二项式定理及数学归纳法（共5篇）

第一篇：二项式定理及数学归纳法

二项式定理及数学归纳法

【真题体验】

1．(2012·苏北四市调研)已知an＝(12)n(n∈N*)

(1)若an＝a＋2(a，b∈Z)，求证：a是奇数；

(2)求证：对于任意n∈N*都存在正整数k，使得an＝k－1k.12233nn证明(1)由二项式定理，得an＝C0n＋C2＋Cn2)＋Cn(2)＋„＋Cn(2)，0244224所以a＝Cn＋C2n2)＋Cn(2)＋„＝1＋2Cn＋2Cn＋„，24因为2C2n＋2Cn＋„为偶数，所以a是奇数．

(2)由(1)设an＝(1＋2)n＝a＋b2(a，b∈Z)，则(1－2)n＝a－b2，所以a2－2b2＝(a＋b2)(a－b2)＝(1＋2)n(1－2)n＝(1－2)n，当n为偶数时，a2＝2b2＋1，存在k＝a2，使得an＝a＋b2＝a＋2b＝kk－1，当n为奇数时，a2＝2b2－1，存在k＝2b2，使得an＝a＋b2＝a＋2b＝k－1k，综上，对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得an＝k－1＋k.2．(2010·江苏，23)已知△ABC的三边长都是有理数．

(1)求证：cos A是有理数；

(2)求证：对任意正整数n，cos nA是有理数．

b2＋c2－a

2(1)证明 设三边长分别为a，b，c，cos A＝ 2bc

∵a，b，c是有理数，b2＋c2－a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法具有封闭性，b2＋c2－a2

∴必为有理数，∴cos A是有理数． 2bc

(2)证明 ①当n＝1时，显然cos A是有理数；

当n＝2时，∵cos 2A＝2cos2A－1，因为cos A是有理数，∴cos 2A也是有理数；

②假设当n≤k(k≥2)时，结论成立，即cos kA、cos(k－1)A均是有理数． 当n＝k＋1时，cos(k＋1)A＝cos kAcos A－sin kAsin A

1＝cos kAcos A－[cos(kA－A)－cos(kA＋A)]

211＝cos kAcos A－cos(k－1)Acos(k＋1)A 22

解得：cos(k＋1)A＝2cos kAcos A－cos(k－1)A

∵cos A，cos kA，cos(k－1)A均是有理数，∴2cos kAcos A－cos(k－1)A是有理数，∴cos(k＋1)A是有理数． 即当n＝k＋1时，结论成立．

综上所述，对于任意正整数n，cos nA是有理数． 【高考定位】

高考对本内容的考查主要有：

(1)二项式定理的简单应用，B级要求；(2)数学归纳法的简单应用，B级要求 【应对策略】

(1)对于二项式定理只要掌握二项式定理、通项、项的系数的求法，掌握赋值法即可．(2)数学归纳法主要是用来解决与自然数有关的命题．通常与数列、不等式证明等基础知识和基本技能相结合来考查逻辑推理能力，要了解数学归纳法的原理，并能加以简单的应用

.必备知识

1．二项式定理

n1n1nrrn

(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0b＋„＋Crb＋„＋Cnna＋Cnananb，上式中右边的多项

－

－

式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中Crn(r＝1,2,3，„，n)叫做二项式系数，式中第r＋1项叫

nrr

做展开式的通项，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝Crb； na

－

(2)(a＋b)n展开式中二项式系数Crn(r＝1,2,3，„，n)的性质：

nr

①与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即Crn＝Cn；

－

12nn0213n1②C0.n＋Cn＋Cn＋„＋Cn＝2；Cn＋Cn＋„＝Cn＋Cn＋„＝

2－

2．数学归纳法

运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．

必备方法

1．二项式定理

(1)求二项式定理中有关系数的和通常用“赋值法”．

nrr(2)二项式展开式的通项公式Tr＋1＝Crb是展开式的第r＋1项，而不是第r项． na

－

2．数学归纳法

(1)利用数学归纳法证明代数恒等式的关键是将式子转化为与归纳假设的结构相同的形

式，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论．

(2)利用数学归纳法证明三角恒等式时，常运用有关的三角知识、三角公式，要掌握三角变换方法．

(3)利用数学归纳法证明不等式问题时，在由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，过去讲的证明不等式的方法在此都可利用．

