第一篇：三角形公式定理
第三章 三角形公式定理
第三章 三角形三角形的有关概念和性质
1.1三角形的内角和
在同一平面内,由一些不在同一条直线上的线段首位顺次相接所围成的封闭图形叫做多边形.组成多变形的那些线段叫做多边形的边.相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.多变形相邻两边所夹的角叫做多边形的内角,简称多边形的角.多变形的角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做多边形的外角.三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180
在原来图形上添画的线叫做辅助线
依据三角形内角的特征,对三角形进行分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形.在直角三角形中,夹直角的两边叫做直角边,直角的对边叫做斜边.推论1 直角三角形的两个锐角互余
推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
1.2三角形的有关线段
三角形一个角的平分线和对边相交,角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线
从三角形的一个顶点向其对边或对边的延长线画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高全等三角形
2.1全等三角形的证明
边边边 有三边对应相等的两个三角形全等
边角边 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
角边角 有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
定理 有两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
2.2直角三角形全等的判定
定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等等腰三角形
3.1等腰三角形及其性质
三角形的三边,有的三边互不相等,有的有两边相等,有的三边都相等.三边都不相等的三角形叫做不等边三角形,有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形.在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角
定理 等腰三角形的底角相等
推论 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形
定理 一个三角形是等腰三角形的充要条件是这个三角形有两个内角相等
等边三角形定理1 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60
等边三角形定理2 三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形定理3 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形
3.2线段的垂直平分线与角平分线
定理 线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
定理 和一条线段两个端点距离相等的点,都在这条线段的垂直平分线上
线段的垂直平分线可以看成是所有和线段两段距离相等的点的集合定理 点在角平分线上的充要条件是这一点到这个角两边的距离相等
角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的所有点的集合3.3 轴对称
定义 如果点A,B在直线l的两侧,且l是线段AB的垂直平分线,则称点A,B关于直线l互相对称,点A,B互称为关于直线l的对称点,直线l叫做对称轴
定义 在平面上,如果图形F的所有点关于平面上的直线l成轴对称,直线l叫做对称轴
定义 在平面上,如果存在一条直线l,图形F的所有点关于直线l的对称点组成的图形,仍是图形F自身,则称图形F为轴对称图形,直线l是它的一条对称轴
定理（1）对称轴上的任意一点与一对对称点的距离相等（2）对称点所连线段被对称轴垂直平分
推论 两个图形如果关于某直线称轴对称,那么这两个图形是全等形
3.4三角形中的不等关系
定理 三角形的外角大于和它不相邻的任一内角
定理 三角形任何两边的和大于第三边
推论 三角形任何两边的差小于第三边
定理 在一个三角形中,如果两边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大定理 在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等,大角所对的边较大
在一个三角形中,一条边大于另一条边的充要条件是,这条边所对的角大于另一条边所对的角 4 直角三角形
4.1勾股定理逆定理
勾股定理逆定理 如果三角形的三边长a,b,c满足条件a+b=c,那么c所对的角是直角
4.2含30角的直角三角形的性质
定理 在直角三角形中,如果一个瑞角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半
4.3直角三角形斜边上中线的性质
定理 在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半基本作图
5.1基本作图
5.1作三角形
5.3轨迹与反证法
我们把物体按某种规律运动的路线叫做物体运动的轨迹
我们就把一个点在空间按某种规律运动的路线,叫做这个点运动的轨迹,这个点就叫做动点定义 具有性质a的所有点构成的集合,叫做具有性质a的点的轨迹
轨迹具有纯粹性和完备性
基本轨迹1 与两个已知点距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直平分线基本轨迹2 与已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线
圆几何公式：
101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理 不在同一直线上的三个点确定一条直线
110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
118推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径
119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121①直线L和⊙O相交 d﹤r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d﹥r
122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
135①两圆外离 d﹥R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)
④两圆内切 d=R-r(R﹥r)⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r)
136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
139正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n
140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长
142正三角形面积√3a/4 a表示边长
143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
144弧长计算公式：L=n∏R/180
