高中常见分段函数题型归纳[★]

第一篇：高中常见分段函数题型归纳

提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题

分段函数常见题型及解法

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数，它是一个函数，非几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.与分段函数有关的类型题的求解，在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明，因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解方法．

1．求分段函数的定义域和值域

例1.求函数2x2x[1,0];f(x)1x(0,2);2x3x[2,);的定义域、值域.解析：作图, 利用“数形结合”易知f(x)的定义域为[1,), 值域为（-1，2]U｛3｝.例2.求函数的值域.解析：因为当x≥0时，x2+1≥1；当x<0时，-x2<0.所以，原函数的值域是[1,+∞)∪(-∞,0).2．求分段函数的函数值

|x1|2,(|x|1)f(x)1,(|x|1)12f[f(1x2)].例1.已知函数求

311f()|1|2222解析：因为, 所以

3f[f(12)]f(2)1421(313.2)例2.已知函数，求f{f[f(a)]}(a<0)的值., 分析: 求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由 a<0, f(a)=2a，又0<2a<1,，所以，.注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段．

ex,x0.1g(x)g(g())lnx,x0.2练1.设则__________ 2x1(x2),ef(x)2(1)log3x练2.设

(x2).则f[f(2)]__________ 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题

3．求分段函数的最值

例1.求函数4x3(x0)f(x)x3(0x1)x5(x1)的最大值.f(x)f(0)3, 当0x1时, fmax(x)f(1)4, 当x1时, 解析：当x0时, maxx5154, 综上有fmax(x)4.例2.设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,求f(x)的最小值.分析：因为原函数可化为

所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可.解：当x

1，所以若，则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减，从而f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1.若，则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为，且；

当x≥a时，函数；

若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为，且.若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.综上，当时，函数f(x)的最小值是；

当时，函数f(x)的最小值是a2+1；

当时，函数f(x)的最小值是.注：分段函数最值求解方法是先分别求出各段函数的最值，再进行大小比较，从而达到求解的目的.4．求分段函数的解析式

例1.在同一平面直角坐标系中, 函数yf(x)和yg(x)的图象关于直线yx对称, 现将 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题

yg(x)的图象沿x轴向左平移2个单位, 再沿y轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数f(x)的表达式为（）

2x2(1x0)A.f(x)x22(0x2)2x2(1x0)B.f(x)x22(0x2)2x2(1x2)C.f(x)x21(2x4)2x6(1x2)D.f(x)x23(2x4)

1yx[2,0]2x1, 将其图象沿x轴向右平移2个单位, 再沿y轴向下平移1个解析：当时, 11y(x2)1122x1, 所以f(x)2x2(x[1,0]), 当x[0,1]时, 单位, 得解析式为y2x1, 将其图象沿x轴向右平移2个单位, 再沿y轴向下平移1个单位, 得解析式y2(x2)112x4, 所以f(x)12x2(x[0,2]), 综上可得2x2(1x0)f(x)x22(0x2), 故选A.例2.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示：

(I)写出图l表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t)；(II)认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?

解析：

(I)由图l可得市场售价与时间的关系为

由图2可得种植成本与时间的函数关系为 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题

（0≤t≤300）。

(II)设t时间的纯收益为h(t)，由题意得

h(t)=f(t)-g(t)

再求h(t)的最大值即可。

注：观察图1，知f(t)应是一个关于t的一次分段函数，观察图2可知g(t)是关于t的二次函数，可设为顶点式，即设g(t)=a(t-150)2+100。

5．作分段函数的图像

例1.函数ye|lnx||x1|的图像大致是（）

y1Ox1

yyB

1xO1C1xOD1

2例2.已知函数f(x)=|x-2x-3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点，求a的值.解：∵ f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|，所以

由图象易知a=4.注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数解析式，更简单.例3.已知函数f(x)=|x2-2x-3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点，求a的值.解：∵ f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|, 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题

∴

由图象易知a=4.注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数解析式，更简单.6．求分段函数得反函数

例1.求函数解：∵ f(x)在R上是单调减函数，∴ f(x)在R上有反函数.∵ y=x2+1(x≤0)的反函数是的反函数.(x≥1)，y=1-x(x>0)的反函数是y=1-x(x<1)，∴ 函数f(x)的反函数是

