成功定理

第一篇：成功定理

成功定理

定律十：成功的机会总是属于那些拥有“永远的正向思维”的人。

杯子里有半杯水。有人说：“还剩半杯水。”有人说：“只剩半杯水了。”一个是负向思维，一个是正向思维。沙子里混着金子。有人说：“金子里有沙子。”有人说：“沙子里有金子。” 一个是负向思维，一个是正向思维。

有些行业竞争无序。有人说：“竞争太混乱、太激烈，简直没法做。”有人说：“竞争无序说明大家的水平都不高，正是一统江山的大好时机。” 一个是负向思维，一个是正向思维。

所谓正向思维，就是当大家看到困难的时候，你一定要看到机会。抓住了机会，困难可能就消失了。因此，成功的机会总是属于那些拥有“永远的正向思维”的人。

成功者也有问题，但是他们的成功掩盖了问题。我曾经问很多人：“好市场问题多还是差市场问题多？”有些人回答：“好市场销量大，当然问题多。”我的回答是：“差市场的问题经常被拿来小题大做，以证明市场差是有原因。所以差市场不是问题本身多，而是提出的问题多。当你去做市场时，你是从抓机会入手还是从解决问题入手？”

定律十一：如果你是个幸运的“倒霉蛋”，那么你可能“被迫成功”。

生物学家的研究已经证明：动物在遇到危险时，才会做出超出极限的发挥。生物学家的结论是：成功属于“倒霉蛋”。如果你总是遭遇“不幸”，比如总是分到最差的市场，享受的政策总是最差，那么，你在危急时刻超出正常能力的表现，可能使得你不得不成功。因此，面对不幸，不要总是抱怨，而要说：“让我遇到不幸，真是太幸运了。”

定律十二：有效工作比勤奋工作更重要。

普通人说：“我尽力了，我没闲着，我对得起这份薪水。”聪明的业务员每天这样问自己：“我今天的工作对销量持续增长有贡献吗？”如果一名业务员的工作对销量持续增长没贡献，他的勤奋又有何用？很多人的勤奋只是因为做了太多无效的事。

我把人分为两类：一类创造价值，另一类制造成本。勤奋工作也许只会制造成本，有效工作才会创造价值。对那些在市场风尘仆仆地跑市场的业务员，我经常评价他们只是“对中国交通事业做出了最伟大的贡献”，对企业却在是制造成本。

定律十三：拥有“常识”或许能让你成为普罗大众中的一员，拥有“常理”才能让你脱颖而出。

常识就是“公共知识”，“1＋1＝2”就是常识。常识只是让你成为正常人，不会产生竞争力。

产品卖不动怎么办？降价、做广告。只要是一个健全的正常人都会这么想，因为这是常识。如果营销就是这么简单，营销还是一门学问吗？

常识会让你进入一个叫做“合成谬误”的陷阱。下面这个故事就是“合成谬误”：十个老翁相约喝酒，约定每人带一壶酒，兑在一起喝。一个老翁想，如果其他人带酒，我带水，不就占便宜了吗？那知大家把“酒”兑在一起时，他才知道其他老翁也是如法炮制。

最经典的合成谬误就是“丰收悖论”：一个农民丰收了，收入会增加。当所有农民都丰收时，价格会下降，收入可能反而下降。合成谬误反映在营销上就是：率先做铺货的人成功了，大家都跟进时只是找齐了。率先做终端的人成功了，大家跟风时只是增加了成本而已……。你要成功，总得知道一点别人不知道的东西吧。有效的营销办法往往是“出乎意料之外，又在情理之中”，这要靠“常理”的推导。比如，一般人认为“消费者要买便宜的东西”，这是常识。而常理却是“消费者要买占便宜的东西”。

定律十四：如果你不能独立完成任务，一定要学会搬救兵。

搬救兵不丢人，完不成任务才丢人。我仔细琢磨《西游记》，发现一个惊人的现象：《西游记》中的妖怪，没几个是孙悟空打死的。每当孙悟空打不过妖怪时，他就腾云驾雾去搬救兵去了。现在，我不断在各种场所传播《西游记》告诉我们的一个道理：当员工，要学孙悟空会搬救兵。当领导，要学观音在关键时刻出手当救兵。