145扇形面积公式：S扇形=n∏R/360=LR/2
146内公切线长= d-(R-r)外公切线长= d-(R+r)
第二篇：三角形公式
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 2 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
3勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c
4勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形
5定理
四边形的内角和等于360°
6多边形内角和定理: n边形的内角的和等于(n-2)×180°
7平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等
8平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等
9推论
夹在两条平行线间的平行线段相等
10平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分
11平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形
12平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形
13平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形
14平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形
15矩形性质定理1矩形的四个角都是直角
16矩形性质定理2矩形的对角线相等
17矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形
18矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形
19菱形性质定理1菱形的四条边都相等
20菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 21菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷2
22菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形
23菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
24正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等
25正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分 一组对角
26定理1关于中心对称的两个图形是全等的27定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 28逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个 图形关于这一点对称
29等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等
30等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形
31平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 32 推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2
第三篇：三角形射影定理
几何证明
射影就是正投影，从一点到过顶点垂线垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。
直角三角形射影定理
直角三角形射影定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
（1）（AD）=BD·DC，（2）（AB）=BD·BC，（3）（AC）=CD·BC。
证明：在 △BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴ AD/BD＝CD/AD，即（A
D）^2=BD·DC。其余类似可证。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：（AB）+（AC）=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）
即（AB）+（AC）=（BC）。22222222
2任意三角形射影定理
任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：
设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a＝b·cosC＋c·cosB，b＝c·cosA＋a·cosC，c＝a·cosB＋b·cosA。
注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。
证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且
BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB.同理可证其余。
1.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.2.圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.2．弦切角定理推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
进一步指出：由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反过来，过切点垂直于切线的直线一定经过圆心，因此可以得到两个推论：
推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
引导学生分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，总结出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个．
(1)垂直于切线；(2)过切点；(3)过圆心．
相交弦定理
：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线
段长的积相等
几何语言：
若弦AB、CD交于点P
则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
几何语言：
若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC=PA·PB（相交弦定理推论）
割线定理：
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线则有这点到割线与圆交点的两条线段的积相等.要证PT2=PA·PB，可以证明，为此可证以 PA·PT为边的三角形与以PT，BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB。容易证明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是问题可证：
直线ABP和CDT是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD
证明:连接AD、BC
∵∠A和∠C都对弧BD
∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C
又∵∠APD=∠CPB
∴△ADP∽△CBP
∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
圆内接四边形的判断定理定理1：圆内接四边形的对角互补；定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
圆幂定理
圆幂的定义:一点P对半径R的圆O的幂定义如下：OPR
所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。
（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
2如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AD、BC，则∠D=∠B，∠A=∠C。所以△APD∽△BPC。所以 APPDAPBPPCPD PCBP
（2）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。
如图，PT为圆切线，PAB为割线。连接TA，TB，则∠PTA=∠B（弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA∽△PBT，所以
PTPAPT2PAPB PBPT
（3）割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有
PA·PB=PC·PD。
这个证明就比较简单了。可以过P做圆的切线，也可以连接CB和AD。证相似。存在：PAPBPCPD
进一步升华（推论）：
过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于
A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r，则 PCPD(POR)(POR)PO2R2|PO2R2|（一定要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P到圆O的幂。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）
若点P在圆内，类似可得定值为RPO|POR|
故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝 对值。（这就是“圆幂”的由来）
2222
第四篇：三角形垂心定理
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明
已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F，求证：CF⊥AB
证明：
连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB
第五篇：数学分析公式定理2
第十二章
富里埃级数
§1
富里埃级数
一
富里埃（Fourier）级数的引进
定义：设是上以为周期的函数，且在上绝对可积，称形如的函数项级数为的Fourier级数(的Fourier展开式)，其中，称为的Fourier系数，记为
说明
1）在未讨论收敛性，证明一致收敛到之前，不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示是的Fourier级数，或者说的Fourier级数是。
2)
要求上的Fourier级数，只须求出Fourier系数。
二
富里埃级数收敛性的判别
1.Riemann（黎曼）引理
设在（有界或无界）区间上绝对可积，则，.推论
在上绝对可积函数的Fourier系数；
2.Fourier级数收敛的充要条件
定理1
和,使得当时成立
其中.3.Fourier级数收敛的Dini判别法
推论:
设在上除去有限点外存在有界导数,则的Fourier级数点点收敛,且
特别地,是的连续点时，即
例:
设是以为周期的函数，其在上可表示为,判定的Fourier级数的收敛性.例：设是以为周期的函数,其在上等于,判定的Fourier级数的收敛性
例：
4.Jordan判别法
设在上单调(或有界变差)，则。
例：设是以为周期的函数，其在上可表示为,求的Fourier展开式。
计算的Fourier系数的积分也可以沿别的长度为的区间来积.如，例：
设是以为周期的函数,其在上等于,求的Fourier级数.如果仅定义在长为的区间上,例如定义在上,此时不是周期函数,从而不能按上述方法展开为Fourier级数.但可对在外补充定义,使其以为周期,如定义,它有下述性质:
a)
时,；
b)
以为周期.例
:
三
正弦级数和余弦级数
定义
形如的三角级数(函数项级数)称为正弦级数;形如的三角级数（函数项级数）称为余弦级数.2
如果是以为周期的函数,在上绝对可积,若是奇函数,则有；若是偶函数,则有.3设仅在上有定义,如果按奇函数的要求,补充定义,然后再作周期延拓,必得奇函数,所得Fourier级数必为正弦级数.对应地,补充定义后,再作周期延拓,必得偶函数,所得Fourier级数必为余弦级数。
例:),将展开成余弦函数。
例：将在上展开为余弦级数。
四
一般周期函数的Fourier级数
设是周期为的函数,且在上绝对可积,则有,其中，例:
求的Fourier展开式.五
Fourier级数的复数表示形式
设,则其复数表示形式为,其中,复的Fourier系数.§2
富里埃变换
一
富里埃变换的概念
设在内绝对可积。
定义1
称是的富里埃变换，并把它记为或。即。
富里埃变换的性质
（i）是内的连续函数；
（ii）。
定义2
称是的富里埃逆变换。又称
是的富里埃变换积分公式。
例：
求衰减函数的富里埃变换。
例：
求函数的富里埃变换和富里埃变换积分公式。
二
富里埃变换的一些性质
富里埃变换有一些简单的性质，这些性质在偏微分方程和概率论等课程中有着很重要的应用。
性质1（线性），其中是两个任意给定的常数。
性质2（平移）对任何，设，那么。
性质3（导数）设，则。
性质4。
第十三章
多元函数的极限和连续性
§1、平面点集
一
邻域、点列的极限
定义1
在平面上固定一点，凡是与的距离小于的那些点组成的平面点集，叫做的邻域，记为。
定义2
设。如果对的任何一个邻域，总存在正整数，当时，有。就称点列收敛，并且收敛于，记为或。
性质：（1）。
（2）若收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。
二
开集、闭集、区域
设是一个平面点集。
1．内点：设，如果存在的一个邻域，使得，就称是的内点。
2．外点：设，若存在的一个邻域，使，就称是的外点。
3．边界点：设是平面上一点，它可以属于，也可以不属于，如果对的任何邻域，其中既有的点，又有非中的点，就称是的边界点。的边界点全体叫做的边界。
4．开集：如果的点都是的内点，就称是开集。
5．聚点：设是平面上的一点，它可以属于，也可以不属于，如果对的任何邻域，至少含有中一个（不等于的）点，就称是的聚点。
性质：设是的聚点，则在中存在一个点列以为极限。
6．闭集：设的所有聚点都在内，就称是闭集。
7．区域：设是一个开集，并且中任何两点和之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起
来，而这条折线全部含在中，就称是区域。一个区域加上它的边界就是一个闭区域。
三
平面点集的几个基本定理
1．矩形套定理：设是矩形序列，其中每一个矩形都含在前一个矩形中，并且，那么存在唯一的点属于所有的矩形。
2.致密性定理：如果序列有界，那么从其中必能选取收敛的子列。
3.有限覆盖定理：若一开矩形集合覆盖一有界闭区域。那么从
里，必可选出有限个开矩形，他们也能覆盖这个区域。
4．收敛原理：平面点列有极限的充分必要条件是：对任何给定的，总存在正整数，当时，有。
§2
多元函数的极限和连续
一
多元函数的概念
