实验3 函数的极值以及符号表达式的计算

第一篇：实验3 函数的极值以及符号表达式的计算

实验3 函数的极值以及符号表达式的计算

一、实验目的1、求函数的极值；

2、符号表达式的分解、展开与化简；

3、求符号表达式的极限；

4、级数的求和与泰勒级数展开。

二、实验内容

1、求函数f(t)ettsin(t)在[0,1]内的最小值点以及最小值。

2、对以下表达式进行因式分解，然后再将分解的结果进行展开，检查因式分解结果是否正确。

（1）xx2xx1

（2）x5x5x5x63、对以下表达式进行化简。

（1）4x8x3

2x12432432

（2）2cos2xsin2x4、求下列函数的极限。

（1）limx6x8

x5x422x4

（2）limsin(x)/x x05、首先作出函数ycos(1/x)在区[-1,-1e-6]区间上的图形，观测图形在x0附近的形状，判断ycos(1/x)函数在x0极限的存在性。然后通过limit函数求其极限。

6、当p0.9,1,2时，分别求p级数1

1p12p13p1np的和。

7、求ex在x1出展开到第4项的泰勒级数。

第二篇：自动化专业英语常用数学符号及表达式

there exists∃for allp q p implies q / if p, then q pq p if and only if q /p is equivalent to q/p and q are equivalent 2 集合(Sets)

xAx belongs to A / x is an element(or a member)of A

xAx does not belong to A / x is not an element(or amember)of A ABA is contained in B / A is a subset of B

AB A contains B / B is a subset of A

AB A cap B / A meet B/ A intersection B

AB A cup B/ A join B / A union B

B/AA minus B/the difference between A and B

A×B A cross B / the Cartesian product of A and B(A与B的 笛卡尔积)3 实数(Real numbers)

x+1x plus one

x-1x minus one

x±1x plus or minus one

xyxy / x multiplied by y

(x-y)(x+y)x minus y, x plus y

x

x over y y

=the equals sign

x=5x equals 5 / x is equal to 5

x≠5x(is)not equal to 5

x≡yx is equivalent to(or identical with)y

x>y x is greater than y

x≥y x is greater than or equal to y

x< y x is less than y

xy x is less than or equal to y

0

0x1

|x|zero is less than or equal to x is less than or equal to 1 mod x / modulus x

x2 x squared / x(raised)to the power 2

x3x cubedx4x to the fourth / x to the power four xn x to the nth / x to the power nx-n x to the(power)minus n ∑n!(x+y)2xinaii1x2 yxˆn factorial x plus y all squared xi / x subscript i / x suffix i / x sub i the sum from i equals one to n ai / the sum as i runsfrom 1 to n of the ai x over y all squared x hat

x bar ~xx tilde线性代数(Linear algebra)

||x|| the norm(or modulus)of xO OA / vector OA

OA OA / the length of the segment OA

AT A transpose / the transpose of A

A-1 A inverse / the inverse of A

f(x)fx / f of x / the function f of x

f : S→T a function f from S to T

x maps to y / x is sent(or mapped)to y

f(x)

f(x)

f prime x / f dash x / the(first)derivative of ff double–prime x / f double–dash x / the secondderivative of f with respect to xwith respect to x

f(x)f triple–prime x / f triple–dash x / the third

derivative of f with respect to x

f(4)four x / the fourth derivative of f with respectto x

ln ylog y to the base e / log to the base e of y /natural log(of)y函数(Functions)

 fthe partial(derivative)of f with respect to x1

x 1

2the second partial(derivative)of f with respect to x1∂f

∂x12

∞the integral from zero to infinity

lim x→ 0the limit as x approaches zero from above

一、个人简历

Resume

Personal details

1.Name:Qin Fukun2.Age: 203.Date of Birth: December 24,19874.Sex: Male

5.Marital Status: single6.Address: 349 Hepin Street, Wuhan, Hubei ,430081,7.Tel: 0722-598256398.E-mail:9.Education： 10.Work experience：

11.Honors: 12.Course taken:13.Foreign language:14.References:

∫

第三篇：导数--函数的极值练习题

导数--函数的极值练习题

一、选择题

1.下列说法正确的是()

A.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极大值 B.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极小值 C.当f′(x0)=0时，则f(x0)为f(x)的极值

