第一篇：二阶导数与函数凹凸性证明
证明设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么若在(a,b)内f“(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。
设x1和x2是[a,b]内任意两点，且x1 对f'(x)在区间[x0-θ2h,x0+θ1h]上再利用拉格朗日中值公式，得 [f'(x0+θ1h)-f'(x0-θ2h)]h=f”(ξ)(θ1+θ2)h^2，其中x0-θ2h<ξ 因为f"(ξ)>0，所以f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)>0，即[f(x0+h)+f(x0-h)]/2>f(x0)，亦即 [f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]，所以f(x)在[a,b]上的图形是凹的。 f(x)<=1/2f(x1)+1/2f(x2),x=(x1+x2)/2,注意到1/2=x2-x/x2-x1=x-x1/x2-x1,那么代入 f(x)<=(x2-x)/(x2-x1)f(x1)+(x-x1)/(x2-x1)f(x2),等价于f(x)(x2-x1)<=(x2-x)f(x1)+(x-x1)f(x2) （1） 那个二阶条件是充要条件，必要性证明，假设是凹的，（1）式改写成，f(x)-f(x1)/x-x1<=f(x2)-f(x)/x2-x,其中x1 充分性证明，由于f''(x)>=0,f'(x)单调增（广义的），这里要用拉格朗日定理了 f(x)-f(x1)/x-x1=f'(a),其中x1 显然与凹定义等价 证毕 利用函数的凹凸性质证明不等式 内蒙古包头市第一中学张巧霞 摘要：本文主要利用函数的凹凸性来推导和证明几个不等式.首先介绍了凹凸函数的定义，描述了判定一个函数具有凹凸性质的充要条件，并且给出了凸函数的一个重要性质——琴生不等式.通过巧妙构造常见的基本初等函数，利用这些函数的凹凸性推导几个重要不等式，如柯西不等式，均值不等式，柯西赫勒德尔不等式，然后再借助这些函数的凹凸性及其推导出来的重要不等式证明一些初等不等式和函数不等式.关键词：凸函数；凹函数；不等式.一． 引言 在数学分析和高等数学中，利用导数来讨论函数的性态时，经常会遇到一类特殊的函数——凹凸函数.凹凸函数具有一些特殊的性质，对于某些不等式的证明问题如果灵活地运用函数的凹凸性质就可以简洁巧妙地得到证明.二． 凹凸函数的定义及判定定理 (1)定义 设f(x)是定义在区间I上的函数，若对于I上的任意两点x1,x2及实数0,1总有 f(x11x2)fx11fx2 则称f(x)为I上的凸函数（下凸函数）；反之，如果总有不等式 f(x11x2)fx11fx2 则称f(x)为I上的凹函数（上凸函数）.特别地，取xx2fx1fx21).，则有f(1 222 若上述中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数或严格凹函数.（2）判定定理 若函数f(x)在区间 I上是二阶可微的，则函数f(x)是凸函数的充要条件是f“(x)0，函数f(x)是凹函数的冲要条件是f”(x)0.三．关于凸函数的一个重要不等式——琴生不等式 设f(x)是定义在区间I上的一个凸函数，则对xiI,i1,2,,n,i0, i1ni1有 f(ixi)ifxi.i1 i1 nn 特别地，当i i1,2,,n,有 n f（x1x2xnfx1fx2fxn).22 琴生不等式是凸函数的一个重要性质，因为每个凸函数都有一个琴生不等式，因此它 在一些不等式的证明中有着广泛的应用.四． 应用凸函数和琴生不等式证明几个重要不等式.（1）（调和——几何——算术平均不等式）设ai0,i1,2,,n,则有 n nain 1i1i1ain 当且仅当a1a2an时，等号成立.证明 设f(x)lnx,因为f“(x) a i1 n i n 0,x0,, 2x 所以f(x)是0,上的凸函数，那么就有f（x)fx.ii i i i1 i1 nn 现取xiai,i,i1,2,,n, n n1n1n1 则有lnailnailnain, i1ni1ni1n1n1 得lnailnain,ni1i1 由lnx的递增性可得 n 1 （1）aii i1ni1 同理，我们取xi nn 0，就有 ai n11lnna ii1n11lnaii1n n n n 1ln1i1ani , 即 ai（2）n 1i1i1ain n 由（1），（2）两式可得 n ain 1i1i1ain （2）柯西——赫勒德尔不等式 p 1n a i1 i n pqababiiii i1i1i1 其中ai,bi,i1,2,,n是正数，又p0,p1,p与q共轭，即 nnn q 1.pq 证明 首先构造函数fxxp,p1时，f”x0,x0 所以fxx是0,上的凸函数，则有 p n np f(ixi)ixiixi i1i1i1 n p 令 i pi p i1 n,这里pi0,i1,2,,n，i n pixi 则i1 n pii1 p p px ii1 n pi p i1 n i n nnp即pixipixipii1i1i1 p1 由题设知 11p 1，得q，p1pq 所以 1p 1q ppxpxpiiiii，i1i1i1 nn p n 1q 现取aipixi,bipi，i1,2,,n 则aibipixipi 1p 1q pixi,pixiai，代入上式得 pp pqababiiii i1i1i1 命题得证.在柯西赫勒德尔不等式中，若令pq2时，即得到著名的不等式——柯西不等式 nn p n 1q 22ababiiii i1i1i1 nn n n2n2 (aibi)aibii1i1i1 n 这里ai,bi,i1,2,,n为两组正实数，当且仅当aibi时等号成立.五．凸函数及重要不等式在证明初等不等式和函数不等式中的应用.例1.求证在圆的内接n边形中，以正变形的面积最大.证明 设圆的半径为r，内接n边形的面积为S，各边所对的圆心角分别为1,2,,n，则 S rsin1sin2sinn,因为f“xsinx0，2 所以fxsinx是0,上的凹函数，由琴生不等式可得 f( i1 n i)fi.ni1n n n 即sin i1 i n sin i1 n i n sininsin i1 2 n 上式只有在12n时等号才成立，也即正n边形的面积最大.特别地，若A,B,C为三角形的三个内角时，由上式可得sinAsinBsinC .2xy 例2 求证对任意的x0,y0，下面的不等式xlnxylny(xy)ln成立.证明 我们根据所要证明的不等式构造相应的函数，令fttlnt,t0，因f”t所以有 0.故fttlnt是0,上的凸函数，t xyfxfyf,x,y0,, 22 即 xyxy1lnxlnxylny, 222 xy (xy)lnxlnxylny,所以在利用凸函数证明不等式时，关键是如何巧妙地构造出能够解决问题的函数，然后列出琴生不等式就可以简洁，巧妙地得到证明.nnnn n4444 例3 设ai,bi,ci,di都是正实数，证明aibicidiaibicidi.i1i1i1i1i1 分析 本题所要证明的结论看上去接近于柯西不等式，但是这里是4次方的情形，所以想办 法将其变成标准形式。 