读书笔记韦奇定理

第一篇：读书笔记韦奇定理

每个人一生中都做出各种决策，大到择业、婚恋，小到出行、购物等。而借用老马的话，人又是一种社会性动物，周围都有家人、亲戚、朋友和同事等人际交往圈。因此，在准备做出决策时，不可避免就会咨询他人的意见。这时，就必然面临韦奇定律的困扰。美国洛杉矶加州大学经济学家伊渥·韦奇曾说：即使你已有了主见，但如果有十个朋友看法和你相反，你就很难不动摇。这种现象就被称为韦奇定理。当一群远足的人走到一个岔路口，向左走，还是向右走？如果你想往左走，但其他人都想向右，那么你是一个人勇往直前，还是去跟随众人的脚步？对一件事情众说纷芸，大家各执己见，莫衷一是，这时，你是旗帜鲜明地提出自己的观点，做报晓的雄鸡；还是人云亦云，做群鸣的青蛙？当你做出一个决定时，如果身边的人都不支持你，甚至怀疑、否定你，这时，你还会相信自己是正确的吗？你还会有勇气和决心来执行自己做出的决定吗？不是有这样的一句话，当周围所有的人都说你做的决定是错误的，你的决定就一定是错误的。韦奇定理告诉我们，即使我们已经有了主见，但如果受到大多数人的质疑，恐怕你就会动摇乃至放弃。但许多伟人之所以成功，就是因为比别人看得更高、想得更远，更坚定地忠于自己所做出的选择。在盲目从众和刚愎自用中找个临界点。

韦奇定理有以下要点：

1、一个人有主见是非常重要的事情；2、第一要确定你的主见是建立在对客观情况准确把握的基础上，第二要确信你的主见不是固执的；3、对于别人的意见，为听之时不应有成见，既听之后不可无主见；

4、不怕开始众说纷纭，就怕最后莫衷一是，各说各的理，各讲各的经，最后谁也弄不清的结局就是惨败的开始。每个人都有自己的人生目标，每个人的思维方式也不一样。所以，一旦选定了自己人生的目标，选定了想要的生活方式，就不要用别人的观念来衡量自己的价值。做自己喜欢做的事情，坚持不懈，终成正果。盲目听信别人的评论，不加思考的采纳别人的观点，只能导致自己无所适从，迷失最初的方向，最终一事无成。

案例：

话说三国时期，群雄逐鹿，剑拔弩张。曹操北踞中原，试图吞并江南。在南下征战之前，曹操向孙权修书表示，欲“与将军会猎于吴”，威胁之意溢于纸面。东吴朝野顿时人心惶惶，大臣们分成两派，以三世老臣张昭为首的一派认为曹操势力极盛，难以与之抗衡；而以周瑜为首的一派军方少壮派为主的，就主张力抗曹贼。到底做何决策？降者易安，战恐难保。就在这关键时刻，孙权听从了周瑜等人的意见，更坚定了与曹操战斗到底的信念，并当场拔出宝剑，砍下案头一角，斩钉截铁地说“孤意已决，再有言降者，如斯！”于是，在英主的领导下，东吴将士奋力抗战，于是有了赤壁一战的辉煌，打得百万曹军“樯橹灰飞烟灭”，不可一世的曹操败走华容。在这个例子里，孙权本身不愿做亡国之君，再就是对东吴的军事实力有相当了解，本意就想力战拒曹，周瑜等一帮军方将领的支持，更坚定了他的信念，最后在内阁会议上，虽然开始战、和两立，但最后却高度统一达成共识，所以才让曹操几近覆灭。虽然历史不能推翻，但我们可以假设。如果孙权是自己毫无主见，又对东吴的士气、军力不了解，在内阁会议上，他肯定一头雾水。或者盲目从众，献地求和；或者逞匹夫之勇，如果周瑜等人也反对力战，他却一意孤行，不顾实际情况拼死力战，那么曹操肯定就百万雄师过大江了，孙权也自然国破身擒，成亡国之君。认真听取别人的意见有助于更全面的掌握信息、更深入地分析问题，以最小的偏差做出正确的决策；但过多地听取别人的观点，往往导致自己思维混乱、莫衷一是，难以坚持自己的选择。这看起来是一个可笑的悖论，但确实是人们经常走进的怪圈。

第二篇：韦达定理教案

教案：韦达定理

一、教学目标

1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；

2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养逻辑思维及创新思维能力。

二、教学重点、难点

1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导． 2．教学难点：韦达定理的灵活应用．

三、教学过程

（一）定理的发现及论证提出问题：已知，是方程2x23x10的两根，如何求33的值

1.你能否写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为 1）2和3 2）—4和7

问题1：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？

观察、思考、探索：2x-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积与各项系数之间有什么关系？请猜想？ 2问题2；对于一元二次方程的一般式ax+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？

22结论1．如果ax+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1x2bc,x1x2 aa结论2．如果方程x+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．

（二）定理的应用

例

1、关于x的方程x-2x+m=0 的一根为2，求另一根和m的值。2例2.已知,是方程2x23x10的两根,不解方程，求下列各式的值.11(1)(2)(1)(1)

(3)22（5）33(4)||例

2、已知x1,x2是关于x的方程x26xk0的两个实数根且x1x2(x1x2)115，求k值。

例3已知实数a,b分别满足a2a2,b2b2且ab,求222211的值 ab

（三）总结

一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行．它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，为进一步学习使用打下坚实基础．

韦达定理的内容

2①如果ax+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-

ba，1·2=

xx

ca

②如果方程x+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么 x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2