D.当f(x0)为函数f(x)的极值且f′(x0)存在时，则有f′(x0)=0 2.下列四个函数，在x=0处取得极值的函数是()

①y=x3②y=x2+1③y=|x|④y=2x A.①②B.②③C.③④D.①③ 3.函数y=

6x

1x2的极大值为()A.3B.4C.2D.5

4.函数y=x3－3x的极大值为m,极小值为n,则m+n为()A.0B.15.y=ln2x+2lnx+2的极小值为()A.e－B.0C.－1 D.1 6.y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于()

A.6B.0C.5D.1

7．对可导函数,在一点两侧的导数异号是这点为极值点的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 8.下列函数中, x0是极值点的函数是()

A.yx3B.ycos2xC.ytanxxD.y1x 9.下列说法正确的是()

A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大;B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值;C.对于f(x)x3

px2

2x1,若|p|6,则f(x)无极值;

D.函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值.10.函数f(x)x3ax2bxa2

在x1处有极值10, 则点(a,b)为()

A.(3,3)B.(4,11)C.(3,3)或(4,11)D.不存在 11.函数f(x)|x2

x6|的极值点的个数是()

A.0个B.1个C.2个D.3个 12.函数f(x)

lnx

x

()A.没有极值B.有极小值C.有极大值D.有极大值和极小值

C.2D.4二．填空题：

13.函数f(x)x2lnx的极小值是

14.定义在[0,2]上的函数f(x)e2x2cosx4的极值情况是

15.函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的减区间是2

16.下列函数①yx3,②ytanx,③y|x3x1|,④yxex,其中在其定义区间上存在极值点的函数序号是

17.函数f(x)=x3－3x2+7的极大值为___________.18.曲线y=3x5－5x3共有___________个极值.19.函数y=－x3+48x－3的极大值为___________；极小值为___________.20.若函数y=x3+ax2+bx+27在x=－1时有极大值，在x=3时有极小值，则a=___________,b=___________.三．解答题

21.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=－1时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值.求这个极小值及a、b、c的值.22.函数f(x)=x+a

x

+b有极小值2，求a、b应满足的条件.23.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=2处有极值，其图象在x＝1处的切线垂直于直线y=1

x-2（1）设f(x)的极大值为p，极小值为q，求p-q的值；

（2）若c为正常数，且不等式f(x)>mx2在区间（0,2）内恒成立，求实数m的取值范围。

第四篇：确定二次函数表达式导学案

确定二次函数表达式导学案

学习目标

1、从实际问题入手，经历确定二次函数表达式的过程。

2、会用待定系数法求二次函数解析式，能灵活的根据条件恰当地选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。

3、从学习过程中体会学习数学知识的价值，培养数学应用意识。

学习过程

教学过程：

生活中的很多问题需要运用数学知识解决，比如说这道题，昨天晚上大家已经进行自主探究。

（一）前置自学

某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AcB)的薄壳屋顶.它的拱宽AB为4m,拱高CD为2m.施工前要先制造模板,怎样画出模板的轮廓线呢?至少设计两种方案。

(温馨提示：建立适当的直角坐标系，求出这段抛物线所对应的二次函数表达式)

自主解决：

按下列问题组内交流你的预习成果 小组合作 质疑解惑（1）你们组共有几种方案，你还能想到哪些?（2）比较哪种方案更简单，说明理由。

集体交流 展示成果

通过刚才这些同学的展示，那咱同学回想这些图形，你是如何确定出二次函数表达式?（学生思考）

师提示：比如说这个y=ax2 它有什么特点？

生齐答，师板书：它的顶点在原点，那y=ax2+c 呢？顶点（0，c）;y=a(x－h)2 这三种形式实际上我们都可以归结为y=a(x-h)2+k 这个顶点式的完整形式。举个例子，如果我说它经过的是原点（0,0），顶点是（0,0），实际上也就是当h=0时，k=0把它代入这个顶点式，即可求出二次函数的表达式，师提问：那么从图像上面获取信息，获取的是哪些信息呀？（思考）提示：你如何求出这个表达式？我们要从中找到顶点坐标，然后代入解析式，求出结果。

