数学教案【不等式的性质及证明】

第一篇：数学教案【不等式的性质及证明】

一、教学内容：不等式性质及证明．

二、教学目标：

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景． 2.理解不等式的性质，掌握不等式证明的基本方法．

三、重点难点：

1.了解不等式的有关概念及其分类，掌握不等式的性质及其应用，明确各个性质中结论成立的前提条件．

2.利用不等式性质的基本性质进行简单的推理及证明，培养学生的逻辑推理能力及分析问题、解决问题的能力．

四、教学过程：

（一）知识要点

1、不等式的基本性质

（1）对于任意两个实数a、b，都有

abab0； abab0； abab0．

（2）比较两实数a、b大小的方法——求差比较法，即通过判断它们的差ab的符号来判断a、b的大小．

2、不等式的性质定理

定理1：若ab，则ba；若ba，则ab．即abba． 说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性． 定理2：若ab，且bc，则ac．

说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性．

定理3：若ab，则acbc．

说明：① 不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向； ② 定理3的证明相当于比较ac与bc的大小，采用的是求差比较法； ③ 定理3的逆命题也成立；

④ 不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边． 定理3推论：若ab，且cd，则acbd．

说明：① 推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；

② 这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；

③ 同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式．

定理4：如果ab且c0，那么acbc；如果ab且c0，那么acbc． 推论1：如果ab0且cd0，那么acbd．

说明：① 不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；

② 两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；

③ 推论1可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘．这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向．

nn推论2：如果ab0，那么ab(nN且n1)．

定理5：如果ab0，那么nanb(nN且n1)． 例题1 对于实数a、b、c，判断下列命题的真假．

（1）若ab，则acbc；

（2）若ab，则acbc；（3）若acbc，则ab；

（4）若ab0，则aabb；（5）若ab0，则22222211ba；

（6）若ab0，则． ababcc． ab◆应用Ⅰ 证明简单的不等式

例题2.1 已知ab0，c0，求证：

应用练习设a、b是非零实数；若ab，则下列不等式成立的是（）A.ab

B.abab

C.◆应用Ⅱ 判断命题的真假

例题2.2 对于任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是（）A.“acbc”是“ab”的必要条件 B.“acbc”是“ab”的必要条件 C.“acbc”是“ab”的充分条件 D.“acbc”是“ab”的充分条件

应用练习已知a，b，c，d为实数，且cd，则“ab”是“acbd”的（）A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 ◆应用Ⅲ 比较实数的大小 222211ba

D.

ab2a2bab1122、、a、b的大小关系． ab11112222提示：首先利用a、b是正数，、是负数，再分别去比较a、b、、的大小．

abab例题2.3 若1ab0，试比较

应用练习已知a0，且a1，mn0，比较Aa

◆应用Ⅳ 求取值范围问题 例题2.4 已知

m11n和的大小． Bamnaa22，求

2的范围．

11应用练习若、满足，试求3的取值范围．

123提示：可将3用，2表示出来，问题可得解． 3．证明不等式的基本方法（1）比较法

比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负．

以上介绍的是差值比较法，用比较法证不等式还可采取商值比较法，即左、右两边作商判断商值与1的大小．（2）综合法

利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件．

综合法证明不等式的逻辑关系是：AB1B2BnB，及从已知条件A出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B．（3）分析法

证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法．

分析法是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”．

例题3.1已知a,bR，求证：abab．

分析：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行．

〖练习〗若实数x1，求证：3(1xx)(1xx)．

例题3.2 已知a，b，m都是正数，并且ab．求证：

应用练习证明：(ab)(cd)(acbd)．

（1）

变式训练 证明函数f(x)

应用练习证明函数y2

x24x3abba2422ama（1）．

bmb222221在其定义域上是减函数．

xx在[2,)上是增函数． 五．课堂小结：

1．不等式的概念和性质式本章的基础，是证明不等式和解不等式的主要依据，复习时要高度重视．对每一条性质，要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽后，条件和结论之间发生的变化；记住不等式运算法则的结论形式，掌握运算法则的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误．掌握证明不等式性质的方法，可以进一步提高逻辑推理能力．

