2006年6月3日《高等数学》竞赛试题 答案

第一篇：2006年6月3日《高等数学》竞赛试题 答案

中国农业大学2006年《高等数学》竞赛试题参考答案

2006/06/03

一． 求极限

解 由 an2limn222（n次复合）。

an2an1知

a122,a22a142,，2an142，an有上界； anan12an1,an1an，an单增，又an2an1,由单调有界数列必有极限知，an有极限。不妨设 limana,na2a,a2，即 limn2222。

二、xu设函数f(x)连续, 证明 f(t)dtdu0ox0(xu)f(u)du。

证 方法一 令 F(u)0u0f(t)dt, 则由分部积分法得，xx0uf(t)dtduoxF(u)duuF(u)0x0xuF(u)du

xF(x) 方法二 令 F1(x) F2(x) 因为 F1(x) F2(x)x0uf(u)duxf(t)dt0x0uf(u)du

x0xf(u)dux0uf(u)dux0x0(xu)f(u)du。(xu)f(u)du x0x0uf(t)dtdu, F(x)2o(xu)f(u)duxx0f(u)dux0uf(u)du

x0x0f(t)dt

f(u)duxf(x)xf(x)x0f(t)dt

所以F1(x)F2(x)C.又由于F1(0)F2(0)0,所以C0.xu因此, f(t)dtdu0ox0(xu)f(u)du。

三．若函数f(x)在闭区间[2,4]上有连续的导数,且f(2)f(4)0,试证明:

42f(x)dxmaxf(x)2x4

证法一 利用拉格朗日中值定理 f(x)f(x)f(2)f(1)(x2),1(2,x)

f(x)f(4)f(x)f(2)(4x),2(x,4)

f(x)M(4x)，f(x)dx 若记 Mmaxf(x), 则有 f(x)M(x2),2x44242323243所以 f(x)dxf(x)dxf(x)dxM(x2)dx3243M(4x)dx

2M2(x2)22x4(4x)M

34证法二 记Mmaxf(x), 对于任意实数c, 42f(x)dx42f(x)d(xc)

4[(xc)f(x)]242(xc)f(x)dx

42xcf(x)dxM42xcdx

令 c3, 则有 42f(x)dxM42x3dxMmaxf(x)

2x4证法三 由于f(2)f(4)0,根据牛顿_莱布尼茨公式,有

f(x)x2f(t)dtx4f(t)dt

若记Mmaxf(x), 则有f(x)M(x2),2x44242323243f(x)M(4x)，f(x)dx f(x)dxf(x)dxf(x)dxM(x2)dx43M(4x)dxM

四． 设函数fx在0,1上具有二阶导数，且f(0)f(1)0，证明 存在0,1，使f2f1。

证

令 Fx1xfx，F(0)F(1)0，在0,1上用罗尔定理知，存在0,1，使 F1ff0。

再令Gx1xfxfx，G()G(1)0，在,1上再用罗尔定理知，存在,10,1，使G()0，即 f2f1。

五． 证明：曲面xyza3（a0为常数）上任意点处的切平面与三个坐标面

所形成的四面体的体积为常数。

证 令 Fx，y，zxyza3

则Fxyz，Fyxz，Fzxy

设x0，y0，z0为曲面xyza3上的任意一点，则在该点处的切平面方程为

y0z0xx0x0z0yy0x0y0zz00

化为截距式，有

x3x0y3y0z3z01

所以，所求四面体的体积为

V 163x03y03z092x0y0z092a3

即所求体积为常数。

六．判别级数

1!22!23!2n!2 2n!n1的敛散性。

解

0un1!22!23!2n!22n!n1n1!22n1!2nn!2n!n!2n!2n!2n!22n!14nn!22n!vn

而 limvn1vnnlimnn13limnn2n12n21

所以，由比值判别法，知级数vnn12n!n1nn!2收敛。

再由比较判别法知级数unn11!22!23!2n!22n!n1收敛。

七．设函数f(x)在(,)上连续可导，求

1yf(xy)L2 ydxxy2[yf(xy)1]dy2，其中L为从点A(3,)到B(1,2)的直

323 线段。

解 令P1yf(xy)y22，Qxy2[yf(xy)1]

