导数--函数的极值练习题

第一篇：导数--函数的极值练习题

导数--函数的极值练习题

一、选择题

1.下列说法正确的是()

A.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极大值 B.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极小值 C.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极值

D.当f(x0)为函数f(x)的极值且f′(x0)存在时，则有f′(x0)=0 2.下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是()

①y=x3②y=x2+1③y=|x|④y=2x A.①②B.②③C.③④D.①③ 3.函数y=

6x

1x2的极大值为()A.3B.4C.2D.5

4.函数y=x3－3x的极大值为m,极小值为n,则m+n为()A.0B.15.y=ln2x+2lnx+2的极小值为()A.e－B.0C.－1 D.1 6.y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于()

A.6B.0C.5D.1

7．对可导函数,在一点两侧的导数异号是这点为极值点的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 8.下列函数中, x0是极值点的函数是()

A.yx3B.ycos2xC.ytanxxD.y1x 9.下列说法正确的是()

A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大;B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值;C.对于f(x)x3

px2

2x1,若|p|6,则f(x)无极值;

D.函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值.10.函数f(x)x3ax2bxa2

在x1处有极值10, 则点(a,b)为()

A.(3,3)B.(4,11)C.(3,3)或(4,11)D.不存在 11.函数f(x)|x2

x6|的极值点的个数是()

A.0个B.1个C.2个D.3个 12.函数f(x)

lnx

x

()A.没有极值B.有极小值C.有极大值D.有极大值和极小值

C.2D.4二．填空题：

13.函数f(x)x2lnx的极小值是

14.定义在[0,2]上的函数f(x)e2x2cosx4的极值情况是

15.函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的减区间是2

16.下列函数①yx3,②ytanx,③y|x3x1|,④yxex,其中在其定义区间上存在极值点的函数序号是

17.函数f(x)=x3－3x2+7的极大值为___________.18.曲线y=3x5－5x3共有___________个极值.19.函数y=－x3+48x－3的极大值为___________；极小值为___________.20.若函数y=x3+ax2+bx+27在x=－1时有极大值，在x=3时有极小值，则a=___________,b=___________.三．解答题

21.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=－1时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值.求这个极小值及a、b、c的值.22.函数f(x)=x+a

x

+b有极小值2，求a、b应满足的条件.23.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=2处有极值，其图象在x＝1处的切线垂直于直线y=1

x-2（1）设f(x)的极大值为p，极小值为q，求p-q的值；

（2）若c为正常数，且不等式f(x)>mx2在区间（0,2）内恒成立，求实数m的取值范围。

第二篇：1.3.2函数的极值与导数教学反思

《1.3.2函数的极值与导数》的教学反思

应用函数极值与导数的关系求函数极值，用导数求闭区间上函数的最大值和最小值的方法让学生经过实例分析，熟练灵活掌握，使学生经历知识产生与形成的过程。以自主探究为主，及时归纳方法，熟练灵活应用知识解决问题，注意题型归类．规范解题步骤，严格化训练学生运算能力。加强自信心的培养，积累高考题、创新题的解法，鼓励学生从多个角度分析解决问题，形成良好的知识结构与网络。通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。利用多媒体辅助教学，调动了学生的课堂参与空间，有效的增加了课堂容量，提高了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛；利用小组探究的形式，提高了学生动手能力、探究能力和自学能力，基本达到了高效课堂的效果。

不足：学生对探究性问题研究的还不够深入，只停留在表面问题的解决，对于探究过程中遇到的问题，解决的方式方法还有待提高改进。学生运算技能还需要进一步提高，尤其是字母运算，加强分类讨论思想方法总结，题目难度需进一步降一下，心理素质需进一步调节，学生浮躁，好习惯有待加强养成。

改进措施：当学生分组探究问题时，老师应当尽量参与到其中，多与学生交流，多走动，及时发现学生的困难，引导学生思考问题的方向；鼓励学生大胆设问，及时对学生的问题进行引导和鼓励。

第三篇：构造函数解导数

合理构造函数解导数问题

构造函数是解导数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键。

例1：已知函数fxlnax1x3x2ax.(1)若2为yfx的极值点，求实数a的值； 3(2)若yfx在1,上增函数，求实数a的取值范围；(3)若a1时，方程f1x1x3b有实根，求实数b的取值范围。x

变量分离直接构造函数 抓住问题的实质，化简函数

1、已知fx是二次函数，不等式fx0的解集是0,5，且fx在区间1,4上的最大值12.（1）求fx的解析式；

（2）是否存在自然数m，使得方程fx370在区间m,m1内有且只有两个不等的x实数根？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由。

变式练习：设函数fxx6x5,xR，求已知当x1,时，fxkx1恒

3成立，求实数k的取值范围。

抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题

例： 已知函数fxnlnx的图像在点P(m,fm)处的切线方程为yx, 设gxmxn2lnx.x（1）求证：当x1时，gx0恒成立；（2）试讨论关于x的方程mxngxx32ex2tx根的个数。x第 1 页