nn 证明aibicidiaibicidi i1i1 aibi i1 n n2 cidi i12 n n2222=aibicidi i1i1 n n n n ai i1 bi i1 ci i1 di i1 通过以上例子我们可得出结论，运用柯西不等式的关键是对照柯西不等式的标准形式，构造 出两组适当的数列，然后列出式子.例4 设a,b,c,d都是正实数，且cdab 证明 首先由均值不等式得 a3b3 1..证明 cd a3b3acb3bda344 acbdabcddc a2abb =a2b2再由柯西不等式得 2122 acbdab c d d ab=a2b2 122 c 322 a3b322 ab即cd a3b3 cdacbd a2b2 a3b31 所以cd 六．总结 由上面的分析我们看到，虽然利用函数的凹凸性来证明不等式有它的局限性，但是往 往是其它方法不可代替的，我们可以充分感受到利用函数的凹凸性解决问题的方便和快捷，丰富了不等式的常规证法，开阔了解题思路.参考文献 【1】 【2】 【3】 【4】 谢惠民.数学分析习题课讲义【M】.高等教育出版社，2003.王仁发.高观点下的中学数学代数学【M】.高等教育出版社，1999.席博彦.不等式的引论【M】.内蒙古教育出版社，2000.华东师范大学数学系.数学分析【M】.高等教育出版社，1991. 函数凹凸性的判定性质及应用 曹阳 数学计算机科学学院 摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及判定定理。在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。一元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。本文主要讨论了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍了它们应用。 关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用； Convex function of Judge Properties and Applications Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance.In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem.On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application.One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function to re-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties.This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application.Keywords: Convexity;One Function;Binary function;Multiple functions;Criterion;Applications; 1.引言 凸函数是数学中一类极其重要的函数，它在最优化，运筹与控制理论，模具设计等方面具有重要的理论和实践意义。凸函数在大学数学中很少具有直接的运用，而导数在函数图像的凹凸性研究是大学数学中一个重要的知识点，这说明凸性在大学数学，特别是数学分析中的应用没有得到应有的正视，长期以来，凸函数被热为只在一些具体学科，如机器人学，模具设计或一些数学分支（如全局优化，运筹学等）中具有重要的运用，而在大学数学中没有应用。本文将重点探讨凸函数在分析学中的一些简单应用。在本文中，我们首先给出凸函数的多种定义，性质，然后探讨二元与多元的情况下凸函数的定义，判定及性质。 2.一元函数凹凸性的判定 2.1 凸函数的多种定义及等价证明 下面先先给出凸函数的13种常见定义。假设IR，f:IR.定义2.1.11： f在I内连续ｆ（ｘ＋ｘ１２２）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２,则称f为凸函数。 x1，x2，x3Ｉ，定义2.1.21：若 f(x2)f(x1)x2x1f(x3)f(x2)x3x2则称f为凸函数 定义2.1.31： １ｆ（ｘ）ｘ１１x1，x2，x3Ｉ，x1＜x2＜x3，ｘ１ｆ（ｘ）２２的行列式0，则称f为凸函数 ｘ１ｆ（ｘ）３３定义2.1.41： x1，x2Ｉ，ｔ（0，1），则称f为凸函数 ｆ（tｘ＋（1-t）ｘ）tｆ（x１）＋（1-t）ｆ（ｘ）１２２，ｔ＝１，有ｆ（ｔｘ）定义2.1.5:ｔｋｋｋｋｋ1ｋ11nnnｔｆ（ｘ），则称f(x)为凸函数 ｋｋｋ1定义2.1.61：（1.）ｘＩ，ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）且ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－＋－＋＇＇(2）x1，x2，ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）＋１－２＇＇＇＇ 则称f(x)为凸函数 I, 定义2.1.71：若ｆ在Ｉ内存在单增函数,ｘ０xI,有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝０ｘｘ０（ｔ）dｔ，则称f为凸函数。 定义2.1.81： 设f在I上连续，x1，x2Ｉ，且x1＜x2有ｆ（x1+x22）1ｘ－ｘ２１ｘ２ｘ１ｆ（ｔ）dｔf(x1)f(x2)2，则称f为凸函数。定义2.1.91：若ｘ，．．．，xｎＩ，ｆ（１ｘ＋ｘ＋．．．＋ｘｎ１２ｎ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋．．．．＋ｆ（ｘ）１２ｎｎ（ｎＮ），则称f为凸函数。 定义2.1.101：若ｆ在Ｉ内可导，ｘ，ｙＩ，有ｆ（ｘ）ｆ＇（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ），则称f为凸函数。定义2.1.111：若ｆ在Ｉ可导，且ｆ＇（ｘ）单调递增，则称f为凸函数。定义2.1.121：ｆ在Ｉ内二次可导，ｆ＇＇（ｘ）０，则称f为凸函数。定义2.1.131：ｆ在区间Ｉ上凸函数的充要条件是：函数 为[0,1]上的凸函数，（）＝ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）１２下面给出几种定义间的相互证明。 定理2.1.11 若ｆ在区间Ｉ上可导，则定义７定义１０ Ｉ，ｘＩ，有：证明：因为ｆ在Ｉ内存在单增函数，ｘ ０（ｔ）dt （１）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝０ｘ０ｘ故对于ｙＩ，不妨设ｙ＜ｘ，有： ｆ（ｙ）－ｆ（ｘ）＝（ｔ）dt （２）０ｘ０ｙ（ｘ）将式（１）两边关于ｘ求导，得ｆ＇（ｘ）＝． （１）－（２），得： ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）＝（ｔ）dｔ－（ｔ）dｔ＝（ｔ）dｔ＋（ｔ）dｔ＝ ｘ０ｘ０ｘ０ｘｙｘｘ０ｙｘｙ（）；ｙ＜＜ｘ （３）（ｔ）dｔ＝（ｘ－ｙ）（ｔ）（ｙ）（），式（２）可化为： 因为单调递增，且ｙ＜，所以（）（ｘ－ｙ）（ｙ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）＝（ｘ－ｙ）＝（ｘ－ｙ）ｆ＇（ｙ） 即ｆ（ｘ）ｆ＇（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ） 定理2.1.21： 若ｆ在Ｉ上连续，则定义１３定义８。 （）证明：因为＝ｆ（ｘ＋为０，１上的凸函数，故：（１－）ｘ）１２（）＝＝ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）１２（１＋（１－）０）（１）＋（１－）（０）＝ ｆ（ｘ）＋（１－）ｆ（ｘ）１２特别地，当＝12时，有ｆ（ｘ＋ｘ１２２）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２ 先证不等式的左边． I，ｘ，由实数的性质知在Ｉ上可确定一个闭区间ｘ，若ｔx1，ｘ＜ｘｘ２１２１２，１［ｘ１ｘ＋ｘ２２］，则ｔ关于 ｘ＋ｘ１２２的对称点是ｘ＋ｘ－ｔ，而ｆ在Ｉ上连续，所以１２积分存在，所以：ｘ２ｘ＋ｘ１２２ｘ１ｘ＋ｘ１２ｘ１ｆ（ｔ）dｔ＝ｄｆ（ｔ）＋ｆ（ｘ１＋ｘ２＋ｔ）ｔ２ｘ）２ｆ（ｘ＋ｘ１２２）ｄｔ＝２（ｘ－ｘ）ｆ（２１ｘ＋ｘ１２２ｘ＋ｘ１２２１ 即ｆ（）ｘ－ｘ２１ｘ２ｘ１ｆ（ｔ）ｄｔ 下证不等式的右边． 作变换ｕ＝x２－t（0ｕ１），则t＝x２－u（x２－x１）＝ux１＋（1－u）x２，dt＝（x１－x２）du，x２－x１当t＝x１时，u＝1；t＝x２时，ｕ＝0ｘ２ｘ１ｆ（ｔ）dｔ＝１１（ｘ－ｘ）ｆｕｘ＋（１－ｕ）ｘｄｕ（ｘ－ｘ）ｕｆ（ｘ）＋（１－ｕ）ｆ（ｘ）ｄｕ＝２１１２２１１２００ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２（ｘ－ｘ）２１２ｘｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２１２ｆ（ｔ）ｄｔ即，故ｘ１２ｘ－ｘ２１ｆ（ｘ＋ｘ１２２）１ｘ－ｘ２１ｘ２ｆ（ｔ）ｄｔｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２ｘ１ 定理2.1.31 若ｆ在Ｉ上二次可导，则定义８定义１２。证明 因x1，x2Ｉｘ，＜ｘ１２ｆ（ｘ＋ｘ１２２）１ｘ－ｘ２１ｘ２ｆ（ｔ）ｄｔｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２ｘ１ 令ｘ＝x１＋ｘ２２，则ｘ＜ｘ＜ｘ，故ｆ（ｘ）１２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２，即ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ）１１ｘ－ｘ＝ｘ－ｘ＞０，所以１２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（x２）－ｆ（ｘ）１；又因为ｆ在Ｉ ｘ－ｘｘ－ｘ１２上可导，则ｆ在Ｉ上连续，故由极限的性质可知ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＇＇１２lim，即ｆ＋（ｘ）ｆ－（ｘ）１２xｘ１ｘ－ｘｘ－ｘ１２limxｘ２． x＇＇＇（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ－（ｘ）＝ｆ（ｘ）有二阶导数，所以ｆ＇，即x1，2Ｉ，都有＋１１２２ｆ（ｘ）ｆ（ｘ），设ｘ为Ｉ上任意固定点，则１２＇＇ｆ（ｘ＋x）－ｆ（ｘ）＇ lim０，所以ｆ（ｘ）０。x0x＇＇定理2.1.41 定义１１定义2 ＇（ｘ）证明 因为ｆ（ｘ）在Ｉ内可导，且ｆ单调递增，ｘ，ｘ，ｘI, 且１２３Ｉ，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在（。可确定两个区间ｘ，ｘｘ＜ｘ＜ｘｘ，ｘ１２３１２２３x2，＇（ｘ）ｆ（x2））的切线方程为ｙ－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ－ｘ）故横坐标为ｘ的曲线的２２２＇（ｘ）纵坐标与切线纵坐标之差为：ｆ（ｘ）－ｙ＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ－ｘ）２２２Ｉ，而ｆ（ｘ）在Ｉ内可导，而ｘ故ｆ（ｘ）在ｘ内连续，在（ｘ），ｘ，ｘ，ｘ２３２３２３上可导，所以ｆ（ｘ）在ｘ上满足拉格朗日中值定理，即１（ｘ），ｘ，ｘ２３２３＇ｆ（１）（ｘ－ｘ）。由式（３）ｓ．ｔ．ｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ＝，当ｘ＝ｘ３时，有：）３２２＇＇（ｘ）ｆ（１）ｆ（ｘ３）－ｙ＝ｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ２）－ｆ＝－（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）２３２３２ｆ（ｘ）（１）（ｘ）＝（ｆ－ｆ）（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）０ ２２３２３２＇＇＇同理ｆ（ｘ）在ｘ，上满足拉格朗日中值定理，即２（ｘ），ｓ．ｔ． ｘ，ｘ１２１２＇（２）（ｘ－ｘ）ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ）＝ｆ。由式（３），当ｘ＝ｘ１时，有：ｆ（ｘ１）２１１＇＇＇（ｘ）（２）（ｘ）－ｙ＝ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）－ｆ＝ｆ－ｆ（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）２２１２１２１２＇＇（２）（ｘ）＝（ｆ－ｆ）（ｘ－ｘ）０。由式（４）得２１２ｆ（x３）－ｆ（ｘ）２ｘ－ｘ３２（ｘ），ｆ２＇由式（５）得ｆ（x１）－ｆ（ｘ）２ｘ－ｘ１２（ｘ），所以ｆ２＇ｆ（x１）－ｆ（ｘ）ｆ（x３）－ｆ（ｘ）２２ ｘ－ｘｘ－ｘ１２３２2.2 凹函数的多种定义及等价证明 凹函数的13种常见定义。定义2.2.11： f在I内连续ｆ（ｘ＋ｘ１２２）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２,则称f为凹函数。 定义2.2.21：若x1，x2，x3Ｉ，定义2.2.31： f(x2)f(x1)x2x1f(x3)f(x2)x3x2则称f为凹函数 １ｆ（ｘ）ｘ１１x1，x2，x3Ｉ，x1＜x2＜x3，ｘ１ｆ（ｘ）２２的行列式0，则称f为凹函数 ｘ１ｆ（ｘ）３３定义2.2.41x1，x2Ｉ，ｔ（０，１），ｆ（ｔｘ＋（１－ｔ）ｘ）ｔｆ（ｘ）＋（１－ｔ）ｆ（ｘ）１２１２则称f为凹函数 定义2.2.5 :ｔ，ｔ＝１，有ｆ（ｔｘ）ｋｋｋｋｋ1ｋ11nnnｔｆ（ｘ），则称f为凹函数 ｋｋｋ1定义2.2.61： （１。）ｘＩ，ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）且ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）（２。）