第一篇:初中数学教案:不等式和它的基本性质(2003.8)
不等式和它的基本性质
不等式和它的基本性质
现实世界中的同类量之间,有相等关系,也有不等关系。我们知道,相等关系可以用等式来表示,不等关系怎样来表示呢?我们来看下面的式子:
-7<-5,3+4>1+4,5+3≠12-5,a≠0,a+2>a+1,x+3<6
这些式子含有不等号“<”“>”,“≠”,像上面用不等号表示不等关系的式子,叫不等式。
我们再来看上面的最后一个不等式x+3<6,请同学们研究何时这个不等式成立? 练习:
1、用小于号“<”或大于号“>”填空:
(1)4-6(2)-10(3)–8-3(4)–4.5-4
2.用小于号“<”或大于号“>”填空:
(1)7+34+3(2)7+(-3)4+(-3)
(3)7×34×3(4)7×(-3)4×(-3)
3.用不等式表示:
(1)a是正数;(2)a是负数
(3)a与6的和大于5;(4)x与2的差小于-1
(5)a的4倍大于7(6)y的一半小于3
一般地说,不等式有下面三条性质:
不等式的基本性质1不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.不等式的基本性质1不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.不等式的基本性质1不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.例1.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成x>a或x<a的形式:
(1)x-2<3(2)6x<5x-1(3)2x>5(4)–4x>3.例2.设a>b,用“<”或”>”号填空:
(1)a-3b-3(2)2a2b(3)–4a-4b
练习:
1.解下列不等式,并把它们的解集在树轴上表示出来:
(1)5x>-10(2)-3x+12<0
(3)x3>3;(4)x<-3 25
(5)8x-1>6x+5(6)3x-5<1+5x
(7)3(2x+5)>2(4x+3)(8)10-4(x-3)<2(x-1)
第二篇:不等式和它的基本性质 教学设计方案
、素质教育目标(一)知识教学点1.使学生理解掌握不等式的三条基本性质,尤其是不等式的基本性质3.2.灵活运用不等式的基本性质进行不等式形.(二)能力训练点培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力.(三)德育渗透点培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神.(四)美育渗透点通过不等式基本性质的学习,渗透不等式所具有的内在同解变形的数学美,激发学生探究数学美的兴趣与激情,从而陶治学生的数学情操。
二、学法引导1.教学方法:观察法、探究法、尝试指导法、讨论法.2.学生学法:通过观察、分析、讨论,引导学生归纳小结出不等式的三条基本性质,从具体下升到理论,再由理论指导具体的练习,从而强化学生对知识的理解与掌握.三、重点难点疑点及解决办法(一)重点掌握不等式的三条基本性质,尤其是不等式的基本性质3.(二)难点正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形.(三)疑点弄不清不等号方向不变与所得结果仍是不等式之间的关系是学生学习的疑点.(四)解决办法讲清不等式的基本性质与等式的基本性质之间的区别与联系是教好本节内容的关键.四、课时安排一课时
五、教具学具准备投影仪或电脑、自制胶片.六、师生互动活动设计1.通过设计的一组比较大小问题,让学生观察并归纳出不等式的三条基本性质.2.通过教师的讲解及学生的质疑,让学生在与等式性质的对比中更加深入、准确地理解不等式的三条基本性质.3.通过教师的板书及学生的互动练习,体现出以学生为主体,教师为主导的教学模式能更好地对学生实施素质教育.七、教学步骤(-)明确目标本节课主要学习不等式的三条基本性质并能熟练地加以应用.(二)整体感知通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质,再反复比较三条性质的异同,从而寻找出在实际应用某条性质时应注意的使用条件,同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质1、2进行比较:相同点为不管是对等式还是不等式,都可以在它的两边同加(或减)同一个数或同一个整式.不同点是对于等式来说,在等式的两边乘以(或除以)同一个正数(或同一个负数)的情况下等式仍然对立.但对于不等式来说,却不一样,在用同一个正数去乘(或除)不等式两边时,不等号方向不变;而在用同一个负数去乘(或除)不等式两边时,不等号要改变方向.这是在不等式变形时应特别注意的地方.(三)教学过程1.