几种常见函数的导数教案

第一篇：几种常见函数的导数教案

几种常见函数的导数教案

教学目的

使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数的导数公式，掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．

教学重点和难点

掌握并熟记四种常见函数的求导公式是本节的重点．正整数幂函数及正、余弦函数的导数公式的推导是本节难点．

教学过程

一、复习提问

1．按定义求导数有哪几个步骤？

2．用导数的定义求下列各函数的导数：

(1)y＝x5；(2)y＝c．

几点说明：练习(1)为推导正整数幂函数导数公式作准备，在求Δy值时启发学生应用二项式定理展开(x＋Δx)5；练习(2)推导前，首先指出这里y＝c称为常数函数，可设y=f(x)=c说明不论自变量取何值，对应的函数值均为c，以避免出如下错误，Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝c＋Δx－c＝Δx．

二、新课

1．引言：由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式．

2．几个常见函数的导数公式．

(1)设y=c(常数)，则y'=0．

此公式前面已证．下面我们还可以用几何图象对公式加以说明(图2－6)．因为y=c的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0．此公式可叙述成“常数函数的导数为零”．

(2)(xn)'＝nxn-1(n为正整数)．

此公式的证明在教师指导下，由学生独立完成．

证明：设y=f(x)=xn，此公式可叙述成“正整数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的(n－1)次幂的乘积”．

(3)(sinx)'=cosx．

证明：y＝f(x)=sinx，在学生推导过程中，教师要步步追问根据及思路．如：

此公式可叙述成“正弦函数的导数等于余弦函数”．

(4)(cosx)'=－sinx．

此公式证明由学生仿照公式(3)独立证明．

此公式可叙述成“余弦函数的导数等于正弦函数前面添一个负号”．

三、练习

1．默写四种常见函数的求导公式．

2．求下列函数的导数：

四、小结

四种常见函数的导数公式

1．(c)'＝0(c为常数)，2．(xn)'＝nxn-1，3．(sinx)'＝cosx，4．(cosx)'=－sinx．

五、布置作业

1．求下列函数的导数：

(1)u=t4；(2)y=xa(a为正整数)；sup 2．用导数定义证明：

(5)x=cost．

两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．

即，已知：两个函数u(x)和v(x)，且u(x)，v(x)的导数存在，求证：[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x)．

第二篇：几种常见函数的导数教案

几种常见函数的导数教案

目的要求

1．能应用由定义求导数的三个步骤推导几种常见函数的导数公式，熟记正弦余弦函数的导数．

2．掌握并能运用四个函数导数公式求函数的导数． 3．在公式(2)的指导过程中，培养学生的创新能力． 内容分析

本节依次讲述了函数C，xn(n为有理数)、sinx、cosx等四种函数的导数公式，这些公式都是由导数定义导出的．其中，前两个导数公式要求学生能熟练地证明，后两个导数公式要求学生能熟练掌握和应用．

2．对于函数y＝C的导数公式：y＝C(C为常数)，则y′＝0．此公式不仅要求学生用前面已学的求导的三个步骤进行证明，还要求学生运用几何图象对公式加以说明．如图35－1，因为y＝C的图象是平行于x轴的直线，其上任意一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0．为了让学生记得更牢，此公式可叙述为：常数函数的导数为零．

3．关于公式(xn)′＝n·xn-1(n∈Q)，这个公式的证明比较复杂，教科书只就n∈N*的情况作了证明．因此，这节课的难点就是如何引导学生利用二项式定理对这个公式进行证明，教学时，可采用从特殊到一般的教学方法．实际上，这个公式对于n∈R仍然成立．

4．对于正弦余弦函数的导数公式，由于在证明过程中，要使用三角函数的和差化积公式，以及重要的极限公式．因此，对公式(sinx)′＝cosx、(cosx)′＝－sinx，只要求学生牢记公式并能灵活应用即可，而不要求学生对上述两个公式进行证明．

