应用凹凸函数的性质证明不等式解读

第一篇：应用凹凸函数的性质证明不等式解读

应用凹(凸函数的性质证明不等式 435000 湖北省黄石市第二中学 王碧纯

不等式的证明是高中数学中的一个重要内容.由于证题方法多、技巧性强,所以是一个难点.本文介绍应用凹(或凸函数的性质证明不等式的方式,希望给读者以启迪,并起到抛砖引玉的作用.定义 已知函数y =f(x 在给定区间[a ,b ]上,若x 1,x 2∈[a ,b ]恒有f(x 1+ f(x 2≤2f(x 1+x 2 2(当且仅当x 1=x 2时取等号,则称f(x 在[a ,b ]上是凸函数;若恒 有f(x 1+f(x 2≥2f(x 1+x 2 2(当且仅当x 1=x 2时取等号,则称f(x 在[a ,b ]上是凹函数.应用数学归纳法,我们可以证明下面的凹(或凸函数的性质.定理 若函数f(x 在某区间内是凹(或凸函数,则对变数在这区间内的任意值x 1,x 2,x 3,…x n 有以下不等式成立:

f(x 1+x 2+…+x n n ≤f(x 1+f(x 2+…+f(x n n , 当且仅当x 1=x 2=…,=x n 时取等号(对于凸函数不等式方向相反.由凹函数的 定义可知y =x 2(x ∈R ,y = 1 x(x >0为凹函数.事实上,任给x 1,x 2∈R ,都有 x 21+x 22≥12(x 21+2x 1x 2+x 2 2=2(x 1+x 22 2 ,∴ y =x 2(x ∈R 是凹函数.对于任意x 1,x 2∈R +, 1x 1

+ 1x 2 =x 1+x 2x 1 x 2≥ 2x 1 x 2 x 1 x 1 = 2x 1 x 2 ≥ 2 x 1+x 2 2 , 故 y = 1x , x ∈R +是凹函数.利用定义我们还可以证明 y =sin x , x ∈(0,Π是凸函数.下面我们应用凹(或凸 函数的性质,给出某些不等式的证明.例1 已知Α为锐角,求证:

(1+1sin Α(1+1 co s Α ≥3+2 2.证明 ∵ Α为锐角, ∴ sin Α>0, co s Α>0.又 y = 1 x(x ∈R +为凹函数,∴(1+ 1sin Α(1+1 co s Α

=1+1sin Αco s Α+1sin Α+ 1 co s Α ≥1+2sin2Α+ 2 sin Α+co s Α 2 =1+2sin2Α+ 4

2sin(Α+ Π

4≥1+2+4 2 =3+2 2.例2 已知A 1,A 2,A 3,…,A n 是凸n 边形的n 个内角.求证: sin A 1+sin A 2+…+sin A n ≤n sin(n-2Π n.证明 由平面几何知识可知 A i ∈(0,Π,i =1,2,3,…,n ,且A 1+A 2+…+A n =(n-2Π.又y =sin x ,x ∈(0,Π 是凸函数.∴ sin A 1+sin A 2+…+sin A n ≤n sin A 1+A 2+…+A n n =n sin(n-2Πn.而已知A、B、C 为△A B C 的内角, 则 sin A +sin B +sin C ≤

2 是上

述命题中n =3时的特例.例3 已知a +b +c =1,且a、b、c ∈R +,求证:(a +1a 2+(b +1b 2+(c +1c 2≥102 3.证明(a + 1a 2+(b +1b 2+(c +1c 2 ≥3[(a + 1a +(b + 1b +(c +1c ]2 =3[(a +b +c +(1a +1b + 1c 3 ]2 ≥3(1 3 +13 3 1 a + b +c 3 2=3×(13+32=102.应用上题方法可以得到下面的结 7 42004年第11期

中学数学 概率小议

——兼谈广东省2004年高考第13题510631 华南师范大学数学系 孙道椿 1概率的统计定义:记某个随机事件为A,若在u次彼此无关的试验(或观察中出现了v次,则称F u(A=v u 为随

机事件A在u次独立试验中出现的频率.事件 A发生的频率v u 会在某一常数P附近摆动, 且当u越大时,这种摆动幅度越小,则称常数P为事件A的概率,记为P(A.概率的统计定义是一种最基础的定义.它说明了事件的概率是客观存在的.也给出了概率的最原始的求法.从定义可以看出,我们指的随机现象应具有二个条件: ①不确定性:每次实验的结果(事件具有多个可能性,且不能确定每次试验会出现哪种结果.②可重复性:在相同的条件下,试验可重复进行;或者可以同时进行多次的相同试验.平常,人们对第一个条件——不确定性映象很深.对第二个条件——可重复性,往往容易忽视.从定义可以看出,概率论是一门实践性很强的科学.忽视了可重复性,就忽视了它的重要基础.有些事情:比如美国的总统选举.虽然选举前不能确定它的结果,但它不满足可重复性.所以它不是数学中所指的随机现象.因此也不存在“概率”的问题,实际生活中也很少有人问它的概率大小.如果有四人预测美国的选举结果: 甲说“布什有95◊的可能当选.” 乙说“布什有50◊的可能当选.” 丙说“布什有5◊的可能当选.” 丁说“布什肯定不会当选.”

若结果是布什当选了,上面仅有丁一人说错,若布什没有当选,上面四人全没有错,由于美国的选举不可重复.实际上,前面三人说的话是不可验证的,它只是反映了说话人的主观态度及认识,在概率论中是无意义的.一般的随机事件,用统计定义求出它的概率,需要做多次实验(而且还不能找出精确值.为此,对实验合理的设计,数据的处

论: 当x1,x2,…,x n∈R+,且x1+x2+…+ x n=1时,则有(x1+1 x12+(x2+1

x2 2+…+(x n+1 x n 2 ≥(n2+12 n.例4 设a、b、c为△A B C的三边,S是 △A B C的面积.求证: a2+b2+c2≥43S.(第三届国际中学生竞赛题证明 a2+b2+c2≥ab+bc+ca =ab sin C sin C + bc sin A sin A + ca sin B sin B

=2S(1 sin A + 1 sin B + 1 sin C.① 又 y=1 x(x>0为凹函数, ∴ 2S(1 sin A + 1 sin B + 1

sin C ≥2S3

sin A+sin B+sin C 3 =2S 9 sin A+sin B+sin C.②

即 y=sin x, x∈(0,Π为凸函数, 又

sin A+sin B+sin C ≤3sin A+B+C 3 = 33 2 ,③

由①②③可得 a2+b2+c2≥2S 9

2 =43S.通过以上几个不等式的证明,对比常见 的证明方法,显然利用凹(或凸函数的性质 证明不等式要简捷得多.同时我们还可以看 到应用函数的凹凸性证明不等式,不仅可以 巩固有关基础知识,使得某些复杂问题简单 化,而且可以培养学生的解题技巧,发展学生 的思维能力.(收稿日期:20040910 84中学数学

2004年第11期

第二篇：利用函数凹凸性质证明不等式

利用函数的凹凸性质证明不等式

内蒙古包头市第一中学张巧霞

摘要：本文主要利用函数的凹凸性来推导和证明几个不等式.首先介绍了凹凸函数的定义，描述了判定一个函数具有凹凸性质的充要条件，并且给出了凸函数的一个重要性质——琴生不等式.通过巧妙构造常见的基本初等函数，利用这些函数的凹凸性推导几个重要不等式，如柯西不等式，均值不等式，柯西赫勒德尔不等式，然后再借助这些函数的凹凸性及其推导出来的重要不等式证明一些初等不等式和函数不等式.关键词：凸函数；凹函数；不等式.一． 引言

在数学分析和高等数学中，利用导数来讨论函数的性态时，经常会遇到一类特殊的函数——凹凸函数.凹凸函数具有一些特殊的性质，对于某些不等式的证明问题如果灵活地运用函数的凹凸性质就可以简洁巧妙地得到证明.二． 凹凸函数的定义及判定定理