谁是你的救兵？可以是你的上司、同事，也可以是你的朋友、恩师。

什么时候搬救兵？一定要到最关键的时候。救兵一出手，问题就解决了。

定律十五：如果你受过很多培训仍然进步缓慢，不妨试试培训别人。

接受培训固然能让你“站在巨人的肩膀上”，但培训别人才能让你成为巨人。接受培训是效率最低的学习方式之一，而培训别人才是效率最高的学习方式。

要让别人听明白，你必须比别人更明白。给听众一瓢，自己必须有一桶。为了在讲台上不出丑，你必须拼命查资料。还没开讲，你已经超越听众了。

顺便提醒你一句：如果你想当领导的话，一定要先学会培训别人。对于领导来说，培训无处不在。开会是培训，安排工作是培训，检查工作是培训，总结是培训……

定律十六：每隔三年，你就要全面一遍自己的知识系统。如果你觉得自己经验越来越丰富，你就快完蛋了。在这样一个快速变化的时代，当一种做法被总结成经验时，就已经或正在过时。看一看几年前营销界的风云人物，还有几个在风头浪尖上？

随时准备“清零”，快速更新自己的知识系统，是在营销界混下去的不二法门。

定律十七：所谓职业生涯战略，就是要做未来不后悔的事。

战略不是不关心现在，而是让现实的事具有未来意义。如果你不知道现在应该做什么，不妨采用倒推法，按照你对未来的期望，倒推现在应该做什么。

职场定律

定律十八：永远不要说自己老东家和老上司的坏话，哪怕他们真的一无是处。

人们没有心思关心你与老东家和老上司的恩怨，但会关心你对待老东家和老上司的态度。如果你不断诉说着老东家和老上司的坏话，人们可能会在心里说：“他们怎么会瞎了眼找上你。”如果你对所有服务过的企业和上司都不满意，人们可能还会想：“你怎么这么有眼无珠，总是找不到好企业？”

人性的弱点就是“高估自己，低估别人”，这是烦恼的根源。同时，人们还容易“低估自己服务的企业”，这是因为你更容易看到企业的阴暗面，而只看到其它企业的光明面。

定律十九：永远不要给上司提问答题，要给上司提供选择题。

上司之所以需要你，不是为了让你给他出难题，而是为了让你帮助解决难题。所以，千万不要给上司提“怎么办”之类的问答题，即使要征询上司的意见，也要多提选择题，表明你已经有选择方案而不是不无所知。

定律二十：最好不要发牢骚，即使提意见也要保持“建设性心态”。

很多企业的销售会都变成了业务员的牢骚会，常见的牢骚不外乎：“对手人质量比我们好，对手人价钱比我们低，对手的政策比我们优惠，对手的广告力度比我们大。”遇到这种牢骚，如果上司回你一句“业务员的职责就是通过你的努力弥补产品的缺陷”，那已经够宽容的了。把上司惹恼了，可能会这样回答你：“如果我的产品、价格、广告、政策都比对手好，还要你们干什么？”

老实说，牢骚是一种不健康心态，或者叫消极心态。上司通常喜欢建设性心态面对问题的人，建设性心态就是“正视现实，立足解决问题”。所以，遇到问题要多提建议，少发牢骚。

定律二十一：老板和上司是业务员最重要的资源。业务员要学会管理上司和总部职能部门。

没有老板和上司的支持，你将一无所成。每个人的权限都是有限的，只有老板的权限是无限的。

很多业务员觉得老板最“抠门”，其实老板最大的困惑是钱花不出去。老板不怕花钱，就怕花出去的钱收不回来，投入没有产出。所以，笨蛋的业务员向老板和上司申请政策时总是爱“哭穷”：“如果再不支持，市场就完了。”老板想的却是：“支持？也许这是个无底洞。”聪明的业务员向老板和上司申请政策时总是说“该做的都做了，只要政策到位，市场立即启动。”老板一看“万事具备，只欠东风”，大笔一挥，政策立即就给了。