第三篇：初中数学之韦达定理

初中数学之韦达定理

韦达定理：对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，如果方程有两个实数根

bcx1,x2，那么x1x2,x1x2 aa

说明：定理成立的条件0

1.不解方程写出下列方程的两根和与两根差

（1）x23x100（2）3x25x10（3）2x43x220

2.如果一元二次方程x2mxn0的两根互为相反数，那么m；如果两根互为倒数，那么n=.3.若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为224.已知方程2x23x40的两根为x1，x2，那么x1x2

5.若方程x26xm0的一个根是32，则另一根是，m的值是 6.已知方程x23x20的两根为x1、x2，且x1 >x2,求下列各式的值:

2（1）x12x2；2（2）11 x1x2

（3）(x1x2)2；（4）(x11)(x21)7.已知关于x的方程x2(5k1)xk220，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。

8.关于x的方程2x28xp＝０有一个正根，一个负根，则p的值是（）

（A）0（B）正数（C）－8（D）－4

9.已知方程x22x1=0的两根是x1，x2，那么x12x2x1x221（）

(A)－7(B)3(C)7(D)－3

1110.已知方程2x2x30的两根为x1，x2，那么=（）x1x2

11(A)－(B)(C)3(D)－3 33

11.若方程4x2(a23a10)x4a0的两根互为相反数，则a的值是（）

(A)5或－2(B)5(C)－2(D)－5或2

12.若方程2x23x40的两根是x1，x2，那么(x11)(x21)的值是（）

115(A)－(B)－6(C)(D)－ 222

213.分别以方程x2x1=0两根的平方为根的方程是（）

（A）y26y10（B）y26y10

（C）y26y10（D）y26y10

第四篇：韦达定理推广的证明

证明：

当Δ＝b^2-4ac≥0时,方程 ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个实根,设为x1,x2.由求根公式x＝(-b±√Δ)/2a,不妨取 x1＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(-b+√Δ)/2a, 则：x1+x2 =(-b-√Δ)/2a+(-b+√Δ)/2a =-2b/2a =-b/a, x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(-b+√Δ)/2a] =[(-b)^2-Δ]/4a^2 =4ac/4a^2 =c/a.综上,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.烽火TA000DA 2014-11-04

若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根

若b^2-4ac<0 则方程没有实数解

韦达定理的推广

韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0

它的根记作X1,X2…,Xn

我们有

∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求积。

如果一元二次方程

在复数集中的根是，那么

由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程

在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：

其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是

x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三项式的因式分解(公式法)

在分解二次三项式ax^2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是X1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

另外这与射影定理是初中必须

射影定理图

掌握的.韦达定理推广的证明

设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。

则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0

所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i（在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）

通过系数对比可得：

A（n-1）=-An(∑xi)

A（n-2）=An(∑xixj)

…

A0==(-1)^n*An*ΠXi

所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求积。

有关韦达定理的经典例题

例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根．

(’94祖冲之杯数学邀请赛试题)

解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得

x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，即x1x2－x1－x2＋1＝199．

∴(x1－1)(x2－1)＝199．

注意到x1－

1、x2－1均为整数，解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．

例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值．

解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得

x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．

于是x1x2＋x1＋x2＝11，即(x1＋1)(x2＋1)＝12．

∵x1、x2为正整数，解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．

故有m＝6或7．

例3 求实数k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数．

解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．

若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得

∴x1x2－x1－x2＝2，(x1－1)(x2－1)＝3．

因为x1－

1、x2－1均为整数，所以

例4 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α＞1＞β，求证：p＋q＞1．

(’97四川省初中数学竞赛试题)

证明：由题意，可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得

α＋β＝p，αβ＝－q．

于是p＋q＝α＋β－αβ，＝－(αβ－α－β＋1)＋1

＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．

映射定理

正玄定理与余弦定理

第五篇：韦达定理代数式的值教案

根与系数的关系2

教学目标：

1、会利用韦达定理求出与根有关的代数式的值

2、学会灵活多变的代数式变形

3、会求作新方程

一、知识回顾

1、设、代数式是方程=。的两根，则两根之和为

两根之积为

则

学生讲出做题依据，复习根与系数的关系。

2、如果关于x的一元二次方程x+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p=，q=

2本题可能有学生用代人法，联立方程组，引导用韦达定理。

二、自主探究1|

3、设x1.、x2是方程的两根，求 ：（1）2x12x

2（2）2x12x2

（3）

111（4） x1x2x1x2重点训练利用韦达定理求出与根有关的代数式的值，和学生一起总结解题步骤。

（1）韦达定理

（2）代数式变形

变式训练

4、方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，求：（1）（x1-1）（x2-1）

（2）x1+x

2（3）

22x2x1

（4）(x1x2)2 x1x2

三、合作探究

25、如果关于x的一元二次方程x+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，则方程为

6、如果关于x的一元二次方程x+px+q=0的两根分别为32和32，则方程为

如果第5题用代人法，联立方程组还可以解决的话，那么的第6题用此法则太繁琐，引导学生善于思考，善于比较，选择最简单的方法。

7、如果关于x的一元二次方程x+px+q=0的两根分别为x1、x2，那么p=，q= 则方程为

28、设x1.、x2是方程程

引导学生总结求作新方程的解题步骤

（1）求出原方程的两根和与积（2）写出新方程的两根

（3）求出新方程的两根和与积（4）写出新方程

四、反思总结：

五、课堂小测： 的两根，求作一个新方程，使它的两根是方的两根的倒数。

9、已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，则

x2x1的值为________ x1x210、方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，求作一个新方程，使它的两根分别是2x1和2x2。