高等数学第一章 函数、极限与连续[全文5篇]

第一篇：高等数学第一章 函数、极限与连续

高等数学教学备课系统

高等数学

教学备课系统

与《高等数学多媒体教学系统（经济类）》配套使用

教师姓名：________________________

教学班级：________________________

2004年9月1至2005年1月10

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第一章

函数、极限与连续

第一节 函数概念

1、内容分布图示

★ 集合的概念

★ 集合的运算

★ 区间

★ 例

1★ 邻域

★ 例2

★ 常量与变量

★ 函数概念

★ 例

3★ 例

4★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 分段函数举例

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 函数关系的建立

★ 例 12

★ 例 13

★ 例 14

★ 函数特性

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-1

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1解下列不等式,并将其解用区间表示.(1)|2x1|3;(2)|3x2|3;(3)0(x1)29.讲解注意：

例2将点12的邻域表示为不带绝对值的不等式.33

讲解注意：

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例3函数y2.讲解注意：

例4绝对值函数y|x|x,x0x,x0

讲解注意：

例5下面是几个常见的表格.(1)2002年2月21日国务院公布的利率表.如表1.1.1.表1.1.1时间年利率(%)3个月6个月1年1.711.891.982年2.253年2.525年2.79(2)国民生产总值统计表《中国统计年鉴((2001)》).如表1.1.2.表1.1.2年份生产总值(亿元)******.966850.573142.776967.280579.488189.6

讲解注意：

例6下面是几个常见的图形.(1)两位患者的心电图.见图1.1.1.图1.1.1(2)19952000年天津市人才市场状况图《天津年鉴((2001)》).见图1.1.2.高等数学教学备课系统

人数(人)55 00044 00033 00022 00011 00001995达成意向人次进场人次***92000年份图1.1.2

讲解注意：

例7下面是几个常见的公式.(1)自由落体运动的距离公式:12gt,g为常数2(2)成本函数(costfunctiong):C(x)C0C1(x),其中C0为S固定成本;C1(x)为可变成本;x为生产量.讲解注意：

例8判断下面函数是否相同,并说明理由,画图表示.(1)yx2与y|x|;(2)y1与ysin2xcos2x(3)y2x1与x2y1.讲解注意：

例9求函数y 讲解注意：

121x x2的定义域.例10设f(x)讲解注意：

1,0x12,1x2,求函数f(x3)的定义域.高等数学教学备课系统

例11求函数f(x)讲解注意：

lg(3x)sinx54xx2的定义域.例12把一半径为R的圆形铁片,自中心处剪去圆心角为的扇形后,围成一无底圆锥,试将圆锥的体积V表为的函数.讲解注意：

例13某工厂生产某型号车床,年产量为a台,分若干批进行生产,每批生产准备费为b元,设产品均匀投入市场,且上一批用完后立即生产下一批,即平均库存量为批量的一半.设每年每台库存费为c元.显然,生产批量大则库存费高;生产批量少则批数增多,因而生产准备费高.为了选择最优批量,试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.讲解注意：

例14某运输公司规定货物的吨公里运价为:在a公里以内,每公里k元,超过部分每公里为数关系.讲解注意：

例15证明(1)函数y(2)函数yxx21在(,)上是有界的;4k元.求运价m和里程s之间的函5

1在(0,1)上是无界的.x2

讲解注意：

例16证明函数y讲解注意：

x在(1,)内是单调增加的函数.1x

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例17判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)ex1ex1ln1x1x1x1;(2)f(x)(23)x(23)x;(3)f(x)lg(x1x2);(4)f(x)(x2x)sinx.讲解注意：

例18设f(x)满足af(x)bf|a||b|,证明f(x)是奇函数.c,其中a,b,c为常数,且(1)xx

讲解注意：

1,xQ7,求D,D(1例19设D(x)50,xQ()2).并讨论D(D(x))的性质.讲解注意：

例20若f(x)对其定义域上的一切x,恒有f(x)f(2ax),则称f(x)对称于xa.证明:若f(x)对称于xa及xb(ab),则f(x)是以T2(ba)为周期的周期函数.讲解注意：

