二元函数的极限与连续

第一篇：二元函数的极限与连续

§2.3 二元函数的极限与连续

定义

设二元函数有意义, 若存在常数A,都有

则称A是函数当点 趋于点

或

或

趋于点时的极限,记作。的方式无关,即不,当（即）时，在点的某邻域内或

必须注意这个极限值与点

论P以什么方

向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向

分接近, 就能 使。只要P与 充与A 接近到预先任意指定的程度。注意：点P趋于点点方式可有无穷多

种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。

图8-7

同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限

在该点

存在,但不相等, 则可以判定元函数极限不 存在的重要方法之一。

极限不存在。这是判断多

一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极

限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。例如若

有, 其中。

求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理

来计算。例4 求。解由于,而,根据夹逼定理知,所以。

a≠0)。

解

例

求

（。例6 求。解

由于理知

且,所以根据夹逼定

.例7

研究函数

在点

处极限是否存在。解当x

2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于

（0，0）的极限，有值，可得到不同的极 限值,所以极限

不存在,但,。很显然，对于不同的k。

注意：极限方式的的区别, 前面两个求

本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的极限,我们称为求二重极限。

例8

设函数极限都不存在,因

为对任何,当

时,。它关于原点的两个累次的第二项不存在极限；同理对任何

时, 的第 一项也不存在极限,但是因此。

由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存

在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果:定理1 若累次极限

都存在,则

三者相等（证明略）。推论

若但不相等,则二重极限

不

存在和二重极

限,由于,存在。定义 设

在点的某邻域内有意义,且称

函

数,则

在点

处

连

续,记

上式称为函数(值)的全增

量。

则。

定义

增量。

为函数(值)对x的偏

二元函数连续的定义可写为

偏增量。

若

断点, 若

在点

为函数（值）对y的处不连续,则称点

是的间

在某区域

在区域G上连续。若

在闭区域G

G上每一点都连续,则称的每一内点都连 续,并在G的连界点

处成立,则称

为连续曲面。

在闭域G上连续。闭域上连续的二元函数的图形称

关于一元函数连续的有关性质, 如最值定理、介值定理、Cantor

定理,对于

二元函数也相应成立。可以证明如下的重要结果：定理2设

在平面有界闭区域G上连续,则

（1）必在G上取到最大值,最小值及其中间的一切值;（2）,当

时,都有

。以上关于二元函数的在G上一致连续,即

极限和连续的有关性质和结论在n元函数中仍然成立。

第二篇：二元函数的极限与连续

§2.3 二元函数的极限与连续

定义 设二元函数有意义, 若存在 常数A,都有

则称A是函数

当点

趋于点

或 或趋于点

时的极限,记作

。的方式无关,即不,当

（即）时，在点的某邻域

内 或 必须注意这个极限值与点论P以什么方

向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向分接近, 就能 使

。只要P与 充与A 接近到预先任意指定的程度。注意：点P趋于点点方式可有无穷多

种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。

图8-7

同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限

在该点

存在,但不相等, 则可以判定元函数极限不 存在的重要方法之一。

极限不存在。这是判断多 一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极

限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。例如

若

有, 其中。

求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理

来计算。例4 求。

解由于 , 而,根据夹逼定理知

,所以。

a≠0)。

解 例5 求

（。例6 求。解

由于理知

且,所以根据夹逼定

.例7 研究函数在点处极限是否存在。

解 当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于

（0，0）的极限，有值，可得到不同的极 限值,所以极限

不存在,但 ,。很显然，对于不同的k。注意：极限方式的 的区别, 前面两个求本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的

