高二数学2-2导数中构造函数

第一篇：高二数学2-2导数中构造函数

1．已知f(x)为定义在(,)上的可导函数，且f(x)f(x)对于任意xR恒成立，则（）A.f(2)e2f(0),B.f(2)e2f(0),C.f(2)e2f(0),D.f(2)e2f(0),1．A

【解析】解：因为f(x)为定义在(,)上的可导函数，且f(x)f(x)对于任意xR恒成立可以特殊函数f(x)=e,然后可知选A

x也可以构造函数g(x)=f(x)/e,2．函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR,f(x)2,则f(x)2x4的解集为

A．（-1，1）B.（-1，+）C.(-,-1)D.(-,)

2．B

【解析】设g(x)f(x)2x4,则g(x)f(x)20对任意xR都成立；所以函数2x'f(2010)e2010f(0)f(2010)e2010f(0)f(2010)e2010f(0)f(2010)e2010f(0)'g(x)是定义域R上的增函数，且g(1)0.所以不等式f(x)2x4，即

g(x)0g(1)，所以x1.故选B

3．已知可导函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，则当a0时，f(a)和eaf(0)的大小关系为c

A．f(a)eaf(0)B．f(a)eaf(0)C．f(a)eaf(0)D．f(a)eaf(0)

第二篇：构造函数解导数

合理构造函数解导数问题

构造函数是解导数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键。

例1：已知函数fxlnax1x3x2ax.(1)若2为yfx的极值点，求实数a的值； 3(2)若yfx在1,上增函数，求实数a的取值范围；(3)若a1时，方程f1x1x3b有实根，求实数b的取值范围。x

变量分离直接构造函数 抓住问题的实质，化简函数

1、已知fx是二次函数，不等式fx0的解集是0,5，且fx在区间1,4上的最大值12.（1）求fx的解析式；

（2）是否存在自然数m，使得方程fx370在区间m,m1内有且只有两个不等的x实数根？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由。

变式练习：设函数fxx6x5,xR，求已知当x1,时，fxkx1恒

3成立，求实数k的取值范围。

抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题

例： 已知函数fxnlnx的图像在点P(m,fm)处的切线方程为yx, 设gxmxn2lnx.x（1）求证：当x1时，gx0恒成立；（2）试讨论关于x的方程mxngxx32ex2tx根的个数。x第 1 页

共 1 页 一次函数，二次函数，指对数函数，幂函数，简单的分式根式函数，绝对值函数的图象力求清晰准确，一些综合性的问题基本上是这些函数的组合体，如果适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口，使问题简单化明确化。

复合函数问题一定要坚持定义域优先的原则，抓住函数的复合过程能够逐层分解。例：已知函数fx单调递增。

（1）求实数a的值.（2）若关于x的方程f2xm有3个不同的实数解，求实数m的取值范围.（3）若函数ylog2fxp的图像与坐标轴无交点，求实数p的取值范围。复合函数尤其是两次复合，一定要好好掌握，构造两种函数逐层分解研究，化繁为简，导数仍然是主要工具。

1423xxax22x2在区间1,1上单调递减，在区间1,2上43

导数—构造函数

一：常规的构造函数

例一.若sin3cos3cossin,02，则角的取值范围是（）(A)[0,4]

(B)[5,]

(C)[,]

4(D)[34,2)

xyxy变式、已知3355成立，则下列正确的是（）

A.xy0

B.xy0

C.xy0

D.xy0

2变式.f(x)为f(x)的导函数，若对xR，2f(x)xf(x)x恒成立，则下列命题可能错误的是()A．f(0)0 B．f(1)4f(2)C．f(1)4f(2)D．4f(2)f(1)

二：构造一次函数

例

二、对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>a+2x恒成立的x的取值范围.第 2 页

共 2 页 三：变形构造函数 例三．已知函数f(x)12xax(a1)lnx，a1． 2（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）证明：若a5，则对任意x1,x2(0,)，x1x2，有