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第二节 初等函数

1、内容分布图示

★ 反函数

★ 例★ 例2 ★ 复合函数

★ 例★ 例4

★ 例★ 例6

★ 例7

★ 幂函数、指数函数与对数函数

★ 三角函数

★ 反三角函数

★ 初等函数

★ 函数图形的迭加与变换

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-2

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1求函数y1114x14x的反函数.讲解注意：

例2已知1,x0sgnx0,x0,sgnx为符号函数,1,x0求y(1x2)sgnx的反函数.讲解注意：

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例3将下列函数分解成基本初等函数的复合.(1)ylnsin2x;(2)yearctanx2;(3)ycos2ln(21x2).讲解注意：

例4设f(x)x1,(x)x2,求f[(x)]及[f(x)],并求它们的定义域.讲解注意：

例5设求f[(x)].f(x)exx,x1,x1,x2,(x)2x1,x0x0，讲解注意：

例6设fx讲解注意：

(11x22,求f(x).xx)

例7设f(x)ln(3x)的定义域(a0).149x2,求g(x)f(xa)f(xa)

讲解注意：

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第三节 经济学中的常用函数

1、内容分布图示

★ 单利与复利

★ 例1

★ 多次付息

★ 贴现

★ 例2 ★ 需求函数

★ 供给函数

★ 市场均衡

★ 例

3★ 例4 ★ 成本函数

★ 例5

★ 收入函数与利润函数

★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-3

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1现有初始本金100元,若银行年储蓄利率为7%,问：(1)按单利计算,3年末的本利和为多少?(2)按复利计算,3年末的本利和为多少?(3)按复利计算,需多少年能使本利和超过初始本金的一倍?

讲解注意：

例2某人手中有三张票据,其中一年后到期的票据金额是500元,二年后到期的是800元,五年后到期的是2000元,已知银行的贴现率6%,现在将三张票据向银行做一次性转让,银行的贴现金额是多少?

讲解注意：

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例3某种商品的供给函数和需求函数分别为qd25P10,qs2005P求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.讲解注意：

例4某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售售商,在这个基础上零售商每次多进100台电扇,则批发价相应降低2元,批发商最大批发量为每次1000台,试将电扇批发价格表示为批发量的函数,并求出零售商每次进800台电扇时的批发价格.讲解注意：

例5某工厂生产某产品,每日最多生产200单位.它的日固定成本为150元,生产一个单位产品的可变成本为16元.求该厂日总成本函数及平均成本函数.讲解注意：

例6某工厂生产某产品年产量为q台,每台售价500元,当年产量超过800台时,超过部分只能按9折出售.这样可多售出200台,如果再多生产.本年就销售不出去了.试写出本年的收益(入)函数.讲解注意：

例7已知某厂生产单位产品时,可变成本为15元,每天的固定成本为2000元,如这种产品出厂价为20元,求(1)利润函数;(2)若不亏本,该厂每天至少生产多少单位这种产品.讲解注意：

例8某电器厂生产一种新产品,在定价时不单是根据生产成本而定,还要请各销售单位来出价,即他们愿意以什么价格来购买.根据调查得出需求函数为x900P45000.该厂生产该产品的固定成本是270000元,而单位产品的变动成本为10元.为获得最大利润,出厂价格应为多少?

讲解注意：

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例9已知某商品的成本函数与收入函数分别是C123xx2R11x试求该商品的盈亏平衡点,并说明盈亏情况.讲解注意：

