高等数学测试题一(极限、连续)答案

第一篇：高等数学测试题一(极限、连续)答案

高等数学测试题

（一）极限、连续部分（答案）

一、选择题（每小题4分，共20分）

1、当x0时，（）无穷小量。

111A xsin

B ex

C lnx

D sinx

xxx13x1x

1的（）

2、点x1是函数f(x)1。

3xx1A 连续点

B 第一类非可去间断点

C 可去间断点

D 第二类间断点

3、函数f(x)在点x0处有定义是其在x0处极限存在的（）。

A 充分非必要条件

B 必要非充分条件

C 充要条件

D 无关条件

x22ax)0，则常数a等于（）

4、已知极限lim(。

xxA-1

B 0

C 1

D 2 ex

15、极限lim等于（）。

x0cosx1A 

B 2

C 0

D-2

二、填空题（每小题4分，共20分）

1、lim(1)=

x21x2x2、当x0时，无穷小ln(1Ax)与无穷小sin3x等价，则常数A=

3、已知函数f(x)在点x0处连续，且当x0时，函数f(x)2则函数值f(0)=

1x2，4、lim[111]=

n1223n(n1)1

5、若limf(x)存在，且f(x)xsinx2limf(x)，则limf(x)=

xxx

二、解答题

1、（7分）计算极限 lim(1n111)(1)(1)22223n

2、（7分）计算极限 limx0tanxsinx 3x3、（7分）计算极限 lim(x2x3x1)2x

14、（7分）计算极限 limx01xsinx1e1x2

x3ax2x

45、（7分）设lim 具有极限l，求a,l的值

x1x1

6、（8分）设(x)x33x2,(x)c(x1)n，试确定常数c,n，使得(x)(x)

1xsin

7、（7分）试确定常数a，使得函数f(x)x2ax在(,)内连续

x0x0

8、（10分）设函数f(x)在开区间(a,b)内连续，ax1x2b，试证：在开区间(a,b)内至少存在一点c，使得

t1f(x1)t2f(x2)(t1t2)f(c)

(t10,t20)

第二篇：高等数学基础第二章极限与连续

第二章 极限与连续

一、教学要求

1.了解极限概念，了解无穷小量的定义与基本性质，掌握求极限的方法.2.了解函数连续性的概念，掌握函数连续性的性质及运算.重点：极限的计算，函数连续性的性质及运算。难点：极限、连续的概念。

二、课程内容导读

1.掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有(1)利用极限的四则运算法则；(2)利用两个重要极限；

(3)利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）；(4)利用连续函数的定义。

例1 求下列极限：

（1）limx09sin3x

3x1x

（2）limsin(x1)2x1x1（3）lim(12x)

x0

x2cos2x

1（4）lim

x(xsinx)2（5）lim(xex0x1)x1 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 limx09sin3x3

x =lim(9sin3x3)(9sin3x3)

x0x(9sin3x3)=limsin3x1 limx0x0x9sin3x3 =311 62（2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 limsin(x1)sin(x1)lim

x1x1(x1)(x1)x21 lim sin(x1)1 limx1x1x1x111 1

112（3）利用第二重要极限计算，即

lim(12x)＝lim[(12x)x0x01x12x2]e2。

（4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即

cos2x1cos2x11lim[1]22xx2cos2x1xx

lim= 1 lim2x(xsinx)xsinx2sinx2(1)lim(1)xxxcos2x11sinx1注：其中当x时，2(cos2x1)都是无穷小量乘以有sinx，2xxxx界变量，即它们还是无穷小量。

（5）利用函数的连续性计算，即

lim(xex0x11)＝0e01 x101 2.知道一些与极限有关的概念

(1)知道数列极限、函数极限、左右极限的概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等；

(2)了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质；(3)了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点；

例2 填空、选择题

(1)下列变量中，是无穷小量的为（）A.ln1(x0)

B.lnx(x1)x1x C.e(x0)

