第六部分 利用导数、偏导数讨论函数的性质概要

第一篇：第六部分 利用导数、偏导数讨论函数的性质概要

第六部分 利用导数、偏导数讨论函数的性质

一、填空题

1.若f(x)在[a,b]上可导，且c为f(x)的极值点(acb)，则f(x)在xc点处的切线方程为.2.函数f(x)x42x25在[2,2]上的最大值为.ex3.曲线f(x)3的水平渐近线为.x14.若点(1,(ab)3)是曲线y(axb)3的拐点，则a，b应满足关系式.x5.曲线y共有 条渐近线；

2x16.设(x0,y0)是二元函数zf(x,y)的驻点，若f(x,y)具有二阶连续的偏导数，且

“"”则当a与b满足 时(x0,y0)b，(x0,y0)a，fyyfxx(x0,y0)1，fxy(x0,y0)是极大值点。

7.已知(x0,y0)是

''''''f(x,y)的驻点，若fxx(x0,y0)12，fxy(x0,y0)a，(x0,y0)3，fyy则当a满足条件 时，(x0,y0)一定是f(x,y)的极小值点。

8.z4(xy)xy 的极值点为.9.yx12x36x的单调减少区间为.3210.a______, b______ 时,点(1,3)为曲线yaxbx的拐点.322211.ex3在(,)内的实根的个数是 个；

3212.若(1, 3)为函数yaxbx的拐点，则a，b.xe2x113.曲线y的竖直渐近线为.x(x1)114.函数的麦克劳林展开式为__________________.1x

二、单选题

1.若f(x)为二次可微的偶函数，且f(x)0，则x0为f(x)的（）.A 极大值点 B 极小值点 C 极值点 D 不能确定

2.若f(x)二次可微，且(x0,f(x0))是它的一个拐点，则必有（）成立.'A.在xx0处，导数f(x)取得极值.B.在xx0处，曲线yf(x)的切线不存在.C.在xx0处，函数f(x)达到极值.D.上述三个结论均不一定成立.3.曲线y(2x)13在(2,)内（）.Ａ.单减下凹

Ｂ.单增上凹

Ｃ.单减上凹

Ｄ.单增下凹 4.函数yf(x)在点xx0处取得极大值,则必有（）.A.f'(x0)0 B.f''(x0)0 C.f'(x0)0且 f''(x0)0 D.f'(x0)0或不存在

5.设偶函数f(x)具有连续的二阶导数,且f''(0)0,则x0（）.A.不是f(x)的极值点 B.一定是f(x)的极值点 C.一定不是f(x)的极值点 D.是否为极值点不能确定 6．f(x)lnx的垂直渐近线为（）2x1 A.x

1B.x1

C.x1,x0

D.x0 x2y2，原点(0,0)（）

A.是驻点但不是极值点

B.是驻点且为极值点

C.不是驻点但是极大值点

D.不是驻点但是极小值点

7．对于函数f(x,y)

三、计算题

1.若点(1,3)是曲线yx3ax2bx14的拐点，求a,b.2.求函数f(x)eax(a0)的Maclaurin展式.3.已知点(1,3)是曲线yaxbx的拐点，求a与b的值.32f(x)1, lim[f(x)x]2, limf(x)，x2xxxx并且当x(0,1)时f'(x)0，否则f'(x)0；当x1时f“(x)0，否则f”(x)0(x2)。2,2 4.对函数f(x)有limf(x)0,lim则：（1）函数的单调区间（注明增减）为

；

（2）函数曲线的凹向区间为

，拐点为

；（3）当x

时，函数取得极大值

；

（4）图形的渐近线是

；（5）f(0)51317,f,f(1),f0,绘出yf(x)描述图形.4242432 5.设点(1,3)是曲线yxaxbx14的拐点,求a,b之值,并求出该曲线的单调区间和极值.6.求函数f(x)e7.求函数yex22ax(a0)的Maclaurin展式.的单调区间、凹凸区间、极值点及拐点.8.用微分作图法作函数y21314xx的图形？ 31

29.设yln(（1）函数的凸凹区间及拐点.（2）该曲线在拐点处的切线方程.1x),求： 10.求曲线y(1x)e11x的渐近线.11.设yx2ex，求该曲线的单调区间、极值、凹向、拐点及渐近线。

12.在抛物线y1x2(x0)上求一点P，使过该点的切线与两坐标轴所围的平面图形的面积最小。

13.设yf(x)12ex22，求

（1）yf(x)在_________单调增加,在__________单调减少.(2)yf(x)在_________向上凹,在__________向下凹.(3)拐点坐标_____________________.(4)yf(x)在点___________处取极大值____________.(5)yf(x)的渐近线方程________________________.14.已知曲线yx(12lnx3)(x0),求：(1)单调区间和极值,(2)凹向区间与拐点。