x1，x2，ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－＋－＋＋１－２＇＇＇＇＇＇则称f为凹函数 I, 定义2.2.71：若ｆ在Ｉ内存在单减函数,ｘ０xI,有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝０ｘｘ０（ｔ）dｔ，则称f为凹函数。 定义2.2.81： 设f在I上连续，x1，x2Ｉ，且x1＜x2有，ｆ（x1+x22）1ｘ－ｘ２１ｘ２ｘ１ｆ（ｔ）dｔf(x1)f(x2)2则f为凹函数 定义2.2.91：若ｘ，．．．，xｎＩ，ｆ（１ｘ＋ｘ＋．．．＋ｘｎ１２ｎ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋．．．．＋ｆ（ｘ）１２ｎｎ（ｎＮ），则称f为凹函数。 定义2.2.101：若ｆ在Ｉ内可导，ｘ，ｙＩ，有ｆ（ｘ）ｆ＇（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ），则称f为凹函数。 定义2.2.111：若ｆ在Ｉ可导，且ｆ＇（ｘ）单调递减，则称f为凹函数。定义2.2.121：ｆ在Ｉ内二次可导，ｆ＇＇（ｘ）０，则称f为凹函数。定义2.2.131：ｆ在区间Ｉ上凹函数的充要条件是：函数。 为[0,1]上的凹函数。（）＝ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）１２几种定义间的推到证明即可类比与凸函数的情况 2.3 关于凸凹函数性质的总结 上一段为凸（或凹）函数的十三种定义及部分定义间的相互证明，这一段在此基础上就凸（或凹）函数的性质方面作进一步思考。根据上文所提到的定义，可知 性质2.3.12：当ｆ在Ｉ上一阶可导时，由ｆ在Ｉ单增（或减），ｆ（ｘ）（或）ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）０００＇证明：必要性：计算ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（）（ｘ－ｘ）－ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＝００００００＇＇＇ （ｆ（）－ｆ（ｘ））（ｘ－ｘ）００＇＇（介于ｘ和ｘ之间）０由于ｆ在Ｉ单增（或减），可知上面两个因子同号，故有 （ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）（或）ｆ０００＇＇（x０）（x－x０）＋f（x０）充分性：设x，x０Ｉ，有f（x）（。当x１，x２Ｉ，或）f而x１＜x２时就有f（x１）（或x１－x２）＋f（x２）及f（x２）（或（x１）（x２－x１）＋f（x１））f（x２）（或）f ＇＇＇＇（ｘ）－ｆ（ｘ）］（ｘ－ｘ）．两式相加即有ｆ（ｘ）由＋ｆ（ｘ）（或）［ｆ２１１２１２（x１）（或）f（x２），可见f即f在I上I上单减（或单增）ｘ＜ｘ １２＇＇性质2.3.22 设ｆ在Ｉ上可导，ｆ在Ｉ下凸（或上凹）ｘｘＩ，ｆ（ｘ）（或１，２）f（x１）＋f（x１）（x－x１），由于f（x）＝f（x１）＋f（x１）（x－x１），是过＇＇的曲线的切线，由于上面不等式的几何意义是：下凸（上凹）曲线（ｘ，ｆ（ｘ））１１总在曲线上的任一点的切线之上（下）。 性质2.3.32：当ｆ在Ｉ上二阶可导时，则可得 当ｆ在Ｉ上二阶可导时，ｆ在Ｉ下凸 ＇（x）（或）0（或上凹）xI，f＇＇（ｘ）证明：必要性：ｆ在Ｉ上二阶可导，且下凸（或上凹）ｆ在I上单增（或单减））ｆ（ｘ）（或）0，xI ＇充分性： ｘｘＩ１，２＇ｆ（ｘ）ｆ（）２１，有ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋（ｘ－ｘ）＋（ｘ－ｘ）（或２１２１２１１！２！＇）ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ），据上面的证明中徳充分性，可知已做；额下面１２１１证明链的证明：ｆ（ｘ）（或f在I上单增或单减）２（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ））ｆ１２１１＇性质2.3.42：若ｆ在Ｉ上可导，则下述两个断语等价： （１） ＇f（x２）（或）f（x１）（x２－x１）＋f（x１）（２） f（x１）＋f（x２））（或）22证明：（１） f（x１＋x２（２）ｘ令ｘ３＝，ｘＩ，１２ 于是ｆ（ｘ）（或１）ｆ（＇ｘ＋ｘ１２2，－ｘ＝则ｘ１３ｘ－ｘ１２2，ｘ－ｘ＝２３ｘ－ｘ２１2 ｘ＋ｘ１２2ｘ＋ｘ１２）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）＝１３３ｘ－ｘｘ＋ｘｘ＋ｘ１２＇１２２ｆ（）＋ｆ（１）222两式相加，即得ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）（或１２ｘ－ｘｘ＋ｘｘ＋ｘ２１＇１２２ｆ（）＋ｆ（１）过点2222ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）２１＝与的弦为亦即（ｘ，ｆ（ｘ））（ｘ，ｆ（ｘ））２２１１ｘ－ｘ２１）ｆ（＇）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）＝２３３ｆ（ｘ＋１ｘ－ｘ２１）－ｆ（ｘ）１2ｘ－ｘ２１（或2ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）１２１１２１）＝）当令上式中的ｘ－ｘｘ－ｘ２１２１ｘ－ｘ２１（ｘ－ｘ是两点横坐标的差）（ｘ，ｆ（ｘ）），（ｘ，ｆ（ｘ））２１１１２２2ｘ－ｘ２１＝令ｘ２－ｘ当此时两点的横坐标缩小一半时），上式仍然成立１2ｘ－ｘ２１ｆ（ｘ＋）－ｆ（ｘ）１１２2（或ｘ－ｘ２１ｘ－ｘ＝２１2２ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）１２１１２１，用数学归纳法易证）＝ｘ－ｘｘ－ｘ２１２１有ｎＮ，ｆ（ｘ＋１ｘ－ｘ２１）－ｆ（ｘ）１ｎ2（ｘ－ｘ２１ｎ或 2ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）１２１１２１）＝，此即ｆ（ｘ）（或２ｘ－ｘｘ－ｘ２１２１）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）１１２１＇ 2.4 一元函数凹凸性判定定理及其应用 定理2.4.11： 设ax1x2b，（1）若f(x)的图形在[a,b]上是凸的，则'f(x1)[f(x2)f(x1)]/(x2x1)f'(x2);（2）若f(x)的图形在[a,b]上是凹的，则'f(x1)[f(x2)f(x1)]/(x2x1)f'(x2); 证 先证（1）：由于f(x)的图形在[a,b]上是凸的，可知f(x)在[a,b] 连续，在(a,b)内可导。因为ax1x2b，在[x1,x2]上使用拉格朗日中值定理，至少存在一点(x1,x2)(a,b)，使得f'()[f(x2)f(x1)]/(x2x1)。