创设情境,复习引入什么是等式?等式的基本性质是什么?学生活动:独立思考,指名回答.教师活动:注意强调等式两边都乘以或除以(除数不为0)同一个数,所得结果仍是等式.请同学们继续观察习题:(1)用或填空.①7+3____4+3 ②7+(-3)____4+(-3)③73____43 ④7(-3)____4(-3)(2)上述不等式中哪题的不等号与74一致?学生活动:观察思考,两个(或几个)学生回答问题,由其他学生判断正误.【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新,为学习本节内容提供必要的知识准备.不等式有哪些基本性质呢?研究时要与等式的性质进行对比,大家知道,等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式(实质是移项法则),请同学们观察①②题,并猜想出不等式的性质.学生活动:观察思考,猜想出不等式的性质.教师活动:及时纠正学生叙述中出现的问题,特别强调指出:仍是不等式包括两种情况,说法不确切,一定要改为不等号的方向不变或者不等号的方向改变.师生活动:师生共同叙述不等式的性质,同时教师板书.不等式基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.对比等式两边都乘(或除以)同一个数的性质(强调所乘的数可正、可负、也可为0)请大家思考,不等式类似的性质会怎样?学生活动:观察③④题,并将题中的3换成5,-3换成一5,按题的要求再做一遍,并猜想讨论出结论.【教法说明】观察时,引导学生注意不等号的方向,用彩色粉笔标出来,并设疑原因何在?两边都乘(或除以)同一个负数呢?0呢?为什么?师生活动:由学生概括总结不等式的其他性质,同时教师板书.不等式基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.不等式基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.师生活动:将不等式-26两边都加上7,-9,两边都乘3,-3试一试,进一步验证上面得出的三条结论.学生活动:看课本第57~58页有关不等式性质的叙述,理解字句并默记.强调:要特别注意不等式基本性质3.实质:不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行+、-、、四则运算,当进行+、-法时,不等号方向不变;当乘(或除以)同一个正数时,不等号方向不变;只有当乘(或除以)同一个负数时,不等号的方向才改变.不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些区别、联系?学生活动:思考、同桌讨论.归纳:只有乘(或除以)负数时不同,此外都类似.下面尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质.①若,则②若,且,则,;③若,且,则,.师生活动:学生思考出答案,教师订正,并强调不等式性质3的应用.注意:不等式除了上述性质外,还有以下性质:①若,则.②若,且,则,这些先不要向学生说明.2.尝试反馈,巩固知识请学生先根据自己的理解,解答下面习题.例1 根据不等式的基本性质,把下列不等式化成 或 的形式.(1)(2)(3)(4)学生活动:学生独立思考完成,然后一个(或几个)学生回答结果.教师板书(1)(2)题解题过程.(3)(4)题由学生在练习本上完成,指定两个学生板演,然后师生共同判断板演是否正确.解:(l)根据不等式基本性质1,不等式的两边都加上2,不等号的方向不变.所以(2)根据不等式基本性质1,两边都减去,得(3)根据不等式基本性质2,两边都乘以2,得(4)根据不等式基本性质3,两边都除以-4得【教法说明】解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比,并将原题与 或 对照,看用哪条性质能达到题目要求,要强调每步的理论依据,尤其要注意不等式基本性质3与基本性质2的区别,解题时书写要规范.例2 设,用或填空.(1)(2)(3)学生活动:在练习本上完成例2,由3个学生板演完成后,其他学生判断板演是否正确,最后与书中正确解题格式对照.解:(1)因为,两边都减去3,由不等式性质1,得(2)因为,且20,由不等式性质2,得(3)因为,且-40,由不等式性质3,得教师活动:巡视辅导,了解学生作题的实际情况,及时给予纠正或鼓励.注意问题:例2(3)是根据不等式性质3,不等号方向应改变.这是学生做题时易出错误之处.【教法说明】要让学生明白推理要有依据,以后作类似的练习时,都写出根据,逐步培养学生的逻辑思维能力.3.变式训练,培养能力(1)用或在横线上填空,并在题后括号内填写理由.(不等式基本性质1,2,3分别用A、B、C表示.)