是公理（此时，因为假

设集是空集，所以它也当然不属于假设集）；进入程序[2]～[5]发现BC由第4、6 行 B(AB)和(B (AB))(BC)分离而得。因此，执行子程序[5']：

(((AB)C)((B(AB))(B C)))

((((AB)C)(B(AB)))

(((AB)C)(B C)))

(((AB)C)(B(AB)))

(((AB)C)(BC))

((AB)C)(BC)

2、进入程序[6]，对B(AB)和(B (AB))(BC)执行程序[1]～[6]。

3、进入程序[1]，检查((AB)C)(B(AB))，发现它不是公理；进入程 序[2]～[5]发现B(AB)是公理。因此，执行子程序[2'] ：

B(AB)

经典命题逻辑公理系统定理证明算法设计

(B (AB))(((AB)C)(B(AB)))

((AB)C)(B(AB))

4、进入程序[1] 检查((AB)C)((B(AB))(B C))，发现它不是 公理；进入程序[2]～[5]发现(B (AB))(BC)由第3、5行B((AB)C)和(B ((AB)C))((B(AB))(B C))分离而得。因此，执行子程序

[5'] ：

(((AB)C)((B((AB)C))((B(AB))(B C))))

((((AB)C))(B ((AB)C)))

(((AB)C)((B(AB))(B C))))

(((AB)C))(B ((AB)C)))

(((AB)C)((B(AB))(B C))))

((AB)C)((B(AB))(B C)))、进入程序[6]，对B((AB)C)和(B ((AB)C))

((B(AB))(B C))执行程序[1]～[6]。

6、进入程序[1]，检查((AB)C)(B ((AB)C))，发现它是公理。因 此，执行子程序[1'] ：

((AB)C)(B ((AB)C))、进入程序[1]，检 查((AB)C)((B((AB)C))

((B(AB))(BC)))，发现它不是公理； 进入程序[2] ～ [5] 发现

(B ((AB)C))((B(AB))(B C))是公理。因此，执行子程序[2'] ：

(B ((AB)C))((B(AB))(B C))

((B((AB)C))((B(AB))(B C)))

(((AB)C)((B((AB)C))

((B(AB))(BC))))

((AB)C)((B((AB)C))

((B(AB))(BC)))

8、程序已经全部进入[1]～[4]，并且已经执行完子程序[1'] ～[4']，因此程序终止。这样我们就得到一个+((AB)C)(BC)的公理证明。

证明1''' ：((AB)C))(B((AB)C))(Ax1)(B ((AB)C))((B(AB))(B C))(Ax2)((B((AB)C))((B(AB))(B C)))

(((AB)C)((B((AB)C))

((B(AB))(BC))))(Ax1)((AB)C)((B((AB)C))

((B(AB))(BC)))2、3 MP(((AB)C)((B((AB)C))((B(AB))(B C))))

((((AB)C))(B ((AB)C)))

(((AB)C)((B(AB))(B C))))(Ax2)

逻辑与认知 Vol.2, No.4, 200

46(((AB)C))(B ((AB)C)))

(((AB)C)((B(AB))(B C))))4、5 MP((AB)C)((B(AB))(B C)))1、6 MP(((AB)C)((B (AB))(BC))))

((((AB)C)(B(AB)))

(((AB)C)(B C)))(Ax2)(((AB)C)(B(AB)))

(((AB)C)(BC))7、8 MPB (AB))(Ax1)(B (AB)))

(((AB)C)(B(AB)))(Ax1)((AB)C)(B(AB))10、11 MP((AB)C)(BC)9、12 MP

构造程序的[2]~[7]也可以构成一个独立的公理证明构造程序，这是演绎定理的证明中显 示出来的，但该程序很繁琐。程序[1]是一个简化程序，它的加入，可以使构造程序大为简 化，尽管它多了一条程序命令。但是这样就增加了该程序的实际可操作性。

参考文献：

[1] 宋文坚.逻辑学[M].人民出版社,1998.P86-92.[2] 陆钟万.面向计算机科学的数理逻辑[M].科学出版社,2002.P86-92.[3] 周礼全.逻辑百科辞典[M].四川教育出版社,1994.P685.[4] A.G.Hamilton.Logic for Mathematicians[M].清华大学出版社,2003.P32-34.[5] 张清宇 郭世铭 李小五.哲学逻辑研究[M].社会科学文献出版社,1997.The Arithmetic Design for Theorem Proving

in the Axiom System of Classical Propositional Logic

Du Guo-ping1,2

(1.Nanjing University.Nanjing 210093,China;2.Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016,China)

Abstract: The article uses the proving of deduction theorem to give general program of construction theorem proving, and adding a piece of simplification command.The program is gotten strict and exercisable.Key words: deduction prove;axiom prove;program