2．不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法．

（1）比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证；

（2）综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野．

3．不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等．换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性．放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查．有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法．凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法．

证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点．

4．利用性质求数（式）的取值范围的方法

应用不等式的性质求多个变量线性组合的范围，由于变量间彼此相互制约，在“取等”的条件上会有所不同，故解此类题目要特别小心．一般来说，可采用整体换元或待定系数法．

例如，已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是__________．（答案用区间表示）

方法一：设2x3ys(xy)t(xy)，通过对比系数求出s、t的值． 方法二：画出1xy4的可行域为ABCD，z(3,8)的最优解为A、C两点．

2xy3 4

第二篇：第二册不等式证明 -数学教案

目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

过程：

一、复习：

1．不等式的一个等价命题

2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论

二、作差法：（P13—14）

1． 求证：x2 + 3 > 3x

证：∵(x2 + 3) 3x =

∴x2 + 3 > 3x

2． 已知a, b, m

第三篇：利用函数凹凸性质证明不等式

利用函数的凹凸性质证明不等式

内蒙古包头市第一中学张巧霞

摘要：本文主要利用函数的凹凸性来推导和证明几个不等式.首先介绍了凹凸函数的定义，描述了判定一个函数具有凹凸性质的充要条件，并且给出了凸函数的一个重要性质——琴生不等式.通过巧妙构造常见的基本初等函数，利用这些函数的凹凸性推导几个重要不等式，如柯西不等式，均值不等式，柯西赫勒德尔不等式，然后再借助这些函数的凹凸性及其推导出来的重要不等式证明一些初等不等式和函数不等式.关键词：凸函数；凹函数；不等式.一． 引言

在数学分析和高等数学中，利用导数来讨论函数的性态时，经常会遇到一类特殊的函数——凹凸函数.凹凸函数具有一些特殊的性质，对于某些不等式的证明问题如果灵活地运用函数的凹凸性质就可以简洁巧妙地得到证明.二． 凹凸函数的定义及判定定理

(1)定义 设f(x)是定义在区间I上的函数，若对于I上的任意两点x1,x2及实数0,1总有

f(x11x2)fx11fx2

则称f(x)为I上的凸函数（下凸函数）；反之，如果总有不等式

f(x11x2)fx11fx2

则称f(x)为I上的凹函数（上凸函数）.特别地，取xx2fx1fx21).，则有f(1

222

若上述中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数或严格凹函数.（2）判定定理 若函数f(x)在区间 I上是二阶可微的，则函数f(x)是凸函数的充要条件是f“(x)0，函数f(x)是凹函数的冲要条件是f”(x)0.三．关于凸函数的一个重要不等式——琴生不等式

设f(x)是定义在区间I上的一个凸函数，则对xiI,i1,2,,n,i0,

i1ni1有

f(ixi)ifxi.i1

i1

nn

特别地，当i

i1,2,,n,有 n

f（x1x2xnfx1fx2fxn).22

琴生不等式是凸函数的一个重要性质，因为每个凸函数都有一个琴生不等式，因此它

在一些不等式的证明中有着广泛的应用.四． 应用凸函数和琴生不等式证明几个重要不等式.（1）（调和——几何——算术平均不等式）设ai0,i1,2,,n,则有

n

nain

1i1i1ain

当且仅当a1a2an时，等号成立.证明 设f(x)lnx,因为f“(x)