例

四、已知函数f(x)(a1)lnxax21.（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）设a2，证明：对任意x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.四：消参构造函数

例

五、设函数fxxaln1x有两个极值点x1，x2，且x1x2．

2f(x1)f(x2)1．

x1x2（I）求a的取值范围，并讨论fx的单调性；（II）证明：fx2

五：消元构造函数

例

六、已知函数fxlnx，gxex．

（Ⅰ）若函数xfx12ln2． 4x1，求函数x的单调区间； x1（Ⅱ）设直线l为函数的图象上一点Ax0,fx0处的切线．证明：在区间1,上存在唯一的x0，使得直线l与曲线ygx相切．

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共 3 页 六：二元合一构造函数

12axbx(a0)且导数f'(1)0 2（1）试用含有a的式子表示b，并求f(x)的单调区间；（2）对于函数图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)如果在函数图象上存在点M(x0,y0)（其中x0(x1,x2)）使得点M处的切线l//AB，则称AB存在“跟随切线”。

xx2特别地，当x01时，又称AB存在“中值跟随切线”。试问：在函数f(x)上是否存在2两点A、B使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出A、B的坐标，若不存在，说明理由。例

七、已知函数f(x)lnx

七：构造函数解不等式

例

八、设函数f(x)＝x32mx2m2x1m(其中m >-2)的图像在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行；

（Ⅰ）求m的值与该切线方程；

（Ⅱ）若对任意的x1,x20,1,fx1fx2M恒成立，则求M的最小值；（Ⅲ）若a0, b0, c0且a+b+c=1，试证明：

例

九、设函数f(x)lnxpx1

（Ⅰ）求函数f(x)lnxpx1的极值点

（Ⅱ）当p0时，若对任意的x0，恒有f(x)0，求p的取值范围。

abc9

1a21b21c210ln22ln32ln42lnn22n2n1（Ⅲ）证明：2222(nN,n2)

234n2(n1)

例

十、证明：对任意的正整数n，不等式ln(1)

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共 4 页

1n113都成立.2nn1、移项法构造函数

【例1】已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有1

2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数f(x)1ln(x1)x x112xlnx.求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数2g(x)23x的图象的下方； 31111)23 都成立.nnn

3、换元法构造函数证明

【例3】证明：对任意的正整数n，不等式ln（4、从条件特征入手构造函数证明

【例4】若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：．af(a)>bf(b)

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共 5 页

第三篇：构造函数,结合导数证明不等式

构造函数,结合导数证明不等式

摘 要：运用导数法证明不等式首先要构建函数，以函数作为载体可以用移项作差，直接构造；合理变形，等价构造；分析（条件）结论，特征构造；定主略从，减元构造；挖掘隐含，联想构造等方法进行证明.关键词：构造函数；求导；证明；不等式

利用导数证明不等式是四川高考压轴题的热点题型之一，此类问题的特点是：问题以不等式形式呈现，“主角”是导数，而不等式的证明不仅技巧性强，而且方法灵活多变，因此构造函数成为证明不等式的良好“载体”，如何有效合理地构造函数是证明不等式的关键所在，下面以实例谈谈如何构造函数的若干解题策略.注：此题也可用数学归纳法证明.解后感悟：函数隐藏越深，难度就越大，如何去寻找证明不等式的“母函数”是解决问题的关键，通过合理变形，展开思维联想的翅膀，发现不等式背后的隐藏函数，便会柳暗花明.结束语：导数为证明不等式问题开辟了新方法，使过去不等式的证明方法，从特殊技巧变为通性通法，合理构造函数，能使解题更具备指向性，剑之所指，所向披靡.