(1)定义 设f(x)是定义在区间I上的函数，若对于I上的任意两点x1,x2及实数0,1总有

f(x11x2)fx11fx2

则称f(x)为I上的凸函数（下凸函数）；反之，如果总有不等式

f(x11x2)fx11fx2

则称f(x)为I上的凹函数（上凸函数）.特别地，取xx2fx1fx21).，则有f(1

222

若上述中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数或严格凹函数.（2）判定定理 若函数f(x)在区间 I上是二阶可微的，则函数f(x)是凸函数的充要条件是f“(x)0，函数f(x)是凹函数的冲要条件是f”(x)0.三．关于凸函数的一个重要不等式——琴生不等式

设f(x)是定义在区间I上的一个凸函数，则对xiI,i1,2,,n,i0,

i1ni1有

f(ixi)ifxi.i1

i1

nn

特别地，当i

i1,2,,n,有 n

f（x1x2xnfx1fx2fxn).22

琴生不等式是凸函数的一个重要性质，因为每个凸函数都有一个琴生不等式，因此它

在一些不等式的证明中有着广泛的应用.四． 应用凸函数和琴生不等式证明几个重要不等式.（1）（调和——几何——算术平均不等式）设ai0,i1,2,,n,则有

n

nain

1i1i1ain

当且仅当a1a2an时，等号成立.证明 设f(x)lnx,因为f“(x)

a

i1

n

i

n

0,x0,, 2x

所以f(x)是0,上的凸函数，那么就有f（x)fx.ii

i

i

i1

i1

nn

现取xiai,i,i1,2,,n, n

n1n1n1

则有lnailnailnain, 

i1ni1ni1n1n1

得lnailnain,ni1i1

由lnx的递增性可得

n

1

（1）aii

i1ni1

同理，我们取xi

nn

0，就有 ai

n11lnna

ii1n11lnaii1n

n

n

n

1ln1i1ani

, 

即

ai（2）n

1i1i1ain

n

由（1），（2）两式可得

n

ain

1i1i1ain

（2）柯西——赫勒德尔不等式

p

1n

a

i1

i

n

pqababiiii i1i1i1

其中ai,bi,i1,2,,n是正数，又p0,p1,p与q共轭，即

nnn

q

1.pq

证明 首先构造函数fxxp,p1时，f”x0,x0 所以fxx是0,上的凸函数，则有

p

n

np

f(ixi)ixiixi i1i1i1

n

p

令 i

pi

p

i1

n,这里pi0,i1,2,,n，i

n

pixi

则i1

n

pii1

p



p

px

ii1

n

pi

p

i1

n

i

n

nnp即pixipixipii1i1i1

p1

由题设知

11p

1，得q，p1pq

所以

1p

1q



ppxpxpiiiii，i1i1i1

nn

p

n

1q

现取aipixi,bipi，i1,2,,n 则aibipixipi

1p

1q

pixi,pixiai，代入上式得

pp

pqababiiii i1i1i1

命题得证.在柯西赫勒德尔不等式中，若令pq2时，即得到著名的不等式——柯西不等式

nn

p

n

1q

22ababiiii i1i1i1

nn

n

n2n2

(aibi)aibii1i1i1

n

这里ai,bi,i1,2,,n为两组正实数，当且仅当aibi时等号成立.五．凸函数及重要不等式在证明初等不等式和函数不等式中的应用.例1.求证在圆的内接n边形中，以正变形的面积最大.证明 设圆的半径为r，内接n边形的面积为S，各边所对的圆心角分别为1,2,,n，则

S

rsin1sin2sinn,因为f“xsinx0，2

所以fxsinx是0,上的凹函数，由琴生不等式可得

f(

i1

n

i)fi.ni1n

n

n

即sin



i1

i

n



sin

i1

n

i

n

sininsin

i1

2

n

上式只有在12n时等号才成立，也即正n边形的面积最大.特别地，若A,B,C为三角形的三个内角时，由上式可得sinAsinBsinC

.2xy

例2 求证对任意的x0,y0，下面的不等式xlnxylny(xy)ln成立.证明 我们根据所要证明的不等式构造相应的函数，令fttlnt,t0，因f”t所以有

0.故fttlnt是0,上的凸函数，t

xyfxfyf,x,y0,, 

22

即

xyxy1lnxlnxylny, 222

xy

(xy)lnxlnxylny,所以在利用凸函数证明不等式时，关键是如何巧妙地构造出能够解决问题的函数，然后列出琴生不等式就可以简洁，巧妙地得到证明.nnnn

n4444

例3 设ai,bi,ci,di都是正实数，证明aibicidiaibicidi.i1i1i1i1i1

分析 本题所要证明的结论看上去接近于柯西不等式，但是这里是4次方的情形，所以想办

法将其变成标准形式。

nn

证明aibicidiaibicidi

i1i1

aibi

i1

n

n2

cidi

i12

n

n2222=aibicidi i1i1

n

n

n

n







ai

i1

bi

i1

ci

i1

di

i1

通过以上例子我们可得出结论，运用柯西不等式的关键是对照柯西不等式的标准形式，构造

出两组适当的数列，然后列出式子.例4 设a,b,c,d都是正实数，且cdab

证明 首先由均值不等式得





a3b3

1..证明

cd

a3b3acb3bda344

 acbdabcddc

a2abb

=a2b2再由柯西不等式得



2122

acbdab

c

d

d





ab=a2b2



122

c

322



a3b322

ab即cd



a3b3

cdacbd 

a2b2



a3b31 所以cd

六．总结

由上面的分析我们看到，虽然利用函数的凹凸性来证明不等式有它的局限性，但是往

往是其它方法不可代替的，我们可以充分感受到利用函数的凹凸性解决问题的方便和快捷，丰富了不等式的常规证法，开阔了解题思路.参考文献

【1】 【2】 【3】 【4】

谢惠民.数学分析习题课讲义【M】.高等教育出版社，2003.王仁发.高观点下的中学数学代数学【M】.高等教育出版社，1999.席博彦.不等式的引论【M】.内蒙古教育出版社，2000.华东师范大学数学系.数学分析【M】.高等教育出版社，1991.

第三篇：凹凸函数的性质

凹凸函数的性质

12文丽琼 营山中学

四川营山 637700 2营山骆市中学

四川营山

638150

摘要：若函数f(x)为凹函数，则f(xx112xnnxnn)f(x1)f(x2)f(xn)nf(x1)f(x2)f(xn)n

xx

若函数f(x)为凸函数，则f(2)

从而使一些重要不等式的证明更简明。

中图分类号：

文献标识号：

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高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。学有余力的学生，会去证多个数的情形。仿照书上去证，几乎不可能。下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。

凹函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。如图

（一）凸函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。如图

（二）性质定理 若函数f(x)是凹函数，则

f(x1x2xnnxnn)f(x1)f(x2)f(xn)nf(x1)f(x2)f(xn)n

若函数f(x)是凸函数，则

xxf(12)

证明：若函数f(x)是凹函数，如下图

xx点P（12

xnnxx,f(12xnn)）在f(x)上

设过P点的切线方程为：y=ax+b 则

f(x1x2xnn)ax1x2xnnb

（1）

∵f(x)是凹函数，切线在函数图像下方

∴f(x1)ax1b;f(x2)ax2b;…;f(xn)axnb ∴f(x1)f(x2)f(xn)nxnnax1x2xnnb

(2)由（1），（2）得

xxf(12)f(x1)f(x2)f(xn)n

若函数f(x)为凸函数，如下图

xx

点P（12

xnnxx,f(12xnn)）在f(x)上

设过P点的切线方程为：y=ax+b 则

f(x1x2xnn)ax1x2xnnb

（1）

∵f(x)是凸函数，切线在函数图像上方

∴f(x1)ax1b;f(x2)ax2b;…;f(xn)axnb ∴f(x1)f(x2)f(xn)nax1x2xnnb

(2)由（1），（2）得

xxf(12xnn)f(x1)f(x2)f(xn)n

定理证明过程要结合图像形象理解，也便于掌握。下面证明均值不等式和高斯不等式。

xx均值不等式：12xnnnxx12xn

（x1,x2,,xn＞0）

证明：∵ y=lgx 是凸函数

∴lg(x1x2xnn2)lg(x1)lg(x2)lg(xn)n

xx

∴lg(1xnn)lgnxx12xn

即

xx12xnnnxx12xn

（x1,x2,,xn＞0）

高斯不等式：证明：∵ yxx1n22xn11xx121xn

（x1,x2,,xn＞0）

1(x>0)是凹函数 x11

2∴

1(x1x2xn)／nxx1n1xn

即

x1x2xnn211xx121xn

（x1,x2,,xn＞0）

以上两个不等式的证明，非常简明，下面再举几个性质定理应用的例子。例1 A、B、C为三角形三内角，求证sinA+sinB+sinC≤

证明：∵A、B、C为三角形三内角 ∴A+B+C=π

A>0 B>0 C>0 又∵ y=sinx(0

∴

3333 2

∴sinAsinBsinCπsin

即

SinA+sinB+sinC≤

222222n1xx2xn)xxx例2 求证(1nn

证明：∵ yx 为凹函数

xx2xn)xxx

∴(1nnxxxxxx12n例3 求证（（k∈N）)nn

证明：∵ yx

（k∈N）为凹函数

2222n12k2k2k22kn12k2xx2xn)