共 1 页 一次函数，二次函数，指对数函数，幂函数，简单的分式根式函数，绝对值函数的图象力求清晰准确，一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体，如果适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口，使问题简单化明确化。

复合函数问题一定要坚持定义域优先的原则，抓住函数的复合过程能够逐层分解。例：已知函数fx单调递增。

（1）求实数a的值.（2）若关于x的方程f2xm有3个不同的实数解，求实数m的取值范围.（3）若函数ylog2fxp的图像与坐标轴无交点，求实数p的取值范围。复合函数尤其是两次复合，一定要好好掌握，构造两种函数逐层分解研究，化繁为简，导数仍然是主要工具。

1423xxax22x2在区间1,1上单调递减，在区间1,2上43

导数—构造函数

一：常规的构造函数

例一.若sin3cos3cossin,02，则角的取值范围是（）(A)[0,4]

(B)[5,]

(C)[,]

4(D)[34,2)

xyxy变式、已知3355成立，则下列正确的是（）

A.xy0

B.xy0

C.xy0

D.xy0

2变式.f(x)为f(x)的导函数，若对xR，2f(x)xf(x)x恒成立，则下列命题可能错误的是()A．f(0)0 B．f(1)4f(2)C．f(1)4f(2)D．4f(2)f(1)

二：构造一次函数

例

二、对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>a+2x恒成立的x的取值范围.第 2 页

共 2 页 三：变形构造函数 例三．已知函数f(x)12xax(a1)lnx，a1． 2（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）证明：若a5，则对任意x1,x2(0,)，x1x2，有

例

四、已知函数f(x)(a1)lnxax21.（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）设a2，证明：对任意x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.四：消参构造函数

例

五、设函数fxxaln1x有两个极值点x1，x2，且x1x2．

2f(x1)f(x2)1．

x1x2（I）求a的取值范围，并讨论fx的单调性；（II）证明：fx2

五：消元构造函数

例

六、已知函数fxlnx，gxex．

（Ⅰ）若函数xfx12ln2． 4x1，求函数x的单调区间； x1（Ⅱ）设直线l为函数的图象上一点Ax0,fx0处的切线．证明：在区间1,上存在唯一的x0，使得直线l与曲线ygx相切．

第 3 页

共 3 页 六：二元合一构造函数

12axbx(a0)且导数f'(1)0 2（1）试用含有a的式子表示b，并求f(x)的单调区间；（2）对于函数图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)如果在函数图象上存在点M(x0,y0)（其中x0(x1,x2)）使得点M处的切线l//AB，则称AB存在“跟随切线”。

xx2特别地，当x01时，又称AB存在“中值跟随切线”。试问：在函数f(x)上是否存在2两点A、B使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出A、B的坐标，若不存在，说明理由。例

七、已知函数f(x)lnx

七：构造函数解不等式

例

八、设函数f(x)＝x32mx2m2x1m(其中m >-2)的图像在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行；

（Ⅰ）求m的值与该切线方程；

（Ⅱ）若对任意的x1,x20,1,fx1fx2M恒成立，则求M的最小值；（Ⅲ）若a0, b0, c0且a+b+c=1，试证明：

例

九、设函数f(x)lnxpx1

（Ⅰ）求函数f(x)lnxpx1的极值点

（Ⅱ）当p0时，若对任意的x0，恒有f(x)0，求p的取值范围。

abc9

1a21b21c210ln22ln32ln42lnn22n2n1（Ⅲ）证明：2222(nN,n2)

234n2(n1)

例

十、证明：对任意的正整数n，不等式ln(1)

第 4 页

共 4 页

1n113都成立.2nn1、移项法构造函数

【例1】已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有1

2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数f(x)1ln(x1)x x112xlnx.求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数2g(x)23x的图象的下方； 31111)23 都成立.nnn

3、换元法构造函数证明

【例3】证明：对任意的正整数n，不等式ln（4、从条件特征入手构造函数证明

【例4】若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：．af(a)>bf(b)

第 5 页

共 5 页

第四篇：导数的练习题

1、1）f(x)=x

xx32,则f(x)2）已知f(x)=ln2x,则f’(2)=,[f(2)]’=

2'(2x3)'；[sin(x2x)]'25[ln(2x1)]'；[(2x1)]'

2.曲线yx

x2在点（-1，-1）处的切线方程为

3.若曲线yx2axb在点(0,b)处的切线方程是xy10，则

4、已知曲线f(x)x3x2在点P处的切线平行于直线4xy10，则点P5、已知曲线f(x)x4在点P处的切线与直线2xy10垂直，则切线方程为

6．曲线ye2x在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为117.若曲线yx2在点a,a2

处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a



8.若f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)

9、已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值

（1）讨论f(1)和f(-1)是极大值还是极小值（2）过点（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求切线方程

10、函数yax33x2x1在R上单调递减，则a11、若f(x)

