二次函数练习题

§3.4二次函数

复习目标

1．二次函数的定义：形如〔a≠0，a，b，c为常数〕的函数为二次函数．

2．二次函数的图象及性质：

〔1〕二次函数的图象是一条抛物线．顶点为〔－，〕，对称轴x=－；当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x＞－，y随x的增大而增大，x＜－，y随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x＞－，y随x的增大而减小，x＜－，y随x的增大而增大．

〔2〕当a＞0时，当x=－时，函数有最小值；当a＜0时，当x

=－时，函数有最大值

3．图象的平移：将二次函数y=ax2

(a≠0〕的图象进行平移，可得到y=a(x－h)2＋k的图象．

将y=ax2的图象向左〔h<0〕或向右(h＞0〕平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x－h)2

+k的图象，其顶点是〔h，k〕，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．

4.二次函数的图象与系数的关系：

(1)

a的符号：a的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，那么a＞0；物线开口向下，那么a＜0．

〔2〕b的符号出的符号由对称轴决定，假设对称轴是y轴，那么b=0；假设对称轴在y轴左侧，那么－＜0即＞0，那么a、b为同号；假设对称轴在y轴右侧，那么－＞0，即＜0．那么a、b异号．即“左同右异〞．

〔3〕c的符号：c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定．假设抛物线交y轴于正半轴，那么

c＞0，抛物线交y轴于负半轴．那么c＜0；假设抛物线过原点，那么c=0．

〔4〕△的符号：△的符号由抛物线与x轴的交点个数决定．假设抛物线与x轴只有一个交点，那么△=0；有两个交点，那么△＞0；没有交点，那么△＜0

．

5．二次函数表达式的求法：

⑴假设抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得；

⑵假设抛物线的顶点坐标或对称轴方程，那么可采用顶点式：其中顶点为(h，k)对称轴为直线x=h；

⑶假设抛物线与x轴的交点坐标，那么可采用交点式：,其中与x轴的交点坐标为〔x1，0〕，〔x2，0〕

6．二次函数与一元二次方程的关系：

〔1〕一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况．

〔2〕二次函数的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．

〔3〕当二次函数的图象与

x轴有两个交点时，那么一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与x轴有一个交点时，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+

bx+c的图象与

x轴没有交点时，那么一元二次方程没有实数根．

典例精析

【例1】(1)

抛物线的局部图象如图，那么

再次与x轴相交时的坐标是〔

〕

A．〔5，0〕

B。〔6，0〕

C．〔7，0〕

D。〔8，0〕

〔2〕二次函数的图象如下图，那么a、b、c满足〔

〕

A．a＜0，b＜0，c＞0

B．a＜0，b＜0，c＜0

C．a＜0，b＞0，c＞0

D．a＞0，b＜0，c＞0

【分析】〔1〕由，可知其对称轴为x=4,而图象与x轴已交于(1，0)，那么与x轴的另一交点为(7，0)。

〔2〕由抛物线开口向下可知a＜0；与y轴交于正半轴可知c＞0；抛物线的对称轴在y轴左侧，可知－

＜0．那么b＜0．应选A．

【解答】〔1〕C

〔2〕A

【例2】〔2006宁波〕如图，抛物线与x轴相交于B〔1，0〕、C〔-3，0〕，且过点A〔3，6〕。

（1）

求a，b，c的值。

（2）

设抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，连结CP、PB、BQ。试求四边形PBQC的面积。

【分析】此题第〔1〕小题考察用待定系数法求抛物线的解析式，结合条件可以考虑用交点式。第〔2〕小题关键是求出Q点的坐标，因为它是对称轴与线段AC的交点，所以要先求出直线AC的解析式。

【解答】〔1〕由题意可设：，把点A〔3，6〕坐标代入可得

所以，即

所以

（2）

顶点P的坐标为〔-1，-2〕，对称轴是直线

而直线AC的解析式为

所以对称轴与线段AC的交点Q的坐标为〔-1，2〕

设对称轴与x轴相交于点D，那么可得：DP=DB=DQ=DC=2

所以四边形PBQC的面积为8。

【例3】，≠0，把抛物线向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是〔－2，0〕，求原抛物线的解析式。