小组在一起把你们组的情况再汇总一下。缺少什么补充。实际上还有很多方案，课后你可以继续探讨。

梳理点拨 诊断评价： 投影显示：

请看黑板，这道题如何求出函数表达式？

（二）例题精析

已知二次函数的图像经过（0,2）（1,0）和（-2,3），求这个函数表达式。首先自主解决

在本上先只列式不解答

集体交流

师：由什么条件决定设成y＝ax2＋bx＋c 生：因为他告诉你三个点坐标

师：这道题与前面一组问题有什么本质区别？ 它没有明确的提出当中的顶点，三个点先选定哪个？ 生：（0,2）求出c，再将另外两点，组成方程组 师：几个未知数，是二元一次方程，解出方程组，求出a,b值。最后别忘了，你这道题要求的问题是？

梳理点拨 诊断评价：

那么通过前面这一组题得练习，你能 归纳总结：

确定二次函数表达式的步骤： 养成习惯先自主解决

组内交换一下看法，拿出最后的方案 师：你们最终归纳的求二次函数表达式的步骤 生：

师：如果给定顶点坐标，代入哪个式子都适用？

y=a(x-h)2+k，防止今后混淆，你就记准这一个顶点式，如果要设一般式，我们通常要知道几点坐标(齐答：三点)

刚才我们探究预习题时，如果没有坐标系，要记着先建立平面直角坐标系。步骤的第一步建立适当的坐标系（要从中找到求表达式必须的点坐标）

（三）内化知识 拓展应用 用刚才所学的知识 A、判断下列问题适合设哪种二次函数表达式？（口答）

①已知二次函数的图像经过A(-1,6）

B（1,4）和C（0,2）, 求表达式。师提问：五组三号

②已知抛物线顶点为（-1,-3），与y轴交点纵坐标为-5，求表达式。师提问：六组三号 解题的关键词是什么

③已知抛物线与x轴交于点A（-1,0），B(1,0),且过M(0,1)，求表达式。

师提问：八组三号

不用紧张，仔细读它给定你的点坐标，求表达式 非常好，要相信自己的能力

④当 x＞3时，y随x的增大而增大，当 x＜3时，y随x的增大而减小，y的最大值是2，且图像经过点（5，0），求函数表达式。

集体说

通过刚才的学习，咱同学动笔完成，分层检测，请每组4号同学做第一题，你只要完成了第一题，这节课你就是成功的，1-3号同学，做2、3两题。直接做在导学案上。4组三号做第二题，九组二号做第三题，王玉双做第一题。

B、分层练习巩固提升

1、已知抛物线的顶点坐标是（0，3），与x轴交点是（-3, 0）,求函数表达式。

2、已知二次函数图像经过（0,-1）和（3,5）两点,对称轴是直线x=1，求函数表达式。

3、已知A（3,-2）和B（2,5）两点，试写出两个二次函数表达式，都经过A、B两点。

组内交换批改一下，展示一下你研究的成果 机会给各组的三号，第二题 实物投影：生操作

师提问：题目的具体步骤，利用了哪个关键词设成顶点式？

虽然只知道对称轴，但是把H确定以后，需要求的待定系数只有两个。有没有同学设成了一般式，简单的叙述步骤 第三题：说出你的真实想法就行

对于数学课，首先要有敢错的勇气，说错了并不可怕。

生答：我选择顶点式是y=ax2+c，我选他的原因是因为我只知道两个点的坐标，前面做的题都是知道三个点的坐标，师纠正：暂停，如果你选的y=ax2+c为你所要求的表达式，它的顶点坐标是什么（0，c）在第三题中的两点，有这种形式的点吗？设顶点式如果对它的形式有疑问的情况下，设成y=a(x-h)2+k。两点不能设成一般式，那么要设成顶点式，必须知道其中之一是顶点。所以几种情况（两种）

今天练习做的有些艰难，下面放松一下，同学们猜过谜语吗？那猜过数学谜语吗?这节课让我们来尝试一下。你首先要自己知道答案，编出一道高质量的数学题。最后这节课的自测题当中，我就要选取某几组当中的优秀作品，考考全班同学，开始。