注 ：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可.xyf(x)f(x)31, 设f(x)得反函数为x0R例2.已知是定义在上的奇函数, 且当时，yg(x), 求g(x)的表达式.xf(x)31, 又因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以x0x0解析：设, 则, 所以f(x)f(x), 且f(0)0, 所以f(x)13x, 因此

3x1(x0)f(x)0(x0)13x(x0), 从而可得

log3(x1)(x0)g(x)0(x0)log(1x)(x0)31. －log3(x + 1)(x>6)例3.已知f(x) ，若记f 3x－6(x≤6)

(x)为f(x)的反函数，且

af11(),9则f(a4)__________.7．判断分段函数的奇偶性

x2(x1)(x0)f(x)2x(x1)(x0)的奇偶性.例1.判断函数

22f(x)(x)(x1)x(x1)f(x), 当x0时, x0x0解析：当时, , 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题

f(0)f(0)0, 当x0, x0, f(x)(x)2(x1)x2(x1)f(x)因此, 对于任意xR都有f(x)f(x), 所以f(x)为偶函数.注：分段函数奇偶性必须对x值分类，从而比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数结论.8．判断分段函数的单调性

3xx(x0)f(x)2(x0)x例1.判断函数的单调性.解一：

分析：由于x∈R，所以对于设x1>x2必须分成三类：

1.当x1>x2>0时，则f(x1)-f(x2)=

2.当0>x1>x2时，则

3.当x1>0>x2时，则

综上所述：x∈R，且x1>x2时，有f(x1)-f(x2)>0。

所以函数f(x)是增函数.注：分段函数的单调性的讨论必须对自变量的值分类讨论.解二：显然f(x)连续.当x0时, f(x)3x11恒成立, 所以f(x)是单调递增函数, 当'x0时, f(x)2x0恒成立, f(x)也是单调递增函数, 所以f(x)在R上是单调递增函数;

'2=(x1-x2)(x1+x2)>0； ；

或画图易知f(x)在R上是单调递增函数.例2.写出函数f(x)|12x||2x|的单调减区间.解析：9．解分段函数的方程 3x1(x12)f(x)3x(12x2)3x1(x2), 画图知单调减区间为

(,12].2xx(,1]1f(x)f(x)4的x的值为__________

log81xx(1,), 则满足方程例1.设函数x11x2logx2x2(,1]x2814, 则422解析：若, 则, 得, 所以（舍去）, 若x81, 解得x3(1,), 所以x3即为所求.142xx(,1]1f(x)f(x)4的x的值为__________ log81xx(1,), 则满足方程例2.设函数x11x2logx2x2(,1]x2814, 则422解析：若, 则, 得, 所以（舍去）, 若 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题

x81, 解得x3(1,), 所以x3即为所求.1x2(|x|1)|x|(|x|1)练1：函数f(x)=，如果方程f(x)=a有且只有一个实根，那么a满足

A.a<0 B.0≤a<1

C.a=1

D.a>1 14lgx1,x1,f(x)2x0.0,练2：设定义为R的函数则关于x的方程f(x)bf(x)c0

有7个不同的实数解的充要条件是（）

A.b0且c0

B.b0且c0

C.b0且c0

D.b0且c0

练3：设函数f(x)在(,)上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)f(3)0.（Ⅰ）试判断函数

（Ⅱ）试求方程yf(x)的奇偶性；

f(x)0在闭区间[2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论.10．解分段函数的不等式

2x1(x0)f(x)1x2(x0)f(x0)1, 则x0得取值范围是（）例1：设函数, 若A.(1,1)

B.(1,)

C.(,2)(0,)

D.(,1)(1,)

解一：首先画出yf(x)和y1的大致图像, 易

知f(x0)1时, 所对应的x0的取值范围是(,1)(1,).解二：因为f(x0)1, 当x00时, 2x011, 解得x01, 当x00时, x01, 解得

12x01, 综上x0的取值范围是(,1)(1,).故选D.2(x1)(x1)f(x)4x1(x1), 则使得f(x)1的自变量x的取值范围为（）例2：设函数A．(,2][0,10]

