二项式定理应用2

第一篇：二项式定理应用2

二项式定理及其应用

一、求某项的系数：

【例1】（1）在（1-x3）（1+x）10的展开式中，x5的系数是多少？（407）

（2）求（1+x-x2）6展开式中含x5的项．（6x5）

二、证明组合数等式：

练习

（12345）

例2 计算：1.9975（精确到0.001）．

师：按生戊所谈的方法，大家在自己的笔记本上计算一下． 例3：（1996年全国高考有这样一道应用题）

某地现有耕地10 000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％．如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？

例3 如果今天是星期一，那么对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5天后的那一天是星期几？

生庚：先将此题转化为数学问题，即本题实际上寻求对于任意自然数n，23n+3+7n＋5被7除的余数．

受近似计算题目启发，23n+3=8n+1=（7＋1）n+1，这样可以运用

数，7n也是7的倍数，最后余数是1加上5，是6了．

师：请同学们在笔记本上完成此题的解答

（教师请一名同学板演）

解：由于23n+3＋7n＋5=8n+1＋7n＋5=（7＋1）n+1＋7n+5

则 23n+3＋7n＋5被7除所得余数为6 所以对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5后的一天是星期日． 师：请每位同学在笔记本上完成这样一个习题：7777-1能被19整除吗？（教师在教室内巡视，3分钟后找学生到黑板板演）解：7777-1=（76+1）77

由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除． 师：请生辛谈谈他怎样想到这个解法的？

生辛：这是个幂的计算问题，可以用二项式定理解决．如果把7777改成（19＋58）77，显然展开式中最后一项5877仍然不易判断是否能被19整除，于是我想到若7777-1能被38，或能被57，或能被76，或能被95整除，必能被19整除，而76与77只差1，故欲证7777-1被19整除，只需证（76+1）77被76整除．得到了以上的解法．

师：二项式定理解决的是乘方运算问题，因此幂的问题可以考虑二项式定理．下面我们解一些综合运用的习题

例4 求证：3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）．

师：仍然由同学先谈谈自己的想法．

生壬：我觉得这道题仍可以用二项式定理解，为了把左式与右式发生联系，将3换成2＋1．

注意到：

① 2n+n·2n-1=2n-1（2＋n）=2n-1（n+2）； ② n≥2，右式至少三项；

这样，可以得到3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）．

生癸：根据题设条件有n∈N，且n≥2．用数学归纳法应当可以证明．

师：由于观察习题时思维起点不同，得到了习题不同解法，生×同学从乘方运算这点考虑，想到二项式定理，生×同学从题设条件n∈N考虑，想到数学归纳法．大家要养成习惯，每遇一题，从不同角度观察思考，得到更多解法，使我们思考问题更全面．

用二项式定理证明，生×同学已经讲清楚了证明过程，大家课下在笔记本上整理好，现在请同学们在笔记本上完成数学归纳法的证明．

（教师请一名同学板演）

证明：①当n=2时，左式=32=9，右式=22-1（2＋2）=2×4=8，显然9＞8．故不等式成立． ②假设n=k（k∈N且k≥2）时，不等式成立，即3k＞2k-1（k＋2），则当n=k＋1时，由于 左式=3k+1=3·3k＞3·2k-1（k＋2）=3k·2k-1＋3·2k． 右式=2(k+1)-1[（k＋1）＋2]=2k（k＋3）=k·2k＋3·2k，则 左式-右式=（3k·2k-1＋3·2k）-（k·2k＋3·2k）

=3k·2k-1-2k·2k-1=k·2k-1＞0． 所以 左式＞有式．故当n=k＋1时，不等式也成立．

由①，②不等式对n≥2，n∈N都成立．

师：为了培养综合能力，同学们在笔记本再演算一道习题：

设n∈N且n＞1，求证：

（证明过程中可以运用公式：对n个正数a1，a2，…，an，总有

（教师在教室巡视，过2分钟找一名同学到黑板板演第（1）小题，再过3分钟找另一名同学板演第（2）小题）

师：哪位同学谈一谈此题应怎样分析？

生寅：第（1）小题左式与右式没有直接联系，应把它们分别转化，列前n项的和，由求和公式也能得到2n-1．因此得到证明． 第（2）小题左式与右式也没有直接联系．根据题目给出的公式要