①∵()②∵()③∵()④∵()⑤∵ ⑥∵()学生活动:此练习以学生抢答方式完成,目的是训练学生思维能力,表达能力,烘托学习气氛.答案:①(A)②(B)③(C)④(C)⑤(C)⑥(A)【教法说明】做此练习题时,应启发学生将所做习题与题中已知条件进行对比,观察它们是应用不等式的哪条性质,是怎样由已知变形得到的.注意应用不等式性质3时,不等号要改变方向.(2)单项选择:①由 得到 的条件是()A.B.C.D.②由由 得到 的条件是()A.B.C.D.③由 得到 的条件是()A.B.C.D.是任意有理数④若,则下列各式中错误的是()A.B.C.D.师生活动:教师选出答案,学生判断正误并说明理由.答案:①A ②D ③C ④D(3)判断正误,正确的打,错误的打①∵()②∵()③∵()④若,则,()学生活动:一名学生说出答案,其他学生判断正误.答案:① ② ③ ④【教法说明】以多种形式处理习题可以激发学生学习热情,提高课堂效率;(2)练习第③④题易出错,教师应讲清楚.(四)总结、扩展1.本节重点:(1)掌握不等式的三条基本性质,尤其是性质3.(2)能正确应用性质对不等式进行变形.2.注意事项:(1)要反复对比不等式性质与等式性质的异同点.(2)当不等式两边同乘(或除以)同一个数时,一定要看清是正数还是负数,对于未给定范围的字母,应分情况讨论.3.考点剖析:不等式的基本性质是历届中考中的重要考点,常见题型是选择题和填空题.八、布置作业(一)必做题:P61 A组4,5.(二)选做题:P62 B组1,2,3.参考答案(一)4.(1)(2)(3)(4)5.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(二)1.(1)(2)(3)2.(1)(2)(3)(4)3.(1)(2)(3)
九、板书设计6.1 不等式和它的基本性质(二)
一、不等式的基本性质1.不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.若,则,.2.不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号方向不变,若,则.3.不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号方向改变,若,则.二、应用例1 解(1)(2)(3)(4)例2 解(1)(2)(3)
三、小结注意不等式性质3的应用.十、背景知识与课外阅读盒子里有红、白、黑三种球,若白球的个数不少于黑球的一半,且不多于红球的,又白球和黑球的和至少是55,问盒中红球的个数最少是多少个?
第三篇:不等式和它的基本性质1教案
不等式和它的基本性质
(一)教学目标:1.了解不等式的意义,掌握不等式的基本性质,并能正确运用它们将不等式变形;
2.提高学生观察、比较、归纳的能力,渗透类比的思维方法;
重、难点:掌握不等式的基本性质并能正确运用它们将不等式变形。教
法:尝试、讨论、引导、总结 教
具:投影仪 教学内容及程序:
一、前提测评
1.前边,我们已学习了等式和它的基本性质。请同学们思考并回答下列问题。2.由“等式表示相等关系”,教师问:在现实生活中,同种量间有没有不等的关系呢?(如身高与身高、面积与面积等)请学生举一些实例。
3.这节课,我们就来认识表示不等式关系的式子,并研究它的性质。(板书:不等式和它的基本性质)
二、达标导学
我们先来认识不等式。(板书:“1.不等式的意义”)1. 教师出示下列式子(板书):
-7<-5 ,3+4>1+4 ,5+31≠2-5 ,a≠0 ,a+2>a+1 ,x+3<6。学生观察上面式子时,教师问:哪位同学能由等式的意义,说说“什么叫做不等式?”(对学生的回答作以修正并板书:“不等式的意义:用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式”。)
2. 例
1、用不等式表示:
①a是负数;
② x的6倍减去3大于10;③ y的1与6的差小于1 ④ x与2的和是非负数;
⑤ x的2倍与y的一半的差不大于1 3. 练习:P56 练习1、2、3 4. 学生做了课本第56页练习后,教师:本章我们主要研究含有未知数的不等式,如x+3<6。对于“x+3<6”中,当x取某些数值(-
1、0、„„)时,不等式成立;当x取另外一些数值(如3、6、„„)时,不等式不成立。与前面学过的方程类似,使不等式成立的数,我们说它是不等式的解,反之,使不等式不成立的数,我们说它不是不等式的解。完成课本上P56想一想 5. 练习:P57 练习4 ▲下面,我们研究不等式的基本性质。(板书:“2.不等式的基本性质“)1.引导发现
教师引导学生回忆等式的基本性质(教师叙述)为促使类比,教师说明;“等式”和“不等式”都是表示同种量间的数量关系。并提
出问题:不等式作类似变形后,所得结果左、右两边的不等式关系会不会发生变化呢?
