关于判别式法与韦达定理的论述

第一篇：关于判别式法与韦达定理的论述

关于判别式法与韦达定理论述

weiqingsong

摘要：判别式法与韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，讨论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

关键词：判别式法韦达定理

在中学解题中判别式法与韦达定理的应用极其普遍，因此系统的研究一下利用判别式法与韦达定理解题是有必要的。别式法与韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。它们都有着广泛的应用在整个中学阶段。

一、韦达定理的由来

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。判别式法与韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

二、对判别式法的介绍及概括

一般的关于一元二次方程ax^2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b^2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

关于x的一元二次方程x^2+mx+n=0有两个相等的实数根，求符合条件的一组的实数值。这是应注意以下问题：如果说方程有实数根，即应当包括方程只有一个实根和有两个不等实根或有两个相等实根三种情况；如果方程不是一般形式，要化为一般形式，再确定a、b、c的值；使用判别式的前提是方程为一元二次方程，即二次项系数a≠0；当二次项系数含字母时，解题时要加以考虑。

判别式的主要应用有：不解方程就可以直接判定方程的根的情况；已知方程根的情况，确定方程中未知系数（或参数）的取值范围；判别或证明一元二次方程的根的性质；判别二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)能否在实数范围内分解因式(1)当△≥0 时，二次三项式在实数范围内能分解因式；（2）当△≤0 时，二次三项式在实数范围内不能分解因式。

三、某些利用别式法解题的例题

“判别式法”是我们解题时常用的方法，对初高中同学来说，在解题中常常用到，掌握它很有必要，下面举例说明它的作用。

1.求最值

例： 已知a2bab30，且a0，b0，试求实数a、b为何值时，ab

1取得最大值。

解：构造关于a的二次方程，应用“判别式法”。设aby

由已知得a2by30（2）

（3）（1）2ab由（1）（2）消去，对a整理得(y30)a2y0

22对于（3），由(y30)42y0，y68y9000，解得y50或

y18。由yab30，舍去y50，得y18。

2把y18代入（3）（注意此时0），得a12a360，即a6，从而

b3。

故当a6，b3时，ab取得最大值为18。

2.求参数的取值范围

例：对于函数f(x)，若存在x0R，使f(x0)x0成立，则称x0为f(x)的2f(x)ax(b1)xb1(a0)，不动点。已知函数对于任意实数b，函数f(x)

恒有两个相异的不动点，求a的取值范围。

解：对任意实数b，f(x)恒有两个相异的不动点对任意实数b,ax2(b1)xb1x恒有两个不等实根对任意实数b，ax2bxb10

2恒有两个不等实根对任意实数b,b4a(b1)0恒成立。

22b4a(b1)b4ab4a看作关于b的二次函数，可以将则对任意实

22b，b4ab4a0'(4a)44a0a(a1)0 数恒成立

0a1

故a的取值范围是(0，1)

四、对韦达定理的介绍及概括

韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。这里讲一元二次方程两根之间的关系。一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+ X2=-b/a，X1·X2=c/a.韦达定理（即根与系数的关系）虽然是初中数学的内容，但它的应用却贯穿于整个中学数学教学的始终，用它来解决一些数学问题非常简捷巧妙，简捷得使人惊叹，巧妙的令人叫绝，能激发学生的学习兴

2趣。有利于创造思维能力的培养。

五、某些利用韦达定理解题的例题

1.利用根与系数的关系求值

112例：若方程x3x10的两根为x1,x2，则x1x2的值为_____.x1x2b3c13,x1x21a1a1解：根据韦达定理得：

11x1x233x1x2x1x2

12.利用根与系数的关系构造新方程

理论：以两个数为根的一元二次方程是。例：解方程组

解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0 ① 的两根

由方程①解得 z1=2,z2=

3∴原方程组的解为 x1=2,y1=3

x2=3,y2=

2六、判别式法与韦达定理相结合的综合应用

例1.如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为

4的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积解：由题意，可设l的方程为y=x+m,其中－5＜m＜0由方yxm2程组y4x,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0①∵直线l线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)

