备战2014年数学中考————初中平面几何定理公理总结

第一篇：备战2014年数学中考————初中平面几何定理公理总结

初中平面几何定理公理总结

一、线与角

1、两点之间，线段最短

2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线

3、对顶角相等；同角的余角（或补角）相等；等角的余角（或补角）相等

4、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直

5、（1）经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

（2）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行

6、平行线的判定：

（1）同位角相等，两直线平行（2）内错角相等，两直线平行（3）同旁内角互补，两直线平行

7、平行线的特征：

（1）两直线平行，同位角相等（2）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补

8、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

9、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上二、三角形、多边形

10、三角形中的有关公理、定理：

（1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角③三角形的外角和等于360°

（2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°

（3）三角形的任何两边的和大于第三边

（4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

11、多边形中的有关公理、定理：

（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n－2）×180°

（2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°

（3）欧拉公式：顶点数 + 面数－棱数=22、如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分

13、等腰三角形中的有关公理、定理：

（1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）

（3）等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”

（4）等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°

（5）三边都相等的三角形叫做等边三角形；有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形

14、直角三角形的有关公理、定理：

（1）直角三角形的两个锐角互余

（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

（3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形

（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

三、特殊四边形

15、平行四边形的性质：

（1）平行四边形的对边平行且相等（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分.16、平行四边形的判定:

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形

17、平行线之间的距离处处相等

18、矩形的性质：

（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的对角线相等且互相平分

19、矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）有三个角是直角的四边形是矩形（3）对角线相等的平行四边形是矩形

20、菱形的性质：

（1）菱形的四条边都相等（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角

21、菱形的判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）四条边相等的四边形是菱形（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形

22、正方形的性质：

（1）正方形的四个角都是直角（2）正方形的四条边都相等

（3）正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

23、正方形的判定：

（1）有一个角是直角的菱形是正方形

（2）有一组邻边相等的矩形是正方形

（3）两条对角线垂直的矩形是正方形

（4）两条对角线相等的菱形是正方形

梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形

24、等腰梯形的判定：

（1）同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形

（2）两条对角线相等的梯形是等腰梯形

25、等腰梯形的性质：

（1）等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等

（2）等腰梯形的两条对角线相等

26、梯形的中位线平行于梯形的两底边，并且等于两底和的一半

四、相似形与全等形

27、相似多边形的性质：

（1）相似多边形的对应边成比例（2）相似多边形的对应角相等

（3）相似多边形周长的比等于相似比

（4）相似多边形的面积比等于相似比的平方

（5）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形对应高的比，对应中线的比，都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方

28、相似三角形的判定：

（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似

（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似

（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似

29、全等多边形的对应边、对应角分别相等

30、全等三角形的判定：

（1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等（S.S.S.）

（2）如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等（S.A.S.）

（3）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等(A.S.A.)

（4）有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等（A.A.S.）

（5）如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等（H.L.）

五、圆

31、（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；（2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）；

（3）90°的圆周角所对的弦是圆的直径

32、在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等

33、不在同一条直线上的三个点确定一个圆

34、（1）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（2）圆的切线垂直于过切点的半径

35、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角

36、圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角

37、垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

六、变换

37、轴对称：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（2）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段（或延长线）相交，交点一定在对称轴上；（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段（或延长线）相交，交点一定在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

38、平移：（1）平移不改变图形的形状和大小(即平移前后的两个图形全等)；（2）对应线段平行且相等（或在同一直线上）,对应角相等；（3）经过平移,两个对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等.39、旋转：（1）旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的两个图形全等)（2）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等(都是旋转角)（3）经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等

40、中心对称：（1）关于中心对称的两个图形是全等形；（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心；（3）如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

41、位似：（1）如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比；（2）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比

第二篇：初中平面几何重要定理汇总

初中平面几何重要定理汇总

1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)（直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边是c；则a*a+b*b=c*c）

2、射影定理(欧几里得定理)(直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC ,(3)(AC)^2;=CD·BC。等积式(4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明))

3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分

4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点

5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

7、三角形的三条高线交于一点

8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL

9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线(欧拉线)上。

10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上

12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆)

圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半

14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点

15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)

16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2

17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD

18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上

19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD

20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。

22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。

23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=1

24、梅涅劳斯定理的逆定理：(略)

25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。

26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线

27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.28、塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M

29、塞瓦定理的逆定理：(略)

30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点

31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。

32、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线)

33、西摩松定理的逆定理：(略)

34、史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。

35、史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条(与西摩松线平行的)直线上。这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线。

36、波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).37、波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点

