高等数学偏导数第三节题库

第一篇：高等数学偏导数第三节题库

【090301】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数zarctan【试题答案及评分标准】

xy的全微分。1xyzarctanxyarctanxarctany

1xyz1,x1x2dzz1 y1y2

（8分）

11dxdy

221x1y

（10分）

或dz1xy1xy

2(1xy)(dxdy)(xy)(ydxxdy)2(1xy)

（8分）（10分）

11dxdy

221x1y【090302】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数zln(xye)的全微分。【试题答案及评分标准】

22xyz2xyexy,xx2y2exydzz2yxexy yx2y2exy

（8分）

1(2xyexy)dx(2yxexy)dy 22xyxye（10分）

【090303】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数ux【试题答案及评分标准】

yz的全微分。

lnuyzlnx

zu1uyzyzxy1

xx

（2分）（5分）zuzyz1xylnx y uzyzyxlnxlny

z

z

z（8分）

duyzxy z1dxzyz1xylnxdyyzxylnxlnydz

（10分）

【090304】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设uarccosx，求du。

x2y2【试题答案及评分标准】

ux2y21x2yxyx2y2(x2y2)3/2x2y2ux2y2yxyxsgnyy(x2y2)3/2x2y2

dusgnyx2y2(ydxxdy)

【090305】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设uarcsinxu。

x2y2，求d【试题答案及评分标准】

2ux2yy1x2yxx2y2(x2y2)3/2x2y2 ux2y2yxyxsgnyy(x2y2)3/2x2y2

dusgnyx2y2(ydxxdy)

【090306】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数uxyyzzx的全微分。【试题答案及评分标准】

uxyxy1yzzxxyyzzxlnzxyyzzx(yxlnz)

uxyyzzxlnxxyzyzyz1zxxyyzzx(ylnx)

4分）8分）10分）4分）8分）10分）3分）6分）（（

（

（（

（

（（uxxyyzzxlnyxyyzxzx1xyyzzx(lny)

zz（9分）

yzx duxyyzzx(lnz)dx(lnx)dy(lny)dz（10分）

yzx【090307】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设uarccos【试题答案及评分标准】

yz，求du。xux1yz1x1yz1x22yzyz 222x2xxyzxzz

222xxxyz

（3分）

uy

（6分）

xyu

222zxxyz

（9分）

duyzxzxydydz

dx222xxxyzx1（10分）

【090308】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设f(x,y)【试题答案及评分标准】

x2y2，则df= ———。

（10分）

xdxydyxy22【090309】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设zxyxe，则dz= ———。

【试题答案及评分标准】(3xy2x)dx(2xye)dy

10分 【090310】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设z(1x)，则dz= ———。【试题答案及评分标准】y(1x)y1y223y322ydx(1x)yln(1x)dy 10分

【090311】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】

x【试题内容】设u(x,y,z)，则du(1,2,3)= ———。

yz【试题答案及评分标准】

331dxdyln2dz（10分）8168【090312】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设f(x,y,z)ln(xyz)，则df(1,2,0)= ———。【试题答案及评分标准】dx11dydz（10分）22x2y2)，则du= ———。【090313】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u(x,y)ln(x【试题答案及评分标准】

1xy22(dxyxxy22dy)10分

【090314】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设zxyexy，则dz= ———。

xy【试题答案及评分标准】ey(1x)dxx(1y)dy

（10分）

【090315】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u(x,y)xy，则du= ———。xy2(ydxxdy)（10分）

(xy)2【试题答案及评分标准】【090316】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设ucosh(xy)cos(xy)，则du= ———。【试题答案及评分标准】sinh(xy)sin(xy)(ydxxdy)【090317】【填空题】【较易0.3】全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设uln(xy)tanh(xy)，则du= ———。

（10分）

【试题答案及评分标准】1111dxdy（10分）22xcosh(xy)ycosh(xy)【090318】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设zexycosexy，则dz= ———。

xyxy【试题答案及评分标准】e(1sine)(ydxxdy)