【分析】①由可知：原抛物线的图像经过点〔1，0〕；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。

【解答】可设新抛物线的解析式为，那么原抛物线的解析式为，又易知原抛物线过点〔1，0〕

∴，解得

∴原抛物线的解析式为：

【例4】如图是抛物线型的拱桥，水位在AB位置时，水面宽米，水位上升3米就到达警戒水位线CD，这时水面宽米，假设洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？

【分析】此题关键是建立适宜的直角坐标系。

【解答】以AB所在直线为轴，AB的中点为原点，建立直角坐标系，那么抛物线的顶点M在轴上，且A〔，0〕，B〔，0〕，C〔，3〕，D〔，3〕，设抛物线的解析式为，代入D点得，顶点M〔0，6〕，所以〔小时〕

【例5】已抛物线〔为实数〕。

〔1〕为何值时，抛物线与轴有两个交点？

〔2〕如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于点C，且△ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。

【分析】抛物线与轴有两个交点，那么对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根应满足的条件。

【解答】〔1〕由有，解得且

〔2〕由得C〔0，－1〕

又∵

∴

∴或

∴或

课内稳固

1.〔2006临安〕抛物线y=3(x-1)+1的顶点坐标是〔

〕

A．〔1，1〕

B．〔-1，1〕

C．〔-1，-1〕

D．〔1，-1〕

2．直线y=x与二次函数y=ax2

－2x－1的图象的一个交点

M的横标为1，那么a的值为〔

〕

A、2

B、1

C、3

D、4

3．二次函数的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为，那么与分别等于〔

〕

A、6、4

B、－8、14

C、4、6

D、－8、－14

4．〔2006湖州〕二次函数y=x2－bx+1〔－1≤b≤1〕，当b从－1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动。以下关于抛物线的移动方向的描述中，正确的选项是〔

〕

A、先往左上方移动，再往左下方移动;

B、先往左下方移动，再往左上方移动;

C、先往右上方移动，再往右下方移动;

D、先往右下方移动，再往右上方移动

5．〔2006诸暨〕抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一局部如下图，那么该抛

物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是

（）

A．〔，0〕；

B．〔1，0〕；

C．〔2，0〕；

D．〔3，0〕

6．函数的图象如下图，给出以下关于系数a、b、c的不等式：①a＜0，②b＜0，③c＞0，④2a＋b

＜0，⑤a＋b＋c＞0．其中正确的不等式的序号为___________。

7．二次函数的图象如下图：

〔1〕这个二次函数的解析式是y=__________．

〔2〕当x=_______时，y=3；

〔3〕根据图象答复：当x______时，y＞0．

8．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象〔局部〕刻画了该公司年初以来累积利润S〔万元〕与销售时间〔月〕之间的关系〔即前个月的利润总和S与之间的关系〕。根据图象提供的信息，解答以下问题：

〔1〕由图象上的三点坐标，求累积利润S〔万元〕与时间〔月〕之间的函数关系式；

〔2〕求截止到几月末公司累积利润可到达30万元；

〔3〕求第8个月公司所获利润是多少万元？

9．四边形DEFH为△ABC的内接矩形，AM为BC边上的高且长为8厘米，BC长为12厘米，DE长为x，矩形的面积为y，请写出y与x之间的函数关系式，并判断它是不是关于x的二次函数.课外拓展

A组

1.〔2006舟山〕二次函数y=x2+10x-5的最小值为〔

〕．

A．-35

B．-30

C．-5

D．20

2.〔2006绍兴〕小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=的一局部(如图)，假设命中篮圈中心，那么他与篮底的距离是（）