(4)用数学归纳法证明整除性问题时，可把n＝k＋1时的被除式变形为一部分能利用归纳假设的形式，另一部分能被除式整除的形式.(5)解题时经常用到“归纳——猜想——证明”的思维模式．

命题角度一 二项式定理的应用

[命题要点](1)二项展开式中的二项式系数和展开式系数；(2)求二项展开式的特定项；(3)二项展开式的性质的应用．

【例1】►(2012·南师附中模拟)若二项式(1＋2x)n展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项．

[审题视点] 根据展开式中第6项与第7项的系数相等，得到关于n的方程，解得n，再写出二项展开式系数，由二项式系数的性质得到结果．

解 ∵在(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，566r∴C5n2＝Cn2，∴n＝8，∴二项式系数是C8，r1rr1由Cr8≥C8且C8≥C8，得r＝4，－

＋

即展开式中二项式系数最大的项是第5项为C482.二项式系数的最大项与展开式系数的最大项不同，本题的第r＋1项的二项

rr

式系数是Cr8，而展开式系数却是2C8，解题时要分清．

n

1【突破训练1】(2012·盐城模拟)已知数列{an}的首项为1，p(x)＝a1C0n(1－x)＋a2Cnx(1221n1n

－x)n1＋a3Cnx(1－x)n2＋„＋anCn(1－x)＋an＋1Cnnxnx

－

－

－

－

(1)若数列{an}是公比为2的等比数列，求p(－1)的值；

(2)若数列{an}是公比为2的等差数列，求证：p(x)是关于x的一次多项式．(1)解 法一 由题设知，an＝2n1.－

0n1n12n2n0

p(－1)＝1·C02＋2·C12＋22·C22＋„＋2n·Cn2 n(－1)·n(－1)·n(－1)·n(－1)·

－

－

0n12n2＝C02＋Cn(－2)1·2n1＋C22＋„＋ n(－2)·n(－2)·

－

－

nCn(－2)n·20＝(－2＋2)n＝0.n1法二 若数列{an}是公比为2的等比数列，则an＝2n1，故p(x)＝C0n(1－x)＋Cn(2x)(1

－

2n21n1nnn

－x)n1＋C2＋„＋Cn(1－x)＋Cnn(2x)(1－x)n(2x)n(2x)＝[(1－x)＋2x]＝(1＋x).－

－

－

－

所以p(－1)＝0.(2)证明 若数列{an}是公差为2的等差数列，则an＝2n－1.n1n1n1n1n

p(x)＝a1C0＋„＋anCnx(1－x)＋an＋1Cnn(1－x)＋a2Cnx(1－x)nx

－

－

－

n1n122n＝C0＋(1＋4)Cnx(1－x)n2＋„＋(1＋2n)Cnn(1－x)＋(1＋2)Cnx(1－x)nx

－

－

nn12n2n1n122＝[C0＋C2＋„＋Cn＋2Cnx(1－x)nn(1－x)＋C1nx(1－x)nx(1－x)nx]＋2[Cnx(1－x)