B.(,2][0,1]

C.(,2][1,10]

D.[2,0][1,10] 提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题

解析：当x1时, f(x)1(x1)1x2或x0, 所以x2或0x1, 当x1时，2f(x)14x11x13x10, 所以1x10, 综上所述, x2或0x10, 故选A项.2(x1)(x1)f(x)4x1(x1), 则使得f(x)1的自变量x的取值范围为（）例3：设函数A．(,2][0,10]

B.(,2][0,1]

C.(,2][1,10]

D.[2,0][1,10]

解析：当x1时, f(x)1(x1)1x2或x0, 所以x2或0x1, 当x1时，2f(x)14x11x13x10, 所以1x10, 综上所述, x2或0x10, 故选A项.(x0)1 f(x)(x0)，则不等式x(x2)f(x2)5的解集是________ 1 练1：已知x12e,x2,log3(x21),x2,练2：设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为________(A)（1，2）（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2）（10，+∞）(D)（1，2）

1(x为有理数)0(x为无理数)f练3：设(x)=，使所有x均满足x·f(x)≤g(x)的函数g(x)是（）

A．g(x)=sinx

B．g(x)=x

C．g(x)=x2

D．g(x)=|x| 点评：以上分段函数性质的考查中，不难得到一种解题的重要途径，若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解，方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解，使问题得到大大简化，效果明显.

第二篇：分段函数（范文模版）

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主题一 函数

分段函数专篇

在新课标中，对分段函数的要求有了进一步的提高，在近几年的高考试题中，考察分段函数的题目频频出现，分段函数已经成为高考的必考内容。

一.分段函数的定义

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。

例：1.已知函数yf(x)的定义域为区间0,2，当x0,1时，对应法则为yx，当x1,2]时，对应法则为y2x，试用解析式法与图像法分别表示这个函数。

2.写出下列函数的解析表达式，并作出函数的图像：

（1）设函数yf(x)，当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)

2（2）设函数yf(x)，当x1时，f(x)x1；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)x

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三、分段函数的应用

例：1.在某地投寄外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg0x100的信应付多少分邮资（单位：分）？写出函数的表达式，作出函数的图像，并求出函数的值域。

2.某市的空调公共汽车的票价制定的规则是：

（1）乘坐5km以内，票价2元；

（2）乘坐5km以上，每增加5km，票价增加1元（不足5km的按5km计算）。

已知两个相邻的公共汽车站之间相距约1km，如果在某条路线上（包括起点站和终点站）设21个汽车站，请根据题意写出这条路线的票价与里程之间的函数解析式，并作出函数的图像。

3.如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，ABP的面积为yf(x)。（1）求y与x的函数关系式 D

C（2）作出函数的图像

5）y5x3）yx1

（（RD辅导

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2.把下列函数分区间表达，并作出函数的图像

（1）yx1x（2）y2x13x

x,1x0(3)f(x)x2,0x1

x,1x2

五、分段函数题型分类解析

1、求分段函数的函数值

2,x2例1：已知函数

f(x)0,2x2 2,x2f(3),f(2),f(1),f(1),f(100)。）RD辅导

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例2：设x，求函数y2x13x的最大值。

例3：解不等式2x1x2。

4、解与分段函数有关的方程或不等式

例1：已知f(x)x1,x0，则不等式x(x1)f(x1)1的解集是（x1,x0A、{x|1x21}

B、{x|x1}

C、{x|x21}

D、{x|21x21}

例2：设函数f(x)21x,x11log，则满足f(x)2的x的取值范围是（2x,x1A、[1,2]

B、[0,2]

C、[1,)