5．这节课的重点是利用前面已学的求导数的三个步骤对公式(1)、(2)进行证明，同时能运用这四个公式解决一些初等数学不能解决的曲线的切线问题．

教学过程(一)复习提问

1．按定义求导数有哪几个步骤？

2．用导数的定义求下列各函数的导数．(1)y＝x5；(2)y＝C．

目的，练习(1)为推导公式(2)作准备．在求Δy值时，启发学生应用二项式定理展开(x＋Δx)5．练习(2)推导前，首先指出这里y＝C称为常数函数，可设y＝f(x)＝C，说明不论自变量取何值，对应的函数值均为C，以避免如下错误：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝x＋Δx－C＝Δx．

略解：1．Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)5－x5＝x5＋5x4(Δx)＋10x3(Δx)2＋10x2(Δx)3＋5x(Δx)4＋(Δx)5－x5，∴Δy＝5x4(Δx)＋10x3(Δx)2＋10x2(Δx)3＋5x(Δx)4＋(Δx)5． ∴y′＝5x4．(二)新课

1．引言：由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限．这在运算上很麻烦，有时甚至很困难．为了能够较快地求出某些函数的导数．这一节我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式．

2．几个常见函数的导数公式 公式1 C′＝0(C为常数)．

此公式前面已证，见教科书第116页．下面，我们还可以用几何图象，对公式加以说明：因为y＝C的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0．

公式1可叙述为：常数函数的导数为零． 公式2(xn)′＝n·xn-1(n∈Q)这个公式的证明可在教师的指导下进行．由于前面已有y＝x5这道题的基础，可由学生只就n∈N*的情况进行独立证明．详细证明过程见教科书第117页．

注意：教学时要引导学生认真观察此公式的特点：函数的导数等于指数n与自变量的(n－1)次方的乘积．

公式3(sinx)′＝cosx． 公式4(cosx)′＝－sinx．

公式3、4可叙述为：正弦函数的导数等于余弦函数，余弦函数的导数等于正弦函数前面添一个负号．

3．例题精讲

例1 求下列函数的导数：

(1)解：y′＝(x5)′＝5x5-1＝5x4．

注意：与前面的复习提问衔接起来，说明牢记和应用导数公式解题的重要性．

目的：通过这一组题的详细讲解，使学生对公式(2)记得更牢固．要求学生今后能熟练地掌握它．

分析：先要利用公式3求出函数y＝sinx的导函数，然后利用导函 略解：∵y＝sinx ∴y′＝(sinx)′＝cosx 4．课堂练习

(1)默写四种常见的求导公式．

(2)教科书第117页练习1和练习2． 5．课堂小结

四种常见函数的导数公式．(1)(C)′＝0(C为常数)

(2)(xn)′＝n·xn-1

(3)(sinx)′＝cosx

(4)(cosx)′＝－sinx．

布置作业

1．求下列函数的导数：

(1)u＝t4(2)y＝xa(a为正整数)(3)y＝a(a为常数)2．教科书习题3．2第2题和第5题．

第三篇：常见函数的导数(选修2-2教案)

课题：常见函数的导数

一、教学目标：掌握初等函数的求导公式；

二、教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式．

一、复习

1、导数的定义；

2、导数的几何意义；

3、导函数的定义；

4、求函数的导数的流程图。（1）求函数的改变量yf(xx)f(x)

yf(xx)f(x) xxy（3）取极限，得导数y/＝f(x)lim

x0x（2）求平均变化率本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。（1）、y=x

（2）、y=x（3）、y=x

3问题：yx1，yx2，yx3呢？

问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？

二、新授

1、基本初等函数的求导公式：

⑴

(kxb)k(k,b为常数)

⑵

(C)0(C为常数)

1

2⑶

(x)

⑷

(x2)x

32⑸

(x)3x

⑹()1x1 2x⑺(x)12x

由⑶~⑹你能发现什么规律? 1⑻

(x)x

（为常数）

a⑼

(a)xxlana (，a0 111logae(a0，且a1)xxlna1xx

⒀

(sinx)xcos x

⒁

(cos)x－sin x⑾

(e)e ⑿(ln)x⑽(logax)从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。例

1、求下列函数导数。（1）yx5（2）y

4（3）yxxxx

（4）ylog3x（5）y=sin（+x)

(6)y=sin

23（7）y=cos(2π－x)

