高中数学新课标函数讲座高二数学讲座之导数与推理与证明student

第一篇：高中数学新课标函数讲座高二数学讲座之导数与推理与证明student

高中数学新课标讲座之导数与推理与证明石嘴山市光明中学 潘学功

高中数学新课标讲座之导数与推理与证明

【基础回归】

1．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，„，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，„，这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）

A．289B．1024C．1225D．1378

2．在R上定义运算:xyx(1y)，若不等式(xa)(xa)1对任意实数x成立，则（）A．1a1B．0a2C．1a3D．3a1 222

23．已知数列{an}满足a10,an1

an3an1(nN*)，则a20=（）A．0B．3C．3D．/2

2231151117,122,1222，„，则可归纳出式子为（）2342323

41n24．观察式子：1A．1

C．112213212n12n1nB．1D．11221321n212n11

221

321

n21

221

321

n22n 2n1

315．设n为正整数，f(n)111„，经计算得f(2)，f(4)2，f(8)5，f(16)3，2n22

37f(32)。观察上述结果，可推测出一般结论（）2

A．f(2n)n22n1B．f(n2)n2C．f(2n)D．以上都不对 222

26．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2 成立时，总可推出f(k1)≥(k1)

成立”，那么，下列命题总成立的是若（）成立

A．f(1)1成立，则f(10)100B．f(2)4成立，则f(1)≥1

C．f(3)≥9成立，则k≥1时，均有f(k)≥k2D．f(4)≥25成立，则k≥4时，均有f(k)≥k2

7．设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，bS，对于有序

元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）．若对任意的a，bS，有a*(b*a)b，则对任意的a，bS，下列等式中不恒成立的是（）

A．(a*b)*aaB．[a*(b*a)]*(a*b)aC．b*(b*b)b

则必有（）

A．bf(a)≤af(b)

【典例剖析】

〖例1〗用分析法证明：722。

B．af(b)≤bf(a)C．af(a)≤f(b)D．bf（b)

≤f(a)D．(a*b)*[b*(a*b)]b )上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a，b，若ab，8． f(x)是定义在(0，宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习

高中数学新课标讲座之导数与推理与证明石嘴山市光明中学 潘学功

〖例2〗用三段论证明函数yx22x在（－∞，1]上是增函数。

222〖例3〗已知：sin30sin90sin15033222； sin5sin65sin125。22

通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度都成立的一般性的命题，并给予证明。

22xy〖例4〗已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C:221(ab0)上关于原点O对称的两个点，点P是 ab

椭圆C上任意一点，且直线PM,PN的斜率都存在(记为kPM,kPN)，则kPM·kPN是与点P位置无关

x2y2的定值。试写出双曲线E:221(a0,b0)的类似性质，并加以证明。ab

【思维训练】

1．对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：

① a122220；②(ab)a2abb；③ 若|a||b|，则ab；④ 若aab，则ab。a

那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是（）

A．①②B．②③C．③④D．②④

2())≥0，2．已知二次函数f(x)axbxc的导数为f(x)，f(0)0，对于任意实数x，有f(x则f1

f(0)的最小值为（）

A．3B．5/2C．2D．3/2

3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个

四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为_____

21114.已知函数f(x)x，那么f(1)f(2)f()f(3)f()f(4)f()____________ 2341x2

5．在△ABC中，射影定理可以表示为abcosCccosB，其中a,b,c分别为角A、B、C的对边，类似以上定理，在四面体PABC中，S1、S2、S3、S分别表示△PAB、△PBC、△PAC、△ABC的面积，，，分别表示面PAB、面PBC、面PAC与底面ABC所成角的大小，请给出一个空间四面体性质的猜想：________________

宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习

第二篇：高中数学新课标函数讲座高二数学讲座之复数导数推理与证明student

高中数学新课标讲座之复数、推理与证明石嘴山市光明中学 潘学功

高中数学新课标讲座之复数与推理与证明

【基础回归】

1、(2009广东)下列n的取值中，使i=1（i是虚数单位）的是（）

A．n=

22、（2009全国）已知

B．n=

3C．n=

4D．n=

5n

z

=2+i，则复数z=（）1＋i

B．1-3iC．3+iD．3-i

17i3、（2009安徽）i是虚数单位，若abi(a,bR)，则乘积ab的值是（）

2iA．－1

5B．－

3C．3

D．15

A．-1+3i4、设i为虚数单位，则复数z

A．

高中数学新课标讲座之复数、推理与证明石嘴山市光明中学 潘学功

(1i)2(34i)

2〖例4〗已知复数z满足: z13iz,求的值。2z

〖例5〗设函数f(x)13xx2(m21)x(xR)，其中m0。

3（Ⅰ）函数f(x)在区间（－1，1）上不单调，求m的取值范围；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值。

【能力培养】

1、（2008浙江）已知a是实数，A．

12、（2008辽宁）复数11的虚部是（）2i12i

A．iai是纯虚数，则a=（）1iB．-1C．2D．-2

15B．15C．i 1

5D．1

53、（2008宁夏）已知复数z1i，则z

2（）z

1A． 2B．－2C．2iD．－2i4、由数列1，10，100，1000，„„，猜测该数列的第n项可能是（）

A．10nB．10n

1nC．10n1D．11 n5、设数列{an}的前n项和为Sn，令TnS1S2Sn，称T为数列a，a，„„，a的“理想数”，n12n

已知数列a1，a2，„„，a500的“理想数”为2004，那么数列2，a1，a2，„„，a500的“理想数”为（）

A．2008B．2004C．2002D．2000 1,x0(ab)(ab)f(ab)(ab)的值为（）

6、设f(x)，则21,x0

A．aB．bC．a, b中较小的数D．a, b中较大的数

*

7、已知数列{an}为等差数列，若a1a,anb(n2，nN)，则an1nba。类比等差数列的上述 n1

*结论，对于等比数列{bn}(b0,nN*)，若b1c,bnd(n3,nN)，则可以得到bn1a3i8．若为实数，则实数a29i

9．如图所示，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f5

310．若直线ya与函数f(x)x3x的图象有三个不同的交点，则a宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习

第三篇：高中数学新课标函数讲座高二数学讲座之复数导数推理与证明

高中数学新课标讲座之复数、推理与证明石嘴山市光明中学 潘学功

高中数学新课标讲座之复数与推理与证明

【基础回归】

1、(2009广东)下列n的取值中，使i=1（i是虚数单位）的是（）

A．n=

22、（2009全国）已知

B．n=

3C．n=

4D．n=

5n

z

=2+i，则复数z=（）1＋i

B．1-3iC．3+iD．3-i

17i3、（2009安徽）i是虚数单位，若abi(a,bR)，则乘积ab的值是（）

2iA．－1

5B．－

3C．3

D．15

A．-1+3i4、设i为虚数单位，则复数z

A．

〖例2〗若zC且|z|1，则|z22i|的最小值是（）

A．221B．22+1C．2-1D．22 〖例3〗已知点P(x,y)在圆x2(y1)21上运动。

（1）求

y1的最大值与最小值；（2）求2xy的最大值与最小值。x

2y1 x2

整理得：kxy2k10（1）令K

由112k1k2

解得：k

所以 3 3y133的最大值为；最小值为— x23

3（2）令b=2x+y

整理得 2x+y-b=0 由 1b解得：b1或b1

所以 2x+y 的最大值为15；最小值为1

5〖例4〗

设复数z满足z1，且(34i)z是纯虚数，求z。

解：设zabi,(a,bR)，由z11；



(34i)z(34i)(abi)3a4b(4a3b)i是纯虚数，则3a4b0

44aa4315543,或，zi,或i 5555b3b33a4b055

(1i)2

(34i)2

已知复数z满足: z13iz,求的值.2z

解：设zabi,(a,bR)，而z13iz,13iabi0

a10a4,z43i 则b3b30

宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习

(1i)2(34i)22i(724i)247i34i 2z2(43i)4i

〖例5〗设函数f(x)13xx2(m21)x,(xR,)其中m0 3

（Ⅰ）函数f(x)在区间(1,1)不单调，求m的取值范围．

（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；

（Ⅲ）

已知函数f(x)