每次召开销售会议，职能部门总是众矢之的。业务员的批评似乎情有可原：“老子在前方打仗，你们在后方享福也就罢了，还不断使绊子。”其实，越是这样，职能部门越是不会支持。

定律二十二：要综合评价自己的收入，并不断创造收入增长空间。

GE前总裁曾经说过这样的话：一个人的工作有两项收入：一项是现在的收入，另一项是未来的收入。现在的收入是薪水，未来的收入是挣钱的本事。未来的收入比现实的收入更重要。

在基层岗位，收入的增长有极限。但当职务不断提升时，收入的增长没有极限。从这个意义上讲，收入的增长比收入本身更重要。

业绩定律

定律二十三：普通业务员把客户视为上帝，优秀业务员让客户把他当财神供起来。

客户之所以经销或购买你的产品，是因为你能让他的利益最大化。无论你如何小心饲候客户，可能离客户利益最大化的需求都相去甚远。

你要让客户明白：让你经销我的产品，是给你赚钱的机会——我不是给你一个产品，而是送给你一个光明的未来。

你还要让客户明白：我们要么成为一个战壕的战友，要么成为同行对手——你愿意让我成为你强劲的对手吗？——如果你不经销我的产品，你就去后悔吧。

如果你卖的是一枚鸡蛋，那么鸡蛋不值多少钱。但是，如果你卖的是一个“蛋生鸡，鸡生蛋”的养殖事业，一枚鸡蛋就值钱了——值钱的不是那枚鸡蛋，而是你对鸡蛋的独特认知。

定律二十四：只要帮助客户把产品卖出去了，你的产品也随之卖出去了。

业务员的任务不是解决你自己的问题，而是解决你的客户的问题——因为客户需要你，企业才需要你。如果不举例说明，这句话好像没说一样，似乎有点绕舌。一名酒店老板正为生意不好发愁，一名酒店业务员恰好登门推销，老板决定狠狠“宰一刀”，多收点进店费。哪知业务员根本不谈推销酒的事，话题一直围绕着酒店的生意。老板听后大受启发，立即摆酒席请教业务员。当然，白酒进酒店的事不仅解决了，还因为酒店生意红火扩大了白酒的销量。

当业务员问我怎样把产品卖给客户时，我告诉他：“只要你帮助客户把产品转卖出去并赚了钱，你的产品就卖出去了。”当有人问我怎样才能解决赊销问题时，我同样告诉他：“只要你帮助你的客户解决了赊销问题，客户就会拿现金进你的货。”

定律二十五：业绩产生于机会，要做业绩，先找机会。

在众所周知的领域拼个你死我活，固然也有业绩，但代价太大，不值得。我做业绩，先要有足够的洞察力发现别人没有发现的机会，这就是所谓的蓝海。

做业绩就像打仗攻城一样，打开一个缺口，整座城池都是你的了。而机会就是整座城池的缺口。

定律二十六：如果你的工作既能产生销量，也能产生未来销量，你的业绩才会让人追不上。

如果你的脑子里每天想的是如何完成当月的销量任务，那么你的工作可能是透支未来销量，你只会走下坡路。

如果你所做的是对销量持续增长有贡献的工作，每一项工作都能产生“增量”。每个月的销量都会在上月基础销量基础上不断递增。

最后的忠告：作为一名业务员，如果你不够专业，你应该足够聪明；如果你不够聪明，应该足够谦虚；如果你不够谦虚，应该足够勤奋；如果连勤奋也不够，就不要干营销。

第二篇：初中定理

初中几何证明的依据

1.两点连线中线段最短.2.同角（或等角）的余角相等.同角(或等角)的补角相等.对顶角相等.3.平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.4．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．