（10分）

【090319】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】

x2y【试题内容】研究函数z(x,y)x4y20是否存在？

【试题答案及评分标准】

x4y20x4y20在点（0，0）处的全微分

zx(0,0)limx0f(x,0)f(0,0)0

x

（3分）zy(0,0)limy0f(0,y)f(0,0)0

yzzxzdx(0,0)y(x)2y(0,0)dy42(x)(y)(x)2(y)2

（5分）

(x)2ylimx0(x)4(y)2y0取xy，上式=limx0(x)(x)34(x)22x10 2

故函数z(x,y)在点（0，0）处不可微。

函数在（0，0）点全微分不存在。

（10分）【090320】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】讨论：函数f(x,y)x2y2在点（0，0）处是否可微？

xf(x,0)f(0,0)lim【试题答案及评分标准】lim不存在

x0x0xx（5分）

fx(0,0)不存在，故函数f(x,y)x2y2在点（0，0）处不可微。

（10分）

【090321】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】

【试题内容】设f(x,y)xsinxy，试研究（0，0）处的全微分是否存在？

【试题答案及评分标准】因lim

x0

xx

不存在，即fx(0,0)不存在

10分

8分

故f(x,y)在（0，0）全微分不存在。

【090322】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

122xysin,22【试题内容】讨论函数f(x,y)xy0处的连续性，可导性和可微性。

【试题答案及评分标准】

x2y20x2y20在点（0，0）limf(x,y)limx2y2sinx0y0x0y010f(0,0)

x2y2

（3分）f(x,y)在点（0，0）连续

x0limxf(0x,0)f(0,0)1 limsin2x0xxx()

（7分）极限不存在，f(x,y)在（0，0）处不可导

从而在（0，0）处不可微。

（10分）

【090323】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

xy,2【试题内容】函数f(x,y)xy20否存在？在点（0，0）是否可微？为什么？

【试题答案及评分标准】

x2y20x2y20在点（0，0）的两个偏导数是fx(0,0)limx0f(x,0)f(0,0)00lim0 x0xx（5分）fy(0,0)0，故f在（0，0）的两个偏导数存在。

因limf(x,y)yxx01f(0,0)，故f在（0，0）点不连续，从而不可2微。

（10分）【090324】【讨论题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】 【试题内容】已知(x)可微，求A(x)使d{sin[x(x)]}A(x)dx。【试题答案及评分标准】记ux(x),tsinusin(x(x))

（3分）（5分）（8分）d[sin(x(x))](t)dt (t)cosudu

(t)cos[x(x)][(x)x(x)]dx

所以 A(x)(t)[(x)x(x)]cos[x(x)]

（10分）

【090325】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

xy【试题内容】试证：f(x,y)x2y20在，但是不可微。

【试题答案及评分标准】lim同理，fy(0,0)0

x0(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)在点（0，0）处偏导数存

f(x,0)f(0,0)0fx(0,0)

x

（4分）

记zfx(0,0)xfy(0,0)yz 则

limzxylimlim不存在（8分）x0x0(x)2(y)2220(x)(y)y0y0f(x,y)在（0，0）处不可微。

（10分）

【090326】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

122(xy)sin【试题内容】试证：函数f(x,y)x2y20处可微。

【试题答案及评分标准】

x2y20x2y20在点（0，0）fx(0,0)limx0f(x,0)f(0,0)1limxsin0（2分）2x0x(x)fy(0,0)limy0f(0,y)f(0,0)1limysin0（4分）y0y(y)2ffx(0,0)xfy(0,0)y(x)(y)22(x)2(y)2sin1(x)2(y)2(x)2(y)2(x)2(y)20

x0y0

（8分）

f(x,y)在点（0，0）处可微。

（10分）

【090327】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

x3y3【试题内容】试证：f(x,y)x2y20在，但不可微。

【试题答案及评分标准】

(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)在原点（0，0）处偏导数存f(x,0)f(0,0)(x)3limlim1fx(0,0)3x0x0x(x)同理，fy(0,0)1

分）

（4f(x,y)在（0，0）偏导数存在。

limx0y0ffx(0,0)xfy(0,0)y2(x)(y)21/2limxy(xy)x0y0(x)2(y)23/2（6分）

(x)3k(1k)k(1k)lim，故二重极限不存在 23/2x0(x)3(1k2)3/2(1k)ykx（8分）

f(x,y)在（0，0）处不可微。

（10分）

【090328】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

122xysin【试题内容】试证：f(x,y)x2y20x2y20x2y20的偏导数fx(x,y)及fy(x,y)在点（0，0）的邻域内存在，但它们在（0，0）处均不连续。【试题答案及评分标准】

x0limf(x,0)f(0,0)1lim(x)sin0fx(0,0)2x0x(x)当(x,y)(0,0)时，（3分）

fx(x,y)2xsin12x1cos 222222xyxyxy（5分）

又

121lim2xsincos不存在(x,y)(0,0)x2xx2y0故fx(x,y)在（0，0）处不连续

（8分）（10分）同理可证：fy(x,y)在（0，0）处不连续

【090329】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】 【试题内容】证明：zxy在（0，0）处连续，偏导数存在，但不可微。