学生讨论3-5分钟。教师视学生讨论情况可再做适当引导。讨论结果:有时两边大小关系不变,有时两边大小关系改变了。
6. 实例探究
不等式在作上述哪种变形时,两边大小关系不变或两边大小关系改变呢?
将学生分组,对下列不等式作:①两边都加上(减去)同一个数;②两边都乘以(除以)同一个正数;③两边都乘以(除以)同一个负数,这三种变形。
A组:7>4
B组-3<5;
C组-4>-5;
D组-2<-1。
变形教师了解各组学生变形的结果,引导归纳:“不等式的三条基本性质”(板书)。3.强化认识
①学生再作“对数字不等式”的第三种变形即给两边都乘以(除以)一个负数。②口答:判断:
①∵3>2
∴-3>-2
()
②∵-1<2
∴1<-2
()
③∵1x0
∴x>0
()2④∵-a<-3
∴a<3
()
三、达标检测(另附纸)
四、评价总结:
五、作业:
P12 A1-
3B1
六、教后感
第四篇:初中不等式数学教案
兴义民族师范学院
2012届毕业生
摸拟实习教案
姓 名:马 泽
院 系:数 学 系
专 业:数 学 教 育
学 号:200930412031 指导教师:黄 激 珊
时间:2011年12月18日
第九章
不等式与不等式组
9.1
不等式
第一课时
9.1.1
不等式及其解集
教学目标:让同学们理解不等式及其解集的概念和表示方
法,同时对一元一次不等式的理解。
教学重点:不等式的表示方法和不等式解集的表示形式。教学难点:在实际应用中不等式所满足的条件及其解集的表
示。
教学用具:直尺。
复习导入:复习一元一次方程。教学过程:
一、提出问题:
一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50千米,要在12:00之前驶过A 地,车速应满足什么条件?
二、分析问题:
解:设车速是x千米/时。
从时间上看,汽车要在12:00之前驶过地,则以2502这个速度行驶50千米所用的时间不到小时,即 ①3x3 从路程上看,汽车要在12:00之前驶过地,则以22x这个速度行驶小时的路程要超过50千米,即50 ②33
式子和从不同的角度表示了车速应满足的条件。
三、归纳定义:
1、不等式:像和这样用符号“<”或“>”表示大小关系的式子,叫做不等式。
但是,像a+2a-2这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式。这是同学们应该注意的。注意:(1)不含未知数的不等式 例如:34,-1-2(2)含有未知数的不等式5022x 例如:,50x33(3)怎样才能明确未知数满足的条件呢?2x 例如:5032x 当x78时,50;32x 当x75时,50;32x 当x72时,50.3
2x对上面的问题而言,当x取某些值(如78)时,不等式50成立;32x当x取某些值(如75,72)时,不等式50不成立。3
2、不等式的解:与方程类似,我们把不等式成立的未知数的值叫 做不等式的解。2x2x 例如:78是不等式50的解,而75和72不是不等式50的解.33
2x思考:判断下列数中哪些是不等式50的解?376,79,73,80,74.2,75,90,63
你还能最找出这个不等式的其他解吗?这个不等式有多少个解?2x从以上的思考可以发现,当x=75时,不等式50成立,而当x7532x或x=75时,不等式50不成立。3
这就是说:任何一个大于75的数都是不等式2x50的解,这样的解有无数个。
33、解的集合:能使不等式成立的x的取值范围,叫做不等式的解的集合,简称解集。
2x例如:50的解集表示为:x75.这个解集还可以用数轴来表示:3
图9.1-1 原点①数轴正方向 ② 实数与点一一对应单位长度
用数轴来表示解集应注意得到问题:
(1)在表示75的点上画空心圆圈,表示不包含这一点。
(2)若画的是实点,则包含这个点。如x≥3 4
图9.1-2
(3)一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集。
(4)求不等式的解集的过程叫做解不等式。
4、一元一次不等式:类似于一元一次方程,含有一个未知
数,未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