师：根据式子的结构想有关知识和思考方法是分析问题的一种重要方法，要在解题实践中掌握．

本节课讨论了二项式定理主要应用，包括组合数的计算、近似计算、整除和求余数的计算以及与其他数学知识的综合应用．当然，二项式定理的运用不止这些，凡是涉及到乘方运算（指数是自然数或转化为自然数）都可能用到二项式定理．认真分析习题的结构，类比、联想、转化是重要的找到解题途径的思考方法，希望引起同学们的重视．

作业

1．课本习题：P253习题三十一：6，7，10； 2．课本习题：P256复习参考题九：15（2）． 3．补充题：

课堂教学设计说明

1．开始练习起着承上启下的作用．这三题既复习了二项式定理及其性质，又考查了数学基本思想，如等价变换、未知转化已知，取特殊值，利于本节课进行，又培养了学生预习复习的学习习惯．

2．只有学生自己动手、动脑、动口才能真正把知识学到手，才能培养思维能力、计算能力、表达能力、分析问题解决问题能力．因此课堂教学一定以学生为主体，体现主体参与．

3．学生的回答不会像教案写的那样标准，教师要因势利导，帮助学生提高分析能力．

第二篇：二项式定理二项式定理的应用教案（范文模版）

排列、组合、二项式定理·二项式定理的应用·教案

教学目标

1．利用二项式定理及二项式系数的性质解决某些关于组合数的恒等式的证明；近似计算；求余数或证明某些整除或余数的问题等．

2．渗透类比与联想的思想方法，能运用这个思想处理问题． 3．培养学生运算能力，分析能力和综合能力． 教学重点与难点

数学是一门工具，学数学的目的就是为了应用．怎样建立起要解决的问题与数学知识之间的联系（如一个近似计算问题与二项式定理有没有联系，怎样联系），是这节课的难点，也是重点所在．

