大学 高等数学 竞赛训练 导数、微分及其应用

导数、微分及其应用训练

一、（15分）证明：多项式无实零点。

证明：用反证法证明，设存在实根，则此根一定是负实根（因为当时，）。假设，则有。因为

由此可得，但是，这是一个矛盾。所以多项式无实零点。

二、（20分）设函数在上具有连续导数，在内二阶可导，证明：存在，使得

证明：设。对函数在区间上运用拉格朗日中值定理可得，存在使得

再对函数在区间运用拉格朗日中值定理，存在使得

由此可得

三、（20分）设是二阶可微函数，满足，且对任意的有

证明：当时。

证明：因为，设，则有

因此当时，当时。

四、（15分）设函数是可微函数，如果，证明：仅为的函数。

证明：考虑球面坐标，其中，则有，因为

所以仅为的函数。

五、（15分）设在点处可导，且。

证明：因为在点处可导，所以

又因为，所以，由此可得

六、(15分)设函数具有三阶连续导数，并且对任意的，都为正值，并且。

证明：任取数，构造函数

因为，并且只有，所以

任取正数，则有

利用拉格拉日中值定理，存在使得，所以有

又因为，所以

当时有，由的任意性可得对任给的有。

七、