不论在数学的理论问题中还是在实际问题中，许多量的变化，不只由一个因素决定，而是由多个因素决定。例如平行四边行的面积由它的相邻两边的长和宽以及夹角所确定,即;圆柱体体积由底半径和高所决定,即。这些都是多元函数的例子。
一般地，有下面定义：
定义1
设是的一个子集，是实数集，是一个规律，如果对中的每一点，通过规律，在中有唯一的一个与此对应，则称是定义在上的一个二元函数，它在点的函数值是，并记此值为，即。
有时，二元函数可以用空间的一块曲面表示出来，这为研究问题提供了直观想象。例如，二元函数就是一个上半球面，球心在原点，半径为，此函数定义域为满足关系式的，全体，即。又如，是马鞍面。
二
多元函数的极限
定义2
设是的一个开集，是一个常数，二元函数在点附近有定义．如果，当时，有，就称是二元函数在点的极限。记为或。
定义的等价叙述1
设是的一个开集，是一个常数，二元函数在点
附近有定义．如果，当时，有，就称是二元函数在点的极限。记为或。
定义的等价叙述2
设是的一个开集，是一个常数，二元函数在点
附近有定义．如果，当且时，有，就称是二元函数在点的极限。记为或。
注：（1）和一元函数的情形一样，如果，则当以任何点列及任何方式趋于时，的极限是；反之，以任何方式及任何点列趋于时，的极限是。但若在某一点列或沿某一曲线时，的极限为，还不能肯定在的极限是。所以说，这里的“或”要比一元函数的情形复杂得多，下面举例说明。
例：设二元函数，讨论在点的的二重极限。
例：设二元函数，讨论在点的二重极限是否存在。
例：，讨论该函数的二重极限是否存在。
二元函数的极限较一元函数的极限而言，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂。
例：。
例：① ② ③
例：求在（０，０）点的极限，若用极坐标替换则为
（注意：在时为０，此时无界）。
例：（极坐标法再举例）：设二元函数，讨论在点的二重极限．
证明二元极限不存在的方法．
基本思想：根据重极限定义，若重极限存在，则它沿任何路径的极限都应存在且相等，故若１）某个特殊路径的极限不存在；２）或某两个特殊路径的极限不等；３）或用极坐标法说明极限与辐角有关．
例：在的二重极限不存在．
三
二元函数的连续性
定义3
设在点有定义，如果，则称在点连续．
“语言”描述：，有。
如果在开集内每一点连续，则称在内连续，或称是内的连续函数。
例：求函数的不连续点。
四
有界闭区域上连续函数的性质
有界性定理
若再有界闭区域上连续，则它在上有界。
一致连续性定理
若再有界闭区域上连续，则它在上一致连续。
最大值最小值定理
若再有界闭区域上连续，则它在上必有最大值和最小值。
零点存在定理
设是中的一个区域，和是内任意两点，是内的连续函数，如果，则在内任何一条连结的折线上，至少存在一点，使。
五
二重极限和二次极限
在极限中，两个自变量同时以任何方式趋于，这种极限也叫做重极限（二重极限）．此外，我们还要讨论当先后相继地趋于与时的极限．这种极限称为累次极限（二次极限），其定义如下：
若对任一固定的，当时，的极限存在：,而在时的极限也存在并等于，亦即，那么称为先对，再对的二次极限，记为
．
同样可定义先后的二次极限：．
上述两类极限统称为累次极限。
注意：二次极限（累次极限）与二重极限（重极限）没有什么必然的联系。
例：（二重极限存在，但两个二次极限不存在）．设
由 得（两边夹）;不存在知的累次极限不存在。
例：（两个二次极限存在且相等，但二重极限不存在）。设，由知两个二次极限存在且相等。但由前面知
不存在。
例：（两个二次极限存在，但不相等）。设，则，;
（不可交换）
上面诸例说明：二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之间没有一定的关系。但在某些条件下，它们之间会有一些联系。
定理1 设（1）二重极限；（2）。则。
（定理1说明：在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等。但并不意味着另一累次极限存在）。
推论1
设（1）
；（2），存在；（3），存在；则，都存在，并且等于二重极限。
推论2
若累次极限与存在但不相等，则重极限必不存在（可用于否定重极限的存在性）。
例：求函数在的二次极限和二重极限。
第十四章
多元函数微分学
§1
偏导数和全微分的概念
一
偏导数的定义
1．偏导数定义
定义1
设是一个二元函数，定义在内某一个开集内，点（，）
D，在中固定,那么是一个变元的函数，如果在点可导，即如果
(1)
存在，则称此极限值为二元函数在点（,）关于的偏导数。
记为。
类似地可定义。
2．偏导数的计算
例:
设，求偏导数。
例：，求和。
例：U=++yz
求。
3.偏导数和连续
若在点关于（或）可导，则在关于（或）连续。但不能推出关于两个变量是连续的。见下面的例子。
例：
。
4.偏导数的几何意义
就是曲线在的切向量。
就是曲线在的切向量。
二
全微分的定义
二元函数微分的定义
定义2
若函数的全改变量可表示为
=(+,+)=++()
且其中与，无关而仅与有关，则称函数在点可微，并称为在点的全微分，记为，即。
性质1
如果在点（,）可微，则。
注：若在点可微，则。
性质2
若在点（，）可微，则f在点（，）连续。
例：设
证明在点不可微。
定理1
设函数的两个偏导数，在点（，）存在而且都连续，则在点（，）可微。
例：设，求。
三
高阶偏导数与高阶全微分
类似于一元函数的高阶导数，可以定义高阶偏导数。
例：设，求，；，。
注：一般情况下，未必有。
例：
设，可求得。
定理2
设二元函数的两个混合偏导数，在(，)连续，则有(,)=(,)。
§2
求复合函数求导的链式法则
一
复合函数求导的链式法则
定理1（链式法则）设，此时在点可微，又和都在点
关于的偏导数存在，则
说明：(1)
几种特殊情形：定理1显然讲的是2个中间变量，2个自变量的情形，但其思想方法完全适用与其它情形：
1）
则。
2）设则
例：又设。求
（2）
计算复合函数的两阶及两阶以上偏导数，只要重复运用链式法则即可。
(3)有时记。
例：。
例：
（4）链式法则链式法则中的条件是充分的，并非必要的。在使用链式法则时，要注意的可微性条件，如果不满足这一条件，链式法则不一定成立。
二
一阶微分形式不变性
一阶微分有个很重要性质——形式不变性。在二元函数中也有类似的性质。
设是二元可微函数，如果是自变量，则：
（各自独立变量）（1）
如果不是自变量而是中间变量，又设都可微，并且可以构成复合函数，那么：
（2）
由（1），（2）的可知一阶微分形式的不变性。
注意（1）两阶微分没有这一性质，如下例。
例：设
则
如果二阶微分只有形式不变性，则有：
但
（2）利用一阶微分形式不变性求偏导数
例：设利用微分形式不变性求
并求出
（3）高阶微分不具有形式不变性。
§3
由方程（组）所确定的函数的求导法
在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如
这种形式的函数称为显函数。但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所决定的。这种形式的函数称为隐函数。
本节将介绍由一个方程所确定的隐函数求导法以及由方程组所确定的隐函数求导法。
一．
一个方程的情形
对
说明：（1）
求需要假定，这一假设是很重要的；（2）
这里只用到了“链式法则”；（3）
对求导，只在假定的函数的情况下，求导数，如何确定。
例：
设。
例：
设二阶可微，求。
二
方程组的情形
设由方程组
确定了：并且它们具有对各个变元的连续偏导数，如何求偏导数？
解决方案：
求完全相同。
例：设。
例：设。
例：设，，变换方程。
§4
空间曲线的切线与法平面
本节主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切线和法平面的计算问题。
参数方程的情形
设空间曲线的参数方程为
其中的参数。又设都在连续，并且对每一不全为0，这样的曲线称为光滑曲线。通过曲线上任一点的切线定义为割线的极限位置，由此就可写出曲线在任一点的切线方程为：。
法平面：过点可以作无穷多条切线与切线垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这个平面为曲线在点处的法平面，其方程为：。