设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,∴|MN|=42(1m)点

A到直线l的距离为∴S△=2(5+m)m,从而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤

322m5m5m

32()3=128

∴S△≤82,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为

解法二由题意，可设l与x轴相交于B（m,0）, l的方程为x = y +m,其中0＜m＜5xym2y4x由方程组,消去x,得y 2－4 y －4m=0①∵直线l与抛物线有

两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(－4)2+16m=16(1+m)＞0必成立,设M(x1,y1),N(x2,y2)则y 1+ y 2=4，y 1·y 2=－4m,11(5m)|y1y2|(5m2∴S△

=251(m)＝42

2∴S△≤851(m)(1m)22即m=1时取等号2,当且仅当

故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为

82y例2.已知抛物线4x的焦点为F，过F作两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N。求证：直线MN必过定点，并求出定点的坐标。

解：设直线AB的方程为yk(x1)（k0），则

4yk(x1)xx2Bk2x2(2k24)xk20Ak22y4xxAxB1，42yAyBxCxD24kyCyD4kk22M12,yAyB2xx1kkyCyD2，CD从而有。同理，有，N(12k,2k)。因此，直线MN的斜率2kMNk

1k2，从而直线MN的方程为

y2kkk2(x12k)y(x3)21k21k，即。显然，直线MN必过定点(3,0)； 参考文献：①《浅谈“判别式法”的作用》作者：徐国锋、袁玉凤

②《 2008年安徽省安庆一中高考模拟试卷》

③《 2009年乌鲁木齐地区高三年级第二次诊断性测验试卷》

第二篇：韦达定理教案

教案：韦达定理

一、教学目标

1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；

2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养逻辑思维及创新思维能力。

二、教学重点、难点

1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导． 2．教学难点：韦达定理的灵活应用．

三、教学过程

（一）定理的发现及论证提出问题：已知，是方程2x23x10的两根，如何求33的值

1.你能否写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为 1）2和3 2）—4和7

问题1：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？

观察、思考、探索：2x-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积与各项系数之间有什么关系？请猜想？ 2问题2；对于一元二次方程的一般式ax+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？

22结论1．如果ax+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1x2bc,x1x2 aa结论2．如果方程x+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．

（二）定理的应用

例

1、关于x的方程x-2x+m=0 的一根为2，求另一根和m的值。2例2.已知,是方程2x23x10的两根,不解方程，求下列各式的值.11(1)(2)(1)(1)

(3)22（5）33(4)||例

2、已知x1,x2是关于x的方程x26xk0的两个实数根且x1x2(x1x2)115，求k值。

例3已知实数a,b分别满足a2a2,b2b2且ab,求222211的值 ab

（三）总结

一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行．它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，为进一步学习使用打下坚实基础．

韦达定理的内容

2①如果ax+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-

ba，1·2=

xx

ca

②如果方程x+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么 x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2

第三篇：初中数学之韦达定理

初中数学之韦达定理

韦达定理：对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，如果方程有两个实数根

bcx1,x2，那么x1x2,x1x2 aa

说明：定理成立的条件0

1.不解方程写出下列方程的两根和与两根差

（1）x23x100（2）3x25x10（3）2x43x220

2.如果一元二次方程x2mxn0的两根互为相反数，那么m；如果两根互为倒数，那么n=.3.若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为224.已知方程2x23x40的两根为x1，x2，那么x1x2

5.若方程x26xm0的一个根是32，则另一根是，m的值是 6.已知方程x23x20的两根为x1、x2，且x1 >x2,求下列各式的值:

2（1）x12x2；2（2）11 x1x2

（3）(x1x2)2；（4）(x11)(x21)7.已知关于x的方程x2(5k1)xk220，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。