第二篇：偏导数求二元函数最值

偏导数求二元函数最值

用偏导数可以求多元函数的极值及最值，不过要比一元函数复杂很多。

这个在高等数学教材里都有，极值求法与一元函数类似。不过极值点的判断要比一元函数复杂很多。

求闭区域上的最值要更麻烦一些。为什么呢？你可以回忆一下闭区间上一元函数的最值，我们做法是先求极值，再与端点的函数值比大小。但多元函数就麻烦了，因为一元函数的区间端点只有两个值，可以全求出来比就行了。但多元函数闭区域的边界是无穷多个值，不可能全求出来了，因此边界上我们还需要再求最大最小值，这个叫做条件最值。

如果能代入的话，就是代入求（将条件最值转化为无条件最值）。如果有些函数很复杂不能代入，有另一个方法，叫做拉格朗日乘数法，就是解决条件最值的问题的。

第三篇：构造函数,利用导数证明不等式

构造函数，利用导数证明不等式

湖北省天门中学薛德斌2010年10月

例

1、设当xa,b时，f/(x)g/(x)，求证：当xa,b时，f(x)f(a)g(x)g(a)．

例

2、设f(x)是R上的可导函数，且当x1时(x1)f/(x)0．

求证：（1）f(0)f(2)2f(1)；（2）f(2)2f(1)．

例

3、已知m、nN，且mn，求证：(1m)(1n)．

nm

例

4、（2010年辽宁卷文科）已知函数f(x)(a1)lnxax21，其中a2，证明： x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.例

5、（2010年全国Ⅱ卷理科）设函数fxxaIn1x有两个极值点x1、x2，且

2x1x2，证明：fx2

12In2.4a0，b0，例

6、已知函数f(x)xlnx，求证：f(a)(ab)ln2f(ab)f(b).xln(1x)x； 1x

11112ncln（2）设c0，求证：.2cn1cn2c2ncnc例

7、（1）已知x0，求证：

第四篇：利用导数求函数的单调性解读

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利用导数求函数的单调性

例 讨论下列函数的单调性：

1．f(x)axax（a0且a1）；

2．f(x)loga(3x25x2)（a0且a1）； 3．f(x)bx(1x1,b0)． 2x1分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f(x)，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内f(x)的符号，来确定函数f(x)在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性．

解：

1．函数定义域为R．

f(x)axlnaaxlna(x)lna(axax).当a1时，lna0,axax0,f(x)0.∴函数f(x)在(,)上是增函数． 当0a1时，lna0,aaxx0,f(x)0.∴函数f(x)在(,)上是减函数． 2．函数的定义域是x1或x2.3f(x)logae(6x5)logae2(3x5x2)

3x25x2(3x1)(x2)1时，logae0,6x50,(3x1)(x2)0，3①若a1，则当x∴f(x)0，∴函数f(x)在，上是增函数；

当x2时，f(x)0，∴函数f(x)在,2上是减函数 ②若0a1，则当x131时，f(x)0，3∴函数f(x)在，上是减函数； 13清华园教育网

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www.xiexiebang.com 当x2时，f(x)0，∴函数f(x)在,2上是增函数 3．函数f(x)是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性

x(x21)x(x21)当0x1时，f(x)b 22(x1)b(x21)

2

(x1)2若b0，则f(x)0，函数f(x)在（0，1）上是减函数； 若b0，则f(x)0，函数f(x)在（0，1）上是增函数．

又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性．所以当b0时，函数f(x)在（－1，1）上是减函数，当b0时，函数f(x)在（－1，1）上是增函数． 说明：分类讨论是重要的数学解题方法．它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了．在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号，否则会产生错误判断．

分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力．

利用导数求函数的单调区间

例

求下列函数的单调区间： 1．f(x)x2x3； 2．f(x)2xx2； 3．f(x)x42b(b0).x分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误．

4解：1．函数f(x)的定义域为R，f(x)x4x4(x1)(x1)x

令f(x)0，得1x0或x1．

∴函数f(x)的单调递增区间为（－1，0）和(1,)； 令f(x)0，得x1或0x1，清华园教育网

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www.xiexiebang.com ∴函数f(x)的单调递减区间为(,1)和（0，1）． 2．函数定义域为0x2.f(x)(2xx2)22xx21x2xx2.令f(x)0，得0x1． ∴函数f(x)的递增区间为（0，1）； 令f(x)0，得1x2，∴函数f(x)的单调递减区间为（1，2）． 3．函数定义域为x0,f(x)1b1(xb)(xb).22xx令f(x)0，得xb或xb．

∴函数f(x)的单调递增区间为(,b)和(b,)； 令f(x)0，得bxb且x0，∴函数f(x)的单调递减区间是(b,0)和(0,b)．

说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例1函数f(x)的单调递增区间和递减区间分别写成(1,0)(1,)和(,1)(0,1)的错误结果．这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用．