D、[0,)））RD辅导

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第三篇：二次函数常见题型讲解

I 根据二次函数解析式分析基本元素，主要包括：

开口方向，对称轴，顶点坐标

掌握要求：会判断二次函数的开口方向，会写二次函数对称轴的表达式会写二次函数顶点坐标公式

深入掌握：二次函数标准式中a,b,c 代表的意义

★判断开口方向：a 大于0 表示开口方向向上

a 小于0 表示开口方向向下

★判断开口的宽窄：a 越大开口越小

b：与a 共同决定二次函数的对称轴

c：表示二次函数与y 轴的交点纵坐标，同时也可以说成是二次函数在y 轴上的截距

a，b，c 共同决定二次函数的顶点横、纵坐标

II 二次函数性质的应用

★已知一个函数是二次函数，且这个函数中的各项系数中含有未知数，求未知数的值。

此种类型题只需要令①二次项系数不为零，②整个式子最高次数为2 即可，但要注意最终求值的取舍，要同时满足上述两个条件。

★已知二次函数的顶点在y 轴或者x 轴上（或者与一次函数交点在y 轴或x 轴上）

若此点在X 轴上，说明这个点的纵坐标为0；（与X 轴交点则y=0。）

若此点在Y 轴上，说明这个点的横坐标为0；（与Y 轴交点则x=0。）

引申：如果说某条直线上的点横坐标都为0 或某常数C，则这条直线可以表示为X=0（即y 轴）或X=C

如果说某条直线上的点纵坐标都为0 或某常数C，则这条直线可以表示为Y=0（即x 轴）或Y=C

III平移问题

有关平移的问题可以看做是对称轴的平移带动整个抛物线移动，那么在解答平移问题时一定要先配方。配方后进行“左加右减”“上加下减”左右移动是针对对称轴而言的，因此要在配方后的完全平方式下，在“x”后进行加减上下移动式针对顶点而言的，因此在配方后要在常数项上进行加减

平移问题有以下几种类型： ★直接平移求结果

★已知抛物线平移方式以及平移后的抛物线解析式，求平

移前的函数解析式

此种类型题可以用“逆向移动”的方法进行求解，即把平移后的函数解析式看做是原始解析式，将平移方向全部变成相反的方向进行平移，移动后所得的解析式即为所求。★已知抛物线先“平移”，再“上下翻转”后的抛物线解析式，求平移前的函数解析式

“上下翻转”：由于抛物线的形状不变，只是上下翻转，因此只是抛物线的开口方向改变了，因此翻转即意味着“a，b，c”的符号变为相反的即可

★已知平移前和平移后的解析式，但平移方向未知，求解平移方向。

此种类型题要先将平移前后的解析式分别配方，找到平移方式后用待定系数法进行求解。

IV二次函数解析式的求法总结

★二次函数的三种表达形式

一般式（标准式）：y=ax2+bx+c(a≠0)顶点式： y=a(x+h)2+k(a≠0)

交点式： y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）说明：三种解析式形式的用法：一般式：

在已知三个点坐标的情况下，将3个点的坐标带入一般式中，解三元一次方程组得到a，b，c。

在无从用其他两种表达形式的情况下，设一般式来解题。顶点式：知道顶点，或者顶点的相关信息，利用这些信息能够求出顶点，或者知道最值的情况下使用顶点式。交点式：在知道二次函数与x轴交点横坐标的情况下利用交点式解题比较简便。

具体使用何种方法需要在平时的练习中逐渐积累，才能将三种方法使用的游刃有余。

V二次函数的应用

第四篇：分段函数复习学案

专题

二、分段函数

题型

一、求分段函数的函数值

lgx，x＞0，例1（2011·陕西卷）设f(x)＝x10，x≤0，则f(f(－2))＝________.－x，x≤0，例2.（2011·浙江卷）设函数f(x)＝2若f(a)＝4，则实数a＝()

x，x>0.A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2

例3.(2009辽宁)已知函数f(x)满足：x≥4,则f(x)＝()x；当x＜4时f(x)＝f(x1)，则

121311＝()

（A）（B）（C）（D）f(2log3)2882412巩固练习

|x1|2,(|x|1)1（05年浙江）已知函数f(x)1求f[f(1.2)],(|x|1)1x23x2,x1,2（2010陕西文数）已知函数f（x）＝2若f（f（0））＝4a，则实数a＝.xax,x1,

2，x>0，3.（2011·福建卷）已知函数f(x)＝

x＋1，x≤0.