38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。

39、波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点

40、波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点。

41、关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。

42、关于西摩松线的定理2(安宁定理)：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。

43、卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。

44、奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线

45、清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线

46、他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F，则D、E、F三点共线。(反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点)

47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。

48、九点圆定理：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点[连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点]九点共圆[通常称这个圆为九点圆[nine-point circle],或欧拉圆,费尔巴哈圆.49、一个圆周上有n个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。

50、康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。

51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。

52、康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。

53、康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。

54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。

55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。

56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。

57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。

58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。

59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。

60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点。

60、巴斯加定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延长线的)交点共线。

第三篇：初中平面几何的60个定理

1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)小学都应该掌握的重要定理

2、射影定理(欧几里得定理)重要

3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分

重要

4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 学习中位线时的一个常见问题，中考不需要，初中竞赛需要

5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

完全没有意义，学习解析几何后显然的结论，不用知道

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。重要

7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 重要

8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL 中考不需要，竞赛中很显然的结论

9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。

高中竞赛中非常重要的定理，称为欧拉线

10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，高中竞赛中的常用定理

11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上 高中竞赛中会用，不常用

12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

高中竞赛的题目，不用掌握

13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半

重要

14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点

重要

15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)初中竞赛需要，重要

16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 高中竞赛需要，重要

17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 显然的结论，不需要掌握

18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 高中竞赛需要，重要

19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC 初中竞赛需要，重要

20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，学习复数后是显然的结论，不需要掌握

21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。不需要掌握

22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。

不需要掌握

23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 BPPC×CQQA×ARRB=1 初中竞赛需要，重要

24、梅涅劳斯定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要

25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。

不用掌握

26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线

不用掌握

27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.初中竞赛需要，重要

28、塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M 不用掌握

29、塞瓦定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要

30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点

这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，应该用中位线证明才漂亮

31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。

不用掌握

32、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线)初中竞赛的常用定理

33、西摩松定理的逆定理：(略)初中竞赛的常用定理

34、史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。

不用掌握

35、史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条(与西摩松线平行的)直线上。这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线。

不用掌握

36、波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).不用掌握

37、波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点 不用掌握

38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。

不用掌握

39、波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点 不用掌握

40、波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点。

不用掌握

41、关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。不用掌握

42、关于西摩松线的定理2(安宁定理)：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。

不用掌握

43、卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。

不用掌握

44、奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线

不用掌握

45、清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线

不用掌握

46、他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F，则D、E、F三点共线。(反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点)不用掌握

47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。

不用掌握

48、九点圆定理：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点[连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点]九点共圆[通常称这个圆为九点圆[nine-point circle],或欧拉圆,费尔巴哈圆.上面已经有了

49、一个圆周上有n个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。

不用掌握

50、康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。

不用掌握

51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。不用掌握

52、康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。

不用掌握

53、康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。

不用掌握

54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。

不用掌握

55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。

这是我认为的平面几何中最漂亮最神奇的几个定理之一，但不用掌握

56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。

高中竞赛中常用

57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。

不用掌握

58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。

高中竞赛中偶尔会用

59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点。

高中竞赛中偶尔会用

60、巴斯加定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延长线的)交点共线。高中竞赛中重要，一般称做帕斯卡定理，而且是圆锥曲线内接六边形。

第四篇：初一数学中的公理定理

（一）学过的公理：

1、直线公理：两点确定一条直线。

2、线段公理：两点之间，线段最短。

3、垂线公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

4、平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

5、平行线判定公理：同位角相等，两直线平行。

6、平行线性质公理：两直线平行，同位角相等。

7、全等三角形性质公理：全等三角形对应边相等，对应角相等

（二）学过的定理及推论

1、三角形内角和定理：三角形内角和等于180° • 推论1：直角三角形两锐角互余

• 推论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。• 推论3：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。

2、公理：两点之间，线段最短。• 定理：三角形两边之和大于第三边 • 推论：三角形两边之差小于第三边。

3、补角的性质：同角或等角的补角相等

4、余角的性质：同角或等角的补角相等

5、对顶角的性质：对顶角相等

6、垂线的性质：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短。

7、平行线公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

8、平行线判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，简记为：同位角相等，两直线平行。• 定理1：内错角相等，两直线平行。• 定理2：同旁内角互补，两直线平行

9、平行线性质公理：两直线平行，同位角相等。• 定理1：两直线平行，内错角相等。• 定理2：两直线平行，同旁内角互补。• 推论：垂直于同一直线的两直线的互相平行。