5.两直线平行，同位角相等．同位角相等，两直线平行．

6.两直线平行，内错角相等(同旁内角互补)．内错角相等(同旁内角互补)，两直线平行．

7.经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．

8.三角形的任意两边之和大于第三边．三角形任意两边之差小于第三边．

9.三角形的内角之和等于180°．三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角.10.三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半.11.全等三角形的对应边、对应角分别相等.12.两边夹角对应相等的两个三角形全等.两角夹边对应相等的两个三角形全等.三边对应相等的两个三角形全等.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.13.角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.14.等腰三角形的两底角相等(等边对等角）.底边上的高、中线及顶角的平分线三线合一.15.有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边）.等边三角形的每个角都等于60°.三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.16.有两个角互余的三角形是直角三角形.如果三角形的一边的平方等于另外两边的平方和,那么这个三角形是直角三角形.17.直角三角形的两锐角互余,斜边上的中线等于斜边的一半.直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.18.n边形的内角和等于(n-2)·180°;任意多边形的外角和等于360°.19.平行四边形的对边相等、对角相等、两对角线互相平分.20.一组对边平行且相等,或两条对角线互相平分,或两组对边分别相等的四边形是平行四边形.21.矩形的四个角都是直角,对角线相等.22.三个角是直角的四边形,或对角线相等的平行四边形是矩形.23.菱形的四边相等,对角线互相垂直平分.24.四边相等的四边形,或对角线互相垂直的平行四边形是菱形.25.正方形具有菱形和矩形的性质.26.有一个角是直角的菱形是正方形.有一组邻边相等的矩形是正方形.27.等腰梯形同一底边上的两底角相等,两条对角线相等.28.在同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形.梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.

第三篇：高中数学相关定理

2013年普通高等学校招生统一考试数学（文）复习资料2013.5.26

高中数学相关定理、公式及结论证明

（一）三角函数部分。

一、两角和（差）的余弦公式证明。

内容：cos()coscossinsin,cos()coscossinsin

证明：

①如图（1），在单位圆中设P（cos,sin）,Q（cos,-sin）

则：OPOQ)cos()OPOQcoscossinsin

cos()coscossinsin图（1）

②如图（2），在单位圆中设P（cos,sin）,Q（cos,sin）

则：OPOQ)cos()OPOQcoscossinsin

cos()coscossinsin图（2）

二、两角和（差）的正弦公式证明。

内容：sin()sincoscossin,sin()sincoscossin

证明：

sin()cos[

2()]cos[(

2)]cos(

2)cossin(

2)sin

sincoscossin

sin()cos[

2()]cos[(

2)]cos(

2)cossin(

2)sin

sincoscossin

三、两角和（差）的正切公式证明。内容：tan()

证明： tantan1tantan，tan()tantan1tantan

sincos

tan()

sin()cos()



sincoscossincoscossinsin



coscoscoscoscoscos



cossincoscossinsincoscos



tantan1tantan

sincos

tan()

sin()cos()



sincoscossincoscossinsin



coscoscoscoscoscos



cossincoscossinsincoscos



tantan1tantan

四、半角公式证明。内容：sin

2

1cos,cos



2

1cos,tan

2



1cos1cos



2sin1cos



1cos2sin

cos212sin

证明：由二倍角公式 2

cos22cos

12cos12sin2

用代替2，得，得sin2

cos2cos212

sincos

cos,cos

2



cos

2

tan

2

sincos

2

2cos2cos

2

2

2

2



2sin1cos，tan

2

sincos

2

sincos

2

2sin2sin

2

2

2

2



1cos2sin

五、正弦定理证明。

内容：在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，则证明：①如图（3），在RtABC中，sinA



asinAbc,

bsinB



csinC

.ac,sinB

asinA



bsinB

c，C90,sinC1.

asinA



bsinB



csinC

.图（3）

②如图（4），在锐角ABC中，以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，作ACy轴于点C，易知BA和CA在轴上的射影均为BC

CbsinC



2B)csinB,bsinB



csinC,同理

asinA



bsinB



asinA



bsinB



csinC

.图（4）

③如图（5），在钝角ABC中，以C为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，作ACy轴于点C，易知BA和CA在轴上的射影均为CC

BcsinBC



2)bsinC,bsinBasinA



csinCbsinB,同理

c

asinA



bsinB



sinC

.图（5）

六、余弦定理证明。

a2b2c22bccosA



2ABC内容：在中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，则ba2c22accosB

222

cab2abcosC

证明：如图（6），在ABC中，aaBC

(ACAB)(ACAB)