有三个互不相同的零点

0，x1,x2，且x1x2。若对任意的x[x1,x2]，f(x)f(1)

恒成立，求m的取值范围。

函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)，且f(1m)=231mm2 33

宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习

（3）解：由题设，f(x)x(

所以方程121xxm21)x(xx1)(xx2)33124xxm21=0由两个相异的实根x1,x2，故x1x23，且1(m21)0，33

11解得m(舍)，m 22

3因为x1x2,所以2x2x1x23,故x21 2

1若x11x2,则f(1)(1x1)(1x2)0，而f(x1)0，不合题意 3

若1x1x2,则对任意的x[x1,x2]有xx10,xx20,则f(x)1x(xx1)(xx2)0又f(x1)0，所以函数f(x)在x[x1,x2]的最小值为0，于3

2是对任意的x[x1,x2]，f(x)f(1)恒成立的充要条件是f(1)m130,解得综m333上，m的取值范围是(,【能力培养】 13)231、（2008浙江）已知a是实数，A．

12、（2008辽宁）复数

A．iai是纯虚数，则a=A 1i C．2D．-2 B．-1

1511的虚部是（B）2i12i11B．C．i 55D．1

5z

2（B）

3、（2008宁夏）已知复数z1i，则z

1A． 2B．－2C．2iD．－2i4、由数列1，10，100，1000，„„，猜测该数列的A．aB．bC．a, b中较小的数D．a, b中较大的数

7、已知数列{an}为等差数列，若a1a,anb(n2，nN*)，则an1nba。类比等差数列的上述 n1

结论，对于等比数列{bn

}(b0,nN*)，若b1c,bnd(n3,nN*)，则可以得到bn1答案： 8．若

a3i为实数，则实数a 29i 9．如图1所示，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是 yx8，则f5

10．若直线ya与函数f(x)x33x的图象有三个不同的交点，则a

宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习

第四篇：新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结

《推理与证明》知识归纳总结

第一部分合情推理

学习目标：

了解合情推理的含义（易混点）

理解归纳推理和类比推理的含义，并能运用它进行简单的推理（重点、难点）了解合情推理在数学发展中的作用（难点）

一、知识归纳：

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：

归纳推理:

1.归纳推理:由某类事物的对象具有某些特征，推出该类事物的具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.2.归纳推理的一般步骤:

第一步，通过观察个别情况发现某些相同的性质;

第二步，从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）.思考探究:

1.归纳推理的结论一定正确吗?

2.统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理?

题型1用归纳推理发现规律

.对于任意正实数a,b

成立的一个条件可以是____.点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故ab222、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂

巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂

巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图

有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以

f(n)表示第n幅图的蜂巢总数.则f(4)=_____;f(n)=___________.【解题思路】找出f(n)f(n1)的关系式

[解析]f(1)1,f(2)16,f(3)1612,f(4)16121837

f(n)1612186(n1)3n23n

1总结：处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系

类比推理

1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.2.类比推理的一般步骤:

第一步：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

第二步：用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想.思考探究:

1.类比推理的结论能作为定理应用吗?

2.(1)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体?

(2)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论?

题型2用类比推理猜想新的命题

[例]已知正三角形内切圆的半径是高的______.【解题思路】从方法的类比入手

[解析]原问题的解法为等面积法，即S

等体积法，V1，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是3111ah3arrh，类比问题的解法应为2231111Sh4Srrh即正四面体的内切球的半径是高 334

4总结：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比

（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等

合情推理

1.定义:归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.简言之，合情推理就是合乎情理的推理.2.推理的过程:

→

→

思考探究:

1.归纳推理与类比推理有何区别与联系?

