大学生数学竞赛训练三—积分学
一、（15分）计算。
解：原式
二、（20分）设曲面和球面
1）求位于内部的面积
2）设，求位于内部的体积。
解：1）解方程组得
方法二、。
2）此为旋转体的体积
方法二、三、（15分）求，其中为球面，并取外侧。
解：对应外侧的单位法向量为
由对称性可得，所以。
四、（15分）设函数具有二阶导数，且，函数在区间上连续，证明：
证明：利用泰勒公式，对任取的有
其中在之间，因为，所以我们有
取，则有
两边在上关于可得
五、（15分）计算。
解：设，则有，又因为，所以。
方法二、原式
六、（20分）设具有二阶连续偏导数，光滑曲线是区域的边界，证明：
其中是沿曲线外法向量的方向导数。
证明：设曲线的单位外法向量为，则曲线的正方向（逆时针方向）对应的单位切向量为，因为
所以。
七、
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