【试题答案及评分标准】由0xyx2y2，得 2limf(x,y)limxy0f(0,0),f(x,y)在（0，0）处连续。

x0x0y0y0

x0

（3分）

limf(x,0)f(0,0)0fx(0,0)

x（5分）同理，fy(0,0)0,f(x,y)在（0，0）处偏导数存在

limx0y0zfx(0,0)xfy(0,0)y(x)(y)

22lim

xy(x)(y)

22x0y0，不存在

（8分）

f(x,y)在（0，0）处不可微。

（10分）

【090330】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【偏导数】

yxsin(4arctan)【试题内容】证明：f(x,y)x0但不可微。

x0x0在点（0，0）处偏导数存在，f(x,0)f(0,0)0fx(0,0)x0x【试题答案及评分标准】

f(0,y)f(0,0)lim0fy(0,0)y0ylimf(x,y)在（0，0）处偏导数存在。

（4分）

（6分）ffx(0,0)xfy(0,0)yxsin(4arctany)

xxsin(4arctanx0y0limy)xlimxsin(4arctank)

x02(x)2(y)2x1kykx，故二重极限不存在

（8分）sin(4arctank)1k2f(x,y)在（0，0）处不可微。

（10分）

【090331】【证明题】【较难0.7】【全微分】【全微分的定义】【多元函数的连续性】 【试题内容】证明：若zf(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分，则它在该点处必连续。【试题答案及评分标准】由zf(x,y)在点P0(x0,y0)可微，则有

zzzxyo()xy

（5分）

其中 (x)2(y)2

x0y0当x0,y0时，0，从而limz0

（8分）

即zf(x,y)在点P0(x0,y0)处连续。

（10分）

【090332】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【隐函数的求导公式】 【试题内容】设函数zz(x,y)由方程xyz3xyz1所确定，则全微分dz= ———。

【试题答案及评分标准】

3331(yzx2)dx(xzy2)dy

10分 2zxy【090333】【填空题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】【隐函数的求导公式】 【试题内容】由方程xyz处的全微分dz= ———。

【试题答案及评分标准】dx2dy

10分

x2y2z22所确定的函数zz(x,y)在点（1，0，－1）

第二篇：高等数学教案ch 8.2 偏导数

§82

偏导数

一、偏导数的定义及其计算法

对于二元函数zf(x y) 如果只有自变量x 变化 而自变量y固定 这时它就是x的一元函数 这函数对x的导数 就称为二元函数zf(x y)对于x的偏导数

定义

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 当y固定在y0而x在x0处有增量x时 相应地函数有增量

f(x0x y0)f(x0 y0)

如果极限

limx0f(x0x,y0)f(x0,y0)x

存在 则称此极限为函数zf(x y)在点(x0 y0)处对x的偏导数 记作

zxxx0yy0

fxxx0yy0 zxxx0yy0 或fx(x0,y0)

例如：

fx(x0,y0)limf(x0x,y0)f(x0,y0)xx0

类似地 函数zf(x y)在点(x0 y0)处对y 的偏导数定义为

limy0f(x0,y0y)f(x0,y0)y

记作 zyxx0yy0 fyxx0yy0 zyxx0yy0 或fy(x0 y0)

偏导函数

如果函数zf(x y)在区域D内每一点(x y)处对x的偏导数都存在 那么这个偏导数就是x、y的函数 它就称为函数zf(x y)对自变量x的偏导函数 记作

zx

fx zx 或fx(x,y)

偏导函数的定义式 fx(x,y)limx0f(xx,y)f(x,y)

x

类似地 可定义函数zf(x y)对y的偏导函数 记为

zy fy zy  或fy(x,y)

