高中数学 排列组合与二项式定理

第一篇：高中数学 排列组合与二项式定理

排列组合与二项式定理

1．（西城区）在(2x2

A．－5 1x)的展开式常数项是 6 D．60（）B．15 C．－60

2．（东城区）8名运动员参加男子100米的决赛.已知运动场有从内到外编号依次为1，2，3，4，5，6，7，8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续

数字（如：4，5，6），则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有（）A．360种 B．4320种 C．720种 D．2160种

3．（海淀区）从3名男生和3名女生中，选出2名女生1名男生分别担任语文、数学、英语的课代表，则选派方案共有（）

A．18种B．36种C．54种D．72种

4．(崇文区)某运动队从5名男运动员和6名女运动员中选出两名男运动员和两名女运动员举行乒乓球混合双打比赛，对阵双方各有一名男运动员和一名女运动员，则不同的选法共有

A．50种B．150种C．300种 D．600种（）

5．（丰台区）把编号为1、2、3、4的4位运动员排在编号为1、2、3、4的4条跑道中，要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同，共有不同的排法种数是()

A． 3B．6C．12D．2

46．（朝阳区）从4位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教，每校1人.要求这3位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）

A．210种

x

6B．186种 7C．180种 D．90种 7．（东城区）已知(x)展开式的第4项的值等于5，则x= 48．（海淀区）在(ax1)的展开式中x的系数是240，则正实数a9．（宣武区）设二项式(33x1

x)的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，n

若P+S=272，则n=,其展开式中的常数项为.210．(崇文区)若(x1

x2)展开式中只有第四项的系数最大，则，展开式中的第五n

项为

11．（丰台区）.在(x1

a)的展开式中，含x与x项的系数相等，则a的值是 754

12．（朝阳区）若(1－ax)6的展开式中x4的系数是240，则实数a的值是

13．（宣武区）现有A、B、C、D、E、F、共6位同学站成一排照像，要求同学A、B相邻，C、D不相邻，这样的排队照像方式有

DBCCBC7.1715x411.53;12.±213.144

第二篇：高中数学排列组合与二项式定理知识点总结

排列组合与二项式定理知识点

１．计数原理知识点

①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分类)２． 排列（有序）与组合（无序）

Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=n!/(n-m)!Ann =n!

Cnm = n!/(n-m)!m!

Cnm= Cnn－mCnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k•k!=(k+1)!－k!

３．排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排

排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）

插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等

在求解排列与组合应用问题时，应注意：

(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；

(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；

(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；

(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：

①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想.４．二项式定理知识点：

①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+-…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn

特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn

②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn－m

最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）所有二项式系数的和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和

Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+…＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn７+ Cn９+…=2n-1 ③通项为第r+1项： Tr+1= Cnran－rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。

5.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。

6.注意二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。

第三篇：高中数学：排列组合与二项式定理测验试题(A)

《数学》第十章—排列组合与二项式定理测验试题(A卷)

班别：学号：姓名：成绩：

一、填空题：(每空2分，共30分)

1.加法原理和乘法原理的主要区别在于：加法原理针对的是问题；乘法原理针

对的是问题。

2.一般地，从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照排成一列，叫

做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

3.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关，与顺序的属于组合问题。4.从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的，叫做从n个不同元素

中取出m个元素的组合数。

5.乘积(a1a2a3)(b1b2)(c1c2c3c4)展开后共有

6.从3个不同元素a、b、c中任取2个元素的所有组合是。7.A

1A2A3A4。C1C2C3C4

444



8.已知9!=362880，则A7

99.已知A323206840，则C19C19

10.(nm1)!(nm)!

11.(x3x)1

2的展开式共有13项，其中，中间的项是第项。

12.(x

32x)7的展开式的第6项的二项式系数是6项的系数是

二、选择题：(每题3分，共15分)

1.下列各式中，不等于n!的是()。

A．An

nB．

1n

1An1nn1

n1C．An1D．nAn12.已知Cn1

n121，那么n等于()。

A．5B．6C．7D．8

3.5名同学听同时进行的4个外语讲座，每名同学可自由选择听其中1个讲座，不同选

法的种数是()。

A．4

5B．5

4C．C44

5D．A5

4.在(1+x)11

展开式中，C0210131111C11C11()C11C11C11

。A．>B．=C．>D．无法确定5.凸8边形的对角线的条数是()。A．872B．87C．85

2D．85

三、计算题：(每题8分，共40分)