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第四节 数列的极限

1、内容分布图示

★ 极限概念的引入

★ 数列的意义 ★ 数列的极限

★ 例1

★ 例

2★ 例

3★ 例

4★ 例

5★ 例6 ★ 收敛数列的有界性

★ 极限的唯一性

★ 例7

★ 收敛数列的保号性

★ 子数列的收敛性

★ 内容小结

★习题1-4

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1证明limn(1)n1n1.n

讲解注意：

例2证明limqn0,其中q1.n

讲解注意：

例3用数列极限定义证明52n2.n13n3lim

讲解注意：

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n221.例4用数列极限定义证明lim2nnn1

讲解注意：

例5设xn0,且limxna0,求证limnnxna.讲解注意：

例6证明:若limxnA,则存在正整数N,当nN时,不等式n|xn||A|2成立.讲解注意：

例7证明数列xn(1)n1是发散的.讲解注意：

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第五节 函数的极限

1、内容分布图示

★ 自变量趋向无穷大时函数的极限

★ 例★ 例★ 例3 ★ 自变量趋向有限值时函数的极限

★ 例★ 例5

★ 左右极限

★ 例6

★ 例7 ★ 函数极限的性质

★ 子序列收敛性 ★ 函数极限与数列极限的关系

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-5

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1证明lim讲解注意：

sinx0.xx

例2用函数极限的X定义证明limxx21.x1

讲解注意：

例3(1)lim12xx0;(2)lim2x0.x

讲解注意：

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例4证明limx212.x1x1

讲解注意：

例5证明:当x00时,lim讲解注意：

xx0xx0.例6设f(x)讲解注意：

例7验证lim1x,x01,x0x2,求limf(x).x0

x0x不存在.x

讲解注意：

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第六节 无穷大与无穷小

1、内容分布图示

★ 无穷小

★ 无穷小与函数极限的关系

★ 例1 ★ 无穷小的运算性质

★ 例2 ★ 无穷大

★ 无穷大与无界变量

★ 无穷小与无穷大的关系

★ 例3

★ 内容小结

★习题1-6

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

1例1根据定义证明:yx2sinx当x0时为无穷小.讲解注意：

例2求lim讲解注意：

xsinx.x

x4.例3求lim3xx5讲解注意：

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第七节 极限运算法则

1、内容分布图示

★ 极限运算法则

★ 例1

★ 例2 –3

★ 例★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11 ★ 复合函数的极限运算法则

★ 例 12

★ 例 13

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-7

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1求x31xlim2x23x5.讲解注意：

例2求lim4x1x22x3.x1

讲解注意：

例3求limx21.x1x22x3

讲解注意：

★ 例 14

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例4求lim讲解注意：

2x33x257x34x21x.例5求lim讲解注意：

x12n222nnn

例6计算下列极限:x1lim(1x)(1x)(1x)(1x)334.讲解注意：

例7计算下列极限:12lim.x11x21x

讲解注意：

例8计算下列极限:3xlim8x36x25x1.3x2

讲解注意：

例9计算下列极限:xlim(sinx1sinx).讲解注意：

例10求lim(x2xx2x).x8

讲解注意：

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例11计算下列极限:3(1)limnn2sinn!;n1(2)x0limtanx12ex.讲解注意：

例12已知x1,f(x)x23x1,x31xx0x0求limf(x),limf(x),limf(x).x0x

讲解注意：

例13求极限limlnx1[x21.2(x1)]

讲解注意：

例14已知lim(5xax2bxc)2,求a,b之值.x

讲解注意：

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第八节 极限存在准则

两个重要极限

1、内容分布图示

★夹逼准则★例1★例2★单调有界准则★例4★limsinx1x0x★例6★例7★例9★例10 x★xlim(11x)e★例12 ★例13 ★例15 ★例16 ★例17 柯西极限存在准则★连续复制★内容小结★课堂练习★习题1-8★返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1求nlim1n211n221n2n

讲解注意：

例2计算下列极限:(1)lim(1nn23n1)n;(2)1nlimn21(n1)21(nn)2

讲解注意：

★例3★例5★例8★例11★例14★例18

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例3证明下列极限:n0(a1);nanan(2)lim0(a0);nn!n!(3)limn0.nn(1)lim

讲解注意：

例4证明数列xn333(n重根式)的极限存在.讲解注意：

例5设a0为常数,数列xn由下式定义:xn1axn1xn12n

(n1,2,)其中x0为大于零的常数,求limxn.讲解注意：

例6求lim讲解注意：

tan3x.x0sin5x

例7求lim讲解注意：

x01cosx.x2

例8下列运算过程是否正确:xlimxtanxtanxxtanxlimlimlim1.sinxxxsinxxxxsinx

讲解注意：

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例9计算lim讲解注意：

cosxcos3x.2x0x

例10计算lim讲解注意：

x21xsinxcosxx0.例11计算lim讲解注意：

x02tanx2sinx.x3

1例12求lim1xx讲解注意：

().x

例13计算下列极限:limx01x(12x);