PyQx[2yf(xy)xy2f(xy)]y1yf(xy)y2=

23yf(xy)xyf(xy)1y2

1y2[yf(xy)1]2xy2[yf(xy)]323yf(xy)xyf(xy)1y2

PyQx，故原积分与路径无关，选取路径ACCB，yB ∴原式=CBAC=2321y1[yf(y)1]dy221323[149f(23x)]dx

CoAx [23323f(231x)]dx2223[f(y)1y2]dy

23xu

32x332f(u)du223f(y)dy1y4。

23八． 设半径为R的球的球心在以原点为中心，半径为a2aR0的定球面上点0,0,a处，当R等于多少时前者夹在定球面内部的表面积最大？其中a为常数。

解

定球球心在以原点，半径为R的球的球心在0,0,a，则两球面方程分别为

x2y2z2a2,消去z，得

xy22xyzaR

2222R224a4a22R222

S:zxzaxRxy，yRxy222zyRxy222S位于定球面内部的面积为

ARDxyzz1ydxdyxRRxyR2a04aR2222Dxy222dxdy

02RRr22rdrdθ

2RAR4R2Ra33Ra200舍去

RAR44343a,R

6Ra,4Ra40 3故当Ra时，AR最大。

第二篇：6月3日日记

今天终于看到儿子的毕业照了，看着爱不释手，十五个班的毕业照被编辑在一本毕业纪念册上，带有青春气息的封面，大部分班级学生都穿上了从网上订购的班服，男孩帅气，女孩漂亮，每个班的毕业照下面都写了每个同学的名字，顶端写了青春寄语，毕业照后面还有学校各项活动的剪影，每张毕业照像一张张青春的画卷，让人热情洋溢。

让我感慨的是，和儿子高中就读同一所学校，二十六年前我高中毕业，那时没有毕业纪念册，只有一张照片。时过境迁，学校里发生了翻天覆地的变化，没有了当年我学习生活的教学楼，取而代之的是一幢幢漂亮的教学大楼，砂子泥土的操场变成了先进的足球场和篮球场，路两旁的小树苗变成了大树，阶梯教室变成了多功能厅，可容纳全校的师生，而我们以前开全校大会只能是在操场上进行。

只有三天就要高考了，从明天起儿子就不用正式上课了，明天上午到学校进行考前指导，5号和6号学校放假布置考场，学生在家做考前准备，休息调整。只希望他能发挥出平常的成绩，考上一所理想的大学。

又一位原公司员工想辞职了，他希望也到老公所在的公司去上班，所以让老公给他介绍工作。想到这位员工非常倒霉，以前在温州打工工资一万多一个月，老总请他回家乡上班，虽然工资只有外地的一半，他还是回来了，因为在家可以和妻子一起而不用在外漂泊。可没想到在公司上了五年班后，职位下降，工资也不高，现在实在呆不下去了，再回温州那家公司已是不可能的了。所以每个人都不知道自己的选择是对是错，正如老公辞掉工作外出打工一样，但很喜欢一句话，如果选择是错误的，那就努力把错误的选择变成正确的选择。

第三篇：6月3日物业会议内容

6月3日物业会议内容

会议时间：2013年6月3日 会议地点：营销中心会议室

参会人员：保安班长、队长、协管、保洁、客服、内勤

一、会议内容

1、客服汇报上周工作：

1A区停车场北边护栏撞烂，水泥墩活动保安没尽到责任，○应负全责赔偿。D-3地下通道出口有乱堆乱放垃圾现象需及时清理，另需要打印张贴通知不能乱堆乱放违者罚款，卫生良好。

2C区上周主要以收费为主，六组固定摊位以收费完成。

○3锁车环节出现错误，需要整理流程。

○

2、肖经理安排这周工作

1客服工作：客服要通知商铺自备垃圾容器，6月8日检

○查商铺自备垃圾容器，客服对自己区域的商户经营业态联系方式车牌号做电子表格统计。客服一对一的选定区域组长。客服内勤每天早上8点开碰头会。

2协管工作：尚东军负责协管保安处罚工作，协管保安

○要继续引导三轮车向地下停车场停放，东边水果大棚外商户不能超出一米，协管保安负责监督。

③保洁工作：保洁对下水道继续清理，本周四对摊位清洗一遍，继续保持良好卫生。

④电工工作：电工每周两次对电表箱检查，要有记录。

第四篇：大一高等数学竞赛策划

大一高等数学竞赛策划

一、目的及意义

高等数学是理工科基础中的基础，也是学科建设的基础。与物理、物化、工

程力学、传输原理、电工学等几乎所有理工科课程有关。03级实践证明98%的同学由于高等数学底子薄弱听不懂课程，导致最后强烈要求将统计热力学改为考查课。而且在许多理工类论文的研究突破点上，高等数学及其数学思维功不可没。它与考研息息相关，且与英语两门决定考研大局。