C、创作篇 同学们都猜过谜语吧，“数学谜语”呢？那么今天由我们自己来创作。自编一道求二次函数表达式的问题（谜底自己要知道哟）。考考同学们。

（四）总结归纳 感悟提升

回顾这节课你都学习了那些知识？

（五）课堂检测

（五）盘点收获 反馈矫正

择优选择的小组自编题

1、第（5）组

已知二次函数图象经过（2，-1）和（-4，-1），（6，-2）三点，求函数表达式。

2、第（）组

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（A.很好 B.较好 C.一般 D.较差

（六）课后作业

.）课本P66页 随堂练习习题2、3

第五篇：13多元函数的极值与连续

CH 13

多元函数的极值与连续

1，平面点集

邻域：M0(x0,y0)R2，称{(x,y)|(xx0)(yy0),0}为点M0的邻域，记作O(M0,)。

点列的极限：设{xn}是X轴上的一点列，{yn}是Y轴上的一个点列，则以xnyn为坐标的点{(xn,yn)}组成平面上的一个点列，记作{Mn}，又设M0是平面上的一点，其坐标为M0(x0,y0)，若对M0的任何一个邻域O(M0,)，总存在正整数N，当nN时，有MnO(M0,)，就称点列{Mn}收敛，并且收敛于M0，记作limMnM0或则记为

n22（n）即(xn,yn)(x0,y0)，（n）。MnM0，上面点列极限的定义也可用不等式叙述：若对0，总存在N，当nN时，有(xx0)2(yy0)2就称{Mn}收敛于M0。

点列极限的性质：

性质1：(xn,yn)(x0,y0)的充分必要条件是xnx0，yny0，（n）性质2：若{Mn}收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。

内点：设M0E，如果存在M0的一个邻域O(M0,)，使得O(M0,)E，则M0是E的内点。

外点：设M1E，如果存在M1的一个邻域O(M1,)，使得O(M1,)中没有E的点，就称M1是E的外点。

边界点：设M1是平面上的一点，它可以属于E，也可以不属于E，如果对M的任何邻域O(M,)，其中既含有E的点，又含有非E中的点，就称M为E的边界点，E的边界点的全体叫做E的边界。

开集：如果E的点都是E的内点，就称E是开集。

聚点：设M0是平面上的一点，它可以属于E，也可以不属于E，如果对M0的任何一个邻域O(M0,)，在这一邻域内至少含有E的一个（不等于M0）点，就称M0是E的聚点。***闭集：若E的所有聚点都在E内就称E是闭集。

区域：设E是一个开集，并且E中任何两点M1和M2之间都可以用有限条属于E的直线段所组成的折线结起来，称E是区域。

闭区域：一个区域加上它的边界就是一个闭区域。平面点集的几个基本定理：

矩形套定理：设{anxnbn,cnyndn}是矩形anxnbn,cnyndn，(n1,2,...)所组成的矩形序列，其中每一个矩形都含在前一个矩形中，并且bnan0，那么有唯一的一点M0(x0,y0)，它位于每一个矩形中，亦即：

anx0bn,cny0dn(n1,2,...)

致密性原理（Weierstrass定理）：如果列{Mn(xn,yn)}有界（即存在常数a,b,c,d，使得axnb,cynd(n1,2,...)），那么从其中必能选取收敛的子列。

有限覆盖定理：若一开矩形集合{}{x,y}覆盖有限闭区域，那么从{}里，必可选出有限个开矩形，它们也能覆盖这个区域。

收敛原理：平面点列{Mn}有极限的充分必要条件是：对任意给定的0，总存在N，当m,nN时，有r(Mn,Mm)。

2，多元函数的概念

二元函数的定义：设E是平面点集，f是一个规律。如果对E中的每一点(x,y)，通过规律f在R中存在唯一一个实数u和点(x,y)相对应，就称f是定义在E上的一个二元函数，它在(x,y)的函数值是u，并记此值为f(x,y)。即uf(x,y)。与一元函数相仿。常采用下面的记号记这个函数：

f:ER,(x,y)uf(x,y)

并称E是f的定义域，通常为省略，也称f(x,y)是一个二元函数。

3，二元函数的极限

二元函数的极限的定义：设二元函数f(M)f(x,y)在点M0(x0,y0)附近有定义。（而在M0点是否有定义无关紧要）如果对0，总存在0，当0r(M,M0)时恒有|f(M)A|，就称A是二元函数f(M)在M0点的极限。记为：

MM0limf(M)A或f(M)A，（MM0）

上述定义可用点的坐标描述，即：如果对0，总存在0，当0(xx0)2(yy0)2时，恒有|f(x,y)A|。就称A是二元函数f(x,y)在M0(x0,y0)点的极限。