偏导函数的定义式 fy(x,y)lim求fxy0f(x,yy)f(x,y)y

fy时 只要把y暂时看作常量而对x求导数 求时 只要把x暂时看作常量而对y求导数

讨论 下列求偏导数的方法是否正确？

fx(x0,y0)fx(x,y)xx0 fy(x0,y0)fy(x,y)xx0 yy0yy0

fx(x0,y0)[df(x,y0)]xx fy(x0,y0)[df(x0,y)]yy

dx0dy0

偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数uf(x y z)在点(x y z)处对x的偏导数定义为

fx(x,y,z)limx0f(xx,y,z)f(x,y,z)

x其中(x y z)是函数uf(x y z)的定义域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题

例1 求zx23xyy2在点(1 2)处的偏导数

zz3x2y

解 z2x3y

xyxx121328 y2zyx1y231227

例2 求zx2sin 2y的偏导数

z2x2cos2y

解 z2xsin2y

xy 例3 设zxy(x0,x1) 求证

zxylnx

证 zyxy1

xz1z2zyxlnxy

xy

xz1zxyxyxlnxyyy11xylnxxyxy2zlnx

例4 求rx2y2z2的偏导数

解 rxxxyz222xr ryyxyz222yr

例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数) 

求证 pVT1

VTppRT 证 因为pRT 2 VVV

VRT VR

pTp

T所以pV TV

pRRpVTRTRVRT21

VTppRpVV

例5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商

二元函数zf(x y)在点(x0 y0)的偏导数的几何意义 

fx(x0 y0)[f(x y0)]x是截线zf(x y0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率

fy(x0 y0)[f(x0 y)]y是截线zf(x0 y)在点M0处切线Ty对y轴的斜率

偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在该点连续 例如

xy22 x y0 f(x,y)xy2

2 200 x  y在点(0 0)有 fx(0 0)0 fy(0 0)0 但函数在点(0 0)并不连续

提示

f(x, 0)0 f(0, y)0

d

fx(0, 0)d[f(x, 0)]0 fy(0, 0)[f(0, y)]0

dxdy

当点P(x y)沿x轴趋于点(0 0)时 有

lim(x,y)(0,0)f(x,y)limf(x, 0)lim00

x0x0

当点P(x y)沿直线ykx趋于点(0 0)时 有

lim(x,y)(0,0)ykxkx2klim22222x0xkxxy1k2xy 

因此 lim(x,y)(0,0)f(x,y)不存在 故函数f(x y)在(0 0)处不连续

类似地 可定义函数zf(x y)对y的偏导函数 记为

f

z  zy  或fy(x,y)

yy偏导函数的定义式 fy(x,y)lim

二

高阶偏导数

y0f(x,yy)f(x,y)y

设函数zf(x y)在区域D内具有偏导数

zfx(x,y) x

zfy(x,y) y

那么在D内fx(x y)、fy(x y)都是x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称它们是函数zf(x y)的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数

如果函数zf(x y)在区域D内的偏导数fx(x y)、fy(x y)也具有偏导数

则它们的偏导数称为函数zf(x y)的二阶偏导数 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数

z2zz2z()fxy(x,y)()2fxx(x,y)

yxxyxxx

z2zz2z()fyx(x,y)

()2fyy(x,y)

xyyxyyy

z2zz2zfxy(x,y)()fyx(x,y)称为混合偏导数 其中()yxxyxyyxz2z()2xxx2z2zz2z()()   (z)z

2yxxyxyyxyyy 同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数  二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

例6 设zxy3xyxy1 32

32z求2x3z、3x2z2z、和

yxxy

解 z3x2y23y3y z2x3y9xy2x

xy23z2

z 6xy6y2

32xx2z2z22

6xy9y1 6x2y9y21 xyyx

2z2z由例6观察到的问题

yxxy2z2z

定理 如果函数zf(x y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续

yxxy那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等

类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数

22z 例7 验证函数zlnx2y2满足方程z0

22xy 证 因为zlnx2y21ln(x2y2) 所以

zxxx2y2 zyyxy22

22y2x22z(xy)x2x2x2(x2y2)2(xy2)2

22x2y22z(xy)y2y2y2(x2y2)2(xy2)2

x2y2y2x22z2z因此 222222220

xy(xy)(xy)

例8．证明函数u1r2u2u2u满足方程2220

xyz 其中rx2y2z2

证 u12r12xx3

xrxrrr

同理

2u13xr13x23435x2rrxrr

2u13y523yrr2213z2 u5

23zrr22u2u2u13x213y13z2因此222(35)(35)(35)xyzrrrrrr22233(xyz)33r23350rr5rr



2x提示 u()23xxrr3x3r(r)r3x3r2xx

66rr

第三篇：求偏导数的方法小结

求偏导数的方法小结

（应化2，闻庚辰，学号：130911225）

一，一般函数：

计算多元函数的偏导数时，由于变元多，往往计算量较大． 在求某一点的偏导数时，一般的计算方法是，先求出偏 导函数，再代人这一点的值而得到这一点的偏导数． 我们发 现，把部分变元的值先代人函数中，减少变元的数量，再计 算偏导数，可以减少运算量。