2x例如:50是一个一元一次不等式。3 同学们还能举出一些一元一次不等式的例子吗?250,7x14,2x423x250注意:中的x在分母位置,这个不等式不是一元一次不等式。3x
四、练习训练:
1、下列数值哪些是不等式x+3>6的解?哪些不是?-4,-2.5,0,1,2.5,3,3.2,4.8,8,9,12,16.2、用不等式表示:
(1)a是正数;
(2)a是负数;
(3)a与5的和小于7;
(4)a与2的差大于-1;(5)a的4倍大于8;
(6)a的一半小于3;
3、直接求出不等式的解集:
(1)x+3>6;(2)2x<8;(3)x-2>0.五、回顾总结:
1、不等式 不等式的解 解的集合 表示方法(数轴)
2、一元一次不等式;理解概念。
六、作业布置:
1、下列数值中哪些是不等式2x+3>9的解?哪些不是?-4,-2,0,1,3,3.02,4,6,50,58,100.2、用不等式表示:(1)a与5的和是正数;(2)a与2的差是负数;(3)b与15的和小于27;(4)b与12的差大于-5;(5)c的4倍大于或等于8;(6)c的一半小于或等于3;(7)d与e的和不小于0;(8)d与e的差不大于-2.3、写出不等式的解集:(1)x+2>6;(2)2x<10;(3)x-2>0.1;(4)-3x<10.7
第五篇:数学教案【不等式的性质及证明】
一、教学内容:不等式性质及证明.
二、教学目标:
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. 2.理解不等式的性质,掌握不等式证明的基本方法.
三、重点难点:
1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.
2.利用不等式性质的基本性质进行简单的推理及证明,培养学生的逻辑推理能力及分析问题、解决问题的能力.
四、教学过程:
(一)知识要点
1、不等式的基本性质
(1)对于任意两个实数a、b,都有
abab0; abab0; abab0.
(2)比较两实数a、b大小的方法——求差比较法,即通过判断它们的差ab的符号来判断a、b的大小.
2、不等式的性质定理
定理1:若ab,则ba;若ba,则ab.即abba. 说明:把不等式的左边和右边交换,所得不等式与原不等式异向,称为不等式的对称性. 定理2:若ab,且bc,则ac.
说明:此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数;定理2称不等式的传递性.
定理3:若ab,则acbc.
说明:① 不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向; ② 定理3的证明相当于比较ac与bc的大小,采用的是求差比较法; ③ 定理3的逆命题也成立;
④ 不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边. 定理3推论:若ab,且cd,则acbd.
说明:① 推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出;
② 这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即:两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向;
③ 同向不等式:两个不等号方向相同的不等式;异向不等式:两个不等号方向相反的不等式.
定理4:如果ab且c0,那么acbc;如果ab且c0,那么acbc. 推论1:如果ab0且cd0,那么acbd.
说明:① 不等式两端乘以同一个正数,不等号方向不变;乘以同一个负数,不等号方向改变;
② 两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向;
③ 推论1可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说,两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.
nn推论2:如果ab0,那么ab(nN且n1).
定理5:如果ab0,那么nanb(nN且n1). 例题1 对于实数a、b、c,判断下列命题的真假.