1.(1)用1，2，3，4，5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位数，其中有多

少个是偶数？

(2)壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种不同的币值？

2.从1、3、5、7、9中任取三个数，从2、4、6、8中任取两个数，组成没有重复数字的五位数，一共可组成多少个？

3.幼师某实习小组7名同学站成一排照相，(1)如果甲、乙两人必须站在两端，有多少种

照相方法？(2)如果7名同学站两排，其中3个女同学站在前排，4个男同学站在后排，四、证明题：(15分)m1m1mm11．求证：CnCn2CnCn2(7分)有多少种照相方法？

4.区教育厅幼儿园某兴趣班有10名小朋友,其中正副班长各1名，现选4名小朋友参加

某项活动：(1)如果正副班长必须在内，有多少种选法？

(2)如果正副班长至少有一人参加，有多少种选法？

5.在(11

2x)10展开式中，求含x-5的项的系数。

2.用二项式定理证明9910-1能被100整除。(8分)

第四篇：高中数学知识点总结---二项式定理

高中数学知识点总结---二项式定理

0n01n1rnrrn0n1.⑴二项式定理：(ab)nCnabCnabCnabCnab.展开式具有以下特点：

① 项数：共有n1项；

012r,Cn,Cn,,Cn,,Cn② 系数：依次为组合数Cnn;

③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.（ab)n展开式中的第r1项为：Tr1Cnarnrrb(0rn,rZ).⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；

②二项展开式的中间项二项式系数最大.．．．．．

nI.当n是偶数时，中间项是第1项，它的二项式系数C2n最大； 2

n1n1II.当n是奇数时，中间项为两项，即第项和第它们的二项式系数C1项，22n1n12C2nnn

最大.③系数和：

01nCnCnCnn2

02413CnCnCnCnCn2n1

附：一般来说(axby)n(a,b为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求．．．．．．．．．．．

AkAk1,AkAk1或(Ak为Tk1的系数或系数AAAAk1k1kk解.当a1或b1时，一般采用解不等式组的绝对值）的办法来求解.⑷如何来求(abc)n展开式中含apbqcr的系数呢？其中p,q,rN,且pqrn把

r(abc)n[(ab)c]n视为二项式，先找出含有Cr的项Cn(ab)nrCr，另一方面在npqrqnrqqqpq(ab)nr中含有bq的项为CnrabCnrab，故在(abc)中含abc的项为

rqpqrrCnCnrabc.其系数为CnCnqr(nr)!n!n!pqrCnCnpCr.r!(nr)!q!(nrq)!r!q!p!

第五篇：1排列组合与二项式定理教案(多份)

2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

§16.1 计数原理1—乘法原理（分步计数原理）

一、问题引入

常见船上悬挂有红、蓝、白三种颜色的旗帜，代表了不同的信号、不同的含义，随着排列顺序不同、悬挂数目不同，能表达多少种不同的信号？

路上有10盏路灯，为了节能，关闭其中三盏灯有多少种关法？如果三盏灯还要不相邻，又有多少种关法？

这便是我们这一章节主要要学习、讨论的内容，先从最基本的计数原理讲起．

二、教学过程

1、（1）参照《课本》P49图，讨论从A到B的不同走法情况．

答：

（2）从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

2、乘法原理

①一般地，如果做成一件事情要分为n个步骤，而完成其中每一步骤又有若干种不同方法，则做成这件事情的方法总数，可以用分步计数原理得到． 乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，„„，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2m3mn种不同的方法． ②注意：m1、m2、mn对应的都是完成每一相应步骤的方法数，必须所有步骤都完成后，整件事情才算

完成．

例

1、（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？（3）4名同学争夺跑步项目的前三名，有多少种可能？（4）4名同学中选3人分别报名跑步、跳高、跳远三个项目，有多少种报名方法？（5）3封信投4个邮箱，几种投法？（6）四种型号电视机搞促销，3个顾客各选购一台，几种选法？（7）四台不同型号电视机搞促销呢？（8）5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座

例

2、（1）a1a2a3b1b2b3b4c1c2展开后共有多少项？（2）540的不同正约数有多少个？

2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

例

3、已知x1,2,3,4,5，y3,4,5,6，则Mx,y共可以表示多少个不同的点？多少个第2象限点？多少个不在直线yx上的点？

例

4、（1）0、1、2、3、4、5能组成多少四位数？

（2）0、1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的四位数？（3）0、1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的四位奇数？（4）1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的三位偶数？