教学过程设计

师：我们已经学习了二项式定理及二项式系数，请大家用6分时间完成以下三道题：

（1）在（1-x3）（1+x）10的展开式中，x5的系数是多少？（2）求（1+x-x2）6展开式中含x5的项．

（全体学生参加笔试练习）

6分钟后，用投影仪公布以上三题的解答：

（1）原式=（1+x）10-x3（1+x）10，可知x5的系数是（1+x）

（2）原式=[1+（x-x2）]6=1+6（x-x2）+15（x-x2）2+20（x-x2）3+15（x-x2）4+6（x-x2）5+（x-x2）6．

其中含x5的项为：20·3x5+15（-4）x5+6x5=6x5．

师：解（1），（2）两题运用了变换和化归思想，第（2）题把三项式化为二项式，创造了使用二项式定理的条件．

第（3）题的解法是根据恒等式的概念，a，b取任何数时，等式都成立．根据习题结构特征选择a，b的取值．这种用概念解题的思想经常使用．

下面我们看二项式定理的一些应用．

师：请同学们想一想，例1怎样解？

生甲：从结构上观察，则与练习的第（3）题有相似之处，只是组合数的系数成等比数列，是否根据二项式定理令a=1，b=3，即可得到证明．

师：请同学们根据生甲所讲，写出证明．（找一位同学板演）

证明：在（a+b）n的展开式中令a=1，b=3得：

师：显然，适当选取a，b之值是解这一类题的关键，再看练习题． 练习

生乙：这题与例1类比有共同点，仍是组合数的运算，不同点是缺

我考虑如能用二项式定理解，应对原题做以下变换：

师：分析得很透彻．这种敢想、会想精神是每位同学都要培养的．首先是敢字，不要一见题目有些生疏就采取放弃态度；要敢于分析，才能善于分析，将来才敢于创新，善于创新．

请大家把解题过程写在笔记本上．（教师请一名同学板演）

在（a＋b）6的展开式中令a=1，b=3，得

师：解题过程从“在（a+b）6的展开式中令 a=1，b=3”写起就可以了．希望同学们再接再励，完成下个练习．

练习

师：大家议论一下，这道题能用二项式定理来解吗？

生丙：初步观察，与上节课我们学刁的：“在（a＋b）n的展开式

解决．我们注意到组合数代数和的值为余弦值或正弦值，又注意到正项

„）或r=4m＋1（m=0，1，2，„），负项出现在r=4m＋2（m=0，1，2，„）或r=4m＋3（m=0，1，2，„），而虚数单位i有以下性质：

i4m=1，i4m+1=i，i4m+2=-1，i4m+3=-i（m∈Z）． 于是想在（a＋b）n的展开式中令a=1，b=i．

师：分析得有道理，请同学们按生丙同学的意见进行演算．（教师找一位同学板演）

证明：设i是虚数单位，在（a＋b）n的展开式中令a=1，b=i中得：

另一方面，又有

由此得到

根据复数相等定义，有

师：认真分析习题的结构，运用类比与联想的思想方法，可以帮助我们找到解题的思路，下面我们研究二项式定理在数字计算方面的应用．

例2 计算：1.9975（精确到0.001）．

生丁：这道题若用二项式定理计算，必须把1.997看作1+0.997，这样，1.9975=（1+0.997）5．

师：计算简单吗？

生戊：把1.9975化为（2-0.003）5，再展开，由于精确到0.001，不必各项都计算．

师：按生戊所谈的方法，大家在自己的笔记本上计算一下．（教师找一位同学板演）解：1.9975=（2-0.003）5

=25-5×24×0.003+10×23×0.0032-10×22×0.003＋„

由于|T6|＜|T5|＜|T4|≈1.08×10-6，则|T4|＋T5＋T6|＜0.000004． 所以1.9975≈32-0.24+0.000 72≈31.761． 师：1996年全国高考有这样一道应用题：（用投影仪示出，老师读题）

某地现有耕地10 000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％．如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？

稍候，教师问：

谁想出解法了，请讲一讲．

生己：设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷，耕地平均每年至多只能减少x公顷．

十年后耕地亩数：104-10x，十年后总产量：M×（1+22％）（104-10x）． 十年后人口：P×（1＋1％）10，依题意可以得到不等式

师：实际计算时，会遇到（1＋0.01）10的计算问题，请全体同学在笔记本上迅速计算出来．

（教师请一同学板演）

师：真迅速啊！请同学们课下把这道高考题完成．（答案：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷）现在，我们再讨论一个新的问题．

例3 如果今天是星期一，那么对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5天后的那一天是星期几？

生庚：先将此题转化为数学问题，即本题实际上寻求对于任意自然数n，23n+3+7n＋5被7除的余数．

受近似计算题目启发，23n+3=8n+1=（7＋1）n+1，这样可以运用

数，7n也是7的倍数，最后余数是1加上5，是6了． 师：请同学们在笔记本上完成此题的解答（教师请一名同学板演）

解：由于23n+3＋7n＋5=8n+1＋7n＋5=（7＋1）n+1＋7n+5

则 23n+3＋7n＋5被7除所得余数为6 所以对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5后的一天是星期日．

师：请每位同学在笔记本上完成这样一个习题：7777-1能被19整除吗？（教师在教室内巡视，3分钟后找学生到黑板板演）解：7777-1=（76+1）77

由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除． 师：请生辛谈谈他怎样想到这个解法的？ 生辛：这是个幂的计算问题，可以用二项式定理解决．如果把7777改成（19＋58）77，显然展开式中最后一项5877仍然不易判断是否能被19整除，于是我想到若7777-1能被38，或能被57，或能被76，或能被95整除，必能被19整除，而76与77只差1，故欲证7777-1被19整除，只需证（76+1）77被76整除．得到了以上的解法．