求函数f(x,y)在点（a,b）处的偏导数f’x(a,b)及f’y(a,b)的方法是： 1)先求出偏导数的函数式，然后将（a,b）代入计算即可.2)先求出g(x)=f(x,b)和h(y)=f(a,y),再求出g’(b),h’(a)便得到f’x(a,b)和f’y(a,b).3)若函数f(x,y)是分段函数则一般采用定义来做.复合具体函数的导数求解:

∂z∂zx=∂u 基本法则：∂∂u∂z∂x+∂v∂u∂y∂v∂x

∂v∂y ∂z∂y∂zu=∂∂zv+∂

其本质与一元函数的求导法则是一样的，只不过是将暂时不求的变量看成常量而已。

例1 ：z=f(x,y)=(x+y)xy,求f’x（1，1），f’y（1，0）；

法一：设u=x+y,v=xy,则z=uv函数的复合关系为：z是u,v的函数，u,v分别是x,y的函数.∂z∂zx=∂u 则：∂∂u∂z∂x+∂v∂v∂x

=xy(x+y)xy-1+y(x+y)xyln(x+y)=y(x+y)[xy

x(xy)+ln(x+y)] f(x,y)= y(x+y)[’xxy

x(xy)+ln(x+y)] 所以：f’x(1,1)=1+2ln2 由于f(x,y)的表达式中的 x,y依次轮换，即x换y成，同时将换y成x，表达式不变，这叫做函数f(x,y)对自变量x,y交换具有轮换对称性。具有轮换对称性的函数，只要在f’x的表达式中将x,y调换即得到f’y。即：f’y（x,y）= y(x+y)[xyx(xy)+ln(x+y)] 所以f’y（1，0）=0 法二：由于和一元函数的求导的实质是一样的。我们可以不引入中间变量，对某一自变量求导时，只要把其他自变量看成常数即可。如： Lnz=xyln(x+y)上式两边求导得： z∂zx∂x=y[ln(x+y)+(xy)] ∂zxx=z y[ln(x+y)+(xy)] 从而：∂所以：f’x(1,1)=1+2ln2 有函数的对称轮换性得：f’y（1，0）=0 例三：我们也可以利用全微分的不变性来解题。

∂z∂zyx+∂ 设z=eusin(v),而u=xy,v=x+y。求∂在（1，1）处的值。dz=d(eusin(v))= eusin(v)du+eucos(v)dv du=d(xy)=ydx+xdy dv=d(x+y)=dx+dy 代入后合并同类项得：