例：求螺旋线：，（其中为常数）在点（，0，0）的切线方程和法平面方程。
如果曲线方程由下式表示：。则过点的切线方程为，过点的法平面方程为。
空间曲线是用两个曲面的交线表示：。
又设，关于有连续的偏导数，；
例：求两柱面的交线在点的切线方程和法平面方程。
§5
曲面的切平面与法线
1、设光滑曲面的方程，为曲面上一点，过点的切平面方程为：。
过点并与切线平面垂直的直线，称为曲线在点的法线，方程为：。
2、若曲面方程为，则曲面过的切平面方称为
法线方程：。
3、曲面方程由方程组给出：，给出，其中是参数。则曲面过的切平面方称为。
法线方程为：
例：求曲面在点（2，1，4）的法向量的方向余弦，并求其法线方程和切平面方程。
例：证明对任何常数，球面和锥面正交。
§6
方向导数和梯度
一
方向导数
在许多实际问题中，常常需要知道函数在一点沿任何方向或某个方向的变化率。
定义1
设是中的一个区域，是D内一个函数，是一个方向向量，令，如果
存在，则称此极限是在点沿方向的方向导数，记为。它表示在点沿方向的变化率。
定理1
设函数在点可微，则在点沿任何方向的方向导数存在，并且有
其中是方向的方向余弦。
例：设，求在点（1，0，2）沿方向（2，1，-1）的方向导数。
设是中的一个区域，是内的一个二元可微函数，那么在内每一点，沿单位向量的方向导数是，其中是轴正向（即轴上单位向量）和向量之间的夹角。
二
梯度
1、引言
在一个数量场中，在给定点沿不同的方向，其方向导数一般是不相同的，现在我们所关心的是：沿哪一个方向其方向导数最大？其最大值是多少？为此引进一个很重要的概念——梯度。
2、梯度的定义
定义2
设定义于某个三维区域内，又设函数具有关于各个多元的连续偏导数，称向量
是在点的梯度，记为，即
。它的长度为。
注：它是一个向量，是由数量场产生的向量。
3、的性质：
设可微，则
（1）；（是常数）。
（2）；
（3）
（）
（4）
（在可微）
例：设在空间原点处有一个点电荷，在真空中产生一个静电场，在空间任一点处的电位是：，则。
4、的意义：的方向表示数量场沿此方向的方向导数达到最大；的根长就是这个最大的方向导数。
例：求数量函数在的梯度及其大小。
§7
泰勒公式
定理1
设函数在点内对及具有直到阶连续偏导数。对D内任意一点，设，则，这里。
二元函数的中值公式，其中。
例：写出在点附近函数的泰勒公式。
例：按及的乘幂展开函数到三项为止。
第十五章
极值和条件极值
§1.极值和最小二乘法
一
极值
定义1 设在的邻域内成立不等式，则称函数在点取到极大值，点称为函数的极大点，若在的邻域内成立不等式，则称函数在点取到极小值，点称为函数的极小点。极大值和极小值统称为极值，极大点和极小点统称为极值点。
定义2
设是内的一个区域，是的一个内点，如果，则称是的一个驻点。
根据费玛定理，可知
定理1
二元函数的极值点必为的点或至少有一个偏导数不存在的点。
注：定理1的条件是必要条件，而不是充分条件。
例：在点。
例：在点。
怎样进一步判断是否有极值？
定理2
设在点的某个邻域内有各个二阶连续偏导数，并且点是的一个驻点，，，则：（1）若，则在点有极小值；（2）若，则在点有极大值；（3）若，则在点没有极值；（4）若，则须进一步判断。
例：求的极值。
例：求的极值。
多元函数的最大（小）值问题
设函数在某一有界闭区域中连续且可导，必在上达到最大（小）值。若这样的点位于区域内部，则在这点显然函数有极大（小）值。因此，在这种情形函数取到最大（小）值的点必是极值点之一。然而函数的最大（小）值最可能在区域的边界上达到。因此，为找出函数在区域上的最大（小）值，必须找出一切有极值的内点，算出这些点的函数值，再与区域边界上的函数值相比较，这些数值中最大数（或最小数）就是函数在闭区域上的最大（小）值。通常可根据问题的实际意义来判断。
例：有一块宽24cm的矩形薄铁皮，把两边折起来，做成一个梯形水槽，问和各自为何值时，水槽的流量是最大？
例：试在轴，轴与直线围成的三角形区域上求函数的最大值。
二
.最小二乘法
例：已知，…服从线性关系：
问：如何根据这组数据来合理地确定系数和？
解：总偏差为，确定系数，使总偏差最小。这种确定系数的方法叫做最小二乘法。令，即可解得。
几个疑问：1）如果怎么办？2）这样求出的就是达到极小值的点？
3）在选取
时，为什么不取各个偏差的代数和作为总偏差？
例：已知，现测得一组数据，利用最小二乘法，求系数所满足的三元一次方程组。
§2
条件极值
一
何谓条件极值
在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定点到一曲面的最短距离问题，就是这种情形。我们知道点到点的距离为。现在的问题是要求出曲面上的点使F为最小。即，问题归化为求函数在条件下的最小值问题。
又如在总和为C的几个正数的数组中，求一数组，使函数值为最小，这是在条件的限制下，求函数的极小值问题。这类问题叫做条件极值问题。
二
条件极值的必要条件
为了方便起见，同时又不不失一般性，我们仅讨论以下情形。
前提：设函数具有对各个变元的连续偏导数，而这些变元之间又受到以下条件的限制：
其中和都具有对各个变元的连续偏导数，并且它们的行列式。
目标：我们要求函数在限制条件下的极值的必要条件。
定理1（限制极值的必要条件）在限制条件下于点取得极值，那么必存在常数，使得在该点有：
称，是乘数（待定乘数）。
这一结果可推广到元函数。
三
条件极值的求法
在具体解题时，例如在限制条件下求的极值，可如下进行：
1．引入函数（函数）：。
2．求的极值（视为独立变量）：由，，。
解得可能的极值点。
3.求的二阶全微分。若，则取得极小值；若，则取得极大值。
例：求空间内一点到平面的距离。
例：要制造一容积为16的无盖长方形水箱，问水箱长、宽、高为多少时，所用材料最省？
第十六章
隐函数存在定理、函数相关
§1
隐函数存在定理
一
一个方程的情形
在前面，我们是在假定从方程中可以确定的前提下，给出求导数的方法。然而需要指出的是：并不是任一方程都能确定出隐函数。因此，我们必须知道方程在什么情况下才能确定隐函数？
例：设有方程，问在点，，的附近是否确定为的函数？
定理1
（隐函数存在定理）
设二元函数满足下列条件：
注：
(1)定理的几何意义：条件(1)表明曲面是光滑的；条件（2）表明曲面和坐标平面有一个交点，条件（3）（不妨设）表明在的附近，对固定的，设为正向，曲面是单调增加的。定理的结论是：在点的附近曲面和有一条唯一的光滑交线.（2）定理的结论是局部性的，即在点的某个邻域内由方程可以唯一确定一个可微的隐函数。例如：
在点(0,1)的某个邻域内由方程可以确定唯一的。在点(0,-1)的某个邻域内由方程可确定唯一的（3）
定理的条件是充分的，非必要的。如上例中的函数：在（-1，0）和（1，0）两点，破坏了定理中的条件（3），从而定理失效。从图中可以看出，对于一在右邻域或左邻域内的任何一个值，将获得两个值：，唯一性条件破坏。
定理1中的方程是含有两个变量和的，对于3个变量，甚至于多个变量，也有类似的结果。
二
多变量及方程组的情形
定理2
满足：的一个邻域内对各个变元有连续的偏导数；
（2）
（3）
F，G关于的Jacobi矩阵
则：（1）存在点的一个邻域，在此邻域内由方程组
可以确定唯一的函数：满足：
（2）在内连续；
（3）在内有关于和的连续偏导数。
例：。问：（1）由方程确定的是关于和的可微函数？
（2）由方程确定的都是关于和的可微函数？
例：函数在那些点近旁可唯一地确定胆汁连续，且又连续导数的函数？
§2
函数行列式的性质、函数相关
一
函数行列式的性质
函数行列式不仅在隐含数存在定理中起着重要作用，而且在其它分析问题和应用中，也是经常出现的，它有以下主要性质：
性质1
设函数
定义于某一维区域中，且有关于一切变元的连续偏导数。又设
定义于某一维区域中，且有关于一切变元的连续偏导数。设的值域包含在中。则有。
注：这个性质可看成复合函数求导公式的拓广。
性质2
设函数
定义于某一维区域中，且有关于一切变元的连续偏导数，并且它们的反函数
存在，且有关于一切变元的连续偏导数。则有。
第十七章
含参变量的积分