∴(1n2kx2k1x2xnn2k2k

通过以上例子，可以看出，关键在于找到合适的凹函数或凸函数，再用性质定理，问题可得解决。

第四篇：函数凹凸性的性质判定及应用（模版）

函数凹凸性的判定性质及应用 曹阳

数学计算机科学学院

摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及判定定理。在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。一元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。本文主要讨论了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍了它们应用。

关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用；

Convex function of Judge Properties and Applications

Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance.In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem.On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application.One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function to re-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties.This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application.Keywords: Convexity;One Function;Binary function;Multiple functions;Criterion;Applications;

1.引言

凸函数是数学中一类极其重要的函数，它在最优化，运筹与控制理论，模具设计等方面具有重要的理论和实践意义。凸函数在大学数学中很少具有直接的运用，而导数在函数图像的凹凸性研究是大学数学中一个重要的知识点，这说明凸性在大学数学，特别是数学分析中的应用没有得到应有的正视，长期以来，凸函数被热为只在一些具体学科，如机器人学，模具设计或一些数学分支（如全局优化，运筹学等）中具有重要的运用，而在大学数学中没有应用。本文将重点探讨凸函数在分析学中的一些简单应用。在本文中，我们首先给出凸函数的多种定义，性质，然后探讨二元与多元的情况下凸函数的定义，判定及性质。

2.一元函数凹凸性的判定

2.1 凸函数的多种定义及等价证明 下面先先给出凸函数的13种常见定义。假设IR，f:IR.定义2.1.11： f在I内连续ｆ（ｘ＋ｘ１２２）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２,则称f为凸函数。

x1，x2，x3Ｉ，定义2.1.21：若 f(x2)f(x1)x2x1f(x3)f(x2)x3x2则称f为凸函数

定义2.1.31：

１ｆ（ｘ）ｘ１１x1，x2，x3Ｉ，x1＜x2＜x3，ｘ１ｆ（ｘ）２２的行列式0，则称f为凸函数

ｘ１ｆ（ｘ）３３定义2.1.41：

x1，x2Ｉ，ｔ（0，1），则称f为凸函数 ｆ（tｘ＋（1-t）ｘ）tｆ（x１）＋（1-t）ｆ（ｘ）１２２，ｔ＝１，有ｆ（ｔｘ）定义2.1.5:ｔｋｋｋｋｋ1ｋ11nnnｔｆ（ｘ），则称f(x)为凸函数

ｋｋｋ1定义2.1.61：（1.）ｘＩ，ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）且ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－＋－＋＇＇(2）x1，x2，ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）＋１－２＇＇＇＇

则称f(x)为凸函数

I, 定义2.1.71：若ｆ在Ｉ内存在单增函数,ｘ０xI,有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝０ｘｘ０（ｔ）dｔ，则称f为凸函数。

定义2.1.81：

设f在I上连续，x1，x2Ｉ，且x1＜x2有ｆ（x1+x22）1ｘ－ｘ２１ｘ２ｘ１ｆ（ｔ）dｔf(x1)f(x2)2，则称f为凸函数。定义2.1.91：若ｘ，．．．，xｎＩ，ｆ（１ｘ＋ｘ＋．．．＋ｘｎ１２ｎ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋．．．．＋ｆ（ｘ）１２ｎｎ（ｎＮ），则称f为凸函数。

定义2.1.101：若ｆ在Ｉ内可导，ｘ，ｙＩ，有ｆ（ｘ）ｆ＇（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ），则称f为凸函数。定义2.1.111：若ｆ在Ｉ可导，且ｆ＇（ｘ）单调递增，则称f为凸函数。定义2.1.121：ｆ在Ｉ内二次可导，ｆ＇＇（ｘ）０，则称f为凸函数。定义2.1.131：ｆ在区间Ｉ上凸函数的充要条件是：函数

为[0,1]上的凸函数，（）＝ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）１２下面给出几种定义间的相互证明。

定理2.1.11 若ｆ在区间Ｉ上可导，则定义７定义１０

Ｉ，ｘＩ，有：证明：因为ｆ在Ｉ内存在单增函数，ｘ ０（ｔ）dt

（１）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝０ｘ０ｘ故对于ｙＩ，不妨设ｙ＜ｘ，有： ｆ（ｙ）－ｆ（ｘ）＝（ｔ）dt

（２）０ｘ０ｙ（ｘ）将式（１）两边关于ｘ求导，得ｆ＇（ｘ）＝．

（１）－（２），得：

ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）＝（ｔ）dｔ－（ｔ）dｔ＝（ｔ）dｔ＋（ｔ）dｔ＝

ｘ０ｘ０ｘ０ｘｙｘｘ０ｙｘｙ（）；ｙ＜＜ｘ

（３）（ｔ）dｔ＝（ｘ－ｙ）（ｔ）（ｙ）（），式（２）可化为： 因为单调递增，且ｙ＜，所以（）（ｘ－ｙ）（ｙ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）＝（ｘ－ｙ）＝（ｘ－ｙ）ｆ＇（ｙ）

即ｆ（ｘ）ｆ＇（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ）

定理2.1.21： 若ｆ在Ｉ上连续，则定义１３定义８。

（）证明：因为＝ｆ（ｘ＋为０，１上的凸函数，故：（１－）ｘ）１２（）＝＝ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）１２（１＋（１－）０）（１）＋（１－）（０）＝ ｆ（ｘ）＋（１－）ｆ（ｘ）１２特别地，当＝12时，有ｆ（ｘ＋ｘ１２２）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２

先证不等式的左边．

I，ｘ，由实数的性质知在Ｉ上可确定一个闭区间ｘ，若ｔx1，ｘ＜ｘｘ２１２１２，１［ｘ１ｘ＋ｘ２２］，则ｔ关于

ｘ＋ｘ１２２的对称点是ｘ＋ｘ－ｔ，而ｆ在Ｉ上连续，所以１２积分存在，所以：ｘ２ｘ＋ｘ１２２ｘ１ｘ＋ｘ１２ｘ１ｆ（ｔ）dｔ＝ｄｆ（ｔ）＋ｆ（ｘ１＋ｘ２＋ｔ）ｔ２ｘ）２ｆ（ｘ＋ｘ１２２）ｄｔ＝２（ｘ－ｘ）ｆ（２１ｘ＋ｘ１２２ｘ＋ｘ１２２１

即ｆ（）ｘ－ｘ２１ｘ２ｘ１ｆ（ｔ）ｄｔ 下证不等式的右边． 作变换ｕ＝x２－t（0ｕ１），则t＝x２－u（x２－x１）＝ux１＋（1－u）x２，dt＝（x１－x２）du，x２－x１当t＝x１时，u＝1；t＝x２时，ｕ＝0ｘ２ｘ１ｆ（ｔ）dｔ＝１１（ｘ－ｘ）ｆｕｘ＋（１－ｕ）ｘｄｕ（ｘ－ｘ）ｕｆ（ｘ）＋（１－ｕ）ｆ（ｘ）ｄｕ＝２１１２２１１２００ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２（ｘ－ｘ）２１２ｘｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２１２ｆ（ｔ）ｄｔ即，故ｘ１２ｘ－ｘ２１ｆ（ｘ＋ｘ１２２）１ｘ－ｘ２１ｘ２ｆ（ｔ）ｄｔｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２ｘ１

定理2.1.31 若ｆ在Ｉ上二次可导，则定义８定义１２。证明 因x1，x2Ｉｘ，＜ｘ１２ｆ（ｘ＋ｘ１２２）１ｘ－ｘ２１ｘ２ｆ（ｔ）ｄｔｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２ｘ１

