二次函数教学内容

第一篇：二次函数教学内容

二次函数

考点1：二次函数的图像与性质、图象与系数的关系

1.二次函数的定义：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0),那么，y叫做x的二次函数。当b=c=0时，y=ax2（a≠0）叫做最简二次函数。

2.二次函数解析式的形式： 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）

顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0）,其中（h，k）为抛物线的顶点。交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）,其中x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根。

3.二次函数的图象与性质

b4acb2)，对（1）二次函数图象是一条抛物线。定点坐标为(,2a4a称轴是直线xb。2a（2）画二次函数的图象通常是运用列表、描点、连线等步骤作图。（3）二次函数中的a、b、c与图象的关系。

① a确定图象的开口方向和开口大小。a>0，图象开口向上，a<0，开口向下。|a|越大，则开口越小，反之，|a|越小，开口越大。

② c决定了二次函数图象与y轴的交点的位置。c>0，图象与y轴交于y轴的正半轴上；c<0，图象与y轴交于y轴的负半轴上；c=0，图象经过坐标原点。

③ 二次函数图象的对称轴的位置由a和b共同决定。a和b同号，对称轴在y轴左侧；a和b异号，对称轴在y轴右侧；b=0，对称轴为y轴。即：左同右异（4）二次函数图象与性质。

b4acb2)。① 顶点坐标(,2a4a

②对称轴是直线xb。2ab 时2a③最值：当a>0时，二次函数开口向上，有最小值，当x4acb2y取得最小值；当a<0时，二次函数开口向下，有最大值，当4a4acb2bx 时y取得最大值。

2a4a（5）二次函数的增减性。

① 当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大。

②当a<0时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小。（6）二次函数的平移。

口诀：自变量左加右减，函数值上加下减。简称：左加右减，上加下减。

考点2：二次函数解析式的求法.设一般式： y=ax2+bx+c（a≠0）。若已知图象上三个点的坐标，代入一般式解方程组即可求出三个待定系数a、b、c。.设顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0）。若已知顶点坐标或对称轴方程与最大（小）值，代入即可求出待定系数a，最后将解析式化为一般式。.设交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）。若已知图象与x轴的两个交点坐标（x1，0）,（x2，0），只需将第三点的坐标代入即可求出待定系数a，最后将解析式化为一般式。

考点3：二次函数与一元二次方程的关系

1.二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根．抛物线与x•轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点△>0抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）△=0抛物线与x轴相切；

③没有交点△<0抛物线与x轴相离。

2.与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点（h，ah2+bh+c）。

3.平行于x轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点，1个交点，2个交点。当有2个交点时，•两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2+bx+c=k的两个实数根。

4.一次函数y=kx+n（k≠0）的图像L与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）

ykxn的图像G的交点，由方程组的解的数目确定：①当方程2yaxbxc组有两组不同的解时L与G有两个交点；②方程组只有一组解时L与G只有一个交点；③方程组无解时L与G没有交点。考点4：二次函数的实际应用

1.二次函数的应用包括以下两个方面

（1）用二次函数表示实际问题中变量之间的关系；

（2）用二次函数解决实际问题中的最优化问题，其实质就是求二次函数的最大值或最小值。

2.利用二次函数模型解决实际问题的基本思路（1）理解实际问题；

（2）分析问题中的变量、常量以及变量之间的关系；（3）用二次函数的模型表示出变量之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质对实际问题进行研究；（5）回归实际问题本身，对解的合理性进行实验。

第二篇：二次函数

2．二次函数定义__________________________________________________二次函数（1）导学案

一.教学目标：

（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯

重点难点：

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。教学过程：

二、教学过程

（一）提出问题

某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?在这个问题中，1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?[利润=(售价－进价)×销售量]

2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]

3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?

[(10－8－x)；(100＋100x)]

4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]

5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。[y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)]

将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为：

y=－2x2＋20x(0＜x＜10)……………………………(1)将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为：y=－100x2＋100x＋20D(0≤x≤2)……………………(2)

（二）、观察；概括

(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个?

(2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式?(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点?(4)这些问题有什么共同特点？

三、课堂练习

1.下列函数中，哪些是二次函数?(1)y=5x＋1(2)y=4x2－1

(3)y=2x3－3x2(4)y=5x4－3x＋1

2．P25练习第1，2,3题。

四、小结

1．请叙述二次函数的定义．

2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。

五.堂堂清

下列函数中，哪些是二次函数?

(1)Y=2x+1（2）y=2x2+1（3）y=x(x-2)（4）y=(2x-1)(2x-2)（5）y=x2(x-1)-1

第三篇：二次函数

?二次函数?测试

一．选择题〔36分〕

1、以下各式中，y是的二次函数的是

（）

A．

B．

C．

D．

2．在同一坐标系中，作+2、-1、的图象，那么它们

（）

A．都是关于轴对称

B．顶点都在原点

C．都是抛物线开口向上

D．以上都不对

3．假设二次函数的图象经过原点，那么的值必为

（）

A．

0或2

B．

0

C．

D．

无法确定

4、点〔a，8〕在抛物线y=ax2上，那么a的值为〔

〕

A、±2

B、±2

C、2

D、－2

5．把抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是〔

〕

〔A〕y=3〔x+3〕2

〔B〕y=3〔x+2〕2+2

〔C〕y=3〔x-3〕2

〔D〕y=3〔x-3〕2+2

6．抛物线y=x2+6x+8与y轴交点坐标〔

〕

〔A〕〔0，8〕

〔B〕〔0，-8〕

〔C〕〔0，6〕

〔D〕〔-2，0〕〔-4，0〕

7、二次函数y=x2＋4x＋a的最大值是2，那么a的值是〔

〕

A、4

B、5

C、6

D、7

8．原点是抛物线的最高点，那么的范围是

（）

A．

B．

C．

D．

9．抛物线那么图象与轴交点为

〔

〕

A．

二个交点

B．

一个交点

C．

无交点

D．

不能确定

10．不经过第三象限，那么的图象大致为

〔

〕

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

11．对于的图象以下表达正确的选项是

〔

〕

A

顶点作标为(－3，2)