(1)若ab,则acbc;
(2)若ab,则acbc;(3)若acbc,则ab;
(4)若ab0,则aabb;(5)若ab0,则22222211ba;
(6)若ab0,则. ababcc. ab◆应用Ⅰ 证明简单的不等式
例题2.1 已知ab0,c0,求证:
应用练习设a、b是非零实数;若ab,则下列不等式成立的是()A.ab
B.abab
C.◆应用Ⅱ 判断命题的真假
例题2.2 对于任意实数a、b、c,在下列命题中,真命题是()A.“acbc”是“ab”的必要条件 B.“acbc”是“ab”的必要条件 C.“acbc”是“ab”的充分条件 D.“acbc”是“ab”的充分条件
应用练习已知a,b,c,d为实数,且cd,则“ab”是“acbd”的()A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 ◆应用Ⅲ 比较实数的大小 222211ba
D.
ab2a2bab1122、、a、b的大小关系. ab11112222提示:首先利用a、b是正数,、是负数,再分别去比较a、b、、的大小.
abab例题2.3 若1ab0,试比较
应用练习已知a0,且a1,mn0,比较Aa
◆应用Ⅳ 求取值范围问题 例题2.4 已知
m11n和的大小. Bamnaa22,求
2的范围.
11应用练习若、满足,试求3的取值范围.
123提示:可将3用,2表示出来,问题可得解. 3.证明不等式的基本方法(1)比较法
比较法证明不等式的一般步骤:作差—变形—判断—结论;为了判断作差后的符号,有时要把这个差变形为一个常数,或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式,也可变形为几个因式的积的形式,以便判断其正负.
以上介绍的是差值比较法,用比较法证不等式还可采取商值比较法,即左、右两边作商判断商值与1的大小.(2)综合法
利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质,推导出所要证明的不等式,这个证明方法叫综合法;利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件.
综合法证明不等式的逻辑关系是:AB1B2BnB,及从已知条件A出发,逐步推演不等式成立的必要条件,推导出所要证明的结论B.(3)分析法
证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种方法通常叫做分析法.
分析法是从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,即“执果索因”.
例题3.1已知a,bR,求证:abab.
分析:本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行.
〖练习〗若实数x1,求证:3(1xx)(1xx).
例题3.2 已知a,b,m都是正数,并且ab.求证:
应用练习证明:(ab)(cd)(acbd).
(1)
变式训练 证明函数f(x)
应用练习证明函数y2
x24x3abba2422ama(1).
bmb222221在其定义域上是减函数.
xx在[2,)上是增函数. 五.课堂小结:
1.不等式的概念和性质式本章的基础,是证明不等式和解不等式的主要依据,复习时要高度重视.对每一条性质,要弄清条件和结论,注意条件加强和放宽后,条件和结论之间发生的变化;记住不等式运算法则的结论形式,掌握运算法则的条件,避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误.掌握证明不等式性质的方法,可以进一步提高逻辑推理能力.
2.不等式证明常用的方法有:比较法、综合法和分析法,它们是证明不等式的最基本的方法.
(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述:如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则考虑用判别式法证;
(2)综合法是由因导果,而分析法是执果索因,两法相互转换,互相渗透,互为前提,充分运用这一辩证关系,可以增加解题思路,开扩视野.
3.不等式证明还有一些常用的方法:换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换,均值代换两种,在应用换元法时,要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩要有的放矢,目标可以从要证的结论中考查.有些不等式,从正面证如果不易说清楚,可以考虑反证法.凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定词的命题,适宜用反证法.
证明不等式时,要依据题设、题目的特点和内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.
4.利用性质求数(式)的取值范围的方法
应用不等式的性质求多个变量线性组合的范围,由于变量间彼此相互制约,在“取等”的条件上会有所不同,故解此类题目要特别小心.一般来说,可采用整体换元或待定系数法.
例如,已知1xy4且2xy3,则z2x3y的取值范围是__________.(答案用区间表示)
方法一:设2x3ys(xy)t(xy),通过对比系数求出s、t的值. 方法二:画出1xy4的可行域为ABCD,z(3,8)的最优解为A、C两点.
2xy3 4