师：二项式定理解决的是乘方运算问题，因此幂的问题可以考虑二项式定理．下面我们解一些综合运用的习题

例4 求证：3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）． 师：仍然由同学先谈谈自己的想法．

生壬：我觉得这道题仍可以用二项式定理解，为了把左式与右式发生联系，将3换成2＋1．

注意到：

① 2n+n·2n-1=2n-1（2＋n）=2n-1（n+2）； ② n≥2，右式至少三项；

这样，可以得到3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）．

生癸：根据题设条件有n∈N，且n≥2．用数学归纳法应当可以证明． 师：由于观察习题时思维起点不同，得到了习题不同解法，生×同学从乘方运算这点考虑，想到二项式定理，生×同学从题设条件n∈N考虑，想到数学归纳法．大家要养成习惯，每遇一题，从不同角度观察思考，得到更多解法，使我们思考问题更全面．

用二项式定理证明，生×同学已经讲清楚了证明过程，大家课下在笔记本上整理好，现在请同学们在笔记本上完成数学归纳法的证明．

（教师请一名同学板演）

证明：①当n=2时，左式=32=9，右式=22-1（2＋2）=2×4=8，显然9＞8．故不等式成立． ②假设n=k（k∈N且k≥2）时，不等式成立，即3k＞2k-1（k＋2），则当n=k＋1时，由于 左式=3k+1=3·3k＞3·2k-1（k＋2）=3k·2k-1＋3·2k． 右式=2(k+1)-1[（k＋1）＋2]=2k（k＋3）=k·2k＋3·2k，则 左式-右式=（3k·2k-1＋3·2k）-（k·2k＋3·2k）=3k·2k-1-2k·2k-1=k·2k-1＞0．

所以 左式＞有式．故当n=k＋1时，不等式也成立． 由①，②不等式对n≥2，n∈N都成立．

师：为了培养综合能力，同学们在笔记本再演算一道习题： 设n∈N且n＞1，求证：

（证明过程中可以运用公式：对n个正数a1，a2，„，an，总有

（教师在教室巡视，过2分钟找一名同学到黑板板演第（1）小题，再过3分钟找另一名同学板演第（2）小题）

师：哪位同学谈一谈此题应怎样分析？

生寅：第（1）小题左式与右式没有直接联系，应把它们分别转化，列前n项的和，由求和公式也能得到2n-1．因此得到证明． 第（2）小题左式与右式也没有直接联系．根据题目给出的公式要

师：根据式子的结构想有关知识和思考方法是分析问题的一种重要方法，要在解题实践中掌握．

本节课讨论了二项式定理主要应用，包括组合数的计算、近似计算、整除和求余数的计算以及与其他数学知识的综合应用．当然，二项式定理的运用不止这些，凡是涉及到乘方运算（指数是自然数或转化为自然数）都可能用到二项式定理．认真分析习题的结构，类比、联想、转化是重要的找到解题途径的思考方法，希望引起同学们的重视．

作业 1．课本习题：P253习题三十一：6，7，10； 2．课本习题：P256复习参考题九：15（2）． 3．补充题：

课堂教学设计说明

1．开始练习起着承上启下的作用．这三题既复习了二项式定理及其性质，又考查了数学基本思想，如等价变换、未知转化已知，取特殊值，利于本节课进行，又培养了学生预习复习的学习习惯．

2．只有学生自己动手、动脑、动口才能真正把知识学到手，才能培养思维能力、计算能力、表达能力、分析问题解决问题能力．因此课堂教学一定以学生为主体，体现主体参与．

3．学生的回答不会像教案写的那样标准，教师要因势利导，帮助学生提高分析能力．

第三篇：二项式定理教学设计

《二项式定理》教学设计

1．教学目标

知识技能：理解二项式定理，记忆二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用．

过程方法：通过从特殊到一般的探究活动，经历“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法，养成合作的意识，获得学习和成功的体验．