令ｘ＝x１＋ｘ２２，则ｘ＜ｘ＜ｘ，故ｆ（ｘ）１２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２，即ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ）１１ｘ－ｘ＝ｘ－ｘ＞０，所以１２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（x２）－ｆ（ｘ）１；又因为ｆ在Ｉ

ｘ－ｘｘ－ｘ１２上可导，则ｆ在Ｉ上连续，故由极限的性质可知ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＇＇１２lim，即ｆ＋（ｘ）ｆ－（ｘ）１２xｘ１ｘ－ｘｘ－ｘ１２limxｘ２．

x＇＇＇（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ－（ｘ）＝ｆ（ｘ）有二阶导数，所以ｆ＇，即x1，2Ｉ，都有＋１１２２ｆ（ｘ）ｆ（ｘ），设ｘ为Ｉ上任意固定点，则１２＇＇ｆ（ｘ＋x）－ｆ（ｘ）＇ lim０，所以ｆ（ｘ）０。x0x＇＇定理2.1.41 定义１１定义2

＇（ｘ）证明

因为ｆ（ｘ）在Ｉ内可导，且ｆ单调递增，ｘ，ｘ，ｘI, 且１２３Ｉ，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在（。可确定两个区间ｘ，ｘｘ＜ｘ＜ｘｘ，ｘ１２３１２２３x2，＇（ｘ）ｆ（x2））的切线方程为ｙ－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ－ｘ）故横坐标为ｘ的曲线的２２２＇（ｘ）纵坐标与切线纵坐标之差为：ｆ（ｘ）－ｙ＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ－ｘ）２２２Ｉ，而ｆ（ｘ）在Ｉ内可导，而ｘ故ｆ（ｘ）在ｘ内连续，在（ｘ），ｘ，ｘ，ｘ２３２３２３上可导，所以ｆ（ｘ）在ｘ上满足拉格朗日中值定理，即１（ｘ），ｘ，ｘ２３２３＇ｆ（１）（ｘ－ｘ）。由式（３）ｓ．ｔ．ｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ＝，当ｘ＝ｘ３时，有：）３２２＇＇（ｘ）ｆ（１）ｆ（ｘ３）－ｙ＝ｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ２）－ｆ＝－（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）２３２３２ｆ（ｘ）（１）（ｘ）＝（ｆ－ｆ）（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）０ ２２３２３２＇＇＇同理ｆ（ｘ）在ｘ，上满足拉格朗日中值定理，即２（ｘ），ｓ．ｔ． ｘ，ｘ１２１２＇（２）（ｘ－ｘ）ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ）＝ｆ。由式（３），当ｘ＝ｘ１时，有：ｆ（ｘ１）２１１＇＇＇（ｘ）（２）（ｘ）－ｙ＝ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）－ｆ＝ｆ－ｆ（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）２２１２１２１２＇＇（２）（ｘ）＝（ｆ－ｆ）（ｘ－ｘ）０。由式（４）得２１２ｆ（x３）－ｆ（ｘ）２ｘ－ｘ３２（ｘ），ｆ２＇由式（５）得ｆ（x１）－ｆ（ｘ）２ｘ－ｘ１２（ｘ），所以ｆ２＇ｆ（x１）－ｆ（ｘ）ｆ（x３）－ｆ（ｘ）２２ ｘ－ｘｘ－ｘ１２３２2.2 凹函数的多种定义及等价证明 凹函数的13种常见定义。定义2.2.11： f在I内连续ｆ（ｘ＋ｘ１２２）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２,则称f为凹函数。

定义2.2.21：若x1，x2，x3Ｉ，定义2.2.31：

f(x2)f(x1)x2x1f(x3)f(x2)x3x2则称f为凹函数

１ｆ（ｘ）ｘ１１x1，x2，x3Ｉ，x1＜x2＜x3，ｘ１ｆ（ｘ）２２的行列式0，则称f为凹函数

ｘ１ｆ（ｘ）３３定义2.2.41x1，x2Ｉ，ｔ（０，１），ｆ（ｔｘ＋（１－ｔ）ｘ）ｔｆ（ｘ）＋（１－ｔ）ｆ（ｘ）１２１２则称f为凹函数

定义2.2.5 :ｔ，ｔ＝１，有ｆ（ｔｘ）ｋｋｋｋｋ1ｋ11nnnｔｆ（ｘ），则称f为凹函数

ｋｋｋ1定义2.2.61：

（１。）ｘＩ，ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）且ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）（２。）x1，x2，ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－＋－＋＋１－２＇＇＇＇＇＇则称f为凹函数

I, 定义2.2.71：若ｆ在Ｉ内存在单减函数,ｘ０xI,有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝０ｘｘ０（ｔ）dｔ，则称f为凹函数。

定义2.2.81： 设f在I上连续，x1，x2Ｉ，且x1＜x2有，ｆ（x1+x22）1ｘ－ｘ２１ｘ２ｘ１ｆ（ｔ）dｔf(x1)f(x2)2则f为凹函数

定义2.2.91：若ｘ，．．．，xｎＩ，ｆ（１ｘ＋ｘ＋．．．＋ｘｎ１２ｎ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋．．．．＋ｆ（ｘ）１２ｎｎ（ｎＮ），则称f为凹函数。

定义2.2.101：若ｆ在Ｉ内可导，ｘ，ｙＩ，有ｆ（ｘ）ｆ＇（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ），则称f为凹函数。

定义2.2.111：若ｆ在Ｉ可导，且ｆ＇（ｘ）单调递减，则称f为凹函数。定义2.2.121：ｆ在Ｉ内二次可导，ｆ＇＇（ｘ）０，则称f为凹函数。定义2.2.131：ｆ在区间Ｉ上凹函数的充要条件是：函数。

为[0,1]上的凹函数。（）＝ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）１２几种定义间的推到证明即可类比与凸函数的情况 2.3 关于凸凹函数性质的总结

上一段为凸（或凹）函数的十三种定义及部分定义间的相互证明，这一段在此基础上就凸（或凹）函数的性质方面作进一步思考。根据上文所提到的定义，可知

性质2.3.12：当ｆ在Ｉ上一阶可导时，由ｆ在Ｉ单增（或减），ｆ（ｘ）（或）ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）０００＇证明：必要性：计算ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（）（ｘ－ｘ）－ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＝００００００＇＇＇

（ｆ（）－ｆ（ｘ））（ｘ－ｘ）００＇＇（介于ｘ和ｘ之间）０由于ｆ在Ｉ单增（或减），可知上面两个因子同号，故有

（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）（或）ｆ０００＇＇（x０）（x－x０）＋f（x０）充分性：设x，x０Ｉ，有f（x）（。当x１，x２Ｉ，或）f而x１＜x２时就有f（x１）（或x１－x２）＋f（x２）及f（x２）（或（x１）（x２－x１）＋f（x１））f（x２）（或）f ＇＇＇＇（ｘ）－ｆ（ｘ）］（ｘ－ｘ）．两式相加即有ｆ（ｘ）由＋ｆ（ｘ）（或）［ｆ２１１２１２（x１）（或）f（x２），可见f即f在I上I上单减（或单增）ｘ＜ｘ　１２＇＇性质2.3.22 设ｆ在Ｉ上可导，ｆ在Ｉ下凸（或上凹）ｘｘＩ，ｆ（ｘ）（或１，２）f（x１）＋f（x１）（x－x１），由于f（x）＝f（x１）＋f（x１）（x－x１），是过＇＇的曲线的切线，由于上面不等式的几何意义是：下凸（上凹）曲线（ｘ，ｆ（ｘ））１１总在曲线上的任一点的切线之上（下）。

性质2.3.32：当ｆ在Ｉ上二阶可导时，则可得 当ｆ在Ｉ上二阶可导时，ｆ在Ｉ下凸

＇（x）（或）0（或上凹）xI，f＇＇（ｘ）证明：必要性：ｆ在Ｉ上二阶可导，且下凸（或上凹）ｆ在I上单增（或单减））ｆ（ｘ）（或）0，xI ＇充分性：

ｘｘＩ１，２＇ｆ（ｘ）ｆ（）２１，有ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋（ｘ－ｘ）＋（ｘ－ｘ）（或２１２１２１１！２！＇）ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ），据上面的证明中徳充分性，可知已做；额下面１２１１证明链的证明：ｆ（ｘ）（或f在I上单增或单减）２（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ））ｆ１２１１＇性质2.3.42：若ｆ在Ｉ上可导，则下述两个断语等价：