（8）y=f(1)

例2：已知点P在函数y=cosx上，（0≤x≤2π），在P处的切线斜率大于0，求点P的横坐标的取值范围。

例3.若直线yxb为函数y1图象的切线,求b的值和切点坐标.x变式1.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.总结切线问题：找切点

求导数

得斜率 变式2:求曲线y=x2过点(0,-1)的切线方程 变式3:求曲线y=x3过点(1,1)的切线方程

变式4:已知直线yx1,点P为y=x2上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短.三、小结（1）基本初等函数公式的求导公式（2）公式的应用

第四篇：教案------导数2--几种常见函数的导数范文

几种教学目标：

1.熟练掌握函数C,xnnQ，sinx,cosx的导数公式

2.掌握利用函数C,xnnQ，sinx,cosx的导数公式求切线问题和瞬时速度问题 3.掌握切线问题的求解，注意讨论切点的情况 4.培养学生分类讨论的数学思想 教学重难点：

重点：函数C,xnnQ的导数公式

难点：xnnQ导数公式的推导；切线问题的求解 教学过程：

1.公式1：C0（C为常数）2.公式2：xnnx,nQ

n1nn证明：yfxxfxxxx

xCnxn1n12n2n2nxCnxxCnxn x2n1n12n2n

CnxxCnxxCnx

fxxn2nlimylimC1xn12n2n xCxxCxx0xx0nnn

nxn1

rnrr注意：二项式定理的运用：Tr1Cna3br1,2,3,n

2122122x33 例如：x3x，2x2xxx

111111122-------------------与Pxxxx2112

例2 比较

222x25122221333 xxx32333xx132x

3.公式3

sinxcosx---------------------由正变邪易

4.公式4

cosxsinx-------------------由邪变正难（加负号）

（不要求证明）

李召江——教案——几种常见函数的导数 例题：

（1）P115

练习----------1，2（2）瞬时速度问题：

P116

习题3.2-----1，2（3）切线问题

①P116

习题3.2-----3，4，5

注意：求切线的步骤：

（1）先确定已知点x0,y0是否为切点（在点处为切点，点在曲线上不一定是切点）（2）求导数fx或y

（3）求斜率kfx0或ky|xx0（4）利用点斜式写出切线方程

②已知函数yx3，求过点P1,1的切线方程

解: 点P1,1满足yx3，所以在yx3的图像上

（1）当点P1,1为切点时，y3x2，所以ky|x13

切线方程为y13x1，即：3xy20

3（2）当点P1,1不是切点时，设切点为x0,x0x2，则ky|3x1xx00 0所以切线方程为yy03x02xx0，点P1,1在切线上，1x033x021x0，2即：2x033x0210，所以x012x0x010



x01切点为22x010，x01 213111,，切线方程为yx，84228即：3x4y10

注意：当切点不确定时，应对是否为切点进行分类讨论。

李召江——教案——几种常见函数的导数 ③求曲线y11上与直线4xy1016xy20垂直的切线方程 y2xx解：已知直线的斜率为4，所以切线的斜率为k 设切点为x0,y0，则y0 x02，切点为2,42121y，k323xx0x041，切线方程为x4y30 4（y5.6.122x3，k122x0311，x04，切点4,，切线x16y120）162

李召江——教案——几种常见函数的导数

第五篇：函数的和差积商的导数教案

函数的和差积商的导数教案

教学目的

1．使学生学会根据函数的导数的定义推导出函数导数的四则运算法则；

2．使学生掌握函数导数的四则运算法则，并能熟练地运用这些法则去求由基本初等函数的和、差、积、商构成的较复杂的函数的导数．

教学重点和难点

本节课的重点是求函数的和、差、积、商的导数的运算法则．难点是求函数的积和商的导数的运算公式及其推导方法．

教学过程

一、复习提问

1．求导数的三个步骤是什么？

(先让全体学生回忆，再请一名学生单独回答．若答错或不完善则请另外学生纠正或补充．)

(1)求函数的增量：Δy=f(x＋Δx)－f(x)；

2．试用导数的定义求函数y＝x＋x2的导数．

(要求全体学生在课堂练习本上做，同时找一至两名学生板演．)