a

i1

n

i

n

0,x0,, 2x

所以f(x)是0,上的凸函数，那么就有f（x)fx.ii

i

i

i1

i1

nn

现取xiai,i,i1,2,,n, n

n1n1n1

则有lnailnailnain, 

i1ni1ni1n1n1

得lnailnain,ni1i1

由lnx的递增性可得

n

1

（1）aii

i1ni1

同理，我们取xi

nn

0，就有 ai

n11lnna

ii1n11lnaii1n

n

n

n

1ln1i1ani

, 

即

ai（2）n

1i1i1ain

n

由（1），（2）两式可得

n

ain

1i1i1ain

（2）柯西——赫勒德尔不等式

p

1n

a

i1

i

n

pqababiiii i1i1i1

其中ai,bi,i1,2,,n是正数，又p0,p1,p与q共轭，即

nnn

q

1.pq

证明 首先构造函数fxxp,p1时，f”x0,x0 所以fxx是0,上的凸函数，则有

p

n

np

f(ixi)ixiixi i1i1i1

n

p

令 i

pi

p

i1

n,这里pi0,i1,2,,n，i

n

pixi

则i1

n

pii1

p



p

px

ii1

n

pi

p

i1

n

i

n

nnp即pixipixipii1i1i1

p1

由题设知

11p

1，得q，p1pq

所以

1p

1q



ppxpxpiiiii，i1i1i1

nn

p

n

1q

现取aipixi,bipi，i1,2,,n 则aibipixipi

1p

1q

pixi,pixiai，代入上式得

pp

pqababiiii i1i1i1

命题得证.在柯西赫勒德尔不等式中，若令pq2时，即得到著名的不等式——柯西不等式

nn

p

n

1q

22ababiiii i1i1i1

nn

n

n2n2

(aibi)aibii1i1i1

n

这里ai,bi,i1,2,,n为两组正实数，当且仅当aibi时等号成立.五．凸函数及重要不等式在证明初等不等式和函数不等式中的应用.例1.求证在圆的内接n边形中，以正变形的面积最大.证明 设圆的半径为r，内接n边形的面积为S，各边所对的圆心角分别为1,2,,n，则

S

rsin1sin2sinn,因为f“xsinx0，2

所以fxsinx是0,上的凹函数，由琴生不等式可得

f(

i1

n

i)fi.ni1n

n

n

即sin



i1

i

n



sin

i1

n

i

n

sininsin

i1

2

n

上式只有在12n时等号才成立，也即正n边形的面积最大.特别地，若A,B,C为三角形的三个内角时，由上式可得sinAsinBsinC

.2xy

例2 求证对任意的x0,y0，下面的不等式xlnxylny(xy)ln成立.证明 我们根据所要证明的不等式构造相应的函数，令fttlnt,t0，因f”t所以有

0.故fttlnt是0,上的凸函数，t

xyfxfyf,x,y0,, 

22

即

xyxy1lnxlnxylny, 222

xy

(xy)lnxlnxylny,所以在利用凸函数证明不等式时，关键是如何巧妙地构造出能够解决问题的函数，然后列出琴生不等式就可以简洁，巧妙地得到证明.nnnn

n4444

例3 设ai,bi,ci,di都是正实数，证明aibicidiaibicidi.i1i1i1i1i1

分析 本题所要证明的结论看上去接近于柯西不等式，但是这里是4次方的情形，所以想办

法将其变成标准形式。

nn

证明aibicidiaibicidi

i1i1

aibi

i1

n

n2

cidi

i12

n

n2222=aibicidi i1i1

n

n

n

n







ai

i1

bi

i1

ci

i1

di

i1

通过以上例子我们可得出结论，运用柯西不等式的关键是对照柯西不等式的标准形式，构造

出两组适当的数列，然后列出式子.例4 设a,b,c,d都是正实数，且cdab

证明 首先由均值不等式得





a3b3

1..证明

cd

a3b3acb3bda344

 acbdabcddc

a2abb

=a2b2再由柯西不等式得



2122

acbdab

c

d

d





ab=a2b2



122

c

322



a3b322

ab即cd



a3b3

cdacbd 

a2b2



a3b31 所以cd

六．总结

由上面的分析我们看到，虽然利用函数的凹凸性来证明不等式有它的局限性，但是往

往是其它方法不可代替的，我们可以充分感受到利用函数的凹凸性解决问题的方便和快捷，丰富了不等式的常规证法，开阔了解题思路.参考文献

【1】 【2】 【3】 【4】

谢惠民.数学分析习题课讲义【M】.高等教育出版社，2003.王仁发.高观点下的中学数学代数学【M】.高等教育出版社，1999.席博彦.不等式的引论【M】.内蒙古教育出版社，2000.华东师范大学数学系.数学分析【M】.高等教育出版社，1991.