（１）

＇f（x２）（或）f（x１）（x２－x１）＋f（x１）（２）

f（x１）＋f（x２））（或）22证明：（１） f（x１＋x２（２）ｘ令ｘ３＝，ｘＩ，１２

于是ｆ（ｘ）（或１）ｆ（＇ｘ＋ｘ１２2，－ｘ＝则ｘ１３ｘ－ｘ１２2，ｘ－ｘ＝２３ｘ－ｘ２１2

ｘ＋ｘ１２2ｘ＋ｘ１２）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）＝１３３ｘ－ｘｘ＋ｘｘ＋ｘ１２＇１２２ｆ（）＋ｆ（１）222两式相加，即得ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）（或１２ｘ－ｘｘ＋ｘｘ＋ｘ２１＇１２２ｆ（）＋ｆ（１）过点2222ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）２１＝与的弦为亦即（ｘ，ｆ（ｘ））（ｘ，ｆ（ｘ））２２１１ｘ－ｘ２１）ｆ（＇）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）＝２３３ｆ（ｘ＋１ｘ－ｘ２１）－ｆ（ｘ）１2ｘ－ｘ２１（或2ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）１２１１２１）＝）当令上式中的ｘ－ｘｘ－ｘ２１２１ｘ－ｘ２１（ｘ－ｘ是两点横坐标的差）（ｘ，ｆ（ｘ）），（ｘ，ｆ（ｘ））２１１１２２2ｘ－ｘ２１＝令ｘ２－ｘ当此时两点的横坐标缩小一半时），上式仍然成立１2ｘ－ｘ２１ｆ（ｘ＋）－ｆ（ｘ）１１２2（或ｘ－ｘ２１ｘ－ｘ＝２１2２ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）１２１１２１，用数学归纳法易证）＝ｘ－ｘｘ－ｘ２１２１有ｎＮ，ｆ（ｘ＋１ｘ－ｘ２１）－ｆ（ｘ）１ｎ2（ｘ－ｘ２１ｎ或

2ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）１２１１２１）＝，此即ｆ（ｘ）（或２ｘ－ｘｘ－ｘ２１２１）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）１１２１＇

2.4 一元函数凹凸性判定定理及其应用 定理2.4.11： 设ax1x2b，（1）若f(x)的图形在[a,b]上是凸的，则'f(x1)[f(x2)f(x1)]/(x2x1)f'(x2);（2）若f(x)的图形在[a,b]上是凹的，则'f(x1)[f(x2)f(x1)]/(x2x1)f'(x2);

证 先证（1）：由于f(x)的图形在[a,b]上是凸的，可知f(x)在[a,b] 连续，在(a,b)内可导。因为ax1x2b，在[x1,x2]上使用拉格朗日中值定理，至少存在一点(x1,x2)(a,b)，使得f'()[f(x2)f(x1)]/(x2x1)。有由于f(x)的图形在[a,b]上是凸的，有f''(x)0,f'(x)在(a,b)上单调递减，得到''''f(x1)f()f(x2)，从而有f(x1)[f(x2)f(x1)]/(x2x1)f'(x2);

同理可证（2）

几何意义 如图所示，在弧AB上任取两点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),，其中ax1x2b，若f(x)的图形在[a,b]上是凸的（或凹的），则弦MN的斜率

'（大于）过点N的切线斜率f(x2)，大于（小kMN[f(x2)f(x1)/(x2x1)小于于）过点M的切线斜率f'(x1)，即弦MN斜率的大小总是在过两端点的切线的斜率之间。

: 定理2.4.22 :设ax1x2x3b

（1）若f(x)的图形在[a,b]上是凸的，则（2）若f(x)的图形在[a,b]上是凹的，则

f(x2)f(x1)x2x1f(x2)f(x1)x2x1f(x3)f(x1)x3x1f(x3)f(x1)x3x1;;

证明 因为f(x)在[a,b]连续，在(a,b)内可导，故在[x1,x2]上使用拉格朗日中值定理，至少存在一点(x1,x2)(a,b)，使得f(x2)f(x1)f'()(x2x1)令g(x)[f(x2)f(x1)]/(x2x1)则g(x)'f(x)(xx1)[f(x)f(x1)](xx1)2'[f(x)f()](xx1)(xx1)2''=

f(x)f'()xx1',其中x1x.（1）若f(x)的图形在[a,b]上是凸的，则f''(x)0，f'(x)在[a,b]上单调递减，于是f'(x)f'()，从而g'(x)0，即g(x)在[x1,x]上单调递减。取x1x2x3xb则有g(x2)g(x3)即

f(x2)f(x1)x2x1f(x3)f(x1)x3x1;

同理可证凹函数。

几何意义 如图所示，在弧AB上任取3点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),P(x3,f(x3))，其中ax1x2x3b。当f(x)的图形在[a,b]上是凸的(凹的)时，弦MN的斜率率f(x3)f(x1)x3x1f(x2)f(x1)x2x1大于(小于)弦MP的斜

（1）函数凹凸性的直观解题法

以函数yf(x)在某区间I 上单调增加为例说明我们不难理解,随着自变量x的稳定增加,当函数y的增量越来越大时,函数图形是凹的,当函数y 的增 量越来越小时,函数图形是凸的,当函数y的增量保持不变时,函数图像是直线.对于减函数我们可以作类似的分析.例题

例１

如图，液体从一圆锥形漏斗流入正方体容器中，开始时漏斗盛满液体，经过50 秒漏完!已知正方体容器液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥中液面下落的距离,则H 与下落时间t(秒)的函数关系用图像表示只可能是以下哪一选项?

分析: 不难看出圆锥中液面下落的距离H 随着时间t 是单调增加的函数, 由于正方体中液面上升的速度是一个常量,所以自变量t 是稳定增加的,因此 液体从漏斗漏出的速度为一常量.又由于圆锥的截面越向下越小,所以随着时间t的稳定增加,圆锥中液面下降的距离H 的变化将越来越快,H关于t 的函数图形应是凹的，故正确答案选(B)

例2： 用凸函数方法证明younger不等式：ｘｙｘ＋ｙ（ｘ，ｙ，，均

＇（ｘ）＝－为正数＋＝１）证明：令 ｆ（ｘ）＝lnx,则ｆ＇1ｘ２＜０，ｆ（ｘ）为凹函数。从而ｆ（ｘ＋ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＝ｌｎｘ＋ｌｎｙ＝ｌｎｘｙ或

由ｅｌｎ（ｘ＋ｙ）ｌｎ（ｘ＋ｙ）ｘ的单调增加性：

ｅｅ即ｘｙｘ＋ｙ 我们可以推广至三元甚至n元的情况１２ｎｘｘ．．．．ｘ１ｘ＋２ｘ＋．．．．＋ｎｘ（ｘ，．．．，ｘ，１，．．．，ｎ１２ｎ１２ｎ１ｎｌｎ（ｘ＋ｙ）ｌｎ（ｘ＋ｙ）均为正数１＋．．．＋ｎ＝１）

＇（ｘ）＝－证明:令ｆ（ｘ）＝lnx,则ｆ＇1ｘ２＜０，ｆ（ｘ）为凹函数。从而

１ｆ（１ｘ＋２ｘ２＋．．．．＋ｎｘｎ）１ｆ（ｘ）＋２ｆ（ｘ２）＋．．．．＋ｎｆ（ｘｎ）＝１ｌｎｘ＋．．．＋ｎｌｎｘｎ＝ｌｎｘｘ２２．．．．ｘｎｎ１１１１ｘ＋２ｘ＋．．．．＋ｎｘ）ｌｎ（ｘ＋ｘ＋．．．．＋ｘ）或lｎ（１从１２ｎ１２ｎ１２ｎ而１２ｎｘｘ．．．．ｘ１ｘ＋２ｘ＋．．．．＋ｎｘ（ｘ，．．．，ｘ，１，．．．，ｎ１２ｎ１２ｎ１ｎ－１1ｘｙ＋例3：证明：对任何正数ｘ，ｙ，当1时，有ｘ－１ｙ

