初中数学之韦达定理

第一篇：初中数学之韦达定理

初中数学之韦达定理

韦达定理：对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，如果方程有两个实数根

bcx1,x2，那么x1x2,x1x2 aa

说明：定理成立的条件0

1.不解方程写出下列方程的两根和与两根差

（1）x23x100（2）3x25x10（3）2x43x220

2.如果一元二次方程x2mxn0的两根互为相反数，那么m；如果两根互为倒数，那么n=.3.若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为224.已知方程2x23x40的两根为x1，x2，那么x1x2

5.若方程x26xm0的一个根是32，则另一根是，m的值是 6.已知方程x23x20的两根为x1、x2，且x1 >x2,求下列各式的值:

2（1）x12x2；2（2）11 x1x2

（3）(x1x2)2；（4）(x11)(x21)7.已知关于x的方程x2(5k1)xk220，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。

8.关于x的方程2x28xp＝０有一个正根，一个负根，则p的值是（）

（A）0（B）正数（C）－8（D）－4

9.已知方程x22x1=0的两根是x1，x2，那么x12x2x1x221（）

(A)－7(B)3(C)7(D)－3

1110.已知方程2x2x30的两根为x1，x2，那么=（）x1x2

11(A)－(B)(C)3(D)－3 33

11.若方程4x2(a23a10)x4a0的两根互为相反数，则a的值是（）

(A)5或－2(B)5(C)－2(D)－5或2

12.若方程2x23x40的两根是x1，x2，那么(x11)(x21)的值是（）

115(A)－(B)－6(C)(D)－ 222

213.分别以方程x2x1=0两根的平方为根的方程是（）

（A）y26y10（B）y26y10

（C）y26y10（D）y26y10

第二篇：韦达定理教案

教案：韦达定理

一、教学目标

1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；

2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养逻辑思维及创新思维能力。

二、教学重点、难点

1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导． 2．教学难点：韦达定理的灵活应用．

三、教学过程

（一）定理的发现及论证提出问题：已知，是方程2x23x10的两根，如何求33的值

1.你能否写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为 1）2和3 2）—4和7

问题1：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？

观察、思考、探索：2x-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积与各项系数之间有什么关系？请猜想？ 2问题2；对于一元二次方程的一般式ax+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？

22结论1．如果ax+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1x2bc,x1x2 aa结论2．如果方程x+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．

（二）定理的应用

例

1、关于x的方程x-2x+m=0 的一根为2，求另一根和m的值。2例2.已知,是方程2x23x10的两根,不解方程，求下列各式的值.11(1)(2)(1)(1)

(3)22（5）33(4)||例

2、已知x1,x2是关于x的方程x26xk0的两个实数根且x1x2(x1x2)115，求k值。

例3已知实数a,b分别满足a2a2,b2b2且ab,求222211的值 ab

（三）总结

一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行．它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，为进一步学习使用打下坚实基础．

韦达定理的内容

2①如果ax+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-

ba，1·2=

xx

ca

②如果方程x+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么 x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2

第三篇：韦达定理推广的证明

证明：

当Δ＝b^2-4ac≥0时,方程 ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个实根,设为x1,x2.由求根公式x＝(-b±√Δ)/2a,不妨取 x1＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(-b+√Δ)/2a, 则：x1+x2 =(-b-√Δ)/2a+(-b+√Δ)/2a =-2b/2a =-b/a, x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(-b+√Δ)/2a] =[(-b)^2-Δ]/4a^2 =4ac/4a^2 =c/a.综上,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.烽火TA000DA 2014-11-04

若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根

若b^2-4ac<0 则方程没有实数解

韦达定理的推广

韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0

它的根记作X1,X2…,Xn

我们有

∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求积。

如果一元二次方程

在复数集中的根是，那么

由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程

在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：

其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是

x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三项式的因式分解(公式法)

在分解二次三项式ax^2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是X1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

另外这与射影定理是初中必须

射影定理图

掌握的.韦达定理推广的证明

设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。

则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0

所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i（在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）

通过系数对比可得：

A（n-1）=-An(∑xi)

A（n-2）=An(∑xixj)

…

A0==(-1)^n*An*ΠXi

所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求积。

有关韦达定理的经典例题

例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根．

(’94祖冲之杯数学邀请赛试题)

解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得

x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，即x1x2－x1－x2＋1＝199．

∴(x1－1)(x2－1)＝199．

注意到x1－

1、x2－1均为整数，解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．

例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值．

解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得

x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．

于是x1x2＋x1＋x2＝11，即(x1＋1)(x2＋1)＝12．

∵x1、x2为正整数，解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．

故有m＝6或7．

例3 求实数k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数．

解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．

若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得

∴x1x2－x1－x2＝2，(x1－1)(x2－1)＝3．

因为x1－

1、x2－1均为整数，所以

例4 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α＞1＞β，求证：p＋q＞1．

(’97四川省初中数学竞赛试题)

证明：由题意，可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得

α＋β＝p，αβ＝－q．

于是p＋q＝α＋β－αβ，＝－(αβ－α－β＋1)＋1

＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．

映射定理

正玄定理与余弦定理

第四篇：韦达定理代数式的值教案

根与系数的关系2

教学目标：

1、会利用韦达定理求出与根有关的代数式的值

2、学会灵活多变的代数式变形

3、会求作新方程

一、知识回顾

1、设、代数式是方程=。的两根，则两根之和为

两根之积为

则

学生讲出做题依据，复习根与系数的关系。

2、如果关于x的一元二次方程x+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p=，q=

2本题可能有学生用代人法，联立方程组，引导用韦达定理。

二、自主探究1|

3、设x1.、x2是方程的两根，求 ：（1）2x12x

2（2）2x12x2

（3）

111（4） x1x2x1x2重点训练利用韦达定理求出与根有关的代数式的值，和学生一起总结解题步骤。

（1）韦达定理

（2）代数式变形

变式训练

4、方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，求：（1）（x1-1）（x2-1）

（2）x1+x

2（3）

22x2x1

（4）(x1x2)2 x1x2

三、合作探究

25、如果关于x的一元二次方程x+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，则方程为

6、如果关于x的一元二次方程x+px+q=0的两根分别为32和32，则方程为

如果第5题用代人法，联立方程组还可以解决的话，那么的第6题用此法则太繁琐，引导学生善于思考，善于比较，选择最简单的方法。

7、如果关于x的一元二次方程x+px+q=0的两根分别为x1、x2，那么p=，q= 则方程为

28、设x1.、x2是方程程

引导学生总结求作新方程的解题步骤

（1）求出原方程的两根和与积（2）写出新方程的两根

（3）求出新方程的两根和与积（4）写出新方程

四、反思总结：

五、课堂小测： 的两根，求作一个新方程，使它的两根是方的两根的倒数。

9、已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，则

x2x1的值为________ x1x210、方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，求作一个新方程，使它的两根分别是2x1和2x2。

第五篇：初中数学相关定理

1,三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

2, 推论1直角三角形的两个锐角互余

3, 推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

4,推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

5, 全等三角形的对应边、对应角相等

6, 边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等7, 角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等8 推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等9, 边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等

10, 斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上13 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）15 推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合17 推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对 的边也相等（等角对等边）推论1三个角都相等的三角形是等边三角形推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上25 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合26 定理 1关于某条直线对称的两个图形是全等形定理 2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理 3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那 么交点在对称轴上逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，