第四篇：不等式性质练习题

﹤不等式性质

一、选择题

1、已知ab0，下列不等式恒成立的是（）

A.a2

b2

B.ab1C.1111

abD.ab2、已知a0,b1，下列不等式恒成立的是（）

A.a

ababB.aaaaaab2baC.bb2aD.bab3、若a,b,c,d四个数满足条件：1dc;2abcd;3adbc，则（）

Ab.cdaB.adc bC.dba cD.bdc a4、如果a,b,c满足cba,且ac0,则以下选项中不一定成立的是（）

A.abacB.cba0C.cb2ab2D.acac05、下列命题中正确的是（）

Aa.b,kN*akbkB.ab,c1

c1c1

ba

C.ab,cdab

cd2

D.ab0,cd0abdc6、如果a,b是满足ab0的实数，则（）

A.ababB.aa bC.aa b

D.abab

7、若a0,b0,则不等式b1

x

a的解为（）

A.1bx0或0x1aB.111111axbC.xa或xbD.xb或xa

二、填空题

8、若m0,n0,mn0,则m,n,m,n的大小关系为

9、若1ab1,2c3,则abc的取值范围是

10、若0a1,给出下列四个不等式，其中正确的是

1○

1log111a111a1aloga1a○2loga1alogaa

a1a

○3aa○4aaa11、已知三个不等式：1ab02

cad

b

3bcad，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可以组成个正确的命题。、设x,y为实数，且满足3xy2

8,4x2y9,则x3

12y

4的取值范围是

三、解答题、（1）设2a3,4b3,求ab,ab,ab2

13b,ab,a的取值范围。

（2）设二次函数fx的图像关于y轴对称，且3f11,2f23,求f3的最大值和最小值。

14、（1）已知

1a0,A1a2,B1a211

2,C1a,D1a，试将A,B,C,D按从小到大的顺序排列，并说明理由。

bc0,比较aabbcc

与abc

abc

（2）已知a3的大小。

15、火车站有某公司待运的甲种货物1530t,乙种货物1150t。现用A,B两种型号车厢共50节

运送这批货物。已知35t甲种货物和

15t乙种货物可装满一节A型货厢；25t甲种货物和35t乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A,B两种货箱的节数，共有几种方案？若每节A型货箱运费是0.5万元，每节B型货箱运费是0.8万元，哪种方案的运费最少？

第五篇：不等式的性质

《不等式的性质》的教学设计与反思

庆阳市西峰区彭原乡彭原初级中学

马

杰

［教材分析］

《不等式的性质》的内容属于初中数学“数与代数”部分。数量之间除有相等关系外，还有大小不等的关系。正如方程和方程组是讨论等量关系的有利数学工具一样，不等式与不等式组是讨论不等关系的有利数学工具。不等式是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用，所以对不等式的学习，有着重要的实际意义。研究不等式在整个初中数学学习中有着承上启下的作用。解决不等式问题对不等关系的研究起着画龙点睛的作用。掌握不等式的性质是顺利解决不等式的重要依据。不等式的基本性质也为学生以后顺利学习解一元一次不等式和解一元一次不等式组的有关内容作理论基础，起到重要的奠基作用。