证明：注意不等式系数之和用凸，凹函数证明。

－１1＋＝１，且ｘ，ｙ及系数均为正数，可考虑＇设ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ，则ｆ＇（ｘ）＝－１ｘ２＜０为凹函数，故

－１1ｘ－１1ｘｆ（ｙ＋）ｆ（ｙ）＋ｆ（）－１－１ｙｙ＝－１1ｌｎｙ＋［ｌｎｘ－（－１）ｌｎｙ］ ｌｎ（－１1ｘｙ＋）ｙ－１＝ｌｎｘ由ｅ的单调增加性知：ｅｘｅｌｎｘ－１1ｘｙ＋ｘ 即－１ｙ例4：ｆ（ｘ）为内的凹函数，证明对任意的（ａ，ｂ）有，ｘ［，］，［，］（ａ，ｂ），Ｌ＞０，ｓ．ｔ．ｘ１２ ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）Ｌｘ－ｘ１２１２证明：由知，存在ｈ＞０，使得[h，h]记［，］（ａ，ｂ）（ａ，ｂ）Ｍ＝ｍａｘ{ｆ（ｘ），}ｍ＝ｍｉｎ{ｆ（ｘ），}于是对ｘ，ｘ［，］,若１２取ｘ由于f(x)为凸函数，故ｘ＜ｘ，＝ｘ＋ｈ，１２３２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）Ｍ－ｍ２１３２，从而ｘ＋ｘｘ＋ｘｈ２１３２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）２１Ｍ－ｍｈｘ－ｘ２１

若ｘ可取ｘ由于f(x)为凸函数，有ｘ，＝ｘ－ｈ，２１３２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）Ｍ－ｍＭ－ｍ２３１２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘ２１１２ｘ－ｘｘ－ｘｈｈ２３１２，ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）成立，若ｘ２＝ｘ１２１Ｍ－ｍｈｘ－ｘ１２亦成立，综上所述

ｘ，ｘ［，］，有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）Ｌｘ－ｘ１２１２１２

(2）应用凹凸性的常规定义证题

对函数凹凸性定义, 不同教材有不同的定义形式,下面给出其中一种定义形式: 设f(x)在区间I 上连续,如果对I 上任意两点x1,x2都有f(x1x22)f(x1)f(x2)2那么称f(x)在I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如

x1x22)f(x1)f(x2)2n果对I上任意两点x1,x2都有f(的图形是(向上)凸的(或凸弧).,那么称f(x)在I上

1n一般地,看f(x).是区间I上的凹函数,则有.f(i1xin)nf(xi)其中xi是I 内

i1的任意点(ｉ=1,2,…,n)若.f(x)是区间I 上的凸函数时,则不等号反向).定理设f(x).在,[a.b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,如果在(a,b)内.f''(x)0(或f''(x)0).那么f(x).在[a.b]上的图形是凹的（或凸的）（证明全略）

（3）数形结合解题

函数的凹凸性揭示了函数因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数其它性质，可使我们对函数图形的描绘更加精确。

例1：如图所示 半径为r=4的圆c 切直线AB于0 点,线OT从OB出发绕O 点逆时针方向旋转

到OA!OT 交圆C 于P,记.PCO 弓形PMO 的面积s=f(x),试判定f(x)在[0,2]上的凹凸性。

解：由题意可得SS扇形PMOCSPOC, S扇形PMOC12rx2又因为

12rsinx2

rcosx212rsinx2124x8x,SPOC22

124sinx8sinx,x[0,2] 2所以，得f''(x)8x8sinx.当x(0,)时，f''(x)0;当x(,2)时，f''(x)0;由函数凹凸性定理可知，f(x)在[0,]上函数图形为凹，在[0,2]上函数图形为凸。

函数的凹凸性是函数图形的一个重要特征，了解函数的凹凸性能使函数图形的描绘更加精确化。在解决函数变化率的过程中或求某些特殊不等式时，用函数凹凸性求解!会显得更为简捷。

3.二元函数凹凸性的判定及其应用

3.1 二元函数凹凸的定义

定义3.1.13:设f(x,y)是定义在区域C上的二元函数，且满足对任意(x1,y1)C,(x2,y2)C;1,20，且121，有1f(x1,y1)2f(x2,y2)（或）f(1x12x2,1y12y2)我们称f(x,y)在C上为凹（或凸）函数。为了研究方便，设定f(x,y)非常数函数和一次函数。

从定义中看出，为上面定义中等号成立的充分条件而非必要条件。3.2 二元函数凹凸性的判定定理

定理3.2.1

3设fx,y在区域D上具有二阶连续偏导数，记Afxx(x,y),Bfxy(x,y),Cfxy(x,y), ''''''则

（1）在D上恒有A<0，且ACB20时，f(x,y)在区域D上是凸函数；（2）在D上恒有A>0, 且ACB20时，f(x,y)在区域D上是凹函数。如果A仅在个别处为零，并不影响函数在该区域的凹凸性.但如果在区域D上恒有A=0时，依据定理1无法判断f(x,y)在区域D上的凹凸性，定理2可解决这个问题。

定理3.3.23

设f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，记Afxx(x,y),Bfxy(x,y),Cfxy(x,y),在''''''D恒有A=0,ACB20时，则当

当C0时，f(x,y)在区域D上是凹函数。C0时，f(x,y)在区域D上凸函数；证明

任取(x1,y1)，(x2,y2)D,设tx1(1t)x2x0,ty1(1t)y2y0,t(0,1).记x1x0x,y1y2y,则x2x0泰勒

公

tt1x,y2y0tt1y,由二元函数的得

式可tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2)tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(x0,y0)''2=t(f(x2,y2)f(x0,y0))=t{fx'(x0,y0)xfy'(x0,y0)y20.5[fxx(1,1)(x)

t(f(x1,y1)f(x0,y0))(12fxy(1,1)xyfyy(1,1)(y)]}(1t){fx(x0,y0)fy(x0,y0)0.5(tt1'''''2'tt1xtt1''y2''''2)[fxx(2,2)(x)2fxy(2,2)xyfyy(2,2)(y)]}

=0.5t{f(1,1)(x)2f(1,1)xyf(1,1)(y)''xx2''xy''yy2t22(1t)[fxx(2,2)(x)1)(y)]''22

2fxy(2,2)xyfyy(2,2)(y)},其中：''''21x01(x1x0),1y01(y1y0),2x02(x2x0),2y02(y2y0)(o1,21),显然

（1，1）D,(2,2)D.2

由A=0及ACB0得 B=0，于是tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2) 0.5tf(1,1)(y)''yy2t22(1t)fyy(2,2)(y)(t(0,1)).''2

当c0时，即f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2)tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2),f(x,y)在区域D上是即f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2)tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2),f(x,y)在区域D上是

tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2)0，tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2)0，凸函数。当c0时，凹函数。

２例1 讨论ｆ（ｘ，ｙ）＝３ｘ＋ｙ的凹凸性

函数的定义域为{(x,y):xR,yR},fx'(x,y)3,fy'(x,y)2y，于是Afxx(x,y)0,Bfxy(x,y)0,Cfyy(x,y)2,，于是AO,ACB0且''''''2c0，由定理3.3.2可知f(x,y)在其定义域上是凹函数

定理3.3.33设f(x,y)在开区域内2个偏导数，fx(x,y),fy(x,y)，都存在且连续 f(x,y)在D内是凸（凹）函数的充要条件是：对于任意(x1,y1),(x2,y2)D，有f(x1,y1)f(x2,y2)fx(x2,y2)(x1x2)fy(x2,y2)(y1y2)（orf(x1,y1)f(x2,y2)fx(x2,y2)(x1x2)fy(x2,y2)(y1y2)证明

只证明凸

''''函数的情形 充分性

任取

t0,1,令x0tx1(1t)x2,yty1(1t)y2由已知可得

''''，'f(x1,y1)f(x0,y0)fx(x0,y0)(x1x0)fy(x0,y0)(y1y0)f(x2,y2)f(x0,y0)fx(x0,y0)(x2x0)fy(x0,y0)(y2y0)'tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(x0,y0)fx(x0,y0)[tx1(1t)x2x0]fy(x0,y0)[ty1(1t)y2y0]，所以f(x,y)在区域D内是凸函数