B

对称轴为y=3

C

当时随增大而增大

D

当时随增大而减小

12、二次函数的图象如下图，那么以下结论中正确的选项是：〔

〕

A

a>0

b<0

c>0

B

a<0

b<0

c>0

C

a<0

b>0

c<0

D

a<0

b>0

c>0

二．填空题：〔每题4分，共24分〕

13．请写出一个开口向上，且对称轴为直线x

=3的二次函数解析式。

14．写出一个开口向下，顶点坐标是〔—2，3〕的函数解析式；

15、把二次函数y=－2x2＋4x+3化成y=a〔x+h〕2+k的形式是________________________________.16.假设抛物线y=x2

+

4x的顶点是P，与X轴的两个交点是C、D两点，那么

△

PCD的面积是________________________.17.(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)是二次函数y=x2-4x+m上的点,那么

y1,y2,y3从小到大用

“<〞排列是

.18．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一局部(如图)，假设命中篮圈中心，那么他与篮底的距离是________________________.三．解答题(共60分)

19.〔6分〕假设抛物线经过点A〔，0〕和点B〔-2，〕，求点A、B的坐标。

20、(6分)二次函数的图像经过点〔0，－4〕，且当x

=

2，有最大值—2。求该二次函数的关系式：

21．〔6分〕抛物线的顶点在轴上，求这个函数的解析式及其顶点坐标。

25米x22、〔6分〕农民张大伯为了致富奔小康，大力开展家庭养殖业，他准备用40米长的木栏围一个矩形的鸡圈，为了节约材料，同时要使矩形面积最大，他利用了自己家房屋一面长25米的墙，设计了如图一个矩形的羊鸡圈。请你设计使矩形鸡圈的面积最大？并计算最大面积。

23、二次函数y=－〔x－4〕2

+4

〔本大题总分值8分〕

1、先确定其图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，再画出草图。

2、观察图象确定：X取何值时，①y=0，②y﹥0，⑶y﹤0。

24．〔8分〕某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，假设每千克涨价一元，日销售量将减少20千克。

〔1〕现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

〔2〕假设该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多。

25．〔8分〕某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流〔在各个方向上〕沿形状相同的抛物线路径落下〔如下图〕。假设OP＝3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。

〔1〕求这条抛物线的解析式；

〔2〕假设不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外。

26．〔12分〕二次函数的图象与x轴从左到右两个交点依次为A、B，与y轴交于点C，〔1〕求A、B、C三点的坐标；

〔2〕如果P(x，y)是抛物线AC之间的动点，O为坐标原点，试求△POA的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

〔3〕是否存在这样的点P，使得PO=PA，假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由。

第四篇：二次函数综合题

二次函数综合题

如图所示，在直角坐标系中，A(-1，0),B(3,0),C(0，3)

1.用三种方法求出经过A B C三点的抛物线解析式

2.抛物线的顶点坐标为D（）3.求△ABC的面积，求四边形ACDB的面积，求△DCB的面积

4.证明△DCB是直角三角形（两种方法）

5.证明：△DCB∽△AOC

6.在直线BC的下方是否存在一点G，使得△GCB的面积等于△ACB的面积

7.在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△ACP的周长最小，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由。

8.设Q为抛物线第一象限内一点，是否存在点Q使得△BCQ的面积最大，若存在，求出Q点的坐标及最大面积，若不存在，请说明理由。

9.设Q为抛物线第一象限内一点，过 Q向x轴引垂线交BC于I。若抛物线对称轴与直线BC交于点E,是否存在点Q,使得以点D,Q,I,E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由。

10.求△ABC外接圆圆心O’的坐标

11.抛物线上是否寻在点M，使得CM垂直于CA，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由。

12.在对称轴上是否存在点N，使得△CDN是直角三角形，请求出所有符合条件的N点的坐标

13.在抛物线上是否存在点S，使得△BCS为直角三角形，若存在，求出所有S点的坐标，若无，请说明理由

第五篇：二次函数练习

二次函数练习

1，函数fxx2bxc，对于任意tr，均有f2xf2x则f1，f2，f4，的大小关系是_____________________

2，二次函数yax24xa3的最大值恒为负，则a的取值范围是________________------3，二次函数yx2(a2)x5在区间2，上是增函数，则a的取值范围是_______________

4，已知函数f(x)mx2(m3)x1的图像与X轴的交点至少一个在原点的右侧，求实数m的范围。

5，已知不等式ax2

xc0的解集为xx1,x5则a=______c=___________

6，已知二次函数fx同时满足条件：（1）f1xf1x；（2）fx的最大值为15；方程fx=0的两根的平方和为4，求fx的解析式。

7，已知不等式x22x30的解集为A,不等式x2x60的解集为B，不等式x2axb0的解集为AB, 求a,b的值。

8，已知不等式ax25xb0的解集为x3x2，求不等式bx25xa0的解集

9，解不等式：

2x2ax20x2(a1

a)x10

10.（2009安徽卷）（本小题满分12分）已知函数f(x)x

x

a(2lnx),(a0)，讨论f(x)的单调性.