设函数在矩形上连续。定义含参积分
和.含参积分提供了表达函数的又一手段。我们称由含参积分表达的函数为含参积分。这种形式的函数在理论上和应用上都有重要作用，有很多很有用的特殊函数就是这种形式的函数。
下面讨论这种由积分所确定的函数的连续性，可微性与可积性。
定理1
若函数在矩形上连续,则函数在上连续.注：在定理的条件下，有，即极限运算可以通过积分号。
例：求。
定理2
若函数及其偏导数都在矩形上连续,则，也就是微分运算可以通过积分号。
例：当时，能否利用定理2计算的导数？
定理3
若函数及其偏导数在矩形域上连续,函数和在上连续，并且，则函数在上连续。
例：求。
定理4
设函数函数及其偏导数在矩形域上连续，函数和在上存在，并且，则。
例：设，求。
定理5若函数在矩形上连续，则
.注：在定理的条件下，累次积分可交换求积分的次序。
例：求。
例：
研究函数的连续性，其中是上连续且为正的函数。
解：
令，则在连续，其中。从而在连续。
当时，当时，记，则
若存在，则
故在不连续。
或用定积分中值定理，当时，使
若存在，则,故在不连续。
问题1
上面最后一个式子能否写为。
事实上，是依赖于的，极限的存在性还难以确定。
例：设在连续，求证
:
（其中）
满足微分方程。
证：令，则，它们都在上连续，则
例：设为连续函数，,求。
解：令，则
第一项中令，第二项中令，则。
第十八章
含参变量的广义积分一、一致收敛的定义
定义1
设函数定义在上，称含参变量的无穷积分。
定义2设函数定义在上，若,当时,对一切，成立
或。
就称含参无穷积分关于一致收敛。
定义3设对于上的每一值，以为奇点的积分存在。若,当时，对一切，成立
或，就称含参无穷积分关于一致收敛。
二、一致收敛积分的判别法
以下假定积分收敛。
定理1（魏尔斯特拉斯判别法）设有函数，使得
如果积分收敛，那么关于一致收敛。
例：证明含参无穷积分在内一致收敛。
三、一致收敛积分的性质
1.连续性定理
定理2
设函数在上连续，关于一致收敛，那么是上的连续函数。
注：在定理的条件下，有，即极限运算可以通过积分号。
2.积分顺序交换定理.定理3设函数在上连续，关于一致收敛，那么。
注：在定理的条件下，累次积分可交换求积分的次序。
例：计算积分。
3.积分号下求导定理.定理4
设函数，在上连续，存在，关于一致收敛。那么，也就是微分运算可以通过积分号。
例：计算积分。
例：证明含参量非正常积分在上一致收敛，其中。但在区间内非一致收敛。
4.含参无穷积分与函数项级数的关系
定理5
积分在上一致收敛对任一数列,↗,函数项级数在上一致收敛。
四、欧拉（Euler）积分
介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数,即和.它们统称为Euler积分.在积分计算等方面,它们是很有用的两个特殊函数
1.Beta函数
（1）
Beta函数及其连续性：
称(含有两个参数的)含参积分为Beta函数。当和中至少有一个小于1
时,该积分为瑕积分。下证对,该积分收敛。由于时点和均为瑕点，故把积分分成和考虑。
:
时为正常积分;
当时,点为瑕点。由被积函数非负,和,（由Cauchy判法)
积分收敛.（易见时积分发散).:
时为正常积分;
当时,点为瑕点.由被积函数非负,和,（由Cauchy判法)
积分收敛.（易见时积分发散).综上,当时积分收敛.设D,于是,积分定义了D内的一个二元函数.称该函数为Beta函数,记为,即
=
不难验证,函数在D内闭一致收敛.又被积函数在D内连续,因此,函数是D内的二元连续函数.（2）函数的对称性:
.由于函数的两个变元是对称的,因此,其中一个变元具有的性质另一个变元自然也具有.2．Gamma函数
（1）Gamma函数
考虑无穷限含参积分,当时,点还是该积分的瑕点.因此我们把该积分分为
来讨论其敛散性
.:
时为正常积分.时,.利用非负函数积的Cauchy判别法,注意到当时积分收敛.(易见当时,仍用Cauchy判别法判得积分发散).因此,时积分收敛.:
对R成立,.因此积分对R收敛.综上,时积分收敛.称该积分为Euler第二型积分.Euler第二型积分定义了内的一个函数,称该函数为Gamma函数,记为,即
=,.函数是一个很有用的特殊函数.（2）函数的连续性和可导性:
在区间内非一致收敛.这是因为时积分发散.这里利用了下面的结果:
若含参广义积分在内收敛,但在点发散,则积分在内非一致收敛.但在区间内闭一致收敛.即在任何上,一致收敛.因为时,对积分,有,而积分收敛.对积分，而积分收敛.由M—判法,它们都一致收敛,积分在区间上一致收敛.作类似地讨论,可得积分也在区间内闭一致收敛.于是可得如下结论:的连续性:
在区间内连续.的可导性:
在区间内可导,且
.同理可得:
在区间内任意阶可导,且
.（3）的递推公式，函数表的递推公式
:
.证
..于是,利用递推公式得:，,…………，一般地有
.可见,在上,正是正整数阶乘的表达式.倘定义,易见对,该定义是有意义的.因此,可视为内实数的阶乘.这样一来,我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了内的所有实数上,于是,自然就有,可见在初等数学中规定
是很合理的.例：计算积分。
第十九章
积分（二重、三重积分，第一类曲线、曲面积分）的定义和性质
§1
二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念
1.二重积分、三重积分，第一类曲线积分、第一类曲面积分都可看成已知物体的密度，求物体的质量。
但要看物体的几何形状。
2.几何体上的黎曼积分的定义。
定义1
设为一块几何形体，这个几何形体是可以度量的，在这个几何形体上定义了一个函数。将这几何形体分为若干可以度量的小块，…。既然每一小块都可度量，故它们皆有度量大小可言，把他们的度量大小仍记为。并令，在每一块中任取一点，做下列和式：
如果这个和式不论对于的怎样分划以及在上如何取法，只要当时恒有同一极限，则称此极限为在几何形体上的黎曼积分，记为：
.也就是，这个极限是与分法和取法无关的。
叙述：如果对任意及一定数，总存在一个数，对于任意的分法，只要时，不管点在上如何选取，恒有，则称为在上的黎曼积分，记为：，这时，也称在上可积。
根据几何形体的不同形态，进一步给出上积分的具体表示式及名称。
（1）如果几何体是一块可求面积的平面图形，那么上的积分就称为二重积分，在直角坐标下记为。
（2）如果几何体是一块可求体积的空间几何体，那么上的积分就称为三重积分，在直角坐标下记为。
（3）如果几何体是一块可求长的空间曲线段，那么上的积分称为第一类曲线积分，在直角坐标下记为。
（4）如果几何体是一块可求面积的曲面片，那么上的积分称为第一类曲面积分，在直角坐标下记为。
3．性质
（1）。
（2）若在上可积，则在上有界。
§2
积分的性质
性质1
若函数在上可积，为常数，则在上也可积，且。
即常数因子可从积分号里提出（注意与不定积分的不同）。
性质2
若函数、都在上可积，则在上也可积，且有。
性质3
若函数在上可积，且，则在和上都可积，且。
反之，若在和上都可积，则在上可积，且上述等式成立。
性质4
若函数和都在上可积，且在上成立，则。
性质5
若函数在上可积，则在上可积，且。
注：若在上可积，不能推出在上可积。
例：
在上不可积，但可积。
性质6（积分第一中值定理）若函数在上可积，则存在常数，使得。
推论
若函数在上连续，则在上至少存在一点，使。
例：若函数在上连续，但不恒等于0，则。
第二十章
重积分
§1二重积分的计算
一
化二重积分为二次计分
1.关于体积的计算
2.矩形上的二重积分可以化为二次积分进行计算
简单地说，形如的积分称为一个先后的二次积分。确切地说，设函数在上有定义，如果任意确定，则是自变量为的一元函数，设，有意义，其值是的函数，记为，又得体积为
同样，可以先后的二次积分：=
在此例中，先后的二次积分等于先后的二次积分，即两个二次积分相等，这个现象包含在下面的定理中。
3．一般性化二重积分为二次积分
在平面区域中，有两类特殊的区域是最具代表性的。所示区域用集合可表示为：
型区域
其特点是，则直线至多与区域的边界交于两点；所示区域用集合可表示为：
型区域