极限,我们称为求二重极限。

例8 设函数极限都不存在,因 为对任何,当

时,。它关于原点的两个累次

的第二项不存在极限；同理对任何 时, 的第 一项也不存在极限,但是因此。

由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存

在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果: 定理1 若累次极限都存在,则

三者相等（证明略）。推论 若但不相等,则二重极限

不

存在和二重极限, 由于, 存在。定义 设

在点的某邻域内有意义,且称函数,则

在点

处

连

续,记

上式称为函数(值)的全增量。则。

定义

增量。

为函数(值)对x的偏二元函数连续的定义可写为

偏增量。若断点, 若

在点

为函数（值）对y的处不连续,则称点

是的间在某区域

在区域G上连续。若

在闭区域GG上每一点都连续,则称的每一内点都连 续,并在G的连界点

处成立 , 则称为连续曲面。在闭域G上连续。闭域上连续的二元函数的图形称 关于一元函数连续的有关性质, 如最值定理、介值定理、Cantor定理,对于

二元函数也相应成立。可以证明如下的重要结果：

定理2 设

在平面有界闭区域G上连续,则（1）必在G上取到最大值,最小值及其中间的一切值;（2）,当

时,都有

。以上关于二元函数的在G上一致连续,即

极限和连续的有关性质和结论在n元函数中仍然成立。

第三篇：6.1 二元函数的极限与连续

第6章 多元微分学

教学目的：

1．理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。

2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。

3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5．掌握多元复合函数偏导数的求法。

6．会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

7．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

8．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值。

9．会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

教学重点：

1．二元函数的极限与连续性； 2．函数的偏导数和全微分；

3．方向导数与梯度的概念及其计算； 4．多元复合函数偏导数； 5．隐函数的偏导数

6．曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 7．多元函数极值和条件极值的求法。教学难点：

1．二元函数的极限与连续性的概念； 2．全微分形式的不变性； 3．复合函数偏导数的求法；

4．隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 5．拉格郎日乘数法；

6．多元函数的最大值和最小值。

6.1 二元函数的极限与连续

6．1．1 区域

1．平面点集

由平面解析几何知道 当在平面上引入了一个直角坐标系后平面上的点P与有序二元实数组(x,y)之间就建立了一一对应 于是 我们常把有序实数组(x,y)与平面上的点P视作是等同的 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面

二元的序实数组(x,y)的全体 即R2RR(x,y)x,yR就表示坐标平面

坐标平面上具有某种性质B的点的集合 称为平面点集 记作：E(x,y)(x,y)具有性质B。

例如平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是 C(x,y)x2y2r2

如果我们以点P表示(x,y)，以OP表示点P到原点O的距离 那么集合C可表成 CPOPr.2．邻域

设P0(x0,y0)是xoy平面上的一个点 是某一正数 与点P0(x0,y0)距离小于的点P(x,y)的全体 称为点P0的邻域 记为U(P0,) 即

U(P0,){P| |PP0|}或U(P0,){(x, y)|(xx0)2(yy0)2 }

邻域的几何意义：U(P0,)表示xoy平面上以点P0(x0,y0)为中心、 >0为半径的圆的内部的点P(x,y)的全体

点P0的去心邻域 记作U(P0, )，即 ：U(P0, ){P| 0|P0P|} 注：如果不需要强调邻域的半径 则用U(P0)表示点P0的某个邻域 点P0的去心邻域记作U(P0)

3．点与点集之间的关系

任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种(1)内点：如果存在点P的某一邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的内点

(2)外点：如果存在点P的某个邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的外点

(3)边界点：如果点P的任一邻域内既有属于E的点 也有不属于E的点 则称P点为E的边界点

E的边界点的全体 称为E的边界 记作E

E的内点必属于E E的外点必定不属于E 而E的边界点可能属于E 也可能不属于E

聚点：如果对于任意给定的0 点P的去心邻域U(P,)内总有E中的点 则称P是E的聚点

由聚点的定义可知 点集E的聚点P本身 可以属于E 也可能不属于E。例如 设平面点集E{(x y)|1xy2}

满足1x2y22的一切点(x y)都是E的内点 满足x2y21的一切点(x y)都是E的边界点 它们都不属于E 满足x2y22的一切点(x y)也是E的边界点 它们都属于E 点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点

4．区域

开集 如果点集E 的点都是内点 则称E为开集

c 闭集 如果点集的余集E为开集 则称E为闭集

开集的例子 E{(x y)|1

闭集的例子 E{(x y)|1x2y22} 集合{(x y)|1xy2}既非开集 也非闭集

连通性 如果点集E内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于E 则称E为连通集

区域(或开区域) 连通的开集称为区域或开区域 例如E{(x y)|1x2y22}

闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如E  {(x y)|1x2y22}

有界集 对于平面点集E 如果存在某一正数r 使得EU(O r) 其中O是坐标原点 则称E为有界点集

无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集

例如 集合{(x y)|1x2y22}是有界闭区域 集合{(x y)| xy1}是无界开区域

集合{(x y)| xy1}是无界闭区域

*5 n维空间

设n为取定的一个自然数 我们用Rn表示n元有序数组(x1 x2     xn)的全体所构成的集合 即

RnRRR{(x1 x2     xn)| xiR i1 2  n} nR中的元素(x1 x2     xn)有时也用单个字母x来表示 即x(x1 x2     xn) 当所有的xi(i1 2  n)都为零时 称这样的元素为Rn中的零元 记为0