上述定义也可用邻域来表达，若对A的任何邻域O(A,)，总存在M0点的邻域O(M0,)，当MO(M0,){M0}时，恒有f(M)O(A,)，就称A是二元函数f(M)在M0点的极限。

上述定义也可叙述为：若0，总存在0，使得当|xx0|，|yy0|且(x,y)不与M0(x0,y0)重合，亦即(xx0)2(yy0)20时，恒有：

|f(x,y)A|，就称A是二元函数f(M)在M0点的极限。

上述的极限通常也称为二重极限。而诸如若limlimf(x,y)存在或limlimf(x,y)存

yy0xx0xx0yy0在的极限称为二次极限或累次极限。

4，二元函数的连续性及性质

二元函数连续的定义：若f(M)f(x,y)在M0(x0,y0)有定义，且满足MM0limf(M)f(M0)，则称f(M)在点M0(x0,y0)连续。

关于极限的性质和运算法则，以及连续函数的运算法则，与一元函数的情况是完全相似的。

若对某一区域（或开或闭）上的任意一点M0(x0,y0)，当M取此区域上任意的点列趋于M0(x0,y0)时，f(M)的极限恒为f(M0)，那么称f(M)在此区域上连续。

有界闭区域上连续函数的性质：

性质1：有界性定理：若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则它在D上有界；亦即存在正数M，使得在D上恒有|f(x,y)|M。

性质2 ：一致连续性定理：若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则它在D上一致连续；亦即对0，总存在0，使得D上任意两点M'(x',y')，M''(x'',y'')，当|x'x''|，|y'y''|时恒有：

|f(x',y')f(x'',y'')|。

性质3：最大值最小值定理：若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则它在D上必有最大值和最小值。

性质4：零点存在定理：若f(x,y)在区域D（不一定有界闭区域）内连续，并且在D内两点M1(a1,b1)，N1(1,1)异号。即f(a1,b1)f(1,1)0，那么用完全位于D内的任意折线l连接M1和N1时，在l上必有一点M(x,y)，满足f(x,y)0。

5，二重极限与二次极限的关系

（1）两个二次极限都不存在，而二重极限仍可能存在。（2）两个二次极限存在而不相等，二重极限必不存在。（3）两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在。

例：证明有界闭区域上二元连续函数的有界性定理，最大（小）值定理及一致连续性定理。（1）有界闭区域上的二元连续函数必有界；（2）最大（小）值定理；（3）一致连续性定理。

证：（1）用反证法，设f(x,y)在有界闭区域D上连续，但无界。

n,Mn(xn,yn)D，有|f(xn,yn)|n，由致密性定理序列{Mn(xn,yn)}D必有界，从其中必能选出收敛的子列{Mnk}{Mn}，有limMnkM(x,y)，由于D为有界

k闭区域，故MD。故f(x,y)在点M连续，limf(xnk,ynk)f(M)f(x,y)。但在k构造Mn(xn,yn)时已设

|f(xn,yn)|n,|f(xnk,ynk)|nkk，故{f(xnk,ynk)}{f(xn,yn)}发散到无穷大。这与limf(xnk,ynk)f(M)f(x,y)收敛矛盾。

（2）因f在D上有界，故设Msupf(p),minff(p)，可证必有一点QD，有

pDpDf(Q)M（同理可证Q'D,使f(Q')m）。如若不然，pD均有Mf(p)0。

考察D上的正值连续函数F(p)1，由前面知F在D上有界，又因f不能在DMf(p)上达到上确界M，故存在收敛的点列{pn}D，使limf(pn)M。于是

nlimF(pn)，这与F在D上有界矛盾，故f在D上能取得最大值。

n（3）（用反证法）设f(x,y)在有界闭区域D上连续，但非一致连续。则0,0，如11,n1,2,有相应的Pn,QnD:r(Pn,Qn)但|f(Pn)f(Qn)|0成立。由nnk于D为有界闭区域，故存在收敛的点列{Pnk}{Pn}并设limPnkP0。再在{Qn}中取出与{Pn}具有相同足标的点列{Qnk}{Qn}，由0r(Pn,Qn)10,k，从而有 nklimQnklimPnkP0kkk，最后由

f在P0连续，得lim|f(Pn)f(Qn)||f(P0)f(P0)|0，这与|f(Pn)f(Qn)|0矛盾，所以f在D上一致连续。