［学情分析］

1.授课班级学生基础较差，教学中应给予充分思考的时间，谨防填塞式教学；充分调动学生的积极性，注重课堂教学的有效性，在练习设计上要针对学生差异采取分层设计的方法。

2.本节课主要研究不等式的性质和简单应用。他与前面学过的等式的性质有联系也有区别，为渗透类比、分类讨论的数学思想提供了很好的素材。由于学生的认知结构是建立在等式的知识基础上对不等式进行学习，所以，在学习的过程中学生容易延续的等式性质的理解，产生惯性的思维定势，尤其体现在对不等式性质3的理解与应用。

［教学目标］

1.经历不等式基本性质的探索过程，掌握不等式的基本性质。

2.经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。

3.通过创设问题情境和实验探究活动，积极引导学生参与解决数学问题，提高学生学习数学的兴趣，增强学习数学的信心，发展学生的符号表达能力、代数变形能力，在自主探索、合作交流中让学生感受学习的乐趣。［教学重难点］

重点：理解并掌握不等式的性质。

难点：不等式性质的理解应用（特别是性质3的理解应用）。［教学过程］

一、回顾旧知，类比新知

［问题1］我们学习过等式的相关性质，你能说出等式的性质吗？（性质1„„，性质2„„。）

学生回答问题，教师演示天平实验。（等式）

［问题2］我们学习了不等式，它是否也有类似的性质呢？ 教师继续演示天平实验。学生观察老师的操作后思考：①.天平被调整到什么状况；②.给不平衡的天平两边同时加入（拿掉）相 同质量的砝码，天平会有什么变化？③.如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？

本环节中，教师应重点关注：

（1）.学生能否准确表达等式的性质；（2）.学生是否积极参与类比的思考之中。

（通过回顾等式的性质，演示等式性质的产生过程，为不等式性质的研究以及不等式的性质的归纳作好铺垫。培养学生善于运用类比、迁移学习方法的良好习惯。）

二、探索新知，归纳结论

［问题3］ 用“>”或“<”填空，并总结其中的规律： ①

5>3, 5+2——3+2，5-2——3-2； ②

-1<3,-1+2____3+2，-1-3——3-3；

③

6<2，6*5——2*5，6*（-5）——2*（-5）;④

-2<3，(-2)*6___3*6，(-2)*(-6)____3*(-6).学生填空，师生展示正确结果。

（通过对一组练习的延伸探究，培养学生发现、归纳问题的能力）

［问题4］从以上一组练习种你发现了什么？请你把你的发现与合作小组的同学交流。

通过学生小组合作交流，学生把自己的“发现”进行充分讨论，探究不等式的性质。

［问题5］请用你发现的规律填空： 当不等式两边加上或减去同一个数（正数或负数）时，不等号的方向——。当不等式两边乘同一个数正数时，不等号的方向——；而乘同一个数负数时，不等号的方向——。

［问题6］请大家换一些其他数，验证这个发现。

教师掌握各小组情况，适当引导，尤其（3）（4）是不等式两边同乘以正数、负数，所得结果截然不同，因此要有针对的区别开。

（通过类比等式性质，引导学生探究不等式的性质，培养学生用类比的方法学习知识。）

［问题7］你能用自己的语言概括不等式有哪些性质吗？请小组讨论。

性质1：:不等式两边加上或减去同一个数（式子）时，不等号的方向不变;性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数时，不等号的方向不变;性质3：: 不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变;（学生观察对比、探索发现，清晰地掌握性质2和性质3的区别，有利于正确理解和应用；培养学生的概括能力和数学语言表达能力。）