A．3.5m

B．4m

C．4.5m

D．4.6m

3.函数y=

x2－4的图象与y

轴的交点坐标是〔

〕

A.〔2，0〕

B.〔－2，0〕

C.〔0，4〕D.〔0，－4〕

4.〔2006苏州〕抛物线y＝2x2+4x+5的对称轴是x=_________

．

5.〔2006浙江〕如图，二次函数的图象开口向上,图像经过点〔-1，2〕和〔1，0〕且与y轴交于负半轴．

〔1〕给出四个结论：①＞0；②＞0；③＞0；

④a+b+c=0　　　　　　　其中正确的结论的序号是

．

〔２〕给出四个结论：①abc＜0；②2a+＞0；③a+c=1；

④a＞1．其中正确的结论的序号是。

6.二次函数的图象开口向下，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数解析式：_______________.7.假设抛物线的最低点在轴上，那么的值为。

8.抛物线过三点〔－1，－1〕、〔0，－2〕、〔1，l〕．

〔1〕求这条抛物线所对应的二次函数的表达式；

〔2〕写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；

〔3〕这个函数有最大值还是最小值？

这个值是多少？

9．(2006盐城)：抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于A、B两点(A点在B点的左侧)，顶点为P．

(1)求A、B、P三点坐标；

(2)

在如图的直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零；

(3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由.10.〔2005枣庄〕抛物线的图象的一局部如下图，抛物线的顶点在第一象限，且经过点A(0，-7)和点B.(1)求a的取值范围；

(2)假设OA=2OB，求抛物线的解析式．

B组

11．〔2005常州〕抛物线的局部图象如图,那么抛物线的对称轴为直线x=,满足y＜0时的x的取值范围是,将抛物线

向

平移

个单位,那么得到抛物线.12．〔2006大连〕如图是二次函数y1＝ax2＋bx＋c和一次函数y2＝mx＋n的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围______________。

13．阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．

例如：由抛物线①，有y=②，所以抛物线的顶点坐标为〔m，2m－1〕，即当m的值变化时，x、y的值随之变化，因而y值也随x值的变化而变化，将③代人④，得y=2x—1⑤．可见，不管m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式y=2x－1。答复以下问题：〔1〕在上述过程中，由①到②所用的数学方法是________，其中运用了_________公式，由③④得到⑤所用的数学方法是______；〔2〕根据阅读材料提供的方法，确定抛物线顶点的纵坐标与横坐标x之间的关系式_________.14．〔2006台州〕如图，抛物线y=ax2+4ax+t〔a＞0〕交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点B的坐标为〔－1，0〕.〔1〕求此抛物线的对称轴及点A的坐标；

〔2〕过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形吗？请证明你的结论；

x

y

〔3〕连结AC，BP，假设AC⊥BP，试求此抛物线的解析式.15．〔2006大连〕如图，抛物线E：y＝x2＋4x＋3交x轴于A、B两点，交y轴于M点，抛物线E关于y轴对称的抛物线F交x轴于C、D两点。

〔1〕求F的解析式；

〔2〕在x轴上方的抛物线F或E上是否存在一点N，使以A、C、N、M为顶点的四边形是平行四边形。假设存在，求点N的坐标；假设不存在，请说明理由；

〔3〕假设将抛物线E的解析式改为y＝ax2＋bx＋c，试探索问题〔2〕。

16．〔2006嘉兴〕某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上．以过山脚〔点C〕的水平线为x轴、过山顶〔点A〕的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图〔单位：百米〕．AB所在抛物线的解析式为y＝－x2＋8，BC所在抛物线的解析式为y＝(x－8)2，且B〔m，4〕．

〔1〕设P〔x，y〕是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标；

〔2〕从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上〔见图〕．

①分别求出前三级台阶的长度〔精确到厘米〕；

②这种台阶不能一起铺到山脚，为什么？

〔3〕在山坡上的700米高度〔点D〕处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道站的起点选择在山脚水平线上的点E处，OE＝1600〔米〕．假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为y＝(x－16)2．试求索道的最大悬空高度．

反思纠错

1．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙〔墙的最大可利用长度a为10米〕围成中间隔一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为米，面积为平方米。

（1）

求与的函数关系式；

（2）

如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？

（3）

能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。

解：〔1〕花圃宽米，长为米，那么它的面积与的函数关系式为。

〔2〕

当时，所以，当AB长为3米或5米时花圃的面积为45平方米。

〔3〕

所以，能围成面积比45平方米更大的花圃，它的最大面积为48平方米。

上述解法正确吗？为什么？