讲解注意：

例14求lim1n(1n)n3.讲解注意：

例15求lim讲解注意：

x(x2x21)x.例16计算limxx0cosx.高等数学教学备课系统

讲解注意：

例17计算lim(ex0x1xx).讲解注意：

tan2x.例18求极限lim(tanx)x4

讲解注意：

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第九节 无穷小的比较

1、内容分布图示

★ 无穷小的比较

★ 例1-2

★ 例3 ★ 常用等价无穷小

★ 等价无穷小替换定理

★ 例★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-9 ★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1证明:当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.讲解注意：

例2当x0时,求tanxsinx关于x的阶数.讲解注意：

例3当x1时,试将下列各量与无穷小量x1进行比较:(1)x33x2;(2)lgx;(3)(x1)sin1.x1

讲解注意：

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例4求limx0tan2x.sin5x

讲解注意：

例5求limtanxsinx.sin32xx0

讲解注意：

(1x2)1/31.例6求limx0cosx1

讲解注意：

例7计算lim1tanx1tanx12x1.x0

讲解注意：

exexcosx.例8计算limx0xln(1x2)讲解注意：

例9计算lim讲解注意：

x021cosx.sin2x

例10求lim讲解注意：

x0ln(1xx2)ln(1xx2).secxcosx

例11求limx0tan5xcosx1.sin3x

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讲解注意：

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第十节 函数的连续性与间断点

1、内容分布图示

★ 函数的连续性

★ 例

1★ 例2 ★ 左右连续

★ 例3

★ 例

4★ 例5 ★ 连续函数与连续区间

★ 例6

★ 函数的间断点

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 例 12

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-10

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

xsin1,x0,x例1试证函数f(x)在x0处连续.x0,0，讲解注意：

例2f(x)是定义于[a,b]上的单调增加函数,x0(a,b),若xx0limf(x)存在,证明f(x)在x0连续.讲解注意：

x2,x0,()fx3例讨论在x0处的连续性.x2,x0，高等数学教学备课系统

讲解注意：

1x,x02x0在x0和x1处的连例4讨论函数f(x)0,1x2,0x1x14x,续性.讲解注意：

x4axb,x1,x2,例5设f(x)(x1)(x2)为使f(x)在x1x1,2,处连续,a与b应如何取值?

讲解注意：

例6证明函数ysinx在区间(,)内连续.讲解注意：

例7讨论函数f(x)x,x0,1x,x0,在x0处的连续性.讲解注意：

例8讨论函数2x,0x1f(x)1,x1x11x,在x1处的连续性.讲解注意：

1,x0,x例9讨论函数f(x)在x0处的连续性.,0,xx

讲解注意：

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例10求下列函数的间断点,并判断其类型.若为可去间断点,试补充或修改定义后使其为连续点.x2x|x|(x21),f(x)0,x1及0x1

讲解注意：

xsin1,x0,x例11研究f(x)在x0的连续性.ex,x0,

讲解注意：

xx2enx例12讨论f(x)lim的连续性.n1enx

讲解注意：

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第十一节 连续函数的运算与性质

1、内容分布图示

★ 连续函数的算术运算

★ 复合函数的连续性

★ 例1★ 初等函数的连续性

★ 例

3★ 例★ 例4

闭区间上连续函数的性质 ★ 最大最小值定理与有界性定理

★ 零点定理与介值定理

★ 例5

★ 例6

★ 例7

★ 内容小结

★ 课堂练习★习题1-11 ★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1求nlimcos(x1x).讲解注意：

例2求limln(1x)x0x.讲解注意：

例3求limx1sinex1.讲解注意：

★ 例8

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例4求lim(x2ex01xx1).讲解注意：

例5证明方程x34x210在区间(0,1)内至少有一个根.讲解注意：

例6证明方程内的两个实根.1110有分别包含于(1,2),(2,3)x1x2x3

讲解注意：

例7设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)a,f(b)b证明:(a,b),使得f().讲解注意：

例8设f(x)在[a,)上连续,f(a)0,且limf(x)A0,x证明:在(a,)上至少有一点,使f()0.讲解注意：

第二篇：高等数学函数极限连续练习题及解析

数学任务——启动——习题

1一、选择题：

(1)函数yxarccosx1的定义域是()

