偏导数求二元函数最值

第一篇：偏导数求二元函数最值

偏导数求二元函数最值

用偏导数可以求多元函数的极值及最值，不过要比一元函数复杂很多。

这个在高等数学教材里都有，极值求法与一元函数类似。不过极值点的判断要比一元函数复杂很多。

求闭区域上的最值要更麻烦一些。为什么呢？你可以回忆一下闭区间上一元函数的最值，我们做法是先求极值，再与端点的函数值比大小。但多元函数就麻烦了，因为一元函数的区间端点只有两个值，可以全求出来比就行了。但多元函数闭区域的边界是无穷多个值，不可能全求出来了，因此边界上我们还需要再求最大最小值，这个叫做条件最值。

如果能代入的话，就是代入求（将条件最值转化为无条件最值）。如果有些函数很复杂不能代入，有另一个方法，叫做拉格朗日乘数法，就是解决条件最值的问题的。

第二篇：一类二元函数最值的求法

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一类二元函数最值的求法

作者：高海燕

来源：《数理化学习·高三版》2013年第05期

点评：解法1和解法2中都用了配方法，但由于配方的目的不同.

第三篇：求偏导数的方法小结

求偏导数的方法小结

（应化2，闻庚辰，学号：130911225）

一，一般函数：

计算多元函数的偏导数时，由于变元多，往往计算量较大． 在求某一点的偏导数时，一般的计算方法是，先求出偏 导函数，再代人这一点的值而得到这一点的偏导数． 我们发 现，把部分变元的值先代人函数中，减少变元的数量，再计 算偏导数，可以减少运算量。

求函数f(x,y)在点（a,b）处的偏导数f’x(a,b)及f’y(a,b)的方法是： 1)先求出偏导数的函数式，然后将（a,b）代入计算即可.2)先求出g(x)=f(x,b)和h(y)=f(a,y),再求出g’(b),h’(a)便得到f’x(a,b)和f’y(a,b).3)若函数f(x,y)是分段函数则一般采用定义来做.复合具体函数的导数求解:

∂z∂zx=∂u 基本法则：∂∂u∂z∂x+∂v∂u∂y∂v∂x

∂v∂y ∂z∂y∂zu=∂∂zv+∂

其本质与一元函数的求导法则是一样的，只不过是将暂时不求的变量看成常量而已。

例1 ：z=f(x,y)=(x+y)xy,求f’x（1，1），f’y（1，0）；

法一：设u=x+y,v=xy,则z=uv函数的复合关系为：z是u,v的函数，u,v分别是x,y的函数.∂z∂zx=∂u 则：∂∂u∂z∂x+∂v∂v∂x

=xy(x+y)xy-1+y(x+y)xyln(x+y)=y(x+y)[xy

x(xy)+ln(x+y)] f(x,y)= y(x+y)[’xxy

x(xy)+ln(x+y)] 所以：f’x(1,1)=1+2ln2 由于f(x,y)的表达式中的 x,y依次轮换，即x换y成，同时将换y成x，表达式不变，这叫做函数f(x,y)对自变量x,y交换具有轮换对称性。具有轮换对称性的函数，只要在f’x的表达式中将x,y调换即得到f’y。即：f’y（x,y）= y(x+y)[xyx(xy)+ln(x+y)] 所以f’y（1，0）=0 法二：由于和一元函数的求导的实质是一样的。我们可以不引入中间变量，对某一自变量求导时，只要把其他自变量看成常数即可。如： Lnz=xyln(x+y)上式两边求导得： z∂zx∂x=y[ln(x+y)+(xy)] ∂zxx=z y[ln(x+y)+(xy)] 从而：∂所以：f’x(1,1)=1+2ln2 有函数的对称轮换性得：f’y（1，0）=0 例三：我们也可以利用全微分的不变性来解题。