D.x2(x2)2x4111，故 ln，ln不是无穷小量； xxx 选项B中：因为x1时，lnx0，故lnx是无穷小量； 解 选项A中：因为 x0时，11 选项C中：因为 x0时，故ex0；但是x0时，， ，xx1，因此e当x0时不是无穷小量。

x21x21x2 选项D中：因为2，故当x2时，2不是无穷小，2x4x2x44x4故e量。

因此正确的选项是B。

（2）下列极限计算正确的是（）。A.limxsinx01x1x11limxlimsin0

xx0x0xtan2xtan2x B.limlim2x1

x0sin2xx0sin2x2x C.lim(x2xx)limxxx2xlimx0

xx1x1x1xx11e1)lim()lim()1ee

xx1xx1xx1e1 解 选项A不正确。因为limsin不存在，故不能直接用乘积的运算法则，即

x0x11limxsinlimxlimsin x0xx0x0x D.lim(选项B正确。将分子、分母同除以2x，再利用第一个重要极限的扩展形式，得到

tan2xtan2xlimlim2x1 x0sin2xx0sin2x2x 选项C不正确。因为x时，xx，x，故不能直接用极限的减法运算法则，即

2lim(x2xx)limx2xlimxxxx

x1x1)可以分成两项乘积，即

xx1x1x1x1xx11lim()=lim()lim()xx1xx1xx1111lim(1)xx1xx)x=xxe 其中第一项lim()=lim(xxx111xe11lim(1)xxx11x11x)11e1 而第二项lim()lim(xxx111x 选项D不正确。lim(故原算法错误。

正确选项应是B。

x1（3）当k（）时，f(x)2xkx0x0在x0处连续。

A.0 B.－1 C.2 D.1 解 函数在一点连续必须满足既是左连续又是右连续。因为函数已是右连续，且

f(0)011

2而左连续f(0)lim(xk)kf(0)

x0 故当k1时，f(x)在x0处连续。

正确的选项是D。

第三篇：高等数学函数极限连续练习题及解析

数学任务——启动——习题

1一、选择题：

(1)函数yxarccosx1的定义域是()

2(A)x1;(B)3x1(C)3,1(D)xx1x3x

1(2)函数yxcosxsinx是()

(A)偶函数(B)奇函数(C)非奇非偶函数(D)奇偶函数

(3)函数y1cos

2x的最小正周期是()

(A)2(B)

(4)与y(C)4(D)1 2x2等价的函数是()

(A)x;(B)x(C)x(D)23x

x11x0(5)fx,则limfx()x0x1x0

(A)-1(B)1(C)0(D)不存在二、填空题：

(1)若f1

t52t2,则ft_________,ft21__________.t



1(2)tsinx3，则______。______,66x

30,1，则fx2的定义域为______，fsinx的定义域为x(3)若fx的定义域为

______，fxaa0的定义域为___，fxafxaa0的定义域为______。

14x

2(4)lim。__________

12x1x2

(5)无穷小量皆以______为极限。

三、计算题

(1)证明函数y11sin在区间0,1上无界，但当x0时，这个函数不是无穷大。xx

(2)求下列极限(1)lim2x33x25

x7x34x21

(3)limtanxtan2x

x

(5)limex1

x

x0

(7)limxsinx1

x0x2arctanx

(2)lim1cos2x x0xsinx(4)lim12n3n1n n(6)limtanxsinxx0sin32x 1(8)limxex1x

(3)设fx

1xx0，求limfx。2x0x1x0

(4)证明数列2,22,222,的极限存在，并求出该极限。

f(x)2x3f(x)2,lim3, 求f(x)(5)设f(x)是多项式, 且lim2xx0xx

(6)证明方程xasinxb，其中a0,b0，至少有一个正根，并且它不超过ab。

x2axb2,求:a,b.(7).lim2x2xx2

第四篇：《高等数学Ⅰ》08级半期测试题(极限

《高等数学Ⅰ》半期练习题

一．填空：(本题共10小题，每题2分，总分20分)

cosx1)在x0处连续，应补充定义f(0).x22x，则其反函数f1(x)的导数[f1(x)].2、设　yf(x)1x1、要使f(x)arccos(sinxe2ax1，当x03、设f(x)在x0处连续，则a.xa，当x04、若x0时yf(x0x)f(x0)与x(tanxcos2x)为等价无穷小,则f(x0).5、设在01，上f(x)0，则f(0)，f(1)，f(1)f(0)的大小顺序为.1(x2)arctan，x2，6、设　f(x)则左导数f(2).x20，x2， 2x27、f(x)ln(x2x)定义域为.x8、设(x)x33x2,(x)c(x1)n,且x1时(x)~(x),则c ,n.f(1sinx)f（19、设f(x可导，则)limx0xtxan).10、设f(arctanx)1x2,则 f(x).二．选择：(本题共5小题，每题2分，总分10分)1．要使f(x)(2x2)22x2在x0处连续，应补充定义f(0)（）.41

