初中数学定理证明

第一篇：初中数学定理证明

初中数学定理证明

数学定理

三角形三条边的关系

定理：三角形两边的和大于第三边

推论：三角形两边的差小于第三边

三角形内角和

三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

推论1直角三角形的两个锐角互余

推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和

推论3三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的内角

角的平分线

性质定理在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

几何语言：

∵OC是∠AOB的角平分线(或者∠AOC=∠BOC)

pE⊥OA，pF⊥OB

点p在OC上

∴pE=pF(角平分线性质定理)

判定定理到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上

几何语言：

∵pE⊥OA，pF⊥OB

pE=pF

∴点p在∠AOB的角平分线上(角平分线判定定理)

等腰三角形的性质

等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等

几何语言：

∵AB=AC

∴∠B=∠C(等边对等角)

推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

几何语言：

(1)∵AB=AC，BD=DC

∴∠1=∠2，AD⊥BC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

(2)∵AB=AC，∠1=∠

2∴AD⊥BC，BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

(3)∵AB=AC，AD⊥BC

∴∠1=∠2，BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)

推论2等边三角形的各角都相等，并且每一个角等于60°

几何语言：

∵AB=AC=BC

∴∠A=∠B=∠C=60°(等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°)

等腰三角形的判定

判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等

几何语言：

∵∠B=∠C

∴AB=AC(等角对等边)

推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

几何语言：

∵∠A=∠B=∠C

∴AB=AC=BC(三个角都相等的三角形是等边三角形)

推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

几何语言：

∵AB=AC，∠A=60°(∠B=60°或者∠C=60°)

∴AB=AC=BC(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)

推论3在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

几何语言：

∵∠C=90°，∠B=30°

∴BC=AB或者AB=2BC(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)

线段的垂直平分线

定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

几何语言：

∵MN⊥AB于C，AB=BC，(MN垂直平分AB)

点p为MN上任一点

∴pA=pB(线段垂直平分线性质)

逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

几何语言：

∵pA=pB

∴点p在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线判定)

轴对称和轴对称图形

定理1关于某条之间对称的两个图形是全等形

定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

定理3两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

逆定理若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那这两个图形关于这条直线对称

勾股定理

勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方，即

a2+b2=c

2勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形

四边形

定理任意四边形的内角和等于360°

多边形内角和

定理多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)·180°

推论任意多边形的外角和等于360°

平行四边形及其性质

性质定理1平行四边形的对角相等

性质定理2平行四边形的对边相等

推论夹在两条平行线间的平行线段相等

性质定理3平行四边形的对角线互相平分

几何语言：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD‖BC，AB‖CD(平行四边形的对角相等)

∠A=∠C，∠B=∠D(平行四边形的对边相等)

AO=CO，BO=DO(平行四边形的对角线互相平分)

平行四边形的判定

判定定理1两组对边分别平行的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD‖BC，AB‖CD

∴四边形ABCD是平行四边形

(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)

判定定理2两组对角分别相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵∠A=∠C，∠B=∠D

∴四边形ABCD是平行四边形

(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)

判定定理3两组对边分别相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD=BC，AB=CD

∴四边形ABCD是平行四边形

(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)

判定定理4对角线互相平分的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AO=CO，BO=DO

∴四边形ABCD是平行四边形

(对角线互相平分的四边形是平行四边形)

判定定理5一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD‖BC，AD=BC

∴四边形ABCD是平行四边形

(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

矩形

性质定理1矩形的四个角都是直角

性质定理2矩形的对角线相等

几何语言：

∵四边形ABCD是矩形

∴AC=BD(矩形的对角线相等)

∠A=∠B=∠C=∠D=90°(矩形的四个角都是直角)

推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

几何语言：

∵△ABC为直角三角形，AO=OC

∴BO=AC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

几何语言：

∵∠A=∠B=∠C=90°

∴四边形ABCD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)

判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

几何语言：

∵AC=BD

∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)

菱形

性质定理1菱形的四条边都相等

性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

几何语言：

∵四边形ABCD是菱形

∴AB=BC=CD=AD(菱形的四条边都相等)

AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC

(菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角)

判定定理1四边都相等的四边形是菱形

几何语言：

∵AB=BC=CD=AD

∴四边形ABCD是菱形(四边都相等的四边形是菱形)

判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

几何语言：

∵AC⊥BD，AO=CO，BO=DO

∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)

正方形

性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

中心对称和中心对称图形

定理1关于中心对称的两个图形是全等形

定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

梯形

等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

几何语言：

∵四边形ABCD是等腰梯形

∴∠A=∠B，∠C=∠D(等腰梯形在同一底上的两个角相等)