必要性 由于f(x,y)在区域D内是凸函数，则对任何t0,1,(x1,y1),(x2,y2)D，都有

tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2),整理得

f(x1,y1)f(x2,y2)1t

(f(x2t(x1x2),y2t(y1y2))f(x2,y2))

1''22＝{fx(x2,y2)t(x1x2)fy(x2,y2)t(y1y2)o([t(x1x2)][t(y1y2)])}t＝fx(x2,y2)(x1x2)fy(x2,y2)(y1y2)''o(t(x1x2)(y1y2))t'22

令t0，两边取极限得

f(x1,y1)f(x2,y2)fx(x2,y2)(x1x2)fy(x2,y2)(y1y2),f(x1,y1)fx(x2,y2)(x1x2)fy(x2,y2)(y1y2)f(x2,y2)'''即

同理可证凹函数的情形。

3.4 二元凹凸函数的应用（求最大值，最小值）定理3.4.1

5设是在开区域D内具有连续偏导数的凸（或凹）函数，(x0,y0)D且

则f(x0,y0)必为f(x,y)在D内的最大值与最小值

证明：

只证明凸函数的情形。因为ｆ（ｘ，ｙ）是在开区域D内具有连续偏导数的凸函数，由定理3可知，对于任给（ｘ，ｙ）Ｄ,有f(x,y)f(x0,y0)fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)又f(x0,y0)0,f(x0,y0)0, 'x'y''fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0,''

例1：求二元函数f(x,y)3x23y22x2y2的最大值或最小值。解：函数的定义域为{(x,y):xR,yR},fx'(x,y)6x2,fy'(x,y)6y2，于是得xfx(x,y)0,fy(x,y)0，''13,y13，所以f(x,y)在其定义域内最小值为114f(,)333

同理可证凹函数的情形。

例2 求二元函数f(x,y)3x23y22x2y2在定义域内的最大值或最小值

解函数。的定义域为{(x,y):xR,yR},fx'(x,y)6x2,fy'(x,y)6y2，于是

Afxx(x,y)6,Bfxy(x,y)0,Cfyy(x,y)6则A0,ACB0所以''''''2f(x,y)在其定义域内是凹函数，令fx(x,y)0,fy(x,y)0，得x''13,y13，所以f(x,y)在其定义域内最小值为f(,)331143

4．多元函数凹凸性的判定

4.1多元函数凹凸性的几个定义

定义4.1.16 设D是n维空间的一个区域，若＇'''p(x1,x2,...,xn)D,p(x1,x2,...,xn)D 则

''（1）设fxy 总能分解成fxy''g(x,y).h(x,y),fxxg(x,y),fyyh(x,y)(fxxg,fyyh),''''''''则D上是凹（凸）的；

''''（2）设（1）的条件成立并且关于fxx,fyy的两个不等式中，Q(x1(x1x1),x2(x2x1),...,xn(xnxn))D,'''f(x,y)在则称D是凸函数，否则称D为凹函数。

定义4.1.26 设f(p)是定义在凸函数D上的函数，p1(x11,x12,...,x1n),p2(x12,x22,...xn2)是D上的任意两点，记p0(12x11x222,x21x22212,...,xn1xn22).（1）若恒有[f(p1)f(p2)]f(p0)([f(p1)f(p2)]f(p0)),且等号不恒成立，则称f在D上是凹（或凸）的)]f0(p)([1f(p)2f(p)]0f(p)),则称f在D上是严（2）若[f(p1)f(p22211格上的凹（或凸）的。

（3）若[f(p1)f(p2)]f(p0)，则称在D上是线性的，21则称f在D上是线性的。这两种定义是等价的

在二元函数中，设D是２维空间的一个区域，若p(x1,x2)D,p＇(x1',x2')D

''则由定义一知（1）设fxy总能分解成

fxy''g(x,y).h(x,y),fxxg(x,y),fyyh(x,y)(fxxg,fyyh),''''''''则在ｆ（ｘ，ｙ）'D上是凹（凸）的；

''''（２）设（1）的条件成立并且关于fxx,fyy的两个不等式中，Q(x1(x1x1),x2(x2x２))D,则称

'D是凸函数，否则称D为凹函数。

由定义二知

设f(p)是定义在凸函数D上的函数p1(x11,x12),p2(x12,x22)是D上的任意两点，记p0(x11x22212,x21x222).1（1）若恒有[f(p1)f(p2)]f(p0)([f(p1)f(p2)]f(p0)),且等号不恒成2立，则称f在D上是凹（或凸）的)]f0(p)([1f(p)2f(p)]0f(p)),则称f在D上是严（2）若[f(p1)f(p22211格上的凹（或凸）的。

（3若[f(p1)f(p2)]f(p0)，则称f在D上是线性的。

21例如三元函数f(x,y,z)xyz就是一个凹函数 4.2多元函数凹凸性的几个判定定理 定理4.2.18 设f(x,y)是凸区域D上具有二阶连续偏导数的二元函数，记''''''2那么，Afxx(x,y),Bfxy(x,y),Cfyy(x,y),BAC,若C0且不恒为0，当A0或C0，函数f在D上上凹，当A>0或C<0，函数f在D上上凸，若0当A0或C0，函数f在D上是凹的，当A0或C<0，函数f在D上上凸。证明:任取p1(x1,y1),p2(x2,y2)D,记p0(x0,y0)(f(p1)f(p0)(x1x0)fx(p0)(y1y0)fy(p0)f(p2)f(p0)(x2x0)fx(p0)(y2y0)fy(p0)''''x1x222M22,y1y22),由泰勒公式

M1

则当A0,C0时

Mi(xix0)fxx(i,i)2(xix0)(yiy0)fxy(i,i)(yiy0)fyy(xi,i)＝＝{[(xix0)A(yiy0)B](yiy0)(BAC)}A{[(xix0)B(yiy0)C](xix0)(BAC)}C''2''''2''222222(i1,2)f(p1)f(p0)(x1x0)fx(p0)(y1y0)fy(p0)M12M2f(p2)f(p0)(x2x0)fx(p0)(y2y0)fy(p0)''2则

f(p1)f(p2)2f(p0)M1M22

当0,A0，C>0,Mi0,f(p1)f(p2)2f(p0),0,A0,C0时，定理得证

利用泰勒公式，我们不难证明

定理4.2.29设f(x,y)是凸函数D上的具连续偏导数的二元函数不同时取，则有f(x,y)在D上是严格凹（凸）的。

''''''若fxxfxyfyy0,，则f(x,y)在D上线性的。

定理一和定理显然不难推广到一般徳多元函数中去，这里不再叙述。定理4.2.39 设ｆ是凸区域D上的n元函数，nD1{(x1,x2,...,xn)}(x1,x2,...,xn)D, an1axii1i0,a是任意常数}是D中的任意平面区域；（1）ｆ在D上上凹（凸）的等价于ｆ在Ｄ１上上凹（凸）或线性，但非恒线性的；

（2）ｆ在D上严格凹（凸）的等价于ｆ在Ｄ１上是严格上凹（凸）的；（3）ｆ在D上是线性的等价于ｆ在D上是线性的。证明：（只证严格上凹的情形）设ｆ在D内任何平面区域Ｄ１上均严格上凹，故有f(p1)+f(ｐ)2f(p0)２因而ｆ在D上严格上凹。反之，若ｆ在D上严格上凹，显然在任何Ｄ１上也是严格上凹。

在上面的基础上给出

定义

设n元函数f在n元凸区域D 上不是平的, 不是凹的, 也不是凸的, 则称f在D上是凹凸不平的

定理4.2.110

设ｆ（ｘ，ｙ）是凸区域D上的具有二阶连续偏导数的二元函

''''''2数，对(x,y)D记Afxx(x,y),Bfxy(x,y),Cfyy(x,y),BAC,则、（1）f在D上是平的ABC;(2)f在D上是凹的0,A0,C0(A,B,C不全恒为0)；（3）f在D上是平的0,A0,C0(A,B,C不全恒为0)；

（4）f在D上是凹凸不平的PD,使(p)0,或A（或C）在D上值是可正负的。

（注：若,A,C在D内没有零点或只有孤立点，则（2）、（3）就成了严格上凹凸的情况）

证明：只证（2）与（4）。先证（2）

在D内任取一条线段，不妨记其方程是xx0或ykxb(k是任意实数）易得f在D上上凹f在线段xx0上上凹或线性，且在线段ykxb上上凹或''''2''''''2''线性但非恒线性fyy(x0,y)0，且g(x)fxx(x,kxb)kfxx(x,y)2kfxy(x,y)fyy(x,y)Ak2BKC0（等