2ACAB

2

2ACABcosA2

bc2bccosA图（6）

222

abc2bccosA

同理可证：2 22

cab2abcosC

（二）平面向量部分。

一、平面向量基本定理。

内容：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量a，存在唯一一对 实数1,2，使得a1e12e2.证明：如图（7），过平面内一点O，作OAe1,OBe2,OCa，过点C分别作直 线OA和直线OB的平行线，交OA于点M，交OB于点N，有且只有一组实数，使

得OM1OA,ON2OB图（7）

OCOMONOC1OA2OB

即a1e12e2.二、共线向量定理。

内容：如图（8），A,B,C为平面内的三点，且A,B不重合，点P为平面内任一点，若C在直线AB上，则有

PCPA(1)PB

证明：由题意，BC与BA共线，BCBA

BCPCPB,BAPAPBPCPB(PAPB)

图（8）

化简为：PCPA(1)PB

三、平行向量定理。

内容：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行。

证明：设a,b是非零向量，且a(x1,y1),b(x2,y2)若a//b，则存在实数使ab，且由平面向量基本定理可知

x1iy1j(x2iy2j)x2iy2j.x1x2①，y1y2②

①y2②x2得：x1y2x2y10

若y10,y20（即向量a,b不与坐标轴平行）则

x1y

1x2y

2（三）立体几何部分。

一、三垂线定理及其逆定理。

内容：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

证明：已知：如图（9），直线l与平面相交与点A，l在上的射影OA垂直于a,a

求证：l⊥a

证明：过P作PO垂直于

∵PO⊥α∴PO⊥a

又a⊥OA，PO∩OA=O ∴a⊥平面POA

∴a⊥l图（9）

（四）解析几何部分。

一、点到直线距离公式证明。

内容：已知直线l:AxByC0,直线外一点M(x0,y0).则其到直线l的距离为d

Ax

ByA

C。

B

证明：如图（10），设直线l:AxByC0,直线外一点M(x0,y0).直线上一点P(x,y).可得直线的 一个方向向量为v(B,A),设其法向量为n(s,t)则vnBsAt0，可得直线一法向量为n(A,B),n的单位向量为n0

（AA

B,A

B

B)图（10）

由题意，点M到直线的距离为PM在n0上的射影，所以，d

A(x0x)B(y0y)

A

B



Ax

By

0

2(AxBy)B

②

A

因为点P(x,y)在直线上，所以C(AxBy)①

Ax

ByA

所以，把①代入②中，得d

00

C

B

（五）数列部分

一、等差数列前n项和公式证明。

内容：an是等差数列，公差为d，首项为a1，Sn为其n前项和，则Sna1n证明：由题意，Sna1(a1d)(a12d).......(a1(n1)d)① 反过来可写为：Snan(and)(an2d).......(an(n1)d)②

①+②得：2Sna1na1n.......a1n



n个

n(n1)

d

n(a1an)

所以，Sn

n(a1an)

③，把ana1(n1)d代入③中，得Sna1n

二、等比数列前n项和公式证明。

n(n1)

d

n(a1an)

na1,(q1)

n

内容：an是等比数列，公比为q，首项为a1，Sn为其n前项和，则Sn=a1anq a1(1q)

,(q1)

1q1q

证明：Sna1a1qa1q.......a1qqS

n

2n

1①

n

a1qa1q

a1q

.......a1q②

n

①—②得：(1q)Sna1a1q，当q1时，Sn

a1a1q1q

n



a1(1q)1q

n

③

把ana1q

n1

代入③中，得Sn

a1anq1q

当q1时。很明显Snna1

na1,(q1)

n

所以，Sn=a1anq a1(1q)

,(q1)

1q1q

（六）函数和导数部分

一、换底公式证明。内容：log

N

loglog

aa

Nb

b

(N,a,b0;a,b1)