有由于f(x)的图形在[a,b]上是凸的，有f''(x)0,f'(x)在(a,b)上单调递减，得到''''f(x1)f()f(x2)，从而有f(x1)[f(x2)f(x1)]/(x2x1)f'(x2); 同理可证（2） 几何意义 如图所示，在弧AB上任取两点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),，其中ax1x2b，若f(x)的图形在[a,b]上是凸的（或凹的），则弦MN的斜率 '（大于）过点N的切线斜率f(x2)，大于（小kMN[f(x2)f(x1)/(x2x1)小于于）过点M的切线斜率f'(x1)，即弦MN斜率的大小总是在过两端点的切线的斜率之间。 : 定理2.4.22 :设ax1x2x3b （1）若f(x)的图形在[a,b]上是凸的，则（2）若f(x)的图形在[a,b]上是凹的，则 f(x2)f(x1)x2x1f(x2)f(x1)x2x1f(x3)f(x1)x3x1f(x3)f(x1)x3x1;; 证明 因为f(x)在[a,b]连续，在(a,b)内可导，故在[x1,x2]上使用拉格朗日中值定理，至少存在一点(x1,x2)(a,b)，使得f(x2)f(x1)f'()(x2x1)令g(x)[f(x2)f(x1)]/(x2x1)则g(x)'f(x)(xx1)[f(x)f(x1)](xx1)2'[f(x)f()](xx1)(xx1)2''= f(x)f'()xx1',其中x1x.（1）若f(x)的图形在[a,b]上是凸的，则f''(x)0，f'(x)在[a,b]上单调递减，于是f'(x)f'()，从而g'(x)0，即g(x)在[x1,x]上单调递减。取x1x2x3xb则有g(x2)g(x3)即 f(x2)f(x1)x2x1f(x3)f(x1)x3x1; 同理可证凹函数。 几何意义 如图所示，在弧AB上任取3点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),P(x3,f(x3))，其中ax1x2x3b。当f(x)的图形在[a,b]上是凸的(凹的)时，弦MN的斜率率f(x3)f(x1)x3x1f(x2)f(x1)x2x1大于(小于)弦MP的斜 （1）函数凹凸性的直观解题法 以函数yf(x)在某区间I 上单调增加为例说明我们不难理解,随着自变量x的稳定增加,当函数y的增量越来越大时,函数图形是凹的,当函数y 的增 量越来越小时,函数图形是凸的,当函数y的增量保持不变时,函数图像是直线.对于减函数我们可以作类似的分析.例题 例１ 如图，液体从一圆锥形漏斗流入正方体容器中，开始时漏斗盛满液体，经过50 秒漏完!已知正方体容器液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥中液面下落的距离,则H 与下落时间t(秒)的函数关系用图像表示只可能是以下哪一选项? 分析: 不难看出圆锥中液面下落的距离H 随着时间t 是单调增加的函数, 由于正方体中液面上升的速度是一个常量,所以自变量t 是稳定增加的,因此 液体从漏斗漏出的速度为一常量.又由于圆锥的截面越向下越小,所以随着时间t的稳定增加,圆锥中液面下降的距离H 的变化将越来越快,H关于t 的函数图形应是凹的，故正确答案选(B) 例2： 用凸函数方法证明younger不等式：ｘｙｘ＋ｙ（ｘ，ｙ，，均 ＇（ｘ）＝－为正数＋＝１）证明：令 ｆ（ｘ）＝lnx,则ｆ＇1ｘ２＜０，ｆ（ｘ）为凹函数。从而ｆ（ｘ＋ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＝ｌｎｘ＋ｌｎｙ＝ｌｎｘｙ或 由ｅｌｎ（ｘ＋ｙ）ｌｎ（ｘ＋ｙ）ｘ的单调增加性： ｅｅ即ｘｙｘ＋ｙ 我们可以推广至三元甚至n元的情况１２ｎｘｘ．．．．ｘ１ｘ＋２ｘ＋．．．．＋ｎｘ（ｘ，．．．，ｘ，１，．．．，ｎ１２ｎ１２ｎ１ｎｌｎ（ｘ＋ｙ）ｌｎ（ｘ＋ｙ）均为正数１＋．．．＋ｎ＝１） ＇（ｘ）＝－证明:令ｆ（ｘ）＝lnx,则ｆ＇1ｘ２＜０，ｆ（ｘ）为凹函数。从而 １ｆ（１ｘ＋２ｘ２＋．．．．＋ｎｘｎ）１ｆ（ｘ）＋２ｆ（ｘ２）＋．．．．＋ｎｆ（ｘｎ）＝１ｌｎｘ＋．．．＋ｎｌｎｘｎ＝ｌｎｘｘ２２．．．．ｘｎｎ１１１１ｘ＋２ｘ＋．．．．＋ｎｘ）ｌｎ（ｘ＋ｘ＋．．．．＋ｘ）或lｎ（１从１２ｎ１２ｎ１２ｎ而１２ｎｘｘ．．．．ｘ１ｘ＋２ｘ＋．．．．＋ｎｘ（ｘ，．．．，ｘ，１，．．．，ｎ１２ｎ１２ｎ１ｎ－１1ｘｙ＋例3：证明：对任何正数ｘ，ｙ，当1时，有ｘ－１ｙ 证明：注意不等式系数之和用凸，凹函数证明。 －１1＋＝１，且ｘ，ｙ及系数均为正数，可考虑＇设ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ，则ｆ＇（ｘ）＝－１ｘ２＜０为凹函数，故 －１1ｘ－１1ｘｆ（ｙ＋）ｆ（ｙ）＋ｆ（）－１－１ｙｙ＝－１1ｌｎｙ＋［ｌｎｘ－（－１）ｌｎｙ］ ｌｎ（－１1ｘｙ＋）ｙ－１＝ｌｎｘ由ｅ的单调增加性知：ｅｘｅｌｎｘ－１1ｘｙ＋ｘ 即－１ｙ例4：ｆ（ｘ）为内的凹函数，证明对任意的（ａ，ｂ）有，ｘ［，］，［，］（ａ，ｂ），Ｌ＞０，ｓ．ｔ．ｘ１２ ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）Ｌｘ－ｘ１２１２证明：由知，存在ｈ＞０，使得[h，h]记［，］（ａ，ｂ）（ａ，ｂ）Ｍ＝ｍａｘ{ｆ（ｘ），}ｍ＝ｍｉｎ{ｆ（ｘ），}于是对ｘ，ｘ［，］,若１２取ｘ由于f(x)为凸函数，故ｘ＜ｘ，＝ｘ＋ｈ，１２３２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）Ｍ－ｍ２１３２，从而ｘ＋ｘｘ＋ｘｈ２１３２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）２１Ｍ－ｍｈｘ－ｘ２１ 若ｘ可取ｘ由于f(x)为凸函数，有ｘ，＝ｘ－ｈ，２１３２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）Ｍ－ｍＭ－ｍ２３１２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘ２１１２ｘ－ｘｘ－ｘｈｈ２３１２，ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）成立，若ｘ２＝ｘ１２１Ｍ－ｍｈｘ－ｘ１２亦成立，综上所述 ｘ，ｘ［，］，有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）Ｌｘ－ｘ１２１２１２ (2）应用凹凸性的常规定义证题 对函数凹凸性定义, 不同教材有不同的定义形式,下面给出其中一种定义形式: 设f(x)在区间I 上连续,如果对I 上任意两点x1,x2都有f(x1x22)f(x1)f(x2)2那么称f(x)在I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如 x1x22)f(x1)f(x2)2n果对I上任意两点x1,x2都有f(的图形是(向上)凸的(或凸弧).,那么称f(x)在I上 1n一般地,看f(x).是区间I上的凹函数,则有.f(i1xin)nf(xi)其中xi是I 内 i1的任意点(ｉ=1,2,…,n)若.f(x)是区间I 上的凸函数时,则不等号反向).定理设f(x).在,[a.b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,如果在(a,b)内.f''(x)0(或f''(x)0).那么f(x).在[a.b]上的图形是凹的（或凸的）（证明全略） （3）数形结合解题 函数的凹凸性揭示了函数因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数其它性质，可使我们对函数图形的描绘更加精确。 