1）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

2）类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。第二部分演绎推理

学习目标：

理解演绎推理的含义（重点）

掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单推理（重点、难点）

合情推理与演绎推理之间的区别与联系

一、知识归纳：

演绎推理的含义:

1.演绎推理是从一般性的原理出发，推出的结论.演绎推理又叫推理.2.演绎推理的特点是由的推理.思考探究:

演绎推理的结论一定正确吗?

演绎推理的模式

1.演绎推理的模式采用“三段论”:

(1)大前提——已知的(M是P);

(2)小前提——所研究的(S是M);

(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断(S是P).2.从集合的角度看演绎推理:

(1)大前提:x∈M且x具有性质P;

(2)小前提：y∈S且SM

(3)结论：y具有性质P.演绎推理与合情推理

合情推理与演绎推理的关系:

(1)从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特说的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.第三部分直接证明与间接证明

学习目标：

1、了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

2、了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

知识归纳：

三种证明方法:

综合法、分析法、反证法

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证

结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

反证法：它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：

(1)假设命题的结论不成立；

(2)根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止

(3)断言假设不成立

(4)肯定原命题的结论成立

用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题

考点1综合法

在锐角三角形ABC中,求证:sinAsinBsinCcosAcosBcosC

[解析]ABC为锐角三角形，AB

2A

2B，ysinx在(0,)上是增函数，sinAsin(B)cosB 22

同理可得sinBcosC，sinCcosA 

sinAsinBsinCcosAcosBcosC

考点2分析法

已知ab0,求证abab

[解析]要证aab，只需证(a)2(ab)2

即ab2abab，只需证bab，即证ba

显然ba成立，因此aab成立

总结：注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”，而不是“因为---所以---” 考点3反证法已知f(x)axx2(a1)，证明方程f(x)0没有负数根 x1

x02 x01【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾[解析]假设x0是f(x)0的负数根，则x00且x01且ax0

0ax0101x021，解得x02，这与x00矛盾，2x01

故方程f(x)0没有负数根

总结：否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多

第四部分数学归纳法

学习目标：

1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。

2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题

3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。

知识归纳：

数学归纳法的定义：

一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:

(1)证明当n=n0时命题成立;

(2)假设当n=k（

第五篇：高中数学推理与证明测试题

高中数学推理与证明测试题

山东淄博五中孙爱梅

一 选择题（5×12=60分）

1.如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什

么颜色的（）

A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大

2．“所有9的倍数（M）都是3的倍数（P），某奇数（S）是9的倍数（M），故某奇数（S）

是3的倍数（P）.”上述推理是（）

A．小前提错B．结论错C．正确的D．大前提错

3．F（n）是一个关于自然数n的命题，若F（k）（k∈N＋）真，则F（k＋1）真，现已知F

（7）不真，则有：①F（8）不真；②F（8）真；③F（6）不真；④F（6）真；⑤F（5）不

真；⑥F（5）真.其中真命题是（）

A．③⑤B．①②C．④⑥D．③④

4.下面叙述正确的是（）

A．综合法、分析法是直接证明的方法B．综合法是直接证法、分析法是间接证法

C．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D．综合法、分析法所用语气都是假定的5．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（）

① 各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；

② 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；

③ 各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。

A．①B．①②C．①②③D．③

6．（05·春季上海，15）若a，b，c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对x∈R，有ax

2＋bx＋c＞0”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．不充分不必要条件

17．（04·全国Ⅳ，理12）设f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）＝，f（x＋2）＝f（x）＋f2