23或O  在解析几何中 通过直角坐标 R(或R)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应 因而Rn中的元素x(x1 x2     xn)也称为Rn中的一个点或一个n维向量 xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量 特别地 Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量

为了在集合Rn中的元素之间建立联系 在Rn中定义线性运算如下

 设x(x1 x2     xn) y(y1 y2     yn)为Rn中任意两个元素 R 规定

xy(x1 y1 x2 y2     xn yn) x(x1 x2     xn)

n这样定义了线性运算的集合R称为n维空间

Rn中点x(x1 x2     xn)和点 y(y1 y2     yn)间的距离 记作(x y) 规定

(x,y)(x1y1)2(x2y2)2    (xnyn)2

显然 n1 2 3时 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一致

n1 R中元素x(x1 x2     xn)与零元0之间的距离(x 0)记作||x||(在R、R2、R3中 通常将||x||记作|x|) 即 ||x||x12x2     xn采用这一记号 结合向量的线性运算 便得

||xy||(x1y1)2(x2y2)2    (xnyn)2(x,y)

在n维空间Rn中定义了距离以后 就可以定义Rn中变元的极限

设x(x1 x2     xn) a(a1 a2     an)Rn 如果

||xa||0

n则称变元x在R中趋于固定元a 记作xa 

显然 xa  x1a1 x2a2     xnan 

在Rn中线性运算和距离的引入 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念 可以方便地引入到n(n3)维空间中来 例如

设a(a1 a2     an)Rn 是某一正数 则n维空间内的点集

U(a ){x| x Rn (x a)} 就定义为Rn中点a的邻域 以邻域为基础 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点 以及开集、闭集、区域等一系列概念

6．1．2 多元函数的概念

例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r、高h之间具有关系

V r2h

这里 当r、h在集合{(r  h)| r>0 h>0}内取定一对值(r  h)时 V对应的值就随之确定

例2 一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系 pRT

V其中R为常数 这里 当V、T在集合{(V T)| V>0 T>0}内取定一对值(V T)时 p的对应值就随之确定

例3 设R 是电阻R1、R2并联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系 RR1R2R1R2 这里 当R1、R2在集合{(R1 R2)| R1>0 R2>0}内取定一对值(R1  R2)时 R的对应值就随之确定

定义1：设D是R2的一个非空子集 称映射f:DR为定义在D上的二元函数 通常记为： zf(x,y),(x,y)D(或zf(P),PD)其中点集D称为该函数的定义域 x y称为自变量 z称为因变量

上述定义中 与自变量x、y的一对值(x y)相对应的因变量z的值 也称为f在点(x y)处的函数值 记作f(x,y) 即zf(x,y).值域 f(D){z| zf(x y)(x y)D}

函数的其它符号: zz(x,y), zg(x,y)等.类似地可定义三元函数uf(x y z)(x y z)D以及三元以上的函数

一般地 把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D 映射f  DR就称为定义在D上的n元函数 通常记为：uf(x1 x2     xn)(x1 x2     xn)D

或简记为：uf(x) x(x1 x2     xn)D 也可记为：uf(P) P(x1 x2     xn)D 

关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数uf(x)时 就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如

函数zln(xy)的定义域为{(x y)|xy>0}(无界开区域)

函数zarcsin(x2y2)的定义域为{(x y)|x2y21}(有界闭区域)

二元函数的图形 点集{(x y z)|zf(x y)(x y)D}称为二元函数zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面

例如 zaxbyc是一张平面 而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面

6．1．3 二元函数的极限

与一元函数的极限概念类似 如果在P(x,y)P0(x0,y0)的过程中 对应的函数值f(x,y)无限接近于一个确定的常数A 则称A是函数f(x,y)当(x,y)(x0,y0)时的极限

定义2：设二元函数f(P)f(x,y)的定义域为D，P0(x0,y0)是D的聚点.如果存在常数A，对于任意给定的正数0总存在正数 使得当P(x,y)DU(P0,)时 都有 f(P)Af(x,y)A

成立 则称常数A为函数f(x,y)当(x,y)(x0,y0)时的极限 记为 也记作(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A 或f(x,y)A((x,y)(x0,y0)), limf(P)A或f(P)A(PP0)