围。

12、函数f(x)xbxcxd的图像过点P（0，2），且在点M（-1，f(-1)）处的切线方程为

6xy70（1）求函数解析式（2）写出单调区间 3213x312ax2(a1)x1在(1,4)上是减函数，在(6,)上为增函数，则a的范

13、已知函数f(x)xax32bxc在x2

3与x1时都取得极值

2（1）求a,b的值与函数的单调区间（2）若对x1,2，不等式f(x)c恒成立，求c的范围

14、x=3是f(x)aln(1x)x10x的一个极值点

（1）求a（2）求f(x)的单调区间（3）若y=b与y=f(x)有三个交点，求b的范围

15、用导数证明：lnx1

x1

2(x1)1222

3(1x)

3316、已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1时都取得极值

（1）求a,b的值与函数的单调区间

（2）若对x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求c的范围

第五篇：教案 导数的应--极值(典型例题含答案)

教案4：导数的应用（2）--极值

一、课前检测

1.函数f(x)x3ax23x9, 已知f(x)在x3时取得极值, 则a的取值是()A.2 答案：D

2.函数y=x-sinx,x B.3

C.4

D.5 ,的最大值是（）2A.-1

B.答案：C 3.已知f(x)=答案：m-1

C.

D.+1 21312xx6x，当x[－1，2]时，f(x)m恒成立，则实数m的取值范围是______.3231 6

二、知识梳理

可导函数的极值⑴ 极值的概念

设函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有点都有（或），则称f(x0)为函数的一个极大（小）值．称x0为极大（小）值点.⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数f(x)；

② 求方程f(x)＝0的 ；

③ 检验f(x)在方程f(x)＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得.3．函数的最大值与最小值：

⑴ 设y＝f(x)是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝f(x)在(a ,b)内有导数，则函数y＝f(x)在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值．(2)求最值可分两步进行：

① 求y＝f(x)在(a ,b)内的 值；

② 将y＝f(x)的各 值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3)若函数y＝f(x)在[a ,b ]上单调递增，则f(a)为函数的，f(b)为函数的 ；若函数y＝f(x)在[a ,b ]上单调递减，则f(a)为函数的，f(b)为函数的.三、典型例题分析

例1．函数y=1+3x－x3有（）

A.极小值－2,极大值2

B.极小值－2,极大值3

C.极小值－1,极大值1

D.极小值－1,极大值3 解析：y′=3－3x2=3（1+x）（1－x）.令y′=0得x1=－1,x2=1.当x＜－1时,y′＜0,函数y=1+3x－x3是减函数;当－1＜x＜1时, y′＞0,函数y=1+3x－x3是增函数;当x＞1时,y′＜0,函数y=1+3x－x3是减函数.∴当x=－1时,函数y=1+3x－x3有极小值－1;当x=1时,函数y=1+3x－x3有极大值3.答案：D 变式训练1：已知函数f(x)=x+ax+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；

（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.322解（1）由f(x)=x+ax+bx+c,得f(x)=3x+2ax+b，当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 ①

22当x=时，y=f(x)有极值，则f=0,可得4a+3b+4=0 ②

32233由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.∴1+a+b+c=4.∴c=5.322（2）由（1）可得f(x)=x+2x-4x+5,∴f(x)=3x+4x-4, 令f(x)=0,得x=-2,x=.23

当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：

x-3(-3,-2)+-2 0

22,

32 32,1 31 y′

y 8

-0 + 单调递增 单调递减 ↗ ↘ 单调递增 95 4 27↗

95.27 ∴y=f（x）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为

例2．（2006.北京）已知函数fxax3bx2cx在点x0处取得 极大值5,其导数y=f(x)的图象经过点(1,0),(2,0)（如图所示）。

求:(1)x0的值;(2)a,b,c的值.评析与简答: 本题凸显了对同学们读图、识图以及捕捉图形信息能力的考查。（1）由'f'x3ax22bxc的图像与x轴的交点为1,0,2,0,立判在x=1的两侧导数值“左正右负”且（2）导函数图像还可得f'(2)0②，再加f(1）=5③，解①②③联立的方程组，f'(1)0①，所以x01；得a

2、b=－

9、c=12（利用根系关系亦可）。

变式训练：（2008福建）设f '(x)是函数f(x)的导函数，y=f '(x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（）y

O 1 2 x y y y y

O 1 2 x O 1 2 x 1 2 x O 1 2 x

A

B

C

D 答案：C

例3．已知函数f(x)ax3bx2(c3a2b)xd(a0)的图像如图所示。(1)求c,d的值；

(2)若函数f(x)在x2处的切线方程为3xy110，求函数f(x)的解析式；（3）若x0=5，方程f(x)8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。答案：（1）c0,d3；（2）fxx36x29x3（3）

3o1x0xy1a3 11变式训练：已知x∈R,求证：ex≥x+1.证明:设f（x）=ex－x－1,则f′（x）=ex－1.∴当x=0时，f′（x）=0,f（x）=0.当x＞0时，f′（x）＞0,∴f（x）在（0,+∞）上是增函数.∴f（x）＞f（0）=0.当x＜0时，f′（x）＜0,f（x）在（－∞,0）上是减函数，∴f（x）＞f（0）=0.∴对x∈R都有f（x）≥0.∴ex≥x+1.四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）

1.知识：

2.思想与方法： 3.易错点：

4.教学反思（不足并查漏）：