例1：如图所示 半径为r=4的圆c 切直线AB于0 点,线OT从OB出发绕O 点逆时针方向旋转 到OA!OT 交圆C 于P,记.PCO 弓形PMO 的面积s=f(x),试判定f(x)在[0,2]上的凹凸性。 解：由题意可得SS扇形PMOCSPOC, S扇形PMOC12rx2又因为 12rsinx2 rcosx212rsinx2124x8x,SPOC22 124sinx8sinx,x[0,2] 2所以，得f''(x)8x8sinx.当x(0,)时，f''(x)0;当x(,2)时，f''(x)0;由函数凹凸性定理可知，f(x)在[0,]上函数图形为凹，在[0,2]上函数图形为凸。 函数的凹凸性是函数图形的一个重要特征，了解函数的凹凸性能使函数图形的描绘更加精确化。在解决函数变化率的过程中或求某些特殊不等式时，用函数凹凸性求解!会显得更为简捷。 3.二元函数凹凸性的判定及其应用 3.1 二元函数凹凸的定义 定义3.1.13:设f(x,y)是定义在区域C上的二元函数，且满足对任意(x1,y1)C,(x2,y2)C;1,20，且121，有1f(x1,y1)2f(x2,y2)（或）f(1x12x2,1y12y2)我们称f(x,y)在C上为凹（或凸）函数。为了研究方便，设定f(x,y)非常数函数和一次函数。 从定义中看出，为上面定义中等号成立的充分条件而非必要条件。3.2 二元函数凹凸性的判定定理 定理3.2.1 3设fx,y在区域D上具有二阶连续偏导数，记Afxx(x,y),Bfxy(x,y),Cfxy(x,y), ''''''则 （1）在D上恒有A<0，且ACB20时，f(x,y)在区域D上是凸函数；（2）在D上恒有A>0, 且ACB20时，f(x,y)在区域D上是凹函数。如果A仅在个别处为零，并不影响函数在该区域的凹凸性.但如果在区域D上恒有A=0时，依据定理1无法判断f(x,y)在区域D上的凹凸性，定理2可解决这个问题。 定理3.3.23 设f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，记Afxx(x,y),Bfxy(x,y),Cfxy(x,y),在''''''D恒有A=0,ACB20时，则当 当C0时，f(x,y)在区域D上是凹函数。C0时，f(x,y)在区域D上凸函数；证明 任取(x1,y1)，(x2,y2)D,设tx1(1t)x2x0,ty1(1t)y2y0,t(0,1).记x1x0x,y1y2y,则x2x0泰勒 公 tt1x,y2y0tt1y,由二元函数的得 式可tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2)tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(x0,y0)''2=t(f(x2,y2)f(x0,y0))=t{fx'(x0,y0)xfy'(x0,y0)y20.5[fxx(1,1)(x) t(f(x1,y1)f(x0,y0))(12fxy(1,1)xyfyy(1,1)(y)]}(1t){fx(x0,y0)fy(x0,y0)0.5(tt1'''''2'tt1xtt1''y2''''2)[fxx(2,2)(x)2fxy(2,2)xyfyy(2,2)(y)]} =0.5t{f(1,1)(x)2f(1,1)xyf(1,1)(y)''xx2''xy''yy2t22(1t)[fxx(2,2)(x)1)(y)]''22 2fxy(2,2)xyfyy(2,2)(y)},其中：''''21x01(x1x0),1y01(y1y0),2x02(x2x0),2y02(y2y0)(o1,21),显然 （1，1）D,(2,2)D.2 由A=0及ACB0得 B=0，于是tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2) 0.5tf(1,1)(y)''yy2t22(1t)fyy(2,2)(y)(t(0,1)).''2 当c0时，即f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2)tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2),f(x,y)在区域D上是即f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2)tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2),f(x,y)在区域D上是 tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2)0，tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2)0，凸函数。当c0时，凹函数。 ２例1 讨论ｆ（ｘ，ｙ）＝３ｘ＋ｙ的凹凸性 函数的定义域为{(x,y):xR,yR},fx'(x,y)3,fy'(x,y)2y，于是Afxx(x,y)0,Bfxy(x,y)0,Cfyy(x,y)2,，于是AO,ACB0且''''''2c0，由定理3.3.2可知f(x,y)在其定义域上是凹函数 定理3.3.33设f(x,y)在开区域内2个偏导数，fx(x,y),fy(x,y)，都存在且连续 f(x,y)在D内是凸（凹）函数的充要条件是：对于任意(x1,y1),(x2,y2)D，有f(x1,y1)f(x2,y2)fx(x2,y2)(x1x2)fy(x2,y2)(y1y2)（orf(x1,y1)f(x2,y2)fx(x2,y2)(x1x2)fy(x2,y2)(y1y2)证明 只证明凸 ''''函数的情形 充分性 任取 t0,1,令x0tx1(1t)x2,yty1(1t)y2由已知可得 ''''，'f(x1,y1)f(x0,y0)fx(x0,y0)(x1x0)fy(x0,y0)(y1y0)f(x2,y2)f(x0,y0)fx(x0,y0)(x2x0)fy(x0,y0)(y2y0)'tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(x0,y0)fx(x0,y0)[tx1(1t)x2x0]fy(x0,y0)[ty1(1t)y2y0]，所以f(x,y)在区域D内是凸函数 必要性 由于f(x,y)在区域D内是凸函数，则对任何t0,1,(x1,y1),(x2,y2)D，都有 tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2),整理得 f(x1,y1)f(x2,y2)1t (f(x2t(x1x2),y2t(y1y2))f(x2,y2)) 1''22＝{fx(x2,y2)t(x1x2)fy(x2,y2)t(y1y2)o([t(x1x2)][t(y1y2)])}t＝fx(x2,y2)(x1x2)fy(x2,y2)(y1y2)''o(t(x1x2)(y1y2))t'22 令t0，两边取极限得 f(x1,y1)f(x2,y2)fx(x2,y2)(x1x2)fy(x2,y2)(y1y2),f(x1,y1)fx(x2,y2)(x1x2)fy(x2,y2)(y1y2)f(x2,y2)'''即 同理可证凹函数的情形。 