2(A)x1;(B)3x1(C)3,1(D)xx1x3x

1(2)函数yxcosxsinx是()

(A)偶函数(B)奇函数(C)非奇非偶函数(D)奇偶函数

(3)函数y1cos

2x的最小正周期是()

(A)2(B)

(4)与y(C)4(D)1 2x2等价的函数是()

(A)x;(B)x(C)x(D)23x

x11x0(5)fx,则limfx()x0x1x0

(A)-1(B)1(C)0(D)不存在二、填空题：

(1)若f1

t52t2,则ft_________,ft21__________.t



1(2)tsinx3，则______。______,66x

30,1，则fx2的定义域为______，fsinx的定义域为x(3)若fx的定义域为

______，fxaa0的定义域为___，fxafxaa0的定义域为______。

14x

2(4)lim。__________

12x1x2

(5)无穷小量皆以______为极限。

三、计算题

(1)证明函数y11sin在区间0,1上无界，但当x0时，这个函数不是无穷大。xx

(2)求下列极限(1)lim2x33x25

x7x34x21

(3)limtanxtan2x

x

(5)limex1

x

x0

(7)limxsinx1

x0x2arctanx

(2)lim1cos2x x0xsinx(4)lim12n3n1n n(6)limtanxsinxx0sin32x 1(8)limxex1x

(3)设fx

1xx0，求limfx。2x0x1x0

(4)证明数列2,22,222,的极限存在，并求出该极限。

f(x)2x3f(x)2,lim3, 求f(x)(5)设f(x)是多项式, 且lim2xx0xx

(6)证明方程xasinxb，其中a0,b0，至少有一个正根，并且它不超过ab。

x2axb2,求:a,b.(7).lim2x2xx2

第三篇：函数极限与连续

函数、极限与连续

一、基本题

1、函数f

xln6x的连续区间ax2x2x

12、设函数fx，若limfx0，且limfx存在，则 x1x1x12axb

a-1，b

41sin2x

3、limx2sin-2x0xx

4、n2x4/(√2-3)k

5、lim1e2，则k=-1xx

x2axb5，则a3，b-

46、设limx1x

17、设函数fx2xsinx1,gxkx，当x0时，fx~gx，则k

ex2x0

8、函数fx2x10x1的定义域R ；连续区间(-oo,1),(1,+oo)3x1x1

1xsinx

a9、函数fx1xsinbxx0x0在x0处连续，则a1，b1x010、函数fxe

1e11

x1x的间断点为x=0，类型是 跳跃间断点。

11、fx,yx2y2xycosx，则f0,1ft,1y12、fxy,xyx2y2，则fx,yy^2+x13、函数zln

2x2y2的定义域为 {(x,y)|1=0}

14、1e2xylim-12；x,y0,0x2y2exyx,y0,01x2y2x2y2lim

3-12；lim12xyx15、x0

y0

二、计算题

1、求下列极限

（1）0

0型：

1）limexex2x

x0xsin3x；=0

2）limexx

1x0x1e2x;=-1/

43）limtan3xln12x

x01cos2x;=-

34）limtanxsinx

x0xsin2x2;=1/4

（2）

型：

1）lnsin3x

xlim0lnsin2x=1

lim2n13n1

2）n2n3n=3

（3）型：

1）lim11

x0xex1=1/

22）lim

x111x1lnx=-1/2

3)xlimarccosx=π/3

4)xlimx=-1 x0y2

（4）0型：

1）limxarctanx=1x2

2)limx1tanx1x2=-π/2

（5）1型：

21）lim1xx3x2=e^(-6)

4x23x12）limx3x2

3)lim12xx0 =e^(-4)=e^(2/5)1sin5x

14)limcos=e^(-1/2)xx

（6）00型：1）limxsinx=1 x0x2

方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)

公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))

（7）型：1）limx20x

x1x=2

同上

2、已知：fxsin2xln13x2limfx，求fx x0x

f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+

2(方法：两边limf(x)x->0)

x2x3、求函数fx的间断点，并判定类型。2xx1驻点x=0,x=1,x=-

11）当x=0+时，f(x)=-1；当x=0-时，f(x)=1 跳跃间断点

2）当x=1时，f(x)=oo;第二类间断点

3）当x=-1时，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去间断点

sin2xx

4、设函数fxa

ln1bx1e2xx0x0在定义域内连续，求a与b x0

Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-

45、证明方程：x33x29x10在0,1内有唯一的实根。（存在性与唯一性）证明：

1）存在性：

令f(x)=x^3-3x^2-9x+1

f(0)=1>0;

f(1)=-10<0;