8.关于x的方程2x28xp＝０有一个正根，一个负根，则p的值是（）

（A）0（B）正数（C）－8（D）－4

9.已知方程x22x1=0的两根是x1，x2，那么x12x2x1x221（）

(A)－7(B)3(C)7(D)－3

1110.已知方程2x2x30的两根为x1，x2，那么=（）x1x2

11(A)－(B)(C)3(D)－3 33

11.若方程4x2(a23a10)x4a0的两根互为相反数，则a的值是（）

(A)5或－2(B)5(C)－2(D)－5或2

12.若方程2x23x40的两根是x1，x2，那么(x11)(x21)的值是（）

115(A)－(B)－6(C)(D)－ 222

213.分别以方程x2x1=0两根的平方为根的方程是（）

（A）y26y10（B）y26y10

（C）y26y10（D）y26y10

第四篇：韦达定理推广的证明

证明：

当Δ＝b^2-4ac≥0时,方程 ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个实根,设为x1,x2.由求根公式x＝(-b±√Δ)/2a,不妨取 x1＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(-b+√Δ)/2a, 则：x1+x2 =(-b-√Δ)/2a+(-b+√Δ)/2a =-2b/2a =-b/a, x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(-b+√Δ)/2a] =[(-b)^2-Δ]/4a^2 =4ac/4a^2 =c/a.综上,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.烽火TA000DA 2014-11-04

若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根

若b^2-4ac<0 则方程没有实数解

韦达定理的推广

韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0

它的根记作X1,X2…,Xn

我们有

∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求积。

如果一元二次方程

在复数集中的根是，那么

由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程

在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：

其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是

x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三项式的因式分解(公式法)

在分解二次三项式ax^2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是X1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

另外这与射影定理是初中必须

射影定理图

掌握的.韦达定理推广的证明

设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。

则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0

所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i（在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）

通过系数对比可得：

A（n-1）=-An(∑xi)

A（n-2）=An(∑xixj)

…

A0==(-1)^n*An*ΠXi

所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求积。

有关韦达定理的经典例题

例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根．

(’94祖冲之杯数学邀请赛试题)

解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得

x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，即x1x2－x1－x2＋1＝199．

∴(x1－1)(x2－1)＝199．

注意到x1－

1、x2－1均为整数，解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．

例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值．

解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得

x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．

于是x1x2＋x1＋x2＝11，即(x1＋1)(x2＋1)＝12．

∵x1、x2为正整数，解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．

故有m＝6或7．

例3 求实数k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数．

解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．

若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得

∴x1x2－x1－x2＝2，(x1－1)(x2－1)＝3．

因为x1－

1、x2－1均为整数，所以

例4 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α＞1＞β，求证：p＋q＞1．

(’97四川省初中数学竞赛试题)

证明：由题意，可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得

α＋β＝p，αβ＝－q．

于是p＋q＝α＋β－αβ，＝－(αβ－α－β＋1)＋1

＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．

映射定理

正玄定理与余弦定理

第五篇：广东省徐闻县梅溪中学2013届中考数学第二轮复习专题 判别式与韦达定理

广东省徐闻县梅溪中学2013届中考数学第二轮复习专题 判别式与韦

达定理

〖知识点〗

一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 〖大纲要求〗

1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；

2.掌握韦达定理及其简单的应用；

3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；

4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。内容分析

1.一元二次方程的根的判别式

22一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b-4ac

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．

2.一元二次方程的根与系数的关系

2(1)如果一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1x2b，x1x2c aa

(2)如果方程x+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q

x1x2=q

(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x-(x1+x2)x+x1x2=0．

2x-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三项式的因式分解(公式法)

22在分解二次三项式ax+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax+bx+c=0的两个根是

2x1,x2，那么ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

〖考查重点与常见题型〗

1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：

2关于x的方程ax－2x＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情况是（）

（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根

（C）没有实数根（D）不能确定

2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：

222设x1，x2是方程2x－6x＋3＝0的两根，则x1＋x2的值是（）

（A）15（B）12（C）6（D）3

3．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。

考查题型

21．关于x的方程ax－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（）22

（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根

（C）没有实数根（D）不能确定

2222．设x1，x2是方程2x－6x＋3＝0的两根，则x1＋x2的值是（）

（A）15（B）12（C）6（D）3

3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（）

（A）2y+5=6y（B）x+5=25 x（C）3 x－2 x+2=0（D）3x－26 x+1=0

4．以方程x＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）

2222（A）y+5y－6=0（B）y+5y＋6=0（C）y－5y＋6=0（D）y－5y－6=0

225．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x1－2x1＝1，x2－2x2＝1，那么x1·x2等于（）

（A）2（B）－2（C）1（D）－1

226．如果一元二次方程x＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，那么k＝

227．如果关于x的方程2x－(4k+1)x＋2 k－1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围