通过竞赛激发同学学习兴趣，大一时就打好坚实的数学基础，为以后其它知

识学习提供必备的学习工具。03，04级挂科的同学也可以参加，这样可以帮助他们发现学习中的漏洞及时弥补提高整体通过率。还可以为形成考研队伍起到引导、启发作用。而且在教学上起到检验教学的目的，并且通过竞赛活动希望达到教学相长的作用。但最重要的还是希望这次活动为材料系学科建设形成具有特色的模式进行抛砖引玉，为培养具有后劲人才打下基础。

为此学习部组织本次由学习部出题，批卷的高数竞赛活动。并且考完后由学习部组织同学对试题进行详细讲解以及对其它疑问知识的解答。

三、命题及考试方式

① 试题特点：满分为150分，选择题12题，每题5分。填空题4题，每题4分。

解答题6题，分别8、10、10、12、12、14分。基础题共106分，压轴题44分，且采取多题把关的方式。

② 命题小组：组长：阙永生

成员：李娜、高翠萍、靳冰花、刘文杰

③ 监考小组：总监：孙强督察：马建军（辅导员）

成员：阙永生、魏冰、靳冰花、刘文杰

④ 批卷小组：组长：阙永生

成员：李娜、高翠萍、靳冰花、刘文杰

四、考试安排

时间：12月24日上午9：00 ~ 11：00（考生8：40进入考场）

地点：13#129

五、奖励方式

一等奖1 名、二等奖1名、三等奖1名、鼓励奖5名

具体奖励办法：一等奖80元、二等奖50元、三等奖20元、鼓励奖每人钢笔1支、一等奖、二等奖、三等奖荣誉证书各一份

六、经费操作

①

②

③

④

⑤ 奖品费用总计约为225元。试卷用纸30元。光荣榜用纸3元。命题人员活动经费每人8元（共40元）。总计：298元

材料系学习部

2005年10月10日

第五篇：6月3日国旗下讲话稿

6月3日国旗下讲话稿

亮出灿烂微笑志愿服务社会

------杜占虎

亲爱的老师们、同学们：

大家早上好！今天我在国旗下讲话的题目是《亮出灿烂微笑志愿服务社会》。

活动广场，他们微笑服务，为四海宾客热情服务；偏远山乡，他们走村入户，为农家孩子铺垫知识道路；大灾大难，他们迎难而上，为灾区人民送去希望的曙光……虽然他们来自不同的地方，说着不同的语言，但是他们却有着一个共同的名字——志愿者。

同学们，你们认识自愿者吗？你们身边有志愿者吗？12月5日是“国际志愿者日”，从第40 届联大确定1986年12月5日为“国际志愿人员日”起，这一节日已在全世界各国志愿者中心手相传了24届。1994年12月5日，由共青团中央等单位发起的“中国青年志愿者协会”在北京正式成立，从此，中国志愿者也加入了世界志愿者服务的行列中，以“奉献、友爱、互助、进步”为宗旨开展了许多志愿服务活动。

“5.12”汶川大地震时，我们看到他们佩戴着黄丝带、红丝带、绿丝带，哪里有困难，哪里有需要，哪里就有他们的身影。志愿者们对同胞的牵挂、关爱和无私奉献，奏响了感天动地的爱的乐章。2008年北京奥运会上，我们看到他们疏导进入赛场的人流、为外国朋友指路、为询问者答疑……他们用温暖的问候，用美丽的微笑，用热情的服务，给中外宾客留下了深刻印象。

中国志愿者精神是对中华民族团结友爱、助人为乐、见义勇为、尊老爱幼、尊师重教等传统美德的继承和光大，是社会主义时代精神的弘扬和体现。同学们，让我们都成为一名小小志愿者，树立责任和奉献意识，弘扬志愿服务的精神，做推广好习惯的小先锋和宣传员，用灿烂的微笑带给别人快乐，用勤劳的双手带给他人幸福。

我讲话完毕，谢谢大家！