(A)．0(B)．e(C)．e(D)．e2.设F(x)(xx)(exx1)(x),则F(x)().(A)是奇函数而不是偶函数(B)是偶函数而不是奇函数(C)是奇函数又是偶函数(D)非奇函数又非偶函数n2n1(1)n3.设数列的通项为xnn(A)无穷大量(B)无穷小量，则当n时，xn是().(C)有界变量，但不是无穷小(D)无界变量，但不是无穷大4.设yf(x)具有连续的一阶导数,已知f(0)0,f(0)2,f(1)2,f(1)1,1|().1f(2)1,f(2)1,f(3)3,f(3),则f(x)x1211(A)．(B)．(C)．1(D)．132

5.设f(x)的定义域为[0,1],则f(x21)的定义域为().(A)[1,0](B)[2,1][1,2](C)[2,1][1,2](D)[1,1]

三．计算：(本题共9小题.前4题各5分,后5题各6分,共50分)

1、lim(12n12(n1))

n

2、求极限lim(4x28x52x1)．x3x2

23、设 lim(axb)1，求a，b.xx

14、求极限lim(cosx)． x01xx22(x1)

5、设　f(x)3xx,用对数求导法计算f(x)．arctanx6、求由方程 x3y33axy0(a0)确定隐函数yy(x)的微分dy及y.1xcos，x07、设f(x)，讨论当为何值时f(x)连续． x0，x08、设f(x)满足f(x)af3(x),求f(n)(x).9.设2f(x)f(1)x2,求f(x).x

四、应用：(本题共2小题，每题5分，总分10分)1.设yax2与ylnx相切,求a及切线方程.xetxcost

12、设一质点运动方程为求质点在x0处的速度.2ytt

五、证明：(本题共2小题，每题5分，总分10分)

1.证明方程x57x4在区间(1，内至少有一个实根．2)2.若limf(x)0，且limxx0xx0f(x)A0，证明：limg(x)0．

xx0g(x)

第五篇：高等数学-极限

《高等数学》极限运算技巧

(2009-06-02 22:29:52)转载▼ 标签： 分类： 数学问题解答

杂谈 知识/探索

【摘 要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高，这主要是因为其特殊的地位决定的。然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。本文立足教材的基本概念阐述，着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。希望以此文能对学习者有所帮助。【关键词】高等数学 极限 技巧

《高等数学》极限运算技巧

《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。

一，极限的概念

从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！

从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。

二，极限的运算技巧

我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助!我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。1，连续函数的极限

这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。2，不定型

我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。那么下面详细说明一些注意点以及技巧。

第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个：

需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如：

等等。特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。

当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换，即无穷大的倒数是无穷小。这需要变通的看问题。

在无穷小的运算中，洛必答法则也是一种很重要的方法，但是洛必答法则适用条件比较单一，就是无穷小比无穷小。比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。(特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式，这根据做题的需要来进行）。第二，在含有∞的极限式中，一般可分为下面几种情况：（1），“∞/∞ ”形式

如果是幂函数形式的（包含幂函数四则运算形式），可以找高次项，提出高次项，这样其他一切项就都是无穷小了，只有高次项是常数。比如：

，这道题中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他项都是“0”，原来的x都是常数1了。当然如果分式形式中，只有分子中含有高次项，那么该极限式极限不存在（是无穷大），如果只有分母中含有高次项，那么该极限式极限为0，如果分子分母都含有高次项，我们可以直接去看高次项的系数，基本原理其实就是上面所说的提高次项。比如上面的例子，可以直接写1/2。

如果不是纯幂函数形式，无法用提高次项的方法（提高次项是优先使用的方法），使用洛必达也是一种很好的方法。需要强调的是洛必达是一种解决“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的严格限制形式只有这两种，所以比较好观察。但是多数时候我们优先采用其他的方法来解决，这主要是考虑运算量的问题。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接运算，需要转换形式，即转换成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

这道题是转换形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次项解。（3）“ ”形式

这也是需要转换的一种基本形式。因为无穷大与无穷小之间的倒数关系，所以这种转换时比较简单也是比较容易解决的。转换之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。第三，“ ”

这种形式的解决思路主要有两种。

第一种是极限公式，这种形式也是比较直观的。比如： 这道题的基本接替思路是，检验形式是“式，最后直接套用公式。

第二种是取对数消指数。简单来说，“

”，然后选用公式，再凑出公式的形

”形式指数的存在是我们解题的主要困难。那么我们直接消掉指数就可以采用其他方法来解决了。比如上面那道题用取对数消指数的方法来解，是这样的：

可以看出尽管思路切入点不一样，但是这两种方法有异曲同工之妙。三，极限运算思维的培养

极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。

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