证明：设log

a

NX,log

a

bY，则ba,Na

YX

log

b

Nlog

a

Y

a

X



XY

log

a

a

XY



loglog

aa

Nb

第四篇：定理怎么造句

定理拼音

【注音】： ding li

定理解释

【意思】：已经证明具有正确性、可以作为原则或规律的命题或公式，如几何定理。

定理造句：

1、那么散度定理究竟讲的是什么？

2、为什么这个看上去不是一个新的定理呢？

3、下面是一个基本定理,它给出了，无需计算积分就得到结果的办法。

4、许多数学家只是把这些恼人的问题简单地弃置一旁，而忙于类似定理证明这样更有趣的事务。

5、很了不起啊，一旦你们证出来了，一旦你们证明了,这个平行轴定理可行，当然，你们可以一直,为自己的便利利用它。

6、由于我们在进行不正式的证明，所以我不会为所使用的公理命名，也不会尝试去证明那些用来令证明有效的中间定理。

7、它的逆命题就是下面这个定理。

8、你拥有的定理越多，你就会变得更强大。

9、虽然在数学领域也有一些新的进展，例如对著名的四色定理的证明，1但是基本的材料却保持不变。

10、微积分基本定理，不是曲线积分的，告诉我们，如果对函数的导数积分，就会得回原函数。

11、我希望促进的那类文化是足够广博的，它包含的东西远远超过一本书或一条定理。

12、就某方面来说，我们正关上这扇物理问题的大门，同时我们开启了一扇更大的门，通向以后量子层面的能量均分定理测试。

13、它演示了自动化技术、TAL和自动化定理证明，从而验证了操作系统中和运行时复杂的低级代码的安全性。

14、皮埃尔.德.费马在1637年发现这个定理，但证明可是在这集动画片播出前不久才刚刚公布的。

15、散度定理为我们提供了一种,计算向量场通过闭曲面的通量的方法。

16、随着研究继续深入到这段古老历史的边缘，毕达哥拉斯定理是否会被一个古老的巴比伦文人的名字来取代，仍然有待于进一步的观察。

17、可以把动能转为热量，这点在功能定理,中是非常好的。

18、它演示了少量带有自动化定理证明功能，经过验证的代码它能够支持任意数量的TAL代码。

19、在2000年发表的一篇学术论文里，李建议了这个可应用于信用风险的定理，涵盖了从债券到房屋抵押贷款的一切。

20、用完全不同的方法来计算它们，并且有几个定理，把它们相互联系起来。

21、手表定理是指一个人有一只表时，可以知道现在是几点钟，而当他同时拥有两只表时却无法确定。

22、公布一个程序的源代码与公布一个定理的证明是一样的。

23、很快也会看到关于通量的定理。

24、定理是基本的原理，我们可以将其组合起来以获得更多的成果。

25、阿罗不可能性定理论证了没有一种选举的方法总是可以给出“正确”的结果。

26、半个世纪前，IBM的赫伯特·格勒恩特尔编写了一个程序，据称再现了欧几里德几何定理，但是，批评家们说它过于依赖程序员提供的规则。

27、那部分是数学的东西，即散度定理。

第五篇：正弦定理教案

正弦定理教案

教学目标：

1．知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

2.能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3．情感目标：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

教学过程：

一、复习引入

创设情境：

【师】：世界闻名的巴黎埃菲尔铁塔，比其他的建筑高出很多。如果只提供测角仪和皮尺，你能测出埃菲尔铁塔的高度吗？

【生】：可以先在离铁塔一段距离的地方测出观看铁塔的仰角，再测出与铁塔的水平距离，就可以利用三角函数测出高度。

【创设情境总结】：解决上述问题的过程中我们将距离的问题转化为角，进而转化为三角函数的问题进行计算。这个实际问题说明了三角形的边与角有紧密的联系，边和角甚至可以互相转化，这节课我们就要从正弦这个侧面来研究三角形边角的关系即正弦定理。

二、新课讲解

【师】：请同学们回忆一下，在直角三角形中各个角的正弦是怎么样表示的？

【生】：在直角三角形ABC中，sinAab,sinB,sinC1 cc

abc,c,c，也就是说在Rt△ABCsinAsinBsinC【师】：有没有一个量可以把三个式子联系起来？ 【生】：边c可以把他们联系起来，即c

中abc sinAsinBsinC

【师】：对，很美、很对称的一个式子，用文字来描述就是：“在一个直角三角形中，各边与

它所对角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，该式是否也成立呢？让我们在几何画板中验证一下，对任意的三角形ABC是不是都有“各边与它所对角的正弦比相等”成立？