第四篇：构造函数,利用导数证明不等式

构造函数，利用导数证明不等式

湖北省天门中学薛德斌2010年10月

例

1、设当xa,b时，f/(x)g/(x)，求证：当xa,b时，f(x)f(a)g(x)g(a)．

例

2、设f(x)是R上的可导函数，且当x1时(x1)f/(x)0．

求证：（1）f(0)f(2)2f(1)；（2）f(2)2f(1)．

例

3、已知m、nN，且mn，求证：(1m)(1n)．

nm

例

4、（2010年辽宁卷文科）已知函数f(x)(a1)lnxax21，其中a2，证明： x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.例

5、（2010年全国Ⅱ卷理科）设函数fxxaIn1x有两个极值点x1、x2，且

2x1x2，证明：fx2

12In2.4a0，b0，例

6、已知函数f(x)xlnx，求证：f(a)(ab)ln2f(ab)f(b).xln(1x)x； 1x

11112ncln（2）设c0，求证：.2cn1cn2c2ncnc例

7、（1）已知x0，求证：

第五篇：高中数学构造函数解决导数问题专题复习

高中数学构造函数解决导数问题专题复习

【知识框架】

【考点分类】

考点一、直接作差构造函数证明；

两个函数，一个变量，直接构造函数求最值；

【例1-1】（14顺义一模理18）已知函数（）

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若在区间上函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．

【例1-2】（13海淀二模文18）已知函数.（Ⅰ）当时，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值；

（Ⅱ）若，都有，求实数的取值范围.【练1-1】（14西城一模文18）已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）如果对于任意，都有，求的取值范围．

【练1-2】已知函数是常数．

（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；

（Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方；

（Ⅲ）讨论函数零点的个数．

【练1-3】已知曲线.(Ⅰ)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；

(Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【练1-4】已知函数，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方；

【练1-5】.已知函数；

（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；

（2）若在区间上，函数的图像恒在直线下方，求的取值范围。

【练1-6】已知函数；

（1）求的极小值；

（2）如果直线与函数的图像无交点，求的取值范围；

答案：

考点二、从条件特征入手构造函数证明

【例2-1】若函数

在上可导且满足不等式，恒成立，且常数，满足，求证：。

【例2-2】设是上的可导函数，分别为的导函数，且满足，则当时，有（）

A.B.C.D.【练2-1】设是上的可导函数，，求不等式的解集。

【练2-2】已知定义在的函数满足，且，若，求关于的不等式的解集。

【练2-3】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，若，则下列关于的大小关系正确的是（）D

A.B.C.D.【练2-4】已知函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，为自然对数的底数，则（）C

A.B.C.D.【练2-5】

设是上的可导函数，且，求的值。

【练2-6】函数为定义在上的可导函数，导函数为，且，下面的不等式在内恒成立的是（）

A.B.C.D.【练2-7】已知函数为定义在上的可导函数，导函数为，当时，且，若存在，使，求的值。

（二）关系式为“减”型

（1），构造；

（2），构造；

（3），构造；

（注意对的符号进行讨论）

考点三、变形构造函数

【例3-1】证明：对任意的正整数，不等式都成立。

【例3-2】已知函数；

（1）求函数的单调区间与极值；

（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；

【练3-1】设为曲线在点处的切线。

（1）求的方程；

（2）证明：除切点之外，曲线在直线的下方；

【练3-2】已知函数；

（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；

（2）当时，求证：；

【练3-3】已知函数，其中；

（1）求的单调区间；

（2）若对任意的，总存在，使得，求实数的值；

【练3-4】，（1）讨论的单调情况；

（2）设，对．求证：．

【练3-5】已知函数；

（1）求的单调区间；

（2）当时，设斜率为的直线与函数相交于两点，求证：

考点四、消参构造函数

【例4-1】已知函数和的图像有公共点，且在点处的切线相同；

（1）若点的坐标为，求的值；

（2）已知，求切点的坐标。

【例4-2】（2009全国卷2理22）设函数有两个极值点，且

（Ⅰ）求的取值范围，并讨论的单调性；

（Ⅱ）证明：