3.4 二元凹凸函数的应用（求最大值，最小值）定理3.4.1 5设是在开区域D内具有连续偏导数的凸（或凹）函数，(x0,y0)D且 则f(x0,y0)必为f(x,y)在D内的最大值与最小值 证明： 只证明凸函数的情形。因为ｆ（ｘ，ｙ）是在开区域D内具有连续偏导数的凸函数，由定理3可知，对于任给（ｘ，ｙ）Ｄ,有f(x,y)f(x0,y0)fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)又f(x0,y0)0,f(x0,y0)0, 'x'y''fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0,'' 例1：求二元函数f(x,y)3x23y22x2y2的最大值或最小值。解：函数的定义域为{(x,y):xR,yR},fx'(x,y)6x2,fy'(x,y)6y2，于是得xfx(x,y)0,fy(x,y)0，''13,y13，所以f(x,y)在其定义域内最小值为114f(,)333 同理可证凹函数的情形。 例2 求二元函数f(x,y)3x23y22x2y2在定义域内的最大值或最小值 解函数。的定义域为{(x,y):xR,yR},fx'(x,y)6x2,fy'(x,y)6y2，于是 Afxx(x,y)6,Bfxy(x,y)0,Cfyy(x,y)6则A0,ACB0所以''''''2f(x,y)在其定义域内是凹函数，令fx(x,y)0,fy(x,y)0，得x''13,y13，所以f(x,y)在其定义域内最小值为f(,)331143 4．多元函数凹凸性的判定 4.1多元函数凹凸性的几个定义 定义4.1.16 设D是n维空间的一个区域，若＇'''p(x1,x2,...,xn)D,p(x1,x2,...,xn)D 则 ''（1）设fxy 总能分解成fxy''g(x,y).h(x,y),fxxg(x,y),fyyh(x,y)(fxxg,fyyh),''''''''则D上是凹（凸）的； ''''（2）设（1）的条件成立并且关于fxx,fyy的两个不等式中，Q(x1(x1x1),x2(x2x1),...,xn(xnxn))D,'''f(x,y)在则称D是凸函数，否则称D为凹函数。 定义4.1.26 设f(p)是定义在凸函数D上的函数，p1(x11,x12,...,x1n),p2(x12,x22,...xn2)是D上的任意两点，记p0(12x11x222,x21x22212,...,xn1xn22).（1）若恒有[f(p1)f(p2)]f(p0)([f(p1)f(p2)]f(p0)),且等号不恒成立，则称f在D上是凹（或凸）的)]f0(p)([1f(p)2f(p)]0f(p)),则称f在D上是严（2）若[f(p1)f(p22211格上的凹（或凸）的。 （3）若[f(p1)f(p2)]f(p0)，则称在D上是线性的，21则称f在D上是线性的。这两种定义是等价的 在二元函数中，设D是２维空间的一个区域，若p(x1,x2)D,p＇(x1',x2')D ''则由定义一知（1）设fxy总能分解成 fxy''g(x,y).h(x,y),fxxg(x,y),fyyh(x,y)(fxxg,fyyh),''''''''则在ｆ（ｘ，ｙ）'D上是凹（凸）的； ''''（２）设（1）的条件成立并且关于fxx,fyy的两个不等式中，Q(x1(x1x1),x2(x2x２))D,则称 'D是凸函数，否则称D为凹函数。 由定义二知 设f(p)是定义在凸函数D上的函数p1(x11,x12),p2(x12,x22)是D上的任意两点，记p0(x11x22212,x21x222).1（1）若恒有[f(p1)f(p2)]f(p0)([f(p1)f(p2)]f(p0)),且等号不恒成2立，则称f在D上是凹（或凸）的)]f0(p)([1f(p)2f(p)]0f(p)),则称f在D上是严（2）若[f(p1)f(p22211格上的凹（或凸）的。 （3若[f(p1)f(p2)]f(p0)，则称f在D上是线性的。 21例如三元函数f(x,y,z)xyz就是一个凹函数 4.2多元函数凹凸性的几个判定定理 定理4.2.18 设f(x,y)是凸区域D上具有二阶连续偏导数的二元函数，记''''''2那么，Afxx(x,y),Bfxy(x,y),Cfyy(x,y),BAC,若C0且不恒为0，当A0或C0，函数f在D上上凹，当A>0或C<0，函数f在D上上凸，若0当A0或C0，函数f在D上是凹的，当A0或C<0，函数f在D上上凸。证明:任取p1(x1,y1),p2(x2,y2)D,记p0(x0,y0)(f(p1)f(p0)(x1x0)fx(p0)(y1y0)fy(p0)f(p2)f(p0)(x2x0)fx(p0)(y2y0)fy(p0)''''x1x222M22,y1y22),由泰勒公式 M1 则当A0,C0时 Mi(xix0)fxx(i,i)2(xix0)(yiy0)fxy(i,i)(yiy0)fyy(xi,i)＝＝{[(xix0)A(yiy0)B](yiy0)(BAC)}A{[(xix0)B(yiy0)C](xix0)(BAC)}C''2''''2''222222(i1,2)f(p1)f(p0)(x1x0)fx(p0)(y1y0)fy(p0)M12M2f(p2)f(p0)(x2x0)fx(p0)(y2y0)fy(p0)''2则 f(p1)f(p2)2f(p0)M1M22 当0,A0，C>0,Mi0,f(p1)f(p2)2f(p0),0,A0,C0时，定理得证 利用泰勒公式，我们不难证明 定理4.2.29设f(x,y)是凸函数D上的具连续偏导数的二元函数不同时取，则有f(x,y)在D上是严格凹（凸）的。 ''''''若fxxfxyfyy0,，则f(x,y)在D上线性的。 定理一和定理显然不难推广到一般徳多元函数中去，这里不再叙述。定理4.2.39 设ｆ是凸区域D上的n元函数，nD1{(x1,x2,...,xn)}(x1,x2,...,xn)D, an1axii1i0,a是任意常数}是D中的任意平面区域；（1）ｆ在D上上凹（凸）的等价于ｆ在Ｄ１上上凹（凸）或线性，但非恒线性的； （2）ｆ在D上严格凹（凸）的等价于ｆ在Ｄ１上是严格上凹（凸）的；（3）ｆ在D上是线性的等价于ｆ在D上是线性的。证明：（只证严格上凹的情形）设ｆ在D内任何平面区域Ｄ１上均严格上凹，故有f(p1)+f(ｐ)2f(p0)２因而ｆ在D上严格上凹。反之，若ｆ在D上严格上凹，显然在任何Ｄ１上也是严格上凹。 在上面的基础上给出 定义 设n元函数f在n元凸区域D 上不是平的, 不是凹的, 也不是凸的, 则称f在D上是凹凸不平的 定理4.2.110 设ｆ（ｘ，ｙ）是凸区域D上的具有二阶连续偏导数的二元函 ''''''2数，对(x,y)D记Afxx(x,y),Bfxy(x,y),Cfyy(x,y),BAC,则、（1）f在D上是平的ABC;(2)f在D上是凹的0,A0,C0(A,B,C不全恒为0)；（3）f在D上是平的0,A0,C0(A,B,C不全恒为0)； （4）f在D上是凹凸不平的PD,使(p)0,或A（或C）在D上值是可正负的。 （注：若,A,C在D内没有零点或只有孤立点，则（2）、（3）就成了严格上凹凸的情况） 证明：只证（2）与（4）。先证（2） 在D内任取一条线段，不妨记其方程是xx0或ykxb(k是任意实数）易得f在D上上凹f在线段xx0上上凹或线性，且在线段ykxb上上凹或''''2''''''2''线性但非恒线性fyy(x0,y)0，且g(x)fxx(x,kxb)kfxx(x,y)2kfxy(x,y)fyy(x,y)Ak2BKC0（等 ''号不恒取)，xx(x,y)D,且ykxb其中fyy(x0,y)0（对(x0,y)D)C0） 对于Ak22BkC0(k任意，等号不恒取)，分别有 （1）A0时，2BKC0有，对任意k恒成立，则B0,C0。