大学 高等数学 竞赛训练 级数

大学生数学竞赛训练四—级数

一、（20分）设

1）证明：

2）计算

证明：1）设，因为

所以，当时，为常数，即有

（注意这里利用了极限）

2）。

二、（15分）设在点的一个邻域内有连续导数，且。

证明：因为，由连续性可得，由导数的连续性可得存在的一个邻域内，这就说明当充分大时，数列是递减的，并且，由莱布尼茨判别法可得，级数收敛；

由单调增可得，级数是正项级数，对函数在区间运用拉格朗日中值定理，存在有

当充分大时有，因为级数发散，由比较判别法，级数发散。

三、（15分）求级数的和。

解：因为

所以。

四、（15分）设是以为周期的连续函数，是的傅里叶系数，证明贝塞尔不等式

证明：因为，设，则有

以上利用了是正交系，所以

五、（20分）已知，求与轴所围成图形的面积。

解：

简单计算可得仅有两个解，并且当时，所以所求面积为

六、（15分）判断级数的敛散性。

解：因为

由比较判别法可得，级数收敛，再用比较判别法可得级数收敛。