其特点是，则直线至多与区域的边界交于两点。
为什么说这两类区域常用到（最具代表性），因为许多常见的区域都可分割为有限个无分类点的型区域和型区域。因而，解决了型区域和型区域上二重积分的计算方法后，一般区域上的二重积分的计算问题也就得到解决。
如何计算型区域和型区域上的二重积分呢？
最基本的想法还是化二重积分为二次积分（累次积分）。问题是化为什么样的二次积分呢？有下面的结果：
定理1
设，则
=。
例：化二重积分为二次积分，其中是由直线，抛物线所围的平面区域。
例：求由和，，所围空间区域的体积V。
例：求二次积分
注意：最外层积分的积分限一定是常数。
二
用极坐标计算二重积分
也有一种情形，函数f在上可积，但无论采用哪种积分次序都“算不出来”。
例：，=
在定积分中，换元积分法对简化定积分计算起着重要的作用。对于二重积分也有相应的换元公式，用于简化积分区域或被积函数。
作极坐标变换：。
在变换下，函数，区域。二重积分化为。
说明：①注意，虽经极坐标交换，但又变成极坐标系下二重积分，这是如何计算极坐标系下二重积分，在极坐标下，二重积分一样可以化为二次积分来计算，下面分情况讨论之：
情形1
若=，为[，]上的连续函数，则称之为型区域。这时，可将之化为下面形式：
=
情形2
若=，其中，C[，]（型区域），此时有
=
情形3
若极点O是积分区域的内点，则交换后的区域为：=
此处=是的边界曲线，=
情形4
若积分区域的边界曲线=通过极点O时，应先求出极径，继使=0的两个角度，此时有：=。
②何时使用极坐标变换？当积分区域是圆域或是圆域的部分或被积函数的形式为时，采用极坐标交换来计算往往简便得多。
例：，=。
例：求。
三
二重积分的一般变量替换
计算二重积分，除了引用上面讲的极坐标这一特殊交换外,有时还要取一般的变量替换。
定理2
设是平面的闭区域上的连续函数，又设，（*）。
在上有关于和的连续偏导数，通过（*）把变为，并且变换（*）是一对一的，又设，则
=。
注：（1）在定理中，假设，但有时会遇到这种情形。变换行列式在区域内个别点上等于0。
或只在一小区域上等于0而在其他点上非0，此时上述结论能成立。
（2）特例：，此时=，根据①，有
=。
（3）在具体问题中，选择变换公式的依据有两条：（i）使交换的函数容易积分；（ii）使得积分限容易安排。
例：求椭球体的体积。
例:
求出由抛物线，以及双曲线，所围区域的面积。
§2
三重积分的计算
一
化三重积分为三次积分
设是中的（闭）长方体，是定义在上的有界函数。那么在上的三重积分可以化为先对，后对的积分：
=，或的积分
=
。等等（共6种），并且此时（连续时），各个三次积分的值与积分次序无关，他们都相等。
1.计算（化为逐次积分）
●设，则有=，如果，则=。
●设，==。
2.三重积分的直接计算方法（举例）
例：，：有平面所围成区域。
例：，：锥面，平面所围（）成区域。
例：，：的内部区域。
二
三重积分的变量替换
设作变量替换：,且满足下列条件：
（1）
建立了之间的一一对应；
（2）在内有关于的连续偏导数，并且其变换：在内有关于的连续偏导数；
（3）
Jacohi行列式
在内无零点，则
=
注：和二重积分类似，当J点在内个别点上为零时，上述公式仍成立。
最常用的坐标变换
1.柱坐标代换
令，则三重积分的柱坐标换元公式为
=。
注：柱坐标变换适用于型被积函数或积分区域。
注：用柱坐标计算三重积分，通常是找出在平面上的投影区域，那当时，=
先对积分，再计算上的三重积分，其中二重积分能用极坐标来计算（极坐标系下的二重积分）。
例：，D由上半球面和抛物面所围的区域。
2．球面坐标变换
球面坐标：设空间一点在平面上的投影为，是有向线段与轴的正向之间的交角（），是两平面与的交角（），则叫做点M的球面坐标。
在球面坐标中，有三族坐标平面：=常数，以原点为中心的球面；=常数，以原点为顶点，轴为轴的圆锥面；=常数，过轴的柱面（两两正交是正交坐标系）。有时，取作为，这时点的直角坐标与它的球面坐标的点系为：，而。
令，则
=。
例：求球面和锥面所围区域的体积，其中锥面是以轴为轴，顶角为的锥面。
§3
积分在物理上的应用
一
质心
设为一块可以度量的几何体，它的密度函数是。又假设为上的连续函数。则几何体的质心的坐标为：。
具体地说，如果几何体是一块空间体积，那么这块体积的质心坐标应为：。
例：求密度均匀的上半椭球体的质心.二
矩
设为一块可度量的几何形体，它的密度函数为，并设在上连续。分别称，为物体关于坐标平面，坐标平面，坐标平面的阶矩。当时称为零阶矩，表示物体的质量。当时称为静矩。当时称为转动惯量。
例：计算由平面，，所围成的均匀物体（设）对于坐标平面的转动惯量。
例：求密度均匀的圆环对于圆环面中心轴的转动惯量.例：求密度均匀的圆盘对于其直径的转动惯量.例：设某球体的密度与球心的距离成正比,求它对于切平面的转动惯量.三
引力
设为一块可以度量的几何体，它的密度函数是，为上的连续函数。为外一点，质点具有单位质量。则几何体对质点的引力在三个坐标轴上的分量，分别为:，其中为引力常数。
例：设球体具有均匀的密度,求对球外一点(质量为1)的引力。
§4
广义重积分
对于重积分，也可以作两方面的拓广：无界区域上的积分和无界函数的积分。
定义1
设是平面上一无界区域，函数在上各点有定义，用任意光滑曲线在中划出有限区域.设二重积分存在，当曲线连续变动时，使所划出的区域无限扩展而趋于区域时，如果不论的形状如何，也不论扩展的过程怎样，而
常有同一极限值，就称是函数在无界区域上的二重积分，记为,这时也称函数在上的积分收敛。否则，称积分是发散的。
柯西判别法
设在无界区域上的任意有界区域上二重积分存在，如果在内相当远处满足
。其中为正的常数，是到原点的距离，且，那么积分收敛。
例：计算广义重积分。
例：讨论广义重积分的收敛性。
定义2
设在有界区域上有奇点或奇线（函数在这些点或线的附近无界）。以中的光滑曲线来隔开奇点或奇线，所围成的区域记为.如果在区域收缩到奇点或奇线时，这些积分的极限值存在且与的取法和收缩的方式无关，则称这极限值是上的无界函数的广义二重积分，记为。并称函数在上的积分收敛。否则，称积分是发散的。
柯西判别法
设在内有奇点，如果对于和充分邻近的点，有。
其中为正的常数，是与点的距离，且，那么积分收敛。
例：计算广义重积分。
例：讨论广义重积分的收敛性。
第21章
曲线积分和曲面积分的计算
§1
第一类曲线积分的计算
设函数在光滑曲线上有定义且连续，的方程为
则。
特别地，如果曲线为一条光滑的平面曲线，它的方程为，那么有。
例：设是半圆周,。求。
例：设是曲线上从点到点的一段，计算第一类曲线积分。
例：计算积分，其中是球面被平面截得的圆周。
例：求，此处为连接三点，的直线段。
§2
第一类曲面积分的计算
一
曲面的面积
（1）设有一曲面块，它的方程为
。具有对和的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影为可求面积的。则该曲面块的面积为。
（2）若曲面的方程为,令，，则该曲面块的面积为。
例：求球面含在柱面内部的面积。
例：求球面含在柱面内部的面积。
二
化第一类曲面积分为二重积分
（1）设函数为定义在曲面上的连续函数。曲面的方程为。具有对和的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影为可求面积的。则。
（2）设函数为定义在曲面上的连续函数。若曲面的方程为
令，，则。
例：计算，是球面。
例：计算，其中为螺旋面的一部分：。
注：第一类曲面积分通过一个二重积分来定义，这就是为什么在第一类曲面积分中用“二重积分符“的原因。
例：I=，是球面，球心在原点，半径为。
§3
第二类曲线积分
一
变力做功和第二类曲线积分的定义
1.力场沿平面曲线从点A到点B所作的功。先用微元法，再用定义积分的方法讨论这一问题，得。
2.第二型曲线积分的定义
定义1
设是一条光滑或逐段光滑曲线，且设是定义在上的有界函数，将沿确定方向从起点开始用分点分成个有向弧段，直至终点。且设。在每一弧段
上任取一点，作和式：。
其中为起点，为终点。设，这里表示有向线段的长度。若当时，和有极限，且它与的分法无关，也与点的选择无关，则称为沿曲线按所述方向的第二类曲线积分，记作