例

5、（1）已知A0,1,2,3，若a,b,cA，且a,b,c互不相等，则可表示的所有一元二次方程ax2bxc0有多少？

（2）若a1,2,3,5，b1,2,3,5，则能表示多少条不同的直线ybx？ a22（3）若a3,4,5，b0,2,7,8，r1,8,9，可表示多少不同的圆xaybr2？

2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

§16.2 排列

一、教学过程

1、排列：一般地，从n个元素中取出m（mn）个元素，按照一定次序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 特点：元素顺序不同，对应了不同的情况． 如果问题3中改为选取2人充当主持而不分正副，则还是排列问题吗？

2、如何判断两个排列是否相同？ 答：判断元素是否相同；排列顺序是否相同． 例

1、判断下列问题是否排列问题：

（1）从1，2，3，5中任取两个不同的数相减（除），可得多少种不同的结果？（2）从1，2，3，5中任取两个不同的数相加（乘），可得多少种不同的结果？（3）有12个车站，共需要准备多少种普通票？（4）在（3）中共有多少种不同的票价？

（5）某班有50名同学，假期约定每2人通一次信，共需写信多少封？（6）把（5）中写信问题改为会面，共需通电话多少次？（7）把（5）中通信换成互赠照片，共需准备照片多少张？

3、排列数 从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pnm表示． 注：关于排列数的计算，Pn1表示n个元素里选取1个元素排成一列的情况，即n个元素选1个元素的选法，所以Pn1n，至于其他情况，有如下分析．

4、排列数公式：一般地，排列数Pnm可以按从n个不同元素中取出m个元素依次填入m个空位来考虑． Pnmnn1n2nm1 共m项

例

2、用排列数表示nmnm1nm15，其中m,nN，mn．

5、全排列

①n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列． 这时，排列数公式中的mn，即有 

Pnnnn1n2321 这就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积． ②正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示． 规定，0!1． ③Pnnn!为了保证全排列mn时也能成立，我们规定0!1．

例3、1!2!3!4!5!100!的个位数字是多少？

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例

4、解方程：（1）n3!1m1 

（2）P23n10Pn

3（3）5P9m3mP10n2!3

nn1n例

5、求证：PmnPmPm1．

例

6、从0，1，2，3，4中选取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中比200大的三位数有几个？

例7、15支球队进行双循环赛，即每队都要与其余各队在主客场分别比赛1场，共进行多少场比赛？（如改为单循环赛呢？）

例8、10个人排队，按以下要求有多少种不同排法？（1）任意排成一排；

（2）排成两排，每排5人；（3）甲不在队首；

（4）甲乙丙必须在奇数位上；

（5）甲在奇数位上，乙丙在偶数位上；（6）甲乙丙三人必须在一起；

（7）甲乙丙三人必须在一起，丙又在甲乙中间；（8）甲乙丙三人中任意两人不排在一起；（9）甲始终坐在乙的右侧．

例9、5男5女共10个同学排成一行，（1）女生都排在一起，有几种排法？（2）女生与男生相间，有几种排法？

（3）任何两个男生都不相邻，有几种排法？（4）5名男生不排在一起，有几种排法？

（5）男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？（6）5名男生坐在一起，男生甲在乙的右侧，有几种排法？

例

10、用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字的七位数中，若2，4，6次序一定，有多少种不同的七位数？如改为1，3，5，7次序一定呢？2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

§16.3 计数原理2—加法原理（分类计数原理）

一、教学过程

1、加法原理

如果完成一件事有n类的办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，„„，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2m3mn种不同的方法．

2、注意

①各类方法间相互独立，通过每一类方法都能完成整件事； ②分类时，确定一个分类的标准，不重复不遗漏； ③分类时要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性；分步时要注意“步”与“步”之间的连续性． 例

1、给定数字0，1，2，3，4，5，每个数字最多用一次，（1）可以组成多少个自然数？（2）可以组成多少个奇数？（3）可以组成多少个四位偶数？

（4）可以组成多少个比2300大的四位数？（5）可以组成多少个比240135大的数？（6）可以组成多少个能被5整除的四位数？（7）可以组成多少个能被25整除的四位数？

例

2、在3000和8000之间，有多少个无重复数字的奇数？

例

3、某天课程表排入数学、物理、化学、语文、英语、体育各一节，（1）体育不排第一节，也不排第三节，几种不同排法？（2）第一节不排体育，第三节不排数学，有多少种不同的排法？