此时''0,Cg(x)0 （2）A0时，4B24AC40,即0,C0 由（1）与（2）知，g''(x)0（等号不恒取）0,A0且C0（A,B,C不全恒为0）综上可得，f在D上上凹0,A0且C0（A,B,C不全恒为0） 再证（4）由定理中的（1）、（2）、（3）f在D上凹凸不平f在D上不是平的，不是凹的也不是凸的A，B,C不全恒为0，且p1D,使(p1)0或p2D,使A(p2)0，或p3D,使C(p3)0，同时，Q1D,使(Q1)0，或Q2D使A(Q2)0或Q3D,使 C(Q3)0 pD,使(p)0,或A（或C）在D上可正负。 小 结 函数的凹凸性是解决函数问题经常遇到的，一元，二元，至多元函数的凹凸函数的性质及判定在数学中具有重要的作用。利用函数凹凸性的判定定理对解决函数问题具有很大的帮助。在熟悉函数凹凸性的定义时更要掌握函数凹凸性的几个重要的判定定理。 参考文献 [1] 同济大学数学教研室主编.数学分析[M].北京：高等教育出版社.1982.[2] 华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京：高等教育出版社.1988.[3] 李再湘.函数凹凸性的定义[J].数学通报.第三卷.1992(4):43-45.[4] 安振平.凹凸性的判定[J].基础教育.第四卷.1994(6):43-45.[5] 杨正义.一元函数凹凸性的应用[J].教学研究.第六卷.1997(6):45-47.[6] 郭慧清.多元函数函数凹凸性 [J].甘肃教育.第二卷.1996(12):8-10.[7] 毛晓锋.函数凹凸性的性质[J].数学通报.第五卷.2001(12):27-29.[8] 万莉娟.关于函数凹凸性的几个判别法[J].高师理科学刊,2005,25(1):7-9.[9]高俊宇.函数凹凸性在证不等式中的应用.沧州专科师范学校 学报,2003,9,19(3).[10]罗志斌,曾华菊.关于函数凹凸性定义的一个注解.赣南师范学 院学报,2005(3).致 谢 本文在选题，修改及其完稿的整个过程中，都是在宋贤梅老师的细心指导下完成的，在写作的过程中，宋老师严格要求，同时又给予鼓励，引导我正确的写作思路，传授我适当的写作方法,在此对她表示忠心的感谢！ 凹凸函数的性质 12文丽琼 营山中学 四川营山 637700 2营山骆市中学 四川营山 638150 摘要：若函数f(x)为凹函数，则f(xx112xnnxnn)f(x1)f(x2)f(xn)nf(x1)f(x2)f(xn)n xx 若函数f(x)为凸函数，则f(2) 从而使一些重要不等式的证明更简明。 中图分类号： 文献标识号： 文章编号： 高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。学有余力的学生，会去证多个数的情形。仿照书上去证，几乎不可能。下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。 凹函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。如图 （一）凸函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。如图 （二）性质定理 若函数f(x)是凹函数，则 f(x1x2xnnxnn)f(x1)f(x2)f(xn)nf(x1)f(x2)f(xn)n 若函数f(x)是凸函数，则 xxf(12) 证明：若函数f(x)是凹函数，如下图 xx点P（12 xnnxx,f(12xnn)）在f(x)上 设过P点的切线方程为：y=ax+b 则 f(x1x2xnn)ax1x2xnnb （1） ∵f(x)是凹函数，切线在函数图像下方 ∴f(x1)ax1b;f(x2)ax2b;…;f(xn)axnb ∴f(x1)f(x2)f(xn)nxnnax1x2xnnb (2)由（1），（2）得 xxf(12)f(x1)f(x2)f(xn)n 若函数f(x)为凸函数，如下图 xx 点P（12 xnnxx,f(12xnn)）在f(x)上 设过P点的切线方程为：y=ax+b 则 f(x1x2xnn)ax1x2xnnb （1） ∵f(x)是凸函数，切线在函数图像上方 ∴f(x1)ax1b;f(x2)ax2b;…;f(xn)axnb ∴f(x1)f(x2)f(xn)nax1x2xnnb (2)由（1），（2）得 xxf(12xnn)f(x1)f(x2)f(xn)n 定理证明过程要结合图像形象理解，也便于掌握。下面证明均值不等式和高斯不等式。 xx均值不等式：12xnnnxx12xn （x1,x2,,xn＞0） 证明：∵ y=lgx 是凸函数 ∴lg(x1x2xnn2)lg(x1)lg(x2)lg(xn)n xx ∴lg(1xnn)lgnxx12xn 即 xx12xnnnxx12xn （x1,x2,,xn＞0） 高斯不等式：证明：∵ yxx1n22xn11xx121xn （x1,x2,,xn＞0） 1(x>0)是凹函数 x11 2∴ 1(x1x2xn)／nxx1n1xn 即 x1x2xnn211xx121xn （x1,x2,,xn＞0） 以上两个不等式的证明，非常简明，下面再举几个性质定理应用的例子。例1 A、B、C为三角形三内角，求证sinA+sinB+sinC≤ 证明：∵A、B、C为三角形三内角 ∴A+B+C=π A>0 B>0 C>0 又∵ y=sinx(0 ∴ 3333 2 ∴sinAsinBsinCπsin 即 SinA+sinB+sinC≤ 222222n1xx2xn)xxx例2 求证(1nn 证明：∵ yx 为凹函数 xx2xn)xxx ∴(1nnxxxxxx12n例3 求证（（k∈N）)nn 证明：∵ yx （k∈N）为凹函数 2222n12k2k2k22kn12k2xx2xn) ∴(1n2kx2k1x2xnn2k2k 通过以上例子，可以看出，关键在于找到合适的凹函数或凸函数，再用性质定理，问题可得解决。 构造函数,结合导数证明不等式 摘 要：运用导数法证明不等式首先要构建函数，以函数作为载体可以用移项作差，直接构造；合理变形，等价构造；分析（条件）结论，特征构造；定主略从，减元构造；挖掘隐含，联想构造等方法进行证明.关键词：构造函数；求导；证明；不等式 利用导数证明不等式是四川高考压轴题的热点题型之一，此类问题的特点是：问题以不等式形式呈现，“主角”是导数，而不等式的证明不仅技巧性强，而且方法灵活多变，因此构造函数成为证明不等式的良好“载体”，如何有效合理地构造函数是证明不等式的关键所在，下面以实例谈谈如何构造函数的若干解题策略.注：此题也可用数学归纳法证明.解后感悟：函数隐藏越深，难度就越大，如何去寻找证明不等式的“母函数”是解决问题的关键，通过合理变形，展开思维联想的翅膀，发现不等式背后的隐藏函数，便会柳暗花明.结束语：导数为证明不等式问题开辟了新方法，使过去不等式的证明方法，从特殊技巧变为通性通法，合理构造函数，能使解题更具备指向性，剑之所指，所向披靡.第二篇：利用函数凹凸性质证明不等式
第三篇：函数凹凸性的性质判定及应用（模版）
第四篇：凹凸函数的性质
第五篇：构造函数,结合导数证明不等式
点击咨询 