x

若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于()A．－3 B．－1 C．1 D．3

2x＋a，x<1，4.（2011·江苏卷）已知实数a≠0，函数f(x)＝

－x－2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．

5.(2009山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= 则f（3）的值为

x0log2(4x),，f(x1)f(x2),x0

（）A.-1

B.-2

C.1

D.2 题型

二、分段函数的图像与性质应用 例4.已知函数f(x)(3a1)x4a,(x1)是R上的减函数，那么a的取值范围是（）

logx,(|x1)a13117317A.(0,1)B.(0,)C.[,)D.[,1)

x24x,例5.（2009天津卷）已知函数f(x)24xx,的取值范围是

x0x0

若f(2a)f(a),则实数a

()A(,1)(2,)B(1,2)C(2,1)D(,2)(1,)例6.(2010课标全国卷)已知函数f(x)=错误！未找到引用源。若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是()

A.(1,10)

B.(5,6)

C.(10,12)

D.(20,24)例7.（2011天津）对实数a和b，定义运算“”：aba,ab1,设函数

b,ab1.f(x)(2x2)x(取值范围是

yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的。若函数1x),R

（）

A．(1,1](2,)

B．(2,1](1,2]

C．(,2)(1,2]

D．[-2，-1] 巩固练习

log2x,x0,1（2010天津）若函数f(x)=log(x),x0,若f(a)f(a),则实数a的取值范围是（）

12（A）（-1，0）∪（0，1）（B）（-∞，-1）∪（1,+∞）（C）（-1，0）∪（1,+∞）（D）（-∞，-1）∪（0,1）

x24x6,x02（2009天津卷文）设函数f(x)则不等式f(x)f(1)的解集是（）

x6,x0A.(3,1)(3,)B.(3,1)(2,)C.(1,1)(3,)D.(,3)(1,3)23（2010江苏卷）已知函数f(x)x1,x0,则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的范围是_____。

x01,1,x01x4（2009北京）若函数f(x) 则不等式|f(x)|的解集为____________.3(1)x,x03x2+2x-3,x05（2010福建文）函数（的零点个数为()fx)=-2+lnx,x>0A．3 B．2 C．1 D．0

26(2011新课标）已知函数yf(x)的周期为2，当x[1,1]时，f(x)x，那么函数yf(x)的图像与函数ylgx的图像的交点共有（）A.10个 B.9个 C.8个 D.1个

第五篇：第9课 分段函数

第9课

分段函数

|x1|2,|x|11

1、设f(x)=1，则f[f()]=（）

2，|x|121xA.1

2B.4 1

3C.－5 D.25 41x2(x0)x(x0)(x)22、若f(x)=，则当x<0时，f[(x)]=（）x(x0)x(x0)A.－x B.－x C.x

D.x2

x2(x1)2.3、已知，若f(x)=x(1x2)则x的取值范围是______2x(x2)

4、下列各组函数表示同一函数的是（）x(x0)x24①f(x)=|x|，g(x)=②f(x)=，g(x)=x+2

x2x(x0)③f(x)=x2，g(x)=x+2

④f(x)=1x2A.①③ B.①

C.②④

x21g(x)=0 x∈{－1，1}

D.①④

25、某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=3000+20x－0.1x，x∈(0，240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本的最低产量为()A.100台

6、f(x)= B.120台

C.150台

D.180台

1]1，x[0，使等式f[f(x)]=1成立的x值的范围是_________.1]x3,x[0，7、若方程2|x－1|－kx=0有且只有一个正根，则实数k的取值范围是__________.拓展延伸

8、某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系式为P=t20(0t25,tN*)，该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式为t100(25t30,tN*)Q=－t+40，(0

第9课分段函数

1、（B）

2、（B）

3、R

4、（D）

5、（C）

6、[0，1]∪[3，4]∪{7}

7、（－∞，－2）∪{0}∪[2，＋∞]

8、解：设日销售额为y元，则y=P·Q 2*t20t800(0t25,tN)

当y=2 *(25t30,tN)t140t4000当0900,所以ymax=1125（元）

故所求日销售额的最大值为1125元，是在最近30天中的第25天实现的