二、课后练习

1、将a、b、c、d、e、f六个不同元素排成一列，其中a不排在首位，b不排在末位，有几种排法？

2、从9本不同的书中取出6本排在书架上，满足下列条件之一，分别有几种方法？（1）某一本书必须排在左端或右端；（2）某一本书不能排在两端；

（3）某两本书，A不能排在左端，B不能排在右端．2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

§16.4 组合

一、教学过程

1、组合：一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的次序有关，而组合与元素的次序无关．

2、如何判断两个组合是否相同？ 元素相同（不管元素的次序是否相同）

3、组合数 从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示． 1注：关于排列数的计算，Cn表示n个元素里选取1个元素的情况，即n个元素选1个元素的选法，所100nPn1n；Cn1；Cn以Cn表示n个元素里一个都不选的选法数，显然Cn表示n个元素里选取n个元素的选法数，显然，Cnn1，至于其他情况，有如下分析． Pnmnn1n2n!nm1

4、组合数公式：Cm，其中mn． m!m!nm!Pmmn例

1、解方程：CCC．

m1m1m例

2、证明：CnCn1．

n

15、组合的应用题

例

3、现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表，（1）男甲、女A都必须当选，有几种选法？

（2）男甲必须当选，女A不能当选，有几种选法？（3）至少有一个女同学当选，有几种选法？（4）最多有三个女同学当选，有几种选法？

例

4、要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？（1）A、B、C三人必须入选；（2）A、B、C三人不能入选；（3）A、B、C三人只有一人入选；（4）A、B、C三人至少一人入选；（5）A、B、C三人至多二人入选．2n2n12n2 2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

例

5、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？

（3）甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？

例

6、（1）某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷．现从这11人中选出4人排版、4人印刷，有几种不同的选法？

（2）由13个人组成的课外活动小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，3个人既会唱歌，也会跳舞，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？

6、组合数的性质 ①性质

1、CnmCnnm mm1m1CnCn②性质

2、Cn1 例

7、计算：CC

例

8、解方程：

x12x283C17Cn（1）C17

（2）Cn

n3n12n3C21例

9、求值：（1）C338（2）C2nnnn；3Cn1

例

10、计算：

***6C4C5C6C7C8C9C6C7C8C9C7C8C9（1）C4；（2）C5；（3）C52C6

13m12C32C4CmCm例

11、证明：C211 1315810 2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

§16.5 二项式定理

一、教学过程

1、二项式定理： ①一般地，对于任意正整数n有 abn0n01n112n22nrrnrn11n1n0nCnabCnabCnabCnabCnabCnab ②右边的多项式叫做ab的二项展开式，它一共有n1项，其中各项的系数Cnr（r0，1，2，）叫做二项式系数，式中的Cnranrbr叫做二项展开式的通项，它是二项展开式中的第r1项，用Tr1表示，即 rnrrTr1Cnab． n例

1、求1的二项展开式．

x14

1例

2、求2x的二项展开式．

x6

12例

3、（1）求xa的二项展开式的中间项；

1（2）求x的展开式中第四项的系数及二项式系数；

x91（3）求2x的展开式中x3的系数及二项式系数；

x912（4）求x的二项展开式中x的系数．

x8

x3例

4、（1）求的二项展开式中的常数项；

x31（2）求3x的二项展开式中的常数项；

x2（3）求x4的二项展开式中的有理项；

x15（4）若x2的二项展开式中x3的系数为，求a的值．

ax2691516

2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

1例

5、已知x4的二项展开式中，前三项系数成等差数列，求二项展开式中的所有有理项．

2xn

1例

6、（1）设x2的展开式中含有非零常数项，求正整数n的最小值；

2xn（2）若x2xnxn1ax3bx2cx2n（nN，n3）且a:b3:2，求n．

例

7、计算：

1n12n2rnrn（1）2nCn； 2Cn21Cn21Cn01n1nCnCnCn（2）Cn；

12n1n4Cn2n1Cn2nCn（3）12Cn；

例

8、求5051被7除所得的余数．

二、二项式系数性质： nrn1、观察二项式系数表，探究规律 ①每一行中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等； ②每一行两端都是1，其余位置的每一个数都等于它“肩上”两个数的和； ③每一行中，二项式系数先是逐渐增大至最大，然后逐渐减小，越靠近中间越大，左右对称．

2、一般地，二项式系数有如下两个性质： ①性质

1、ab的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等； 这一性质可直接由公式CnmCnnm得到． ②性质

2、ab的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n． 1n1n将ab1分别代入ab和它的二项展开式中，即有2nCn0CnCnCn． nnn

例

8、求证：在ab的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

n 9