求解析式并根据单调性确定参数

例

已知f(x)xc，且f[f(x)]f(x1).1．设g(x)f[f(x)]，求g(x)的解析式；

2．设(x)g(x)f(x)，试问：是否存在实数，使(x)在,1内为减函数，且在（－1，0）内是增函数．

分析：根据题设条件可以求出(x)的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定

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www.xiexiebang.com 存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数(x)是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数的取值范围，使问题获解．

解：1．由题意得f[f(x)]f(x2c)(x2c)2c，f(x21)(x21)2c.f[f(x)]f(x21)，∴(x2c)2c(x21)2c,x2cx21,c1.∴f(x)x21,g(x)f[f(x)]f(x21)(x21)21.2．(x)g(x)f(x)x4(2)x2(2)． 若满足条件的存在，则(x)4x32(2)x.∵函数(x)在,1内是减函数，∴当x1时，(x)0，即4x32(2)x0对于x(,1)恒成立． ∴2(2)4x2,x1,4x24.∴2(2)4，解得4．

又函数(x)在（－1，0）上是增函数，∴当1x0时，(x)0 即4x2(2)x0对于x(1,0)恒成立，∴2(2)4x,1x0,44x0.∴2(2)4，解得4．

故当4时，(x)在,1上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即满足条件的存在．

说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系．因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决．不善于应用f(x)a恒成立[f(x)]maxa和f(x)a恒成立[f(x)]mina，究其原因是对函数的思想方法理解不深．

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利用导数比较大小

例

已知a、b为实数，且bae，其中e为自然对数的底，求证：ab． 分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明f(x)g(x),x(a,b)，可以等价转化为证明F(x)f(x)g(x)0，如果

baF(x)0，则函数F(x)在(a,b)上是增函数，如果F(a)0，由增函数的定义可知，当x(a,b)时，有F(x)0，即f(x)g(x)．

解：证法一：

bae，∴要证abba，只要证blnaalnb，设f(b)blnaalnb(be)，则f(b)lnaa． bbae，∴lna1，且

a1，∴f(b)0.b∴函数f(b)blnaalnb在(e,)上是增函数． ∴f(b)f(a)alnaalna0，即blnaalnb0，∴blnaalnb,ab.证法二：要证ab，只要证blnaalnb(eab)，即证babalnalnblnx1lnx(xe)，则f(x)0，设f(x)2abxx∴函数f(x)在(e,)上是减函数． 又eab,f(a)f(b)，即

lnalnb,abba.ab说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出f(x)g(x)f(x)g(x)的错误结论．

判断函数在给定区间上的单调性

例

函数ylog1121在区间(0,)上是（）x清华园教育网

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A．增函数，且y0

B．减函数，且y0

C．增函数，且y0

D．减函数，且y0

分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y的大小；二是要判断此函数的单调性． 解：解法一：令u11，且x(0,),u1，x则ylog1u0，排除A、B．

2由复合函数的性质可知，u在(0,)上为减函数．

又ylog1u亦为减函数，故ylog11221排除D，选C． 在(0,)上为增函数，x解法二：利用导数法

y11log1e2log2e0 1xx(1x)21x1（x(0,)），故y在(0,)上是增函数． 由解法一知y0．所以选C．

说明：求函数的值域，是中学教学中的难关．一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等（包括初等方法和导数法）．对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的．

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第五篇：第6章 多元函数微分学2-10导学(6.1.3 偏导数 6.1.4 高阶偏导数)

第6章 多元函数微分学

6.1 多元函数微分的基本概念

6.1.3 偏导数6.1.4 高阶偏导数(导学)

一、一元函数导数相关知识

1． 某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x元，外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出705x4y瓶本地牌子的果汁，806x7y瓶外地牌子的果汁,问：(1)店主每天的收益为多少？（2）收益对不同价格x，y的变化率为多少？

二、多元函数有关问题

1．偏导数符号“”怎么读？

2．多元函数的偏导数几何意义

3．怎样求偏导数?

4．fx(x,y)与正fx(x0,y0)两者是怎样的关系?

三、举例与练习

1．求ux2y2xy的偏导数。z

2． 求函数zx23xy2y2在点(2,1)处的两个偏导数

3． 设zxy(x0)，求证xz1z2z yxlnxy

u2zu)()2()21 xyz4． 设ux2y2z2，求证（xy22,xy0，求f(0,0)和f(0,0)5．函数f(x,y)xyxy22xy00,6．求函数zx3y3x2y3的二阶偏导数.四、思考题

1.二元函数f(x,y))在点(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0)与一元函数(x)f(x,y0)在点x0处的导数(x0)是否相同?

2.如果函数zf(x,y)在(x0,y0)点偏导数存在，试问zf(x,y)在(x0,y0)点一定连续吗?