－

－

－

－

n＋„＋Cnnx]．

由二项式定理知，0n12n2nn

Cn(1－x)n＋C1＋C2＋„＋Cnnx(1－x)nx(1－x)nx＝[(1－x)＋x]＝1.－

－

n！n－1！－1因为kCk＝k＝nnCknn－1，k！n－k！k－1！n－k！

n122n所以C1＋2Cnx(1－x)n2＋„＋nCnnx(1－x)nx

－

－

n12n21n＝nC0＋nC1＋„＋nCnn－1x(1－x)n－1x(1－x)n－1x

－

－

－

n1n21n1＝nx[C0＋C1＋„＋Cn] n－1(1－x)n－1x(1－x)n－1x

－

－

－

－

＝nx[(1－x)＋x]n1＝nx，－

所以p(x)＝1＋2nx.即p(x)是关于x的一次多项式．

命题角度二 数学归纳法的应用

[命题要点](1)证明代数恒等式；(2)证明不等式问题；(3)证明三角恒等式；(4)证明整除性问题．

xxx

1＋1＋„1＋的展开式中，x的系数为an，x2的【例2】►(2012·南京模拟)记222系数为bn，其中n∈N*.(1)求an；

pq1

11＋，对n∈N*，n≥2恒成立？证明(2)是否存在常数p，q(p＜q)，使bn＝322你的结论．

[审题视点] 可以先用特殊值代入，求出p，q得到猜想，再用数学归纳法证明猜想的正确性．

1111

解(1)根据多项式乘法运算法则，得an＝1－222

2pq171

1＋1＋，解得p＝－2，q＝－1.(2)计算得b2b3＝.代入bn＝8323221111121

1－＝－n≥2且n∈N*)下面用数学归纳法证明bn1－2－3232341

①当n＝2时，b2＝

81121

②设n＝k时成立，即bk＝，323

4则当n＝k＋1时，a112111

bk＋1＝bk＋＝＋＋＋－＋

32342221121

＝＋＋＋.3234由①②可得结论成立．

运用数学归纳法证明命题P(n)，由P(k)成立推证P(k＋1)成立，一定要用到

条件P(k)，否则不是数学归纳法证题．

1111【突破训练2】(2012·泰州中学调研)已知多项式f(n)＝5＋n4n3n.52330(1)求f(－1)及f(2)的值；

(2)试探求对一切整数n，f(n)是否一定是整数？并证明你的结论． 解(1)f(－1)＝0，f(2)＝17

(2)先用数学归纳法证明，对一切正整数n，f(n)是整数． ①当n＝1时，f(1)＝1，结论成立．

1111

②假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，结论成立，即f(k)＝k5＋k4＋3－k是整数，则当n

523301111

＝k＋1时，f(k＋1)＝(k＋1)5＋k＋1)4(k＋1)3－(k＋1)

52330

51423324

5C05k＋C5k＋C5k＋C5k＋C5k＋C5＝

4***C0C04k＋C4k＋C4k＋C4k＋C43k＋C3k＋C3k＋C

3＋－

(k＋1)＝f(k)＋k4＋4k3＋6k2＋4k＋1.30

根据假设f(k)是整数，而k4＋4k3＋6k2＋4k＋1显然是整数． ∴f(k＋1)是整数，从而当n＝k＋1时，结论也成立． 由①、②可知对一切正整数n，f(n)是整数．(Ⅰ)当n＝0时，f(0)＝0是整数

(Ⅱ)当n为负整数时，令n＝－m，则m是正整数，由(Ⅰ)知f(m)是整数，111

1所以f(n)＝f(－m)＝(－m)5＋－m)4＋(－m)3－－m)

523301111

5＋m4－m3＋＝－f(m)＋m4是整数．

52330综上，对一切整数n，f(n)一定是整数．

20．证明步骤要完整，变形要有依据

一、证明的两个步骤缺一不可 【例1】► 求证：2n＞2n＋1(n≥3)． 解 用数学归纳法证明：

第一步：(1)n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7，不等式2n＞2n＋1(n≥3)成立．

第二步：(2)假设n＝k(k≥3，且k∈N*)时，不等式成立，即2k＞2k＋1，则2k1＝2·2k＞

＋

2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋2k＞2(k＋1)＋1，即2k1＞2(k＋1)＋1.所以当n＝k＋1时也成立．

＋

老师叮咛：不验证初始值的正确性就没有归纳的基础，没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法，证明的两个步骤缺一不可.二、正确写出从n＝k(k≥n0，k∈N*)到n＝k＋1时应添加的项

【例2】► 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)„(n＋n)＝2n·1·3·„·(2n－1)，从k到k＋1，左边需要增乘的代数式为________．