情感、态度和价值观：通过对二项式定理的研究，掌握展开式的结构特点，体验数学公式的对称美、和谐美，了解杨辉、牛顿等数学家做出的巨大贡献．

2.教学过程

探索研究二项式定理的内容

从学生比较熟悉的完全平方公式入手，去观察，猜想

02122(ab)2a22abb2C2aC2abC2b

三次方的让学生按照多项式乘法进行运算在合并，不合并之前是几项，为什么？

（分步乘法计数原理）

0312233(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC3ab2C3b

每一项中字母a，b的指数和相同,项的个数有n1项

00每个都不取b的情况有1种，即C4种，所以a4的系数是C4； 11恰有1个取b的情况下有C4种，所以a3b的系数是C4； 22恰有2个取b的情况下有C4种，所以a2b2的系数是C4； 33恰有3个取b的情况下有C4种，所以ab3的系数是C4； 444个都取b的情况下有C4种，所以b4的系数是C4； 0413222344因此(ab)4C4aC4abC4abC4ab3C4b．

归纳、猜想(ab)n

0n1n12n22(ab)nCnaCnabCnabknkkCnabnnCnb(nN)

设问：

（1）将(ab)n展开，有多少项？

（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？（3）字母a，b指数和始终是多少？（4）如何确定ankbk的系数？

教师引导学生观察二项式定理，从以下几方面强调：（1）项数规律：n1项；

（2）次数规律：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减至0，同时，字母b的指数由0递增至n；

（3）二项式系数规律：下标为n，上标由0递增至n；

knkk（4）通项：Tk1Cnab指的是第k1项，不是第k项，该项的二项式系k数是Cn

板书以上几点 3.例题处理

51例1：（1）在2x的展开式中

x（1）请写出展开式的通项。（2）求展开式的第4项。

（3）请指出展开式的第4项的系数，二项式系数。

3（4）求展开式中含 x 的项。

课件展示解题过程

自主探究：在12x的展开式中，求第4项，并指出它的二项式系数和系数

7是什么？

独立完成，爬黑板

01合作探究：设n为自然数，化简Cn2nCn2n11Cnk2nk1Cnn

kn

分组讨论，交流想法

4.归纳小结

学生的学习体会与感悟； 教师强调：

（1）主要探究方法：从特殊到一般再回到特殊的思想方法

（2）从特殊情况入手，“观察——归纳——猜想——证明”的思维方法，是人们发现事物规律的重要方法之一，要养成“大胆猜想，严谨论证”的良好习惯．

（3）二项式定理每一项中字母a，b的指数和为n，a的指数从n递减至0同时b的指数由0递增至n，体现数学的对称美、和谐美．二项式系数还有哪些规律呢？希望同学们在课下继续研究、能够有新的发现． 5.作业（1）巩固型作业：

课本36页习题1.3 A组 1、3、4（1）（2）5（2）思维拓展型作业：（查阅相关资料）查阅有关杨辉一生的主要成就。

012探究二项式系数Cn,Cn,Cn,n 有何性质.,Cn3

第四篇：二项式定理教学设计

二项式定理（第一课时）

一、教学目标： 1．知识技能：

（1）理解二项式定理的推导-------分步乘法计数原理的使用（2）掌握二项式定理极其简单应用 2．过程与方法

培养学生观察、分析、归纳猜想的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式

二、教学重点、难点

重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式 难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别

三、教学方法：师生互动，讲练结合

四、教 具：多媒体、电子白板

五、教学过程

(一)创设问题情境：

今天是星期二，8天后是星期几?82天后是星期几?8100天后是星期几呢？ 前面两个问题全班所有学生都能回答出来，最后一个问题大家都很迷惑，觉得很复杂，今天我们学习的这节课就是告诉我们如何快速准确知道答案，并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几。解决这一问题我们应用的就是二项式定理。

(二)引出问题：二项式定理研究的是(ab)n的展开式。

我们知道(ab)2a22abb2，那么：(ab)3=?(ab)4=?