（2），f（5）＝（）

5A．0B．1C．D．5 2

111118．设S（n）＝ ＋ ＋ ＋＋„＋，则（）nn＋1n＋2n＋3n11A．S（n）共有n项，当n＝2时，S（2＋

311

1B．S（n）共有n＋1项，当n＝2时，S（2）＝＋ ＋

234111

C．S（n）共有n2－n项，当n＝2时，S（2 ＋＋

234111

D．S（n）共有n2－n＋1项，当n＝2时，S（2 ＋＋

4x

9．在R上定义运算⊙：x⊙y＝，若关于x的不等式（x－a）⊙（x＋1－a）＞0的解集

2－y是集合｛x｜－2≤x≤2，x∈R｝的子集，则实数a的取值范围是（）A．－2≤a≤2B．－1≤a≤1C．－2≤a≤1D．1≤a≤2

10．已知f（x）为偶函数，且f（2＋x）＝f（2－x），当－2≤x≤0时，f（x）＝2，若n∈N，an＝f（n），则a2006＝（）

A．2006B．4C．D．－4

11．函数f（x）在［－1，1］上满足f（－x）＝－f（x）是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（）A．f（sinα）＞f（sinβ）B． f（cosα）＞f（sinβ）C．f（cosα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＜f（sinβ）

12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。四位歌手的话只有两名是对的，则奖的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁

二 填空题（4×4=16分）13．“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给1131

5出一组数：,-，-，它的第8个数可以是。

228

43214．在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC边上的射影，则AB2=BDBC.拓展到空间,在四面体A—BCD中，DA⊥面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在面BCD内，类比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面积之间关系为。

15．（05·天津）在数列｛an｝中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋（－1）n，n∈N*，S10＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.16．（05黄冈市一模题）当a0，a1，a2成等差数时，有a0－2a1＋a2＝0，当a0，a1，a2，a3成等差数列时，有a0－3a1＋3a2－a3＝0，当a0，a1，a2，a3，a4成等差数列时，有a0－4a

1012

＋6a2－4a3＋a4＝0，由此归纳：当a0，a1，a2，„，an成等差数列时有Cna0－Cna1＋Cna2－„＋Cnnan＝0.如果a0，a1，a2，„，an成等差数列，类比上述方法归纳出的等式为＿＿＿。三 解答题（74分）已知△ABC中，角A、B、C成等差数列，求证：18．若a、b、c均为实数，且a＝x2－2x＋

*

x

.11

3+=（12分）a+bb+ca+b+c

πππ

b＝y2－2y＋c＝z2－2z＋，求证：a、b、236

c中至少有一个大于0.（12分）

19．数列｛an｝的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1n＋

2n（n＝1，2，3，„）.n

Sn

证明：⑴数列｛Sn＋1＝4an.（12分）

n

20．用分析法证明：若a＞0，则

a22≥a＋－2.(12分)

aa

121．设事件A发生的概率为P，若在A发生的条件下B发生概率为P′，则由A产生B的概率为P·P′.根据这一事实解答下题.一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0、1、2、„、100，共101站，一枚棋子开始在第0站（即P0＝1），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次.若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站.直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束.已知硬币出现正、反面的概率相同，设棋子跳到第到第n站时的概率为Pn.（1）求P1，P2，P3；

（2）设an=Pn－Pn－1（1≤n≤100），求证：数列｛an｝是等比数列(12分)