解析 当n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)·„·(k＋k)，当n＝k＋1时，左边＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]·„·[(k＋1)＋(k＋1)] ＝(k＋2)(k＋3)„(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)k＋k＋1k＋k＋2＝(k＋1)(k＋2)„(k＋k)

k＋1＝(k＋1)(k＋2)„(k＋k)[2(2k＋1)]，所以从k到k＋1，左边需要增乘的代数式为2(2k＋1)． 答案 2(2k＋1)

老师叮咛：要关注从n＝k(k≥n0，k∈N*)到n＝k＋1时两个式子之间的实质区别，不能只看表面现象，正确写出从n＝k(k≥n0，k∈N*)到n＝k＋1时应添加的项，才能进行正确的变形．如本题中就不能只添加k＋1＋k＋1＝2k＋2.

第二篇：2014高考数学全面突破 二项式定理

11.3二项式定理

考情分析

1．能用计数原理证明二项式定理．

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

基础知识

1．二项式定理

n1n－1n－rrn*(a＋b)n＝C0b＋„＋Crb＋„＋Cnna＋Cnananb(n∈N)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．

其中的系数Crn(r＝0,1，„，n)

n－rrn－rr式中的Crb叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Crb.nana

2．二项展开式形式上的特点

(1)项数为(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为(3)字母an逐项减1直到零；字母b幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.－11(4)二项式的系数从Cn，一直到Cnn3．二项式系数的性质 －(1).(2)增减性与最大值： 二项式系数Ckn，当n＋1k＜2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；

n当n是偶数时，中间一项C2取得最大值；

n－1n＋1当n是奇数时，中间两项C2，C2取得最大值．

012nn(3)各二项式系数和：Cn＋Cn＋Cn＋„＋Crn＋„＋Cn＝2；

24135n－1C0.n＋Cn＋Cn＋„＝Cn＋Cn＋Cn＋„＝

2注意事项

n－rr1.运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Crb，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相na

同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项

展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指Cr而后n，者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．

2.二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．

3.(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．

(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．

4.(1)对称性；

(2)增减性；

(3)各项二项式系数的和； 以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结．

题型一 二项展开式中的特定项或特定项的系数

13【例1】已知(3x－)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7x

项的系数是()

B.2

4D.252 A.－24C.－252

答案：D

解析：令x＝1可得各项系数之和为2n＝256，则n＝8，故展开式中第7项的26系数为C68×3×(－1)＝252.a【变式1】若x－6展开式的常数项为60，则常数a的值为________． x

a6－r6－3r解析 二项式x6展开式的通项公式是Tr＋1＝Cr(a)rx－2r＝Cr(－6x6xx

2a)r，当r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项是C26a，根据已知C6a＝60，解得a

＝4.答案 4

题型二 二项式定理中的赋值

【例2】已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋„＋a10(1－x)10，则a8＝

()

A.180

C.－

5答案：A

10－r解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通项公式为：Tr＋1＝Cr(－1)r(1－x)r，a8102B.90 D.5

是r＝8时，第9项的系数．

28所以a8＝C8102(－1)＝180.故选A.【变式2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋„＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋„＋|a7|.解 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①

令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②

(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋„＋a7＝－2.－1－37(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.2

－1＋37(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝2＝1 093.(4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋„＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.题型三 二项式的和与积

2【例3】二项式(x＋x)(1－x)4的展开式中x的系数是________．

答案：

32解析：利用分步计数原理与组合数公式，符合题目要求的项有x(－x)4和

x·14，求和后可得3x，即展开式中x的系数为3.2【变式3】xx－x7的展开式中，x4的系数是________(用数字作答)． 

272737解析 原问题等价于求x－x的展开式中x的系数，x－x的通项Tr＋1＝Cr7x

－r2r7－2r－x＝(－2)rCr，令7－2r＝3得r＝2，∴x3的系数为(－2)2C27x7＝84，即

xx－2x7的展开式中x4的系数为84.答案 84

重难点突破

【例4】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋„＋a7；

(2)a1＋a3＋a5＋a7；

(3)a0＋a2＋a4＋a6；

(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋„＋|a7|.解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋„＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，－1－37得a1＋a3＋a5＋a7＝2＝－1094.(3)(①＋②)÷2，－1＋37得a0＋a2＋a4＋a6＝2＝1093.(4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋„＋|a7|

＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)． ∴由(2)、(3)即可得其值为2187.① ②

第三篇：二项式定理教学设计

《二项式定理》教学设计

1．教学目标

知识技能：理解二项式定理，记忆二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用．

过程方法：通过从特殊到一般的探究活动，经历“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法，养成合作的意识，获得学习和成功的体验．

情感、态度和价值观：通过对二项式定理的研究，掌握展开式的结构特点，体验数学公式的对称美、和谐美，了解杨辉、牛顿等数学家做出的巨大贡献．

2.教学过程

探索研究二项式定理的内容

从学生比较熟悉的完全平方公式入手，去观察，猜想

02122(ab)2a22abb2C2aC2abC2b

三次方的让学生按照多项式乘法进行运算在合并，不合并之前是几项，为什么？

（分步乘法计数原理）

0312233(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC3ab2C3b

每一项中字母a，b的指数和相同,项的个数有n1项

00每个都不取b的情况有1种，即C4种，所以a4的系数是C4； 11恰有1个取b的情况下有C4种，所以a3b的系数是C4； 22恰有2个取b的情况下有C4种，所以a2b2的系数是C4； 33恰有3个取b的情况下有C4种，所以ab3的系数是C4； 444个都取b的情况下有C4种，所以b4的系数是C4； 0413222344因此(ab)4C4aC4abC4abC4ab3C4b．

归纳、猜想(ab)n

0n1n12n22(ab)nCnaCnabCnabknkkCnabnnCnb(nN)

设问：

（1）将(ab)n展开，有多少项？

（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？（3）字母a，b指数和始终是多少？（4）如何确定ankbk的系数？

教师引导学生观察二项式定理，从以下几方面强调：（1）项数规律：n1项；

（2）次数规律：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减至0，同时，字母b的指数由0递增至n；

（3）二项式系数规律：下标为n，上标由0递增至n；

knkk（4）通项：Tk1Cnab指的是第k1项，不是第k项，该项的二项式系k数是Cn

板书以上几点 3.例题处理

51例1：（1）在2x的展开式中

x（1）请写出展开式的通项。（2）求展开式的第4项。

（3）请指出展开式的第4项的系数，二项式系数。

3（4）求展开式中含 x 的项。

课件展示解题过程

自主探究：在12x的展开式中，求第4项，并指出它的二项式系数和系数

7是什么？

独立完成，爬黑板

01合作探究：设n为自然数，化简Cn2nCn2n11Cnk2nk1Cnn

kn

分组讨论，交流想法

4.归纳小结

学生的学习体会与感悟； 教师强调：

（1）主要探究方法：从特殊到一般再回到特殊的思想方法

（2）从特殊情况入手，“观察——归纳——猜想——证明”的思维方法，是人们发现事物规律的重要方法之一，要养成“大胆猜想，严谨论证”的良好习惯．

（3）二项式定理每一项中字母a，b的指数和为n，a的指数从n递减至0同时b的指数由0递增至n，体现数学的对称美、和谐美．二项式系数还有哪些规律呢？希望同学们在课下继续研究、能够有新的发现． 5.作业（1）巩固型作业：

课本36页习题1.3 A组 1、3、4（1）（2）5（2）思维拓展型作业：（查阅相关资料）查阅有关杨辉一生的主要成就。

012探究二项式系数Cn,Cn,Cn,n 有何性质.,Cn3

第四篇：二项式定理教学设计

二项式定理（第一课时）

一、教学目标： 1．知识技能：

（1）理解二项式定理的推导-------分步乘法计数原理的使用（2）掌握二项式定理极其简单应用 2．过程与方法

培养学生观察、分析、归纳猜想的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式

二、教学重点、难点

重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式 难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别