(ab)100=?

更进一步：(ab)n=？(1)对(ab)2展开式的分析:(ab)2(ab)(ab)展开后其项的形式为：a2,ab,b2

00考虑b，每个都不取b的情况有1种，即c2 ,则a2前的系数为c2 1恰有1个取b的情况有c12种，则ab前的系数为c2 22恰有2个取b的情况有c2 种，则b2前的系数为c2 0222所以(ab)2a22abb2c2ac12abc2b

(2)探究1：推导(ab)3的展开式

(ab)3(ab)(ab)(ab)① 项：

a3

a2b

ab2

b3

013② 系数：C3

C3

C32

C3 0312233③ 展开式(ab)3c3ac3abc3ab2c3b

(3)探究2：仿照上述过程，推导(ab)4的展开式

0432223344(ab)4c4ac14abc4abc4abc4b 0312233与(ab)3c3ac3abc3ab2c3b

0222和(ab)2c2ac12abc2b

一起比较猜想：

0nn12n22knkknn(ab)ncnac1abcab...cab...cnnnnb(nN)

但这种归纳猜想是不完全归纳。

(4)探究3：请分析(ab)n的展开过程，证明猜想

...ab

...b ②系数：C

C

...C

...C ①项：

an

an1b

0n1nnkknknnn0nn12n22knkknn③展开式：(ab)ncnac1bcnab...cnab...cnb(nN)na(三)二项式定理的分析

0nn12n22knkknn(ab)ncnac1bcnab...cnab...cnb(nN)na①项数：共有n1项；

②次数：各项的次数都是n；

k③二项式系数：Cn(k0,1,2,...n)

knkk④ 二项展开式的通项：Tk1Cnab,(k0,1,2,...n)

（四）课堂练习1.写出(1x)n得展开式.2.写出(ab)n得展开式.（五）例题 例1.求(2x1x)6得展开式.（1）强调：对于形式较复杂的二项式，应先化简再展开.（2）针对(2x1x)6得展开式，提出下列问题

思考1：展开式的第二项的系数是多少？

思考2：展开式的第二项的二项式系数是多少？ 思考3：你能否直接求出展开式的第二项？ 思考4：你能否直接求出展开式的常数项？ 引出例2 例2（1）求(12x)7的展开式的第4项的系数和第4项的二项式系数

1

（2）x的展开式中x3的系数

x

（六）小结

（七）作业（提前板书）1.P374,5题

2.思考：8100天后星期几？

第五篇：二项式定理教学设计

二项式定理

一、教学目标

1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用

2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力以及科学的思维方式。

3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。

二、教学重点、难点

重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式 难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别

三、教学过程

创设问题情境：

今天是星期三，15天后星期几，30天后星期几，8100天后星期几呢？

前面几个问题全班所有学生都大声地回答出来了，最后一个问题大家都很迷惑，有些学生试图用计算器算，还是觉得很复杂，学习完这节课我们就知道答案了，并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几

新课讲解：

问题

1abdc的展开式有多少项？有无同类项可以合并？

由于这一节是在学生学习了两个计数原理和排列组合知识之后学习的，所以学生能够快速的说出答案。

问题

2abb的ab原始展开式有多少项？有几项是同类项？项是怎样构成a的？有规律吗？

学生根据乘法展开式也很快得出结论 问题

3abbaa2bab的3原始展开式有多少项？经合并后又只能有几项？是哪几项？

学生仍然根据乘法公式算出了答案 问题

4abbaaba的bab的原始展开式有多少项？

44问题

5你能准确快速地写出ab的原始展开式的16项吗？经合并后，又只能有哪几项？

此时，学生能说出其中的一两项，并不能全部回答出来所有的项，思维觉察到麻烦，困难，易出错——借此“愤悱”之境，有效的实现思维的烘热）

启发类比：4个袋中有红球a，白球b各一个，每次从4个袋子中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？ 在4个括号（袋子）中 问题6