第五篇：高二数学 立体几何的概念、公理、定理

立体几何的概念、公理、定理

王 春 老师 编辑 2007-12-20

一．写出以下公理、定理，并根据图形写出它们的条件与结论。

（一）立体几何三公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。A∈a，B∈aA∈a，B∈a

公理

2a?bA耷ab=a,A a aÌa a

公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

A、B、C不在同一直线上

Þ有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α

推论

1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

∈a AÏa Þ有且只有一个平面a，使 Ìa

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

a∩b＝AÞÌa 有且只有一个平面a，使Ìa

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

a∥b＝AÞ有且只有一个平面a，使Ìa Ìa

（二）空间直线

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。c

a

b a∥Þb∥a//c 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

AB//A/B/

?BAC B/A/C/

//AC//ACÞ

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。

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异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，A∈a

PÏa l与a异面 aÌa

（三）直线和平面

Þ

直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和 这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

l

ab

a//b bÌa aËa

Þ

a//a

aÌa

直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

ab



a//aa?bbaÌb



Þ

a//b

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么

baa烫a,ba

a//b a?bOb^a轣cab^b c^a,c^

Þ

定理 ：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面。

a

定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

α∥βl⊥α

l⊥β

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

a

b

a^a

b^

b

Þ

a//b



射影定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3）垂线段比任何一条斜线段都短。

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

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PA^aPA^a

aaÌa定理：aÌ

轣POa逆定理：

AO^a

PO^a

轣AOa

（四）平面与平面

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行另一个平面的两条相交直线，那么这两个平面平行。

a烫a,baa?b

O

a//b,b//b

定理Þa//b



b///推论

a?bO

a烫a,baa/烫b,b/

a//a/,b//b/a?bO

Þa//b

/

b

/

定理：垂直于同一直线的两个平面平行。定理：平行于同一平面的两个平面平行。

a

a^a a^b

Þ

a//b

a//b

g//b

Þa//g



两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

a//b

a?gaÞa//bb?gb

两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面

互相垂直。

a^aaÌb

Þ

a

a^b



两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直

线垂直于另一个平面。a^b

a?b CD

轣ABb ABÌa

AB^CD

定理：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。a^b PÎa

尢aaPÎa

a^b

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二、概念与性质

（一）空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面

1、异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线。

（二）直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行

1、直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

2、直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面 的垂线，平面叫做直线a的垂面。

（三）两个平面的位置关系：平行、相交

1、两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点。

2、两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

（四）角

1．两异面直线所成的角：过空间任意一点引两条直线分别平行

ba

b'a'

（或重合）于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）。范围为(0°，90°]

2、直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影 所成的锐角。

所成的角为0°角。直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°]

（2）最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角。

（3）若斜线与平面所成的角为α，其在此平面内的射影与平面内的一 条直线所成的为β，斜线与这条直线所成的角为γ则cosγ＝cosα·cosβ

3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为 [0°，180°]

（1）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。（2）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

（五）距离

1、两点的距离：连结两点的线段的长度。

B

A

a（1）规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，2、平行平面间距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离。

3、两异面直线间距离: 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度。

4、两异面直线上两点的距离：若两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA'的长度为d．在直线a、b上分别取点E、F，设，A'E＝m，AF＝n，则

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5、点到平面的距离．从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离。

6、平行直线和平面的距离：直线上任意一点到平面的距离。

（六）棱柱

1、棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。

2、棱柱的性质

（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形

（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形

（3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形

（七）棱锥

1、棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥

2、棱锥的性质：

（1）侧棱交于一点。侧面都是三角形

（2）平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方

3、正棱锥

（1）正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。（2）正棱锥的性质：

①各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。②多个特殊的直角三角形

4、a、相对棱互相垂直的正三棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。b、侧棱相等的棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的外心。

c、侧面与底面所成的二面角相等的棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的内心。

（八）多面体欧拉公式：V（角）+F（面）-E（棱）=

2（九）正多面体只有五种：正四、六、八、十二、二十面体。

（十）球

1、球面：到定点的距离等于定长的点的轨迹。

2、球体：与定点的距离等于或小于定长的点的集合．

3、经度：某地点的经度就是经过这点的经线和地轴确定的半平面与本初子午线与地轴确定的半平面所成二面角的平面角的度数．

4、纬度：某地的纬度就是经过这点的球半径和赤道平面所成的角度．

5、两点的球面距离：球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。

6、定理：球心与小圆的圆心的连线与小圆所在的平面垂直。

437、球的表面积：S球面=4pR8、体积公式：V球=pR9、V圆锥=

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pRV圆柱=pR333

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