【师】：通过验证我们得到，在任意的三角形中都有各个边和他所对的角的正弦值相等。

在上面这个对称的式子中涉及到了三角形三个角的正弦，因此我们把它称为正弦定理，即我们今天的课题。

【师】：直观的印象并不能代替严格的数学证明，所以，只是直观的验证是不够的，那能不

能对这个定理给出一个证明呢？

【生】：可以用三角形的面积公式对正弦定理进行证明：S1111absinCacsinBbcsinA，然后三个式子同时处以abc就可以得222

2到正弦定理了。

【师】：这是一种很好的证明方法，能不能用之前学过的向量来证明呢？答案是肯定的。怎

么样利用向量只是来证明正弦定理呢？大家观察，这个式子涉及到的是边和角，即向量的模和夹角之间的关系。哪一种运算同时涉及到向量的夹角和模呢？

（板书：证法二，向量法）

【生】：向量的数量积ababcos

【师】：先在锐角三角形中讨论一下，如果把三角形的三边看做向量的话，则容易得到三角

形的三个边向量满足的关系：ABBCAC,那么，和哪个向量做数量积呢？还

有数量积公式中提到的是夹角的余弦，而我们要得是夹角的正弦，这个又怎么转化？（启发学生得出通过做点A的垂线根据诱导公式来得到）

【生】：做A点的垂线

【师】：那是那条线的垂线呢？

【生】：AC的垂线

【师】：如果我们做AC垂线上的一个单位向量j，把向量j和上面那个式子的两边同时做数

cos(90A)cos(90C)cos90，化简000

即可得到csinAasinC，即acbc，同理可以得到。即在sinAsinCsinBsinC

锐角三角形ABC中有每条边和它所对的角的正弦值相等这个结论。

【师】：如果△ABC是钝角三角形呢？又怎么样得到正弦定理的证明呢？不妨假设∠A是钝

角，那么同样道理如果我们做AC垂线上的一个单位向量j，把向量j和上面那个式

子ABBCAC的两边同时做数量积运算就可以得到

00jABcos(C90)jBCcos(90C)jACcos900，化简即可得到csinAasinC，即acbc，同理可以得到。即在钝角三角sinAsinCsinBsinC

形ABC中也有每条边和它所对的角的正弦值相等这个结论。

【师】：经过上面的证明，我们用两种方法得到了正弦定理的证明，并且得到了正弦定理对

于直角、锐角、钝角三角形都是成立的。

【师】：大家观察一下正弦定理的这个式子，它是一个比例式。对于一个比例式来说，如果

我们知道其中的三项，那么就可以根据比例的运算性质得到第四项。因此正弦定理的应用主要有哪些呢？

【生】：已知三角形的两边一其中一边的对角求另外一边的对角，或者两角一边求出另外一

边。

【师】：其实大家如果联系三角形的内角和公式的话，其实只要有上面的任意一个条件，我们都可以解出三角形中所有的未知边和角。下面我们来看正弦定理的一些应用。

三、例题解析

【例1】优化P101例

1分析：直接代入正弦定理中运算即可

absinAsinB

csinA10sin45

asinCsin30

bcsinBsinC

B180(AC)180(4530)105

csinB10sin105b205sinCsin30总结：本道例题给出了解三角形的第一类问题（已知两角和一边，求另外两边和一

角，因为两个角都是确定的的，所以只有一种情况）

【课堂练习1】教材P144练习1（可以让学生上台板演）

【随堂检测】见幻灯片

四、课堂小结

【师】：本节课的主要内容是正弦定理，即三角形ABC中有每条边和它所对的角的正弦值相等。写成数学式子就是abc。并且一起研究了他的证明方法，利用它解决sinAsinBsinC

了一些解三角形问题。对于正弦定理的证明主，要有面积法和向量法，其实对于正弦定理的证明，还有很多别的方法，有兴趣的同学下去之后可以自己去了解一下。

五、作业布置

世纪金榜P86自测自评、例

1、例

2板书设计：

六、教学反思