∂z∂zyx+∂ 设z=eusin(v),而u=xy,v=x+y。求∂在（1，1）处的值。dz=d(eusin(v))= eusin(v)du+eucos(v)dv du=d(xy)=ydx+xdy dv=d(x+y)=dx+dy 代入后合并同类项得：

dz=(eusin(v)y+eucos(v))dx+(eusin(v)x+ eucos(v))dy将点（1，1）代入得：

∂z∂zyx+∂ ∂=2e(sin2+cos2).二，隐函数的求偏导。求隐函数的偏导时，我们一般有两种方法选择：

1)公式法

2)对函数两边直接求导。（但必须明确谁是谁的函数）。然后按复合函数求导法则来求。

例一：方程组{xyzox2y2z2a2（注：x2为x的平方）

法一：题中有3个自变量，明确了x=x(z),y=x(z),既z是自变量。我们可以利用公式求但比较繁。我们可以采用下面的方法： 法二：对方程组两边对求z导得：

{ dxdy10dzdzdyzxdx2y2z0dzdz

求得此解得： dxdzyzdyzx=xy，dz=xy

第四篇：怎样求函数最值几种方法

怎样求函数最值

一.求函数最值常用的方法

最值问题是生产,科学研究和日常生活中常遇到的一类特殊的数学问题,是高中数学的一个重点, 它涉及到高中数学知识的各个方面, 解决这类问题往往需要综合运用各种技能, 灵活选择合理的解题途径, 而教材中没有作出系统的叙述.因此, 在数学总复习中,通过对例题,习题的分析, 归纳出求最值问题所必须掌握的基本知识和基本处理方程.常见的求最值方法有:

1.配方法: 形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值.2.判别式法: 形如的分式函数, 将其化成系数含有y的关于x的二次方程.由于, ∴≥0, 求出y的最值, 此种方法易产生增根, 因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验.3.利用函数的单调性 首先明确函数的定义域和单调性, 再求最值.4.利用均值不等式, 形如的函数, 及≥≤, 注意正,定,等的应用条件, 即: a, b均为正数, 是定值, a=b的等号是否成立.5.换元法: 形如的函数, 令,反解出x, 代入上式, 得出关于t的函数, 注意t的定义域范围, 再求关于t的函数的最值.还有三角换元法, 参数换元法.6.数形结合法 形如将式子左边看成一个函数, 右边看成一个函数, 在同一坐标系作出它们的图象, 观察其位置关系, 利用解析几何知识求最值.求利用直线的斜率公式求形如的最值.7.利用导数求函数最值.用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题 对于分式函数y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)：

由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解，把“求f(x)的值域”这问题可转化为“已知x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解，求y的取值范围”把x当成未知量，y当成常量，化成一元二次方程，让这个方程有根．先看二次项系数是否为零，再看不为零时只需看判别式大于等于零了．

此时直接用判别式法是否有可能出问题，关键在于对这个方程取分母这一步是不是同解变形。

这个问题进一步的等价转换是“已知x的方程y(x^2+mx+n)=ax^2+bx+c)到少有一个实数解使x^2+mx+n≠0，求y的取值范围”

这种方法不好有很多局限情况，如：定义域是一个区间的．定义域是R的或定义域是R且不等于某个数的还可以用．过程用上面的就可以了.

第五篇：二次函数最值问题

《二次函数最值问题》的教学反思

大河镇 件，设所获利润为y元，则y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，这样，一个二元二次方程就列出，这也为后面学习二次函数与一元二次方程的关系奠定了基础，针对上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，这里再利用二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小来确定问题的最值。把问题转化怎样求这个函数的最值问题。

b4acbb4acb根据a>0时，当x=－，y最小＝；a<0时，当x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利润。

例2是面积的最值问题（下节课讲解）

教学反馈：讲得丝丝入扣，大部分学生能听懂，但课后的练习却“不会做”。反思一：本节课在讲解的过程中，不敢花过多的时间让学生争辩交流，生怕时间不够，完成了不教学内容，只能按照自己首先设计好的意图引领学生去完成就行了。实际上，这节课以牺牲学生学习的主动性为代价，让学生被动地接受，去听讲，体现不了学生是学习的主人这一关键环节。

反思二：数学教学的目标不仅是让学生学到一些知识，更重要的是让学生学会运用知识去解决现实问题，让学生“从问题的背景出发，建立数学模型”的基本流程，如例题中，可让学生从“列方程→转化为二次函数解析式→

b4acb当x＝－时，y最大（小）＝→解决问题”，让学生在实践中发现数2a4a学，掌握数学。

反思三：教学应当促进学生成为学习的主人，离开了学生积极主动学习，老师讲得再好，学生也难以接受，或者是听懂了，但不会做题的现象。传统的教学“五环节”模式已成为过去，新的课程标准需要我们用新的理念对传统的教学模式、教学方法等进行改革，让学生成为课堂的主角。