ACAE22．(14分)在ΔABC中（如图1），若CE是∠ACB ＝.其证明过程：

BCBE作EG⊥AC于点G，EH⊥BC于点H，CF⊥AB于点F

∵CE是∠ACB的平分线，∴EG＝EH.又∵

ACAC·EGSΔAEC

＝，BCBC·EHSΔBEC

AEAE·CFSΔAEC＝＝，BEBE·CFSΔBEC∴

ACAE＝.BCBE

（Ⅰ）把上面结论推广到空间中：在四面体A－BCD中（如图2），平面CDE是二面角A－CD－B的角平分面，类比三角形中的结论，你得到的相应空间的结论是＿＿＿＿＿＿

（Ⅱ）证明你所得到的结论.B HC

图

1A

A G

B

图

2h11C

答案：

一 1 A 2 C 3 A 4 A 5 C 6 A 7 C 8 D ９Ｃ１０Ｃ １１Ｂ １２ C

πππ分析：因为锐角三角形，所以α+β＞，所以0＜-α＜β＜，222

π

sin（-α）＜sinβ，0＜cosα＜sinβ＜1，函数f（x）在［－1，1］上满足是减函数

所以f（cosα）＞f（sinβ）。12分析：先猜测甲、乙对，则丙丁错，甲、乙可看出乙获奖则丁不错，所以丙丁中必有一个是对的，设丙对，则甲对，乙错，丁错.∴答案为C.1.二 13-14（S△ABC）2= S△BOC S△BDC15.3

3216a

00n

C

·a

1－C

1n

·a2 n·„·an（－1）nn＝1.2C

C

n

［解析］解此题的关键是对类比的理解.通过对所给等差数列性质的理解，类比去探求等比数列相应的性质.实际上，等差数列与等比数列类比的裨是运算级别的类比，即等差数列中的“加、减、乘、除”与等比数列中的“乘、除、乘方、开方”相对应.三 解答题

317(分析法)要证+=

a+bb+ca+b+c

a+b+ca+b+c需证:+ =3

a+bb+c

即证:c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)即证:c2+a2=ac+b

2因为△ABC中，角A、B、C成等差数列,所以B=600,由余弦定理b2= c2+a2-2cacosB 即b= c+a-ca 所以c+a=ac+b

3因此 + =

a+bb+ca+b+c(反证法).证明：设a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，πππ

而a＋b＋c＝（x2－2y）＋（y2－2z＋z2－2x＋

236

＝（x－2x）＋（y－2y）＋（z－2z）＋π＝（x－1）＋（y－1）＋（z－1）＋π－3，∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.19(综合法)．证明：⑴由an＋1

2222222

n＋2

n，而an＋1＝Sn＋1－Sn得 n

Sn＋

1n＋12（n＋1）n＋1Sn∴Sn＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1Sn＝2，∴数列｛｝为等比数列.nnSnn

n

SnSn＋1Sn－14an（n－1）⑵由⑴知｛2，∴＝4·，∴Sn＋1＝4an.nn＋1n－1n－1n＋120(分析法).证明：要证

a2＋2－≥a＋2，只需证

aa

a22＋2≥a＋aa

∵a＞0，∴两边均大于零，因此只需证（a2＋22）2≥（a＋）2，aa

只需证a2＋24＋

4a

a2＋2≥a2＋22＋2（a＋，aaa

a2＋2≥（a＋，只需证a2＋2≥（a2＋2＋2），a2aa2aa

即证a2＋2≥2，它显然是成立，∴原不等式成立.111131131

521.（1）解:P0＝1，∴P1＝, P2× ＋＝，P3＝ ×＋× ＝.2222422428

（2）证明:棋子跳到第n站，必是从第n－1站或第n－2站跳来的（2≤n≤100），所以Pn

Pn－1Pn－2

∴Pn－Pn－1＝－Pn－1＋Pn－1 Pn－2=（Pn－1－Pn－2），22211

∴an=－an－1（2≤n≤100），且an＝P1－P0.22

故｛an｝是公比为－，首项为－的等比数列（1≤n≤100）.2222．结论:

SΔACDSΔAECSΔACDSΔAEDAESΔACD＝ 或 ＝SΔBCDBESΔBCDSΔBECSΔBCDSΔBED

证明：设点E是平面ACD、平面BCD的距离分别为h1，h2，则由平面CDE平分二面角A－CD－B知h1＝h2.又∵

SΔACDh1SΔACDVA－CDE

＝ SΔBCDh2SΔBCDVB－CDE

VA－CDEAESΔAEDVC－AED ＝ ＝BESΔBEDVC－BEDVB－CDESΔACDAE∴ ＝SΔBCDBE

A G

B

C

2图2 A hB HC

图1