dz=(eusin(v)y+eucos(v))dx+(eusin(v)x+ eucos(v))dy将点（1，1）代入得：

∂z∂zyx+∂ ∂=2e(sin2+cos2).二，隐函数的求偏导。求隐函数的偏导时，我们一般有两种方法选择：

1)公式法

2)对函数两边直接求导。（但必须明确谁是谁的函数）。然后按复合函数求导法则来求。

例一：方程组{xyzox2y2z2a2（注：x2为x的平方）

法一：题中有3个自变量，明确了x=x(z),y=x(z),既z是自变量。我们可以利用公式求但比较繁。我们可以采用下面的方法： 法二：对方程组两边对求z导得：

{ dxdy10dzdzdyzxdx2y2z0dzdz

求得此解得： dxdzyzdyzx=xy，dz=xy

第四篇：大学课件-高等数学课件导数、微分及其应用

第二讲

导数、微分及其应用

一、导数、偏导数和微分的定义

对于一元函数

对于多元函数

对于函数微分

注：注意左、右导数的定义和记号。

二、导数、偏导数和微分的计算：

1）能熟练运用求导公式、运算法则计算导数、偏导数和微分；

2）隐函数、参数方程的导数

3）高阶导数：特别要注意莱布尼茨公式的运用。

例1：求函数在处的阶导数。

解：，所以有

（1）

利用莱布尼茨公式对（1）两边求阶导数得

当时，由此可得

例2：求的阶导数。

解：

设

其中，则有

注：计算时注意一阶微分不变性的应用。

4）方向导数与梯度

三、导数、偏导数及微分的应用

1）达布定理：设在上可导，若则对介于的一切值，必有，使得。

证明：在上可导，则在上一定有最大值和最小值。

1、如果异号，无妨设，由于，由极

限的保号性，当充分接近时有；当充分接近时有，这就说明不可能是在上的最大值，所以一定存在，使得是在上的最大值，由费马

定理可得。

2、对于一般的的情形，设是介于的值，考虑函

数，则有异号，由前

面的证明可得，存在有，即。

2）罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理

其中，这里在与之间的某个值。

3）一元函数的单调性及极值、最值

4）一元函数的凹凸性：

在区间上凹：和，若，则；

在区间上凸：和，若，则；

性质：1、如果在区间上是凹的，则和，若，一定有；

2、如果在区间上是凸的，则和，若，一定有

证明：因为

其中，所以用数学归纳法可证明以上结论。

例3：证明：若，则有

证明：考虑函数，因为

所以时，是凹函数。因此对于由性质有

5）多元函数几何应用

6）多元函数的极值：拉格朗日乘数法。

例4：设在上连续，在上可导。又在上连续，证明：至少存在一点使得。

证明：因为在上连续，所以在上存在原函数，即有。

考虑函数，则有，由罗尔中值定理可得至少存在一点使得

因此至少存在一点使得。

例5：设函数在上连续，在上可导，（1）如果，证明：至少存在一点，使得。

（2）如果，且对一切有，证明：至少存在一点，使得。

证明：（1）如果函数在上是常数，则对于任意的都有。下面设不是常数，此种情形下存在使得，无妨设，取，因为，所以存在，当时有

因此我们有，由此我们可得在上的最大值不在端点取得，由最大值和最小值定理和费马定理至少存在一点使得

(2)因为，由夹逼准则得

考虑函数，则有在上连续，在上可导，并且，由（1）的结论可得至少存在一点，使得。

例6：设函数在区间上可微，是个正数，且，证明：存在使得

证明：利用介值定理，存在使得，无妨我们设，对函数分别在以为端点区间上运用拉格朗日中值定理可得，至少存在在之间使得

因此我们有

例7：设在上可导，证明：。

证明：1）设在内的最大值为，则有

这就得到在上有，特别是；

2）设在上有，设设在内的最大值为，则有

这就得到在上有，由数学归纳法可得在上有。同理可得在上有。

例8：设在上有二阶导数，证明：存在，使得

证明：设，将在点处展成三阶泰勒公式

当时，（1）

当时，(2)

得

因为在可导，且在之间，由达布定理可得，存在使得，此时即有

例9：设在上二阶可导，证明：对于，存在使得

证明：构造函数，则有，利用罗尔中值定理，存在有，再利用一次罗尔中值定，存在使得，又因为

由此可得

即有

例10：设函数在连续，在内可微，且。证明：（1）存在使得；

（2）存在使得。

证明：（1）考虑函数，因为，由零点定理，存在使得；

（2）考虑函数，因为，由罗尔中值定理，存在使得，即有。

例11：设在上无穷次可微，并且满足：存在，使得，；且，求证：在上。

四、练习题

1）求函数的阶导数。

2）设在上有阶导数，且，证明：存在，使得。

3）设在上有二阶导数，且存在使得证明：存在，使得。

4）设在区间上三次可微，证明：存在，使得

5）设函数在上是导数连续的有界函数，证明：

五、

第五篇：偏导数求二元函数最值

偏导数求二元函数最值

用偏导数可以求多元函数的极值及最值，不过要比一元函数复杂很多。

这个在高等数学教材里都有，极值求法与一元函数类似。不过极值点的判断要比一元函数复杂很多。

求闭区域上的最值要更麻烦一些。为什么呢？你可以回忆一下闭区间上一元函数的最值，我们做法是先求极值，再与端点的函数值比大小。但多元函数就麻烦了，因为一元函数的区间端点只有两个值，可以全求出来比就行了。但多元函数闭区域的边界是无穷多个值，不可能全求出来了，因此边界上我们还需要再求最大最小值，这个叫做条件最值。

如果能代入的话，就是代入求（将条件最值转化为无条件最值）。如果有些函数很复杂不能代入，有另一个方法，叫做拉格朗日乘数法，就是解决条件最值的问题的。