等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

几何语言：

∵∠A=∠B，∠C=∠D

∴四边形ABCD是等腰梯形(在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形)

三角形、梯形中位线

三角形中位线定理三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半

几何语言：

∵EF是三角形的中位线

∴EF=AB(三角形中位线定理)

梯形中位线定理梯形的中位线平行与两底，并且等于两底和的一半

几何语言：

∵EF是梯形的中位线

∴EF=(AB+CD)(梯形中位线定理)

比例线段

1、比例的基本性质

如果a∶b=c∶d，那么ad=bc2、合比性质

3、等比性质

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

几何语言：

∵l‖p‖a

(三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例)

推论平行与三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例

定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行与三角形的第三边

垂直于弦的直径

垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

∵OC⊥AB，OC过圆心

(垂径定理)

推论

1(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

∵OC⊥AB，AC=BC，AB不是直径

(平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧)

(2)弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

∵AC=BC，OC过圆心

(弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧)

(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

几何语言：

(平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧)

推论2圆的两条平分弦所夹的弧相等

几何语言：∵AB‖CD

圆心角、虎弦、弦心距之间的关系

定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条虎两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等

圆周角

定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直角

推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

圆的内接四边形

定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

几何语言：

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形

∴∠A+∠C=180°，∠B+∠ADB=180°，∠B=∠ADE

切线的判定和性质

切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

几何语言：∵l⊥OA，点A在⊙O上

∴直线l是⊙O的切线(切线判定定理)

切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点半径

几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A

∴l⊥OA(切线性质定理)

推论1经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点

推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线长定理

定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

几何语言：∵弦pB、pD切⊙O于A、C两点

∴pA=pC，∠ApO=∠CpO(切线长定理)

弦切角

弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

几何语言：∵∠BCN所夹的是，∠A所对的是

∴∠BCN=∠A

推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

几何语言：∵∠BCN所夹的是，∠ACM所对的是，=

∴∠BCN=∠ACM

和圆有关的比例线段

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被焦点分成的两条线段长的积相等

几何语言：∵弦AB、CD交于点p

∴pA·pB=pC·pD(相交弦定理)

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

几何语言：∵AB是直径，CD⊥AB于点p

∴pC2=pA·pB(相交弦定理推论)

切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项

几何语言：∵pT切⊙O于点T，pBA是⊙O的割线

∴pT2=pA·pB(切割线定理)

推论从圆外一点因圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等

几何语言：∵pBA、pDC是⊙O的割线

∴pT2=pA·pB(切割线定理推论)。

第二篇：数学定理证明

一．基本定理： 1．（极限或连续）局部保号性定理（进而证明保序性定理）2．局部有界性定理． 3．拉格朗日中值定理．

4．可微的一元函数取得极值的必要条件． 5．可积函数的变上限积分函数的连续性． 6．牛顿——莱布尼茨公式．

7．多元函数可微的必要条件（连续，可导）． 8．可微的二元函数取得极值的必要条件． 9．格林定理．

10．正项级数收敛的充要条件：其部分和数列有界． 11．幂级数绝对收敛性的阿贝尔定理． 12．（数学三、四）利润取得最大值的必要条件是边际成本与边际收入相等． 二．基本方法：

1．等价无穷小替换：若xa时，有(x)~(x)，试证明lim(x)f(x)lim(x)f(x)。

xa

xa

2．微元法：若f(x)是区间[a,b]（a0）上非负连续函数，试证明曲边梯形D(x,y)axb,0yf(x) 绕 轴旋转，所得的体积为V2



ba

xf(x)dx。

3．常数变易法：若P(x)和Q(x)是连续函数，试证明微分方程yP(x)yQ(x)的通解为

P(x)dxyeC





Q(x)e

P(x)dx

dx。

三．一些反例也是很重要的：

1．函数的导函数不一定是连续函数。反例是：函数点不连续。

2．f(a)0，但不一定存在xa点某个邻域使函数f(x)在该邻域内单调增加。反例是：函数

1

x100x2sin,f(x)x

0,

x0, x0,12

xsin,f(x)x

0,

x0,在x0点可导，但f(x)x0,在x0

3．多元函数可（偏）导点处不一定连续。反例是：函数

xy,2

f(x,y)xy2

0,

(x,y)(0,0),(x,y)(0,0),4．多元函数在不可（偏）导点处，方向导数不一定不存在。反例是：函数 f(x,y)处两个一阶偏导数都不存在，但是函数在在(0,0)点处沿任一方向的方向导数都存在。

an1an



xy

在(0,0)点



5．1，既不是正项级数an收敛的充分条件，也不是它收敛的必要条件。反例一，正项级数

n1

n1



n

1n

满

足

an1an

1但不收敛。反例二，正项级数

n1

53(1)

n

不满足

an1an

a2n

，但是它是收敛的。211 a

2n1

第三篇：北师大版初中数学证明定理

公理 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（同位角相等，两直线平行）

定理 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行（同旁内角互补，两直线平行）

定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行（内错角相等，两直线平行）

定理 对顶角相等

公理 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等（两直线平行，同位角相等）定理 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等（两直线平行，内错角相等）定理 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补（两直线平行，同旁内角互补）定理 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