三、教学方法：师生互动，讲练结合

四、教 具：多媒体、电子白板

五、教学过程

(一)创设问题情境：

今天是星期二，8天后是星期几?82天后是星期几?8100天后是星期几呢？ 前面两个问题全班所有学生都能回答出来，最后一个问题大家都很迷惑，觉得很复杂，今天我们学习的这节课就是告诉我们如何快速准确知道答案，并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几。解决这一问题我们应用的就是二项式定理。

(二)引出问题：二项式定理研究的是(ab)n的展开式。

我们知道(ab)2a22abb2，那么：(ab)3=?(ab)4=?

(ab)100=?

更进一步：(ab)n=？(1)对(ab)2展开式的分析:(ab)2(ab)(ab)展开后其项的形式为：a2,ab,b2

00考虑b，每个都不取b的情况有1种，即c2 ,则a2前的系数为c2 1恰有1个取b的情况有c12种，则ab前的系数为c2 22恰有2个取b的情况有c2 种，则b2前的系数为c2 0222所以(ab)2a22abb2c2ac12abc2b

(2)探究1：推导(ab)3的展开式

(ab)3(ab)(ab)(ab)① 项：

a3

a2b

ab2

b3

013② 系数：C3

C3

C32

C3 0312233③ 展开式(ab)3c3ac3abc3ab2c3b

(3)探究2：仿照上述过程，推导(ab)4的展开式

0432223344(ab)4c4ac14abc4abc4abc4b 0312233与(ab)3c3ac3abc3ab2c3b

0222和(ab)2c2ac12abc2b

一起比较猜想：

0nn12n22knkknn(ab)ncnac1abcab...cab...cnnnnb(nN)

但这种归纳猜想是不完全归纳。

(4)探究3：请分析(ab)n的展开过程，证明猜想

...ab

...b ②系数：C

C

...C

...C ①项：

an

an1b

0n1nnkknknnn0nn12n22knkknn③展开式：(ab)ncnac1bcnab...cnab...cnb(nN)na(三)二项式定理的分析

0nn12n22knkknn(ab)ncnac1bcnab...cnab...cnb(nN)na①项数：共有n1项；

②次数：各项的次数都是n；

k③二项式系数：Cn(k0,1,2,...n)

knkk④ 二项展开式的通项：Tk1Cnab,(k0,1,2,...n)

（四）课堂练习1.写出(1x)n得展开式.2.写出(ab)n得展开式.（五）例题 例1.求(2x1x)6得展开式.（1）强调：对于形式较复杂的二项式，应先化简再展开.（2）针对(2x1x)6得展开式，提出下列问题

思考1：展开式的第二项的系数是多少？

思考2：展开式的第二项的二项式系数是多少？ 思考3：你能否直接求出展开式的第二项？ 思考4：你能否直接求出展开式的常数项？ 引出例2 例2（1）求(12x)7的展开式的第4项的系数和第4项的二项式系数

1

（2）x的展开式中x3的系数

x

（六）小结

（七）作业（提前板书）1.P374,5题

2.思考：8100天后星期几？

第五篇：二项式定理教学设计

二项式定理

一、教学目标

1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用

2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力以及科学的思维方式。

3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。

二、教学重点、难点

重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式 难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别

三、教学过程

创设问题情境：

今天是星期三，15天后星期几，30天后星期几，8100天后星期几呢？

前面几个问题全班所有学生都大声地回答出来了，最后一个问题大家都很迷惑，有些学生试图用计算器算，还是觉得很复杂，学习完这节课我们就知道答案了，并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几