或。
注：如果向量，则向量沿曲线按一定方向的第二类曲线积分为。
注：第二类曲线积分是与沿曲线的方向有关的。这是第二类曲线积分的一个很重要性质，也是它区别于第一类曲线积分的一个特征。
注：在平面情况下，若一人立在平面上沿闭路循一方向作环行时，如闭路所围成的区域靠近这人的部分总在他的左方，则这个方向就算作正向，否则就算作负向。这时只要方向不变，曲线积分的值是与起点的位置无关的。
二
第二类曲线积分的计算
设曲线自身不相交，其参数方程为：
。且设是光滑的。设当参数从调地增加到时，曲线从点按一定方向连续地变到点。设函数定义在曲线上，且设它在上连续。则。
（*）
注：（*）积分下限必须对应积分所沿曲线的起点，上限必须对应终点。
注：如果向量，则向量沿曲线按一定方向的第二类曲线积分为
例：计算积分,L的两个端点为A（1,1),B（2,3).积分从点A到点B或闭合,路径为
（1）直线段AB；
（2）抛物线；
（3）折线闭合路径A（1,1)D（2,1)
B（2,3)
A（1,1)。.例：计算积分,这里L
:
（1）沿抛物线从点O（0,0)到点B（1,2)；
（2）沿直线从点O（0,0)到点B（1,2)；
（3）沿折线封闭路径O(0,0)
A(1,0)
B(1,2)
O(0,0).例：计算第二型曲线积分I
=,其中L是螺旋线，从到的一段。
三
两类曲线积分的联系
第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义是不同的，由于都是沿曲线的积分，两者之间又有密切联系。两者之间的联系式为
例：证明：对于曲线积分的估计式为
。利用这个不等式估计：,并证明。
例：设平面区域由一连续闭曲线所围成，区域面积设为，推导用曲线积分计算面积的公式为：。
§4
第二类曲面积分
一
曲面的侧的概念
1．单侧曲面与双侧曲面
在实际生活中碰到的都是双侧曲面，至于单侧曲面也是存在的，牟彼乌斯带就是这类曲面的一个典型例子。
2．曲面的上侧和下侧，外侧和内侧
双侧曲面的定向:
曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧.设法向量为,则上侧法线方向对应第三个分量,即选“+”号时，应有，亦即法线方向与轴正向成锐角.类似确定其余各侧的法线方向.封闭曲面分内侧和外侧.二
第二类曲面积分的定义
先讨论由显式方程
表示的无重点的光滑曲面,并设在平面上的投影为边界由逐段光滑曲线所围成的区域。设选定了曲面的一侧，从而也确定了它的定向。
现在将有向曲面以任何方法分割为小块。设为在平面上的投影，从而也得到区域的一个相应分割。如果取的是上侧，这时所有算作正的。如取下侧，这时所有算作负的。设有界函数定义在上，在每一小块任取一点，作和式
其中表示的面积。由上述所见，是带有符号的，它们的符号是由所选的侧来决定的。设为的致敬，记。若当时，有确定的极限，且与曲面分割的方法无关，也点的选择无关，则称为沿曲面的所选定的一侧上的第二类曲面积分，记为。
注：有时也会碰到几个积分连在一起的情形，例如：。
注：如果沿曲面的另一侧积分，则所得的值应当变号。
三
两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算
第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系
设为曲面的指定法向,则
.定理1
设是定义在光滑曲面D上的连续函数,以的上侧为正侧(即),则有
.类似地,对光滑曲面D,在其前侧上的积分
.对光滑曲面
D,在其右侧上的积分
.计算积分时,通常分开来计算三个积分，.为此,分别把曲面投影到YZ平面,ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算.投影域的侧由曲面的定向决定.推论
设，是定义在光滑曲面D上的连续函数,则
=
曲面的方向为上侧,则等式前取“＋”号;
曲面的方向为下侧,则等式前取“－”号.例：计算积分,其中是球面
在部分取外侧。
例：计算积分，为球面取外侧.解：
对积分,分别用和记前半球面和后半球面的外侧,则有
:
;
:
.因此,=+
.对积分,分别用和记右半球面和左半球面的外侧,则有
:
;
:
.因此,+
.对积分,分别用和记上半球面和下半球面的外侧,则有
:
;
:
.因此,=+
.综上,=.第二十二章
各种积分间的联系和场论初步
§1
各种积分间的联系
一
Green公式
定义1
一个平面区域，如果全落在此区域内的任一条封闭曲线都可以不经过以外的点而连续地收缩为一点，则称此区域为单连通的，否则称为复连通的。
定理1
设是以光滑曲线为边界的平面单连通区域，设函数，在及上连续并具有关于自变量和的连续偏导数，则有：
这里右端积分路径的方向是和区域正相联系的，既当一人沿着曲线行走时区域恒在他的左边。
注：Green公式同时揭示了平面上某区域内的二维积分与该边界上的一个特定的第二类曲线积分之间的关系；
注：常用于第二类曲线积分，有时用来计算二重积分在Green公式中。
例：求第二类曲线积分I=,是上半圆周：
方向从。
例：设函数，有其二阶连续偏导数，记，证明
(i)；
(ii)
；(3)。
例：（用Green公式求曲面的面积）求曲线所围图形的面积。
注：在使用Green公式时，应注意“助线法”的使用。
二
Gauss公式
定理2
设空间二维单连通有界闭区域的边界曲面是光滑的，又设函数，在及上具有关于的连续偏导数，则有：,为曲面的外法线方向，第二个积分沿曲面的外侧。
注：①Gauss公式揭示了中的某区域内的三重积分和这一区域的边界上的特定曲面积分之间的关系；
②与
Green公式一样，由Gauss公式可计算某些空间立体积分：。
例：求积分
I=，:
沿外侧。
例：求积分
其中是锥面。
注：在使用Gauss公式时，应注意“助面法”的使用。
三
Stokes公式
定理3（Stokes）设光滑曲面的边界为光滑曲线，设函数，在曲面
及曲线上具有关于的连续偏导数，则有：,曲线积分的方向和曲面的侧按右手法则联系。
注：右端积分是一个第二类曲面积分，左端的积分是一个第二类曲线积分。所以Stokes公式是第二类曲面积分和第二类曲线积分的一个纽带。
例：求曲线积分，其中是柱面x和平面的交线,其方向从轴正向望去，已知方向是逆时针。
§2
曲线积分和路径的无关性
引言
第二类曲线积分不仅与曲线的起点和终点有关，而且也与所沿的积分路径有关。对同一个起点和同一个重点，沿不同的路径所得到的第二类曲线积分一般是不相同的。在什么样的条件下第二类曲线积分与积分路径无关而仅与曲线的起点和重点有关呢？下面我们在平面中情形来讨论这个问题。
定理1
若函数，在区域上有连续的偏导数，是单连通区域，则下列命题等价：
⑴
对D内任意一条闭曲线，有。
⑵
对
内任意一条闭曲线，曲线积分,与路径无关（只依赖曲线的端点）。
⑶存在可微函数，使得内成立；
⑷在D内处处成立。
定义1
当曲线积分和路径无关时，即满足上面的诸条件时，如令点固定而点为区域内任意一点，那么在内连续并且单值。这个函数称为的原函数。
原函数的求法：
（1）；或
（2）。
例：求原函数:
（1）;
（2）。
定义2
只绕奇点一周的闭路上的积分值叫做区域的循环常数，记为。于是，对内任一闭路，这里为沿逆时针方向绕的圈数。
例：证明关于奇点的循环常数是，从而积分与路径无关。
§3
场论初步
一
场的概念
物理量在空间或一部分空间上的分布就称为场。场分为不定常场和定常场。
二
向量场的散度和旋度
设有一向量场，为一闭曲面所包围的空间区域，为曲面上向外法线，由高斯公式得。
定义1
量称为向量的散度，它形成一个数量场，记为。
利用散度的定义，高斯公式可写为，这是高斯公式向量形式。它说明：向量通过闭曲面的流量等于这个向量的散度在所包围的区域上的三重积分。
定义2
称向量为向量的旋度，记为：。
利用的定义，Stokes公式可改写为向量形式如下：。
它说明：向量沿闭曲线的环流量等于它的旋度通过以为边界所张的任意曲面的流量。
散度和旋度的定义。
例：求在点的散度和旋度。
例：证明。
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