大学生数学竞赛训练一（极限）
一、计算
解：因为
原式
又因为
所以。
二、计算
解：因为
所以。
三、计算
解：设，则
因为，所以。
四、计算
解：因为，所以
五、设数列定义如下
证明：极限。
证明：方法一、考虑函数，因为，当时。
由此可得时，在上的最大值为，且在是递增的。所以
……
……
……
……
由于，所以数列是单调有界的，由单调有界准则可得存在。显然。
现证明，用反证法证明，设，且，取，因为，所以存在整数，当时有
由此可得正项级数收敛；
另一方面，由，级数发散，由比较判别法，正项级数发散，这是一个矛盾，所以。
方法二、考虑函数，因为，当时。
由此可得时，在上的最大值为，且在是递增的。所以
……
……
……
……
由夹逼准则可得，又因为
所以数列是单调递增的，利用斯托尔茨定理。
六、设函数在区间上有定义，且在每一个有限区间上是有界的，如果，证明：
证明：对于任取的，因为，所以存在当时，有
取，令，则有
因为
……
……
所以
由于在每一个有限区间上是有界的，所以存在，当时有
取，当时有
由此可得。
七、
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