是

228．已知x1，x2是方程2x－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝，x1·x2＝，（x1－x2）

＝

229．若关于x的方程(m－2)x－(m－2)x＋1＝0的两个根互为倒数，则m＝

二、考点训练：

1、不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）x－x=5(2)9x－62 +2=0(3)x－x+2=02、当m=时，方程x+mx+4=0有两个相等的实数根；

2当m=时，方程mx+4x+1=0有两个不相等的实数根；

23、已知关于x的方程10x－(m+3)x+m－7=0，若有一个根为0，则m=，这时方程的另

3一个根是；若两根之和为－，则m=，这时方程的两个根为.54、已知3－2 是方程x+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。

5、求证：方程(m+1)x－2mx+(m+4)=0没有实数根。

6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－5 和1+5。

7、设x1,x2是方程2x+4x－3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：

x2x12(1)(x1+1)(x2+1)（3）x1+ x1x2+2 x1 x1x2

解题指导

221、如果x－2(m+1)x+m+5是一个完全平方式，则m=;

22、方程2x(mx－4)=x－6没有实数根，则最小的整数m=;

3、已知方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4)两根的和与两根的积相等，则m=;

24、设关于x的方程x－6x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20，则k值为;

25、设方程4x－7x+3=0的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值:

1222(1)x1+x2(2)x1－x2（3ｘ1 ｘ2＊（4）x1x2＋ x1 2

22＊6.实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ＝0求代数式2222222222222

2ｓｔ＋4ｓ＋1的值。ｔ

122227.已知a是实数，且方程x+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x+2ax+1x－2

2a－1)=0有无实根？

28.求证：不论k为何实数，关于x的式子(x－1)(x－2)－k都可以分解成两个一次因式的积。

29．实数K在什么范围取值时，方程ｋｘ＋2（ｋ－1）ｘ－（K－1）＝0有实数正根？

独立训练

（一）1、不解方程，请判别下列方程根的情况；

22(1)2t+3t－4=0,;(2)16x+9=24x,;

2(3)5(u+1)－7u=0,;

222、若方程x－(2m－1)x+m+1=0有实数根，则m的取值范围是;

3、一元二次方程x+px+q=0两个根分别是2+3 和23，则p=,q=;

4、已知方程3x－19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是，m=;

25、若方程x+mx－1=0的两个实数根互为相反数，那么m的值是;

22n6、m,n是关于x 的方程x-(2m-1)x+m+1=0的两个实数根，则代数式m=。

27、已知关于x的方程x－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k的值;

28、如果α和β是方程2x+3x－1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，11使它的两个根分别等于α+ 和β+;β α

22229、已知a,b,c是三角形的三边长，且方程(a+b+c)x+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形

2210.取什么实数时，二次三项式2x－(4k+1)x+2k－1可因式分解.12211.已知关于X的一元二次方程ｍｘ＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝ α

1＋，求ｓ的取值范围。β

独立训练

（二）21、已知方程x－3x+1=0的两个根为α,β，则α+β=, αβ=;

222、如果关于x的方程x－4x+m=0与x－x－2m=0有一个根相同，则m的值为;

123、已知方程2x－3x+k=0的两根之差为2，则k=;2

224、若方程x+(a－2)x－3=0的两根是1和－3，则a=;

25、方程4x－2(a-b)x－ab=0的根的判别式的值是;

226、若关于x的方程x+2(m－1)x+4m=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值

为;

27、已知p<0,q<0，则一元二次方程x+px+q=0的根的情况是;

28、以方程x－3x－1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是;

29、设x1,x2是方程2x－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：

1122(1)x1x2+x1x2(2)－x1x2

2210．m取什么值时，方程2x－(4m+1)x+2m－1=0

（1）有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；

211．设方程x+px+q=0两根之比为1:2，根的判别式Δ=1，求p,q的值。22

x12212．是否存在实数ｋ，使关于ｘ的方程9x－(4ｋ－7)x－6ｋ=0的两个实根x1,x2，满足｜｜ x2

3＝，如果存在，试求出所有满足条件的ｋ的值，如果不存在，请说明理由。2