''号不恒取)，xx(x,y)D,且ykxb其中fyy(x0,y)0（对(x0,y)D)C0）

对于Ak22BkC0(k任意，等号不恒取)，分别有

（1）A0时，2BKC0有，对任意k恒成立，则B0,C0。此时''0,Cg(x)0

（2）A0时，4B24AC40,即0,C0

由（1）与（2）知，g''(x)0（等号不恒取）0,A0且C0（A,B,C不全恒为0）综上可得，f在D上上凹0,A0且C0（A,B,C不全恒为0）

再证（4）由定理中的（1）、（2）、（3）f在D上凹凸不平f在D上不是平的，不是凹的也不是凸的A，B,C不全恒为0，且p1D,使(p1)0或p2D,使A(p2)0，或p3D,使C(p3)0，同时，Q1D,使(Q1)0，或Q2D使A(Q2)0或Q3D,使 C(Q3)0 pD,使(p)0,或A（或C）在D上可正负。

小 结

函数的凹凸性是解决函数问题经常遇到的，一元，二元，至多元函数的凹凸函数的性质及判定在数学中具有重要的作用。利用函数凹凸性的判定定理对解决函数问题具有很大的帮助。在熟悉函数凹凸性的定义时更要掌握函数凹凸性的几个重要的判定定理。

参考文献

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谢

本文在选题，修改及其完稿的整个过程中，都是在宋贤梅老师的细心指导下完成的，在写作的过程中，宋老师严格要求，同时又给予鼓励，引导我正确的写作思路，传授我适当的写作方法,在此对她表示忠心的感谢！

第五篇：凹凸函数在不等式证明中的巧用

凹凸函数在不等式证明中的巧用

唐才祯1莫玉忠2李金继

3摘要：本文从凹凸函数原始定义出发，导出其等价的解析不等式.同时从凹凸函数的几何特征导出另一个与凹凸函数原始定义等价的解析不等式.然后利用所得不等式来推导一些常用的不等式，提供了一种不等式证明的技巧.关键词：凹函数；凸函数；不等式；几何特征

不等式在数学问题中是经常碰到的，常用的不等式证明方法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法[1]，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、极大、极小值法和泰勒展式等方法[2].本文介绍利用凹凸函数的定义及其几何特征在不等式证明中的应用.一． 凹凸函数定义及几何特征

凹凸函数是区分函数增减方式的两种不同类型的函数，即：虽然函数单调增加，但却可有如图1中的两种方式增加，把形如f1(x)的增长方式的函数称为凸函数，而形如f2(x)的增长方式的函数称为凹函数，其精确定义为

1．定义[3]设函数f(x)在区间I有定义,若x1,x2I,t(0,1)有

……（1）f(tx1(1t)x2)tf(x1)(1t)f(x2)

(f(tx1(1t)x2)tf(x1)(1t)f(x2))

则称f(x)在区间I是凸函数（凹函数）.根据函数的凸凹定义，不难证明，若函数f(x)在区间I是凹的，则函数一f(x)在区间I就是凸的，从而，我们从凸函数特征的讨论可在凹函数上适用.为了便于使用，通常把不等式（1）改写成如下等价形式：

如：设q1t,q21t,有q1q21.(q1,q2(0,1))

则（1）式可改写为

f(q1x2q2x2)q1f(x1)q2(x2)……（2）

2． 凸函数的几何特征：

如图，设A1,A2是凸函数y=f(x)曲线上两点，它们对应的横坐标x1x2,x(x1,x2)，则存在q1,q20,q1q21,使得

12作者简介： 唐才祯（1963－），男，广西灵川人，中教一级，广西医科大学附中.作者简介： 莫玉忠（1969－），女，广西金秀人，讲师，柳州师专数学系.3作者简介： 李金继（1963－），男，广西灵川人，灵川化肥厂

.xq1x1q2x2，过点x作ox轴的垂线交函数于A，交A1A2于B，则（2）式左端即为A点纵坐标，右端即为B点纵坐标，因此，凸函数的几何意义就是：其函数曲线任意两点A1与A2之间的部分位于弦A1A2的下方或曲线在任一点切线上方.根据以上几何特征，下面推导一个关于凸函数的直接不等式，设yf(x)为函数，A1A2为f(x)上的任一弦，设A1(x1,f(x1)),A2(x2,f(x2)，不妨设x1x2，则直线 A1A2的方程为

yf(x1)f(x2)f(x1)(xx1),x(x1,x2)x2x1

从而由上所述凸函数几何性质有

f(x1)f(x2)f(x1)(xx1)f(x),x(x1,x2)……（3）x2x1

3． 凸函数的判断

凸函数的判别准则在一般教材均有述及，下面是[4]中的一个判别凸函数准则： 定理 设f(x)在(a,b)上二阶可导，则f(x)在(a,b)上是凸函数的充要条件是f(x)0

下面我们将从不等式（2）、（3）出发，适当选取q1,q2,x1,x2来证明一些不等式.二． 等式（2）的应用

不等式（2）是凸函数定义的一个等价形式，所以不等式（2）的应用实际上是凸函数定义的直接应用，（2）式的一个直接结果是出詹生（Jenson）不等式.命题若函数f(x)在区间I 是凸的，则有不等式

f(q1x1q2x2qnxn)q1f(x1)q2f(x2)qnf(xn)(4)其中xiI,qi0,i1,2,,n,且q1q2qn1，其证明可参见[3]，在此略.如在（2）及（4）式中，适当选取f(x)的表达式，将可巧妙地证明一些不等式.xx2xnxx2xn例1． 证明不等式1其中 1

nn

q11;x1,x2,xn0.证明：设f(x)x,x0,则f''(x)p(p1)xpp2pppp，由条件可知f''(x)0.从而f(x)xp为凸函数.取q1q2qn

p1，再由Jenson不等式（4）有 npppxx2xnx1x2xn 1

nn

例2．证明不等式(xy)lnxyxlnxylnyx,y0.2

10,x0.如取x证明：取f(x)xlnx，x0.f'(x)lnx1，f''(x)

1.由Jenson不等式有 2

xyxylnxlnxylny即有 22

xy(xy)lnxlnxylny2

三． 不等式（3）的应用 n2,q1q2

不等式（3）是由凸函数的几何特征得到的，要得到所要证的不等式，需据所给出的不等式形式适当选取x1,x2的值，所以这种方法具有一定的构造性，灵活性，难度相对大些.例3． 证明杨格（young）不等式：

apbq11ab,a,b0,1.pqpq

证明：取f(x)lnx.显然其为凹函数，直线AB的方程为

ylnx1lnx2lnx1(xx1)，取xp'x1(1p')x2(x1,x2),p'(0,1)则 x2x1

lnx2lnx1((p'1)x1(1p')x2)p'lnx1(1p')lnx2 x2x1

pqylnx1如取x1a,x2b,p'111,1p'1.ppq

由（3）式ln(1p1q11ab)lnaplnbq

pqpq

ln(1p1qab)lna.bpq

又因为lnx在定义域上为严格增函数，所以有

a.b1p1qab.pq

abnanbn),a,b0 例4 证明不等式(22

证明：此例是例1的特例，下面用不等式（3）的方法给予证明.取yf(x)x,x0,则f(x)为凸函数，由（3）式有 n

f(x)f(x1)f(x2)f(x1)ab11(xx1),取x1,x2,x(x1x2)x2x1abab22

从而有

bnan)()1nan1a()()()，化简后得： ba2ab2ababab

abn1n()(abn).22（结语：综上所述，利用凸函数定义及几何特性证明不等式，关键是要根据所要证不等式，选取相关的函数及适当的x1,x2选取，此法虽具有一定的构造性，但证明的过程却相对简洁.参考文献：

[1].梁永固，等，初等代数研究，广东高等教育出版社，1989

[2].纪乐刚，等，数学分析，华东师范大学出版社，1993

[3].刘玉琏，等，数学分析讲义，高等教育出版社，1996

[4].朱来义，等，微积分，高等教育出版社，2000