［问题8］你能用字母表示不等式的性质吗？请小组讨论交流。（1）.若a>b, 则 ： a±c>b±c；

（2）.若a>b,c>0 则 ： ac>bc或a/c>b/c；（3）.若a>b,c<0 则 ： ac

等式的性质有2条，进行加减乘除运算时相等关系不变；不等式的性质有3条，加减不等关系不变，乘除要分正、负分别讨论，两个结果不同。

学生合作交流，教师深入指导。本环节中，教师应重点关注：

（1）.交流合作中，学生是否积极参与类比的思考；（2）.学生能否全面地考虑不等式性质2和性质3的区别；（3）.学生能否准确表达不等式的性质；

（4）.学生能否用数学符号语言表达不等式的性质。（培养学生使用符号语言表达数学现象，培养数学文字与符号语言的相互转化能力，提升数学表达能力。）

三、基础训练，巩固应用

1.如果a>b,判断下列不等式是否正确：

-4+a>-4+b；（）a-3b.b ；（）-5a>-5b（）2.如果a>b,用用“>”或“<”填空：

a+2__b+2； 3a__3b；-2a__-2b； a-3__b-3； a/2__b/2； a-8__b-8； 2a-5__2b-5；-3.5a__-3.5b；-8.5a+2__-8.5b+2； 若a>0,b<0,c<0 则（a-b）c___0； 若a 0 则ac+c___bc+c.3.① a>0 x>y则：ax____ay； ② a<0 x

ax___ay.（加深学生对新知识的理解，建立对不等式性质的正确的认识）

四、应用拓展，解决问题

例1：利用不等式的性质解下列不等式：

① x-7>26;② 3x<2x+1;

③ 2/3x>50;

④-4x>3.（学生分组讨论，研究上述不等式的解法，并总结其中的规律，要求学生类比解方程，用准确的数学语言表达。特别是移项表述，类比解方程，用准确的数学语言表达。）

教师深入小组，适当点拨指导，帮助学生总结不等式结构特点，有针对性的总结规律。

师生共同展示讨论结果。

教师板书其中一题，统一要求对不等式解题过程的规范书写，解集在数轴上的正确表示，展示数形结合的整体美感。

本环节中，教师应重点关注：

（1）.学生能否抓住不等式的结构特点，合理使用不等式性质解不等式；

（2）.学生能否准确地在数轴上表示不等式的解集；（强调“＜”与“≤”在意义上和数轴表示上的区别。）

（3）.学生能否认真参与小组讨论；是否通过讨论掌握不等式解法；

（4）.学生能否通过对比解方程的方法，发现解方程与解不等式的方法的区别与联系。练习：教材第119页练习第1题。

（培养学生积极思考，参与交流合作的习惯，建立良好的合作意识，提高学生运用所学知识解决问题的能力。类比解方程的方法解不等式注意性质3，并类比解法的异同，帮助严谨规范的书写习惯。）

五、归纳小结，收获感悟 谈一谈本节课你有什么收获？

学生归纳总结（1）不等式性质1、2、3；（2）简单不等式的解法 本环节中，教师应重点关注：

（1）.学生是否积极参与总结归纳，是否养成对知识进行及时归纳整理的习惯；

（2）.学生对本节课所研究的问题的理解程度。（积累数学经验，加强记忆和应用能力。）

六、作业

习题9.1第4、5题。［教学反思］

为创设宽松民主的学习氛围，激发学生思维的主动性，顺利完成教学目标，本节课坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，即“以学生活动为主，教师讲述为辅，学生活动在前，教师点拨评价在后”的原则，给学生充分的自主探索时间，引导学生联系已有知识学习新知识，减少学生获取新知识的难度，通过教师的引导，调动学生的积极性，组织学生参与“探究—讨论—交流—总结”的学习过程，让学生在课堂上多活动、多观察，主动参与到了整个教学活动中来，从本节课的设计上看，我自认为知识全面，讲解透彻，条例清晰，系统性强，讲练结合，训练到位，但一节课下来后没有为学生“减负”，忽略了实效性。在今后的教学中我要多问多听、多思多想，真正为学生减轻课业负担，增强教学的实效性。

另外，在今后的教学中要注重学生学习习惯的培养。

作

者：马

杰

甘肃省庆阳市西峰区彭原乡彭原初级中学教师 通讯地址：甘肃省庆阳市西峰区彭原乡彭原初级中学 邮

编：745000