解：设y=f(x)＝x＋x2，则Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝[(x＋Δx)＋(x＋Δx)2]－(x＋x2)

＝Δx(1＋2x＋Δx)，二、引入新课

让学生观察复习提问2的结果： y′=1＋2x．

从这个结果可以得到以下两点启示：

1．函数y＝x＋x2是两个函数(y＝x和y＝x2)的和，它的导数可以用导数的定义直接求得；

2．函数y＝x＋x2的导数y′=1＋2x，恰好是函数y＝x和y＝x2导数的和．那么，任意两个函数的和的导数是否都是这两个函数导数的和呢？

结论是肯定的．

三、讲解新课

1．和(差)的导数．

法则1 两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)．即

其中u和v都是x的可导函数．

证明：(可让学生自己完成．)

设y=f(x)＝u(x)＋v(x)，则Δy=[u(x＋Δx)±v(x＋Δx)]－[u(x)±v(x)]

=[u(x＋Δx)－u(x)]±[v(x＋Δx)－v(x)]

=Δu±Δv，即y'=(u±v)'=u'±v'．

追问：条件“u和v都是可导函数”有没有必要？它在证明法则的过程中用于何处？

说明：这个法则可以推广到任意有限个函数，即

例1 求函数y＝x3＋sinx的导数．

解：y'＝(x3)'＋(sinx)'＝3x2＋cosx．

设问(继续引入新课)：既然有(u±v)'＝u'±v'，那么是否也有

呢？

就上述“设问”给出两个反例，以防止极限运算中，积和商的法则在此处的负迁移：

①把函数y＝x3看作函数u(x)=x和函数v(x)=x2的乘积，即 y=x·x2．

按(1)求导有：

y'＝(x·x2)'＝(x)'·(x2)'=2x．

显然与y'＝(x3)'＝3x2的正确结果不符．可见该(1)为谬．

那么，正确的法则是什么呢？我们可以由导数的定义直接推导出来．

2．积的导数．

法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数．即

其中u和v都是x的可导函数．

证明：设y＝f(x)＝u(x)·v(x)，则

Δy=u(x＋Δx)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x)

＝u(x＋Δx)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x＋Δx)＋u(x)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x)，因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是当Δx→0时，v(x＋Δx)→v(x)，从而

即 y'=(uv)'=u'v＋uv'．

若c为常数，则从[法则2]立即可以推出：(cu)'=c'u＋cu'=0＋cu'=cu'．

就是说，常数与函数的积的导数，等于常数积以函数的导数．即

例2 求函数y＝(2x2＋3)(3x－2)的导数．

＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3

＝18x2－8x＋9．

3．商的导数．

法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．即

因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是 当Δx→0时，v(x＋Δx)→v(x)，从而

即

解：

例4 求证当n是负整数时，公式(xn)'=nxn-1

仍然成立．

证明：设 n=－m(m为正整数)

说明：

当n＝0时，(xn)'＝nxn-1也成立，所以对于一切整数n，公式(xn)'＝nxn-1成立．

四、小结

1．通过用导数的定义求导数的方法，可直接推导得函数和(或差)、积、商的导数公式：

(1)(u±v)'=u'±v'；

(2)(uv)'＝u'v＋uv'；(cu)'＝cu'(c为常数)；

其中u和v是x的可导函数．

2．公式(2)对于u和v是对称的，而公式(3)对于u和v却不是对称的，这一点要特别注意．

3．和(或差)的导数法则可以推广到任意有限个函数的情况

那么，对于任意有限个函数的积的导数又怎样呢？(此问题要求学生在课后思考，下一节课将给予回答．)

五、布置作业

1．阅读课本中“函数的和、差、积、商的导数”这一节的课文；

2．求下列函数的导数：

(1)y＝5x5－3x3＋x－25；

(2)y=ax4－bx2＋c；

(3)y＝sinx－x＋1；

(4)y=x2＋2cosx；

(5)y=(3x2＋1)(2－x)；

(6)y=(1－2x3)(x－3x2)；

(7)y＝sinx(1－x2)；

(8)y=(1＋2x)(1－cosx)；