因为f(0).f(1)<0所以在（0,1）内存在一个实根

2）唯一性

f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

所以f(x)在(0,1)内为单调减函数

故x33x29x10在0,1内有唯一的实根。

第四篇：函数极限与连续教案

第四讲

Ⅰ 授课题目（章节）

1.8：函数的连续性

Ⅱ 教学目的与要求：

1、正确理解函数在一点连续及在某一区间内连续的定义；

2、会判断函数的间断点.4、了解初等函数在定义区间内是连续的、基本初等函数在定义域内是连续的；

5、了解初等函数的和、差、积、商的连续性，反函数与复合函数的连续性； 6 掌握闭区间上连续函数的性质

教学重点与难点：

重点：函数在一点连续的定义，间断点，初等函数的连续性

难点：函数在一点连续的定义，闭区间上连续函数的性质

Ⅳ 讲授内容：

一 连续函数的概念函数的增量

定义1设变量u从它的初值u0变到终值u1，终值与初值之差u1u0，称为变量u的增

量，或称为u的改变量，记为u，即uu1u0

xx1x0

yf(x0x)f(x0)函数的连续性

定义2 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若当自变量的增量x趋近于零

时，相应函数的增量y也趋近于零，即

limy0或 x0

x0limf(x0x)f(x0)0

则称函数f(x)在x0点连续

2例1 用连续的定义证明y3x1在点x02处是连续的证明 略

若令xx0x则当x0时，xx0又yf(x0x)f(x0)即

f(x)f(x0)y故y0就是f(x)f(x0)

因而limy0可以改写成limf(x)f(x0)x0xx0

定义3 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若

xx0limf(x)f(x0)

则称函数f(x)在x0点连续

由定义3知函数fx在点x0连续包含了三个条件：

（1）fx在点x0有定义

（2）limf(x)存在xx0

（3）limf(x)f(x0)xx0

sinx,x0例2 考察函数f(x)x在点x0处得连续性

1,x0

解略

3左连续及右连续的概念.定义4 若limf(x)f(x0)，则函数f(x)在x0点左连续 xx0

若limf(x)f(x0)，则函数f(x)在x0点右连续 xx0+

由此可知函数f(x)在x0点连续的充分必要条件函数f(x)在x0点左连续又右连续

4、函数在区间上连续的定义

（a,b）（a,b）定义5 若函数f(x)在开区间内每一点都连续，则称函数f(x)在开区间内连

续

（a,b）若函数f(x)在开区间内连续，且在左端点a右连续，在右端点b左连续，则

称称函数f(x)在闭区间a,b上连续

（-,+）例3 讨论函数yx在内的连续性

解 略

二 函数的间断点定义6函数f(x)不连续的点x0称为函数f(x)的间断点

由定义6可知函数f(x)不连续的点x0有下列三种情况

（1）fx在点x0没有定义

（2）limf(x)不存在xx0

（3）limf(x)f(x0)xx0

2间断点的分类

左右极限都相等（可去间断点）第一类间断点：左右极限都存在间断点 左右极限不相等（跳跃间断点）

第二类间断点：左右极限至少有一个不存在

x21,x0例4考察函数f(x)在x0处得连续性

0,x0

解 略

例5考察函数f(x)

解 略

1,x0例6考察函数f(x)x在x0处得连续性

0,x0x,x0x1,x0在x0处得连续性

解 略

三 连续函数的运算与初等函数的连续性

1、连续函数的和、差、积、商的连续性

2、反函数与复合函数的连续性

3、初等函数的连续性：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的．一切初等函数在其定义区间内都是连续的．对于初等函数,由于连续性xx0limf(x)f(x0),求其极限即等价于求函数的函数值

四闭区间上连续函数的性质

定理1（最大值最小值定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则函数f(x)在闭区间a,b上必有最大值和最小值