其个数，为何恰好应为该项的系数？

nrr问题7 ab在合并后的展开式中，ab的系数应该是多少？有理由吗？ n问题8

那么，该如何将ab轻松、清晰地展开？请同学们归纳猜想 学生们快速地说出

nabn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabCnabCnbnN*

我们数学讲究逻辑地严密性和知识的严谨性，大家猜想地很正确，那么我们怎么来证明呢？

思路：证明中主要运用了计数原理！

① 展开式中为什么会有那几种类型的项？

abn是n个ab相乘，展开式中的每一项都是从这n个ab中各任取一个字母相

nk乘得到的，每一项都是n次的。故每一项都是a② 展开式中各项的系数是怎么来的？

bk的形式，k0,1,2,,n

kankbk是从n个ab中取k个b，和余下nk个a相乘得到的，有Cn种情况可以得到

kankbk，因此，该项的系数为Cn

定义：一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有

abn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabCnabCnbnN*

n注：（1）公式左边叫做二项式，右边叫做ab的二项展开式

（2）定理中的a,b仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子什么的，只要是两项相加的n次幂，就能用二项式定理展开

例：把b换成b，则

abn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnab1Cnab1CnbnN*

kn练习：令a1,bx，则

1xn01122kknnCnCnxCnxCnxCnxnN*

问题9 二项式定理展开式中项数、指数、系数特点是什么？哪一项最有代表性

公式特征：

（1）项数：共有n1项

（2）指数规律：

① 各项的次数都等于二项式的系数n（关于a与b的齐次多项式）

② 字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n

knkk（3）二项式展开式的通项：Tk1Cnab，k0,1,2,,n

012knk（4）二项式系数：依次为Cn。这里Cn（k0,1,2,,n）称为二,Cn,Cn,Cn,Cn项式系数

现在同学们能告诉老师8100天后星期几吗？

思考了一会儿，马上有同学大声喊：把8写成7+1，再进行展开，余数是多少，就是星期几 老师故意问：为什么要写成7+1，这时，所有学生都明白了，因为一个星期7天，所以

n810071展开式中除了最后一项外，其余的项都是7的倍数，因此余数为Cn1，故100应为星期四。

1例

1求2x的展开式

x方法一：直接展开

11技巧：将根式先化成幂的形式，再进行计算，要简单很多。即原式变成2x2x2

66方法二：先合并化简，再展开

建议用第二种方法简单些。

变式一：展开式中的常数项是多少？ 变式二：展开式中的第3项是多少？

变式三：展开式中的第3项的系数是多少？ 变式四：展开式中的第3项二项式系数是多少？

注意：二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与a,b无关；系数与a,b有关。

例

2（1）求(12x)7的展开式的第4项的系数和第4项的二项式系数

1

3（2）x的展开式中x的系数和中间项

x例3

求(xa)12的展开式中的倒数第4项 小结：（1）注意二项式定理中二项展开式的特征

（2）区别二项式系数、项的系数

（3）掌握用通项公式求二项式系数、项的系数及项。作业：P37 4，5 教学反思：本节课先用今天星期几的问题创设问题情境，一下子把全班学生的学习积极性都调动起来了，当大家不知道老师葫芦里卖的什么药时，老师由浅入深的提问，最后问到81009天后星期几，从而引出今天的课题：二项式定理。给大家设置这个悬念后，紧接着又进行一系列的问题教学，让学生自己去探究去回答，最后学生之间合作交流归纳猜想出二项式定理的展开式，整个过程顺理成章地完成。