新课讲解：

问题

1abdc的展开式有多少项？有无同类项可以合并？

由于这一节是在学生学习了两个计数原理和排列组合知识之后学习的，所以学生能够快速的说出答案。

问题

2abb的ab原始展开式有多少项？有几项是同类项？项是怎样构成a的？有规律吗？

学生根据乘法展开式也很快得出结论 问题

3abbaa2bab的3原始展开式有多少项？经合并后又只能有几项？是哪几项？

学生仍然根据乘法公式算出了答案 问题

4abbaaba的bab的原始展开式有多少项？

44问题

5你能准确快速地写出ab的原始展开式的16项吗？经合并后，又只能有哪几项？

此时，学生能说出其中的一两项，并不能全部回答出来所有的项，思维觉察到麻烦，困难，易出错——借此“愤悱”之境，有效的实现思维的烘热）

启发类比：4个袋中有红球a，白球b各一个，每次从4个袋子中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？ 在4个括号（袋子）中 问题6

其个数，为何恰好应为该项的系数？

nrr问题7 ab在合并后的展开式中，ab的系数应该是多少？有理由吗？ n问题8

那么，该如何将ab轻松、清晰地展开？请同学们归纳猜想 学生们快速地说出

nabn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabCnabCnbnN*

我们数学讲究逻辑地严密性和知识的严谨性，大家猜想地很正确，那么我们怎么来证明呢？

思路：证明中主要运用了计数原理！

① 展开式中为什么会有那几种类型的项？

abn是n个ab相乘，展开式中的每一项都是从这n个ab中各任取一个字母相

nk乘得到的，每一项都是n次的。故每一项都是a② 展开式中各项的系数是怎么来的？

bk的形式，k0,1,2,,n

kankbk是从n个ab中取k个b，和余下nk个a相乘得到的，有Cn种情况可以得到

kankbk，因此，该项的系数为Cn

定义：一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有

abn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabCnabCnbnN*

n注：（1）公式左边叫做二项式，右边叫做ab的二项展开式

（2）定理中的a,b仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子什么的，只要是两项相加的n次幂，就能用二项式定理展开

例：把b换成b，则

abn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnab1Cnab1CnbnN*

kn练习：令a1,bx，则

1xn01122kknnCnCnxCnxCnxCnxnN*

问题9 二项式定理展开式中项数、指数、系数特点是什么？哪一项最有代表性

公式特征：

（1）项数：共有n1项

（2）指数规律：

① 各项的次数都等于二项式的系数n（关于a与b的齐次多项式）

② 字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n

knkk（3）二项式展开式的通项：Tk1Cnab，k0,1,2,,n

012knk（4）二项式系数：依次为Cn。这里Cn（k0,1,2,,n）称为二,Cn,Cn,Cn,Cn项式系数

现在同学们能告诉老师8100天后星期几吗？

思考了一会儿，马上有同学大声喊：把8写成7+1，再进行展开，余数是多少，就是星期几 老师故意问：为什么要写成7+1，这时，所有学生都明白了，因为一个星期7天，所以

n810071展开式中除了最后一项外，其余的项都是7的倍数，因此余数为Cn1，故100应为星期四。

1例

1求2x的展开式

x方法一：直接展开

11技巧：将根式先化成幂的形式，再进行计算，要简单很多。即原式变成2x2x2

66方法二：先合并化简，再展开

建议用第二种方法简单些。

变式一：展开式中的常数项是多少？ 变式二：展开式中的第3项是多少？

变式三：展开式中的第3项的系数是多少？ 变式四：展开式中的第3项二项式系数是多少？

注意：二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与a,b无关；系数与a,b有关。

例

2（1）求(12x)7的展开式的第4项的系数和第4项的二项式系数

1

3（2）x的展开式中x的系数和中间项

x例3

求(xa)12的展开式中的倒数第4项 小结：（1）注意二项式定理中二项展开式的特征

（2）区别二项式系数、项的系数

（3）掌握用通项公式求二项式系数、项的系数及项。作业：P37 4，5 教学反思：本节课先用今天星期几的问题创设问题情境，一下子把全班学生的学习积极性都调动起来了，当大家不知道老师葫芦里卖的什么药时，老师由浅入深的提问，最后问到81009天后星期几，从而引出今天的课题：二项式定理。给大家设置这个悬念后，紧接着又进行一系列的问题教学，让学生自己去探究去回答，最后学生之间合作交流归纳猜想出二项式定理的展开式，整个过程顺理成章地完成。