大学 高等数学 竞赛训练 试题

一、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）计算下列各题（要求写出计算步骤）

1）

解：因为

所以，原式

2）设，求。

解：因为

……

……

所以。

3）求，其中。

解：

4）求幂级数的和函数，并求级数的和。

解：设，则有

上式两边关于求导得。

二、（本题共16分）设为数列，为有限数，求证：

1）如果，则

2）如果存在正整数，使得，则。

证明：1）因为所以存在有。

对任意的，存在整数，当时有

又因为存在整数当有，所以取

当时有

这就证明。

2）设，则有。

三、（本题共15分）设函数在闭区间上具有连续的三阶导数，且。

证明：因为，在之间，所以，其中，又因为在上连续在之间，由介值定理可得，存在使得。

四、（本题共15分）在平面上，有一条从点向右的射线，其线密度为。

解：用微元法计算，设此射线上一小段为，其上一点的坐标为，此小段对质点的引力方向为，大小为，由此可得该射线对质点的引力为

五、（本题共15分）设是由方程所确定的隐函数，且具有二阶连续偏导数。

证明：此题是错题。

六、（本题共15分）设函数连续，为常数，是单位球面。

证明：当时。

当不全为零时，用微元法证明。

用平面去

切球面，其中

设平面切球面所得半弦长，则

所切小环带展开后长为，宽为。