定理2（介值定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，m 和M分别为f(x)在a,b上的最小值和最大值，则对于介于m 和M之间的任一实数C，至少存在一点a,b，使得

f()C

定理3（零点定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号，则至少存在一点a,b，使得f()0

例7 证明x52x20在区间(0,1)内至少有一个实根 证明 略

Ⅴ 小结与提问：

Ⅵ 课外作业：

习题1-8 2，5，7，9

第五篇：高等数学基础第二章极限与连续

第二章 极限与连续

一、教学要求

1.了解极限概念，了解无穷小量的定义与基本性质，掌握求极限的方法.2.了解函数连续性的概念，掌握函数连续性的性质及运算.重点：极限的计算，函数连续性的性质及运算。难点：极限、连续的概念。

二、课程内容导读

1.掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有(1)利用极限的四则运算法则；(2)利用两个重要极限；

(3)利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）；(4)利用连续函数的定义。

例1 求下列极限：

（1）limx09sin3x

3x1x

（2）limsin(x1)2x1x1（3）lim(12x)

x0

x2cos2x

1（4）lim

x(xsinx)2（5）lim(xex0x1)x1 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 limx09sin3x3

x =lim(9sin3x3)(9sin3x3)

x0x(9sin3x3)=limsin3x1 limx0x0x9sin3x3 =311 62（2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 limsin(x1)sin(x1)lim

x1x1(x1)(x1)x21 lim sin(x1)1 limx1x1x1x111 1

112（3）利用第二重要极限计算，即

lim(12x)＝lim[(12x)x0x01x12x2]e2。

（4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即

cos2x1cos2x11lim[1]22xx2cos2x1xx

lim= 1 lim2x(xsinx)xsinx2sinx2(1)lim(1)xxxcos2x11sinx1注：其中当x时，2(cos2x1)都是无穷小量乘以有sinx，2xxxx界变量，即它们还是无穷小量。

（5）利用函数的连续性计算，即

lim(xex0x11)＝0e01 x101 2.知道一些与极限有关的概念

(1)知道数列极限、函数极限、左右极限的概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等；

(2)了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质；(3)了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点；

例2 填空、选择题

(1)下列变量中，是无穷小量的为（）A.ln1(x0)

B.lnx(x1)x1x C.e(x0)

D.x2(x2)2x4111，故 ln，ln不是无穷小量； xxx 选项B中：因为x1时，lnx0，故lnx是无穷小量； 解 选项A中：因为 x0时，11 选项C中：因为 x0时，故ex0；但是x0时，， ，xx1，因此e当x0时不是无穷小量。

x21x21x2 选项D中：因为2，故当x2时，2不是无穷小，2x4x2x44x4故e量。

因此正确的选项是B。

（2）下列极限计算正确的是（）。A.limxsinx01x1x11limxlimsin0

xx0x0xtan2xtan2x B.limlim2x1

x0sin2xx0sin2x2x C.lim(x2xx)limxxx2xlimx0

xx1x1x1xx11e1)lim()lim()1ee

xx1xx1xx1e1 解 选项A不正确。因为limsin不存在，故不能直接用乘积的运算法则，即

x0x11limxsinlimxlimsin x0xx0x0x D.lim(选项B正确。将分子、分母同除以2x，再利用第一个重要极限的扩展形式，得到

tan2xtan2xlimlim2x1 x0sin2xx0sin2x2x 选项C不正确。因为x时，xx，x，故不能直接用极限的减法运算法则，即

2lim(x2xx)limx2xlimxxxx

x1x1)可以分成两项乘积，即

xx1x1x1x1xx11lim()=lim()lim()xx1xx1xx1111lim(1)xx1xx)x=xxe 其中第一项lim()=lim(xxx111xe11lim(1)xxx11x11x)11e1 而第二项lim()lim(xxx111x 选项D不正确。lim(故原算法错误。

正确选项应是B。

x1（3）当k（）时，f(x)2xkx0x0在x0处连续。

A.0 B.－1 C.2 D.1 解 函数在一点连续必须满足既是左连续又是右连续。因为函数已是右连续，且

f(0)011

2而左连续f(0)lim(xk)kf(0)

x0 故当k1时，f(x)在x0处连续。

正确的选项是D。