定理 三角形三个内角的和等于180°（三角形内角和定理）

定理 四边形的内角和等于360°

定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

定理 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

公理 三边对应相等的两个三角形全等（SSS）

公理 两边及其家变对应相等的两个三角形全等（SAS）

公理 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）

公理 全等三角形的对应边相等、对应角相等。

定理 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）

定理 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）

定理 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）定理 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°

定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）

定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。定理 三个角都相等的三角形是等边三角形

定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）

定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）

定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

定理 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上

定理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等

定理平行四边形的对边相等

定理平行四边形的对角相等

定理平行四边形法的对角线互相平分

定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等

定义 两腰相等的梯形是等腰梯形

定理 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

定理 夹在两条平行线间的平行线段相等

定义 两组对边互相平行的四边形是平行四边形

定理 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

定理 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

定理 对角线互相平分的四边形是平行四边形

定理 两组对角相等的四边形是平行四边形

定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半

定理 矩形的四个角都是直角

定理 矩形的对角线相等

定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

定义 有一个叫是直角的平行四边形是矩形

定理 有三个角是直角的四边形是矩形

定理 对角线相等的平行四边形是矩形

定理 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 定理 菱形的四条边都相等

定理 菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角

定义 一组邻边相等的平行四边形是菱形

定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

定理 有四条边相等的四边形是菱形

定理 正方形的四个角都是直角，四条边都相等

定理 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 定理 有一个角是直角的菱形是正方形

定理 对角线相等的菱形是正方形

定理 对角线互相垂直的矩形是正方形

第四篇：初中数学相关定理

1,三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

2, 推论1直角三角形的两个锐角互余

3, 推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

4,推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

5, 全等三角形的对应边、对应角相等

6, 边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等7, 角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等8 推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等9, 边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等

10, 斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上13 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）15 推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合17 推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对 的边也相等（等角对等边）推论1三个角都相等的三角形是等边三角形推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上25 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合26 定理 1关于某条直线对称的两个图形是全等形定理 2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理 3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那 么交点在对称轴上逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，

第五篇：著名定理证明(初中)

24.著名定理证明（14分）（该题有六个小题，须选做两个，全对才给分，每个七分，多做满分也是14分）

（1）试证明海伦公式：S三角形=√p(p-a)(p-b)(p-c),(p=三角形周长的一半)

(2)试证明角平分线定理：如图：若AD平分∠BAC，证明：

AB*CD=AC*BD

（3）证明射影定理：如图：在RT三角形EGF中，HG⊥EF，EG⊥FG

ⅰ：证明：HG²=EH*HF

ⅱ：证明：FG²=HF*EF

ⅲ：证明：EG²=EH*EF

（4）证明：S圆锥=sh/3（s=底面积，h=高）（提示，将圆锥等分为无限个“圆片”）

（5）证明：2π=sin（360/∞）*∞（提示，作圆内接正n边形）

（6）证明：中线定理：

如图，AI是三角形ABC中线，证明：

25、三角形是一个神奇的图形，如三角形有五心（旁心、重心、内心、外心、垂心），在三角形中有许多重要定理，如：勾股定理、余弦定理„„，三角形有许多重要公式，如：海伦公式„„，在三角形中还有许多重要的点，如：费马点、欧拉点„„

但今天，我们来研究一个多点共圆的问题：

首先，要证明多点共圆，只能从四点共圆入手，因此我现在这里提出一个证明四点共圆的方法：

证明：在任意凸四边形中，连接对角线，若同边所对的角相等，则这四点共圆，请以下图为例证明：如图，∠CBD=∠CAD（4分）

（2）如图，在任意等腰三角形中（顶角小于90度），证明：三垂线垂足、及三个欧拉点共圆（欧拉点：三角形三垂线交于一点为垂心，垂心与三顶点的连线的三条线段的中点即为欧拉点）（10分）：以下图为例证明：

如图，AB=AC，CH、AD、BM是等腰三角形ABC的高，P为垂心，O、N、G是三个欧拉点