PP0 上述定义的极限也称为二重极限 例4.设f(x,y)(x2y2)sin证：因为

|f(x,y)0||(xy)sin221x2y2 求证

(x,y)(0,0)limf(x,y)0

1xy220| |xy||sin221xy22| xy22

可见对>0 取 则

当0(x0)(y0)，即P(x,y)DU(O,)时，总有f(x,y)，22因此lim(x,y)(0,0)f(x,y)0。

必须注意

(1)二重极限存在 是指P以任何方式趋于P0时 函数都无限接近于A.(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在.讨论：

xy22 xy02（i）函数f(x,y)xy2在点(0 0)有无极限？

220 xy0提示：当点P(x,y)沿x轴趋于点(0 0)时 lim(x,y)(0,0)f(x,y)limf(x, 0)lim00

x0x0当点P(x,y)沿y轴趋于点(0 0)时 lim(x,y)(0,0)f(x,y)limf(0, y)lim00

y0y0当点P(x,y)沿直线ykx有

(x,y)(0,0)ykxlimxyxy22limkx2222x0xkxk1k2

因此 函数f(x,y)在(0 0)处无极限（ii）xy11xy(x,y)(0,0)lim

提示：f(x,y)xy11xy在(0,0)点的去心领域内并不总是有意义（xy0），这有悖于二重极限的定义，所以极限不存在。亦可：当取路径ykx2x(k0)时，由于极限

1(x,y)(0,0)limxy11xy=limkxx11kx232x0=lim2x0(kxx)kx23212k

与k值有关[(1t)1）～t（t0）]，所以极限不存在。

多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似 例5：求lim(x,y)(0,2)sin(xy)x

解

sin(xy)sin(xy)sin(xy)limylimlimyxxy(x,y)(0,2)(x,y)(0,2)xy(x,y)(0,2)(x,y)(0,2)lim122

注（3）：求二元函数的极限一般是通过换元或代数式变形等方法把问题转化为一元函数的极限问题---即多元问题‘一元化’。需要强调的是一元函数极限的L’Hospital法则不能用于二元函数求极限。例6：求下列极限

1（1）(x,y)(0,0)lim(1sinxy)4xy；（2）

(x,y)(0,0)lim(xy)sin1xcos1y；

（3）(x,y)(0,0)limsin(xy)xy224；（4）lim(xy1xyxy22)x2

sinxy1解：（1）(x,y)(0,0)lim(1sinxy)xy=

1y(x,y)(0,0)lim[(1sinxy)sinxy]xye；

（2）(x,y)(0,0)lim(xy)sin1xcos=0；（无穷小乘有界函数仍为无穷小）（3）设xrcos,yrsin，则

limsin(xy)xy2244(x,y)(0,0)=limsin(rcosrsin)r24444=limr2(sin4cos4)0；

r0r0（4）由于：0(xyxy22)x2122(xy)222xyx2()21x2，lim()x1x220，由夹逼法则可知原极限等于零。

6．1．4 二元函数的连续性

定义3：设二元函数f(P)f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)为D的聚点 且P0D.如果

lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)f(x0,y0)

则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)连续

如果函数f(x,y)在D的每一点都连续 那么就称函数f(x,y)在D上连续 或者称f(x,y)是D上的连续函数

二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去 例7：设f(x,y)sinx,证明f(x,y)是R2上的连续函数。

证 设P0(x0,y0)R2, 0 由于sinx在x0处连续 故0 当xx0时 有 sinxsinx0

以上述作P0的邻域U(P0,)，则当P(x,y)U(P0,)时 显然 f(x,y)f(x0,y0)sinxsinx0

即f(x,y)sinx在点P0(x0,y0)连续 由P0的任意性知 sinx作为x,y的二元函数在R2上连续。

证 对于任意的P0(x0,y0)R2，因为 lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)lim(x,y)(x0,y0)sinxsinx0f(x0,y0) 所以函数f(x,y)sinx在点P0(x0,y0)连续 由P0的任意性知 sinx作为x,y的二元函数在R2上连续

类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的

定义4:设函数f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)是D的聚点 如果函数f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续 则称P0(x0,y0)为函数f(x,y)的间断点

xy x2y2022 例如:函数f(x,y)xy

220 xy0其定义域DR2,O(0 0)是D的聚点 f(x,y)当(x y)(0 0)时的极限不存在 所以点O(0 0)是该函数的一个间断点

又如 函数zsin1 其定义域为22xy1D{(x y)|x2y21} 圆周C{(x C上没有定义 当然

f(x,y)在y)|x2y21}上的点都是D的聚点 而f(x,y)在C上各点都不连续 所以圆周C上各点都是该函数的间断点

注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点

可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数

多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的

例如xx2y221y sin(xy), ex2y2z2都是多元初等函数

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域

由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数f(P)在点P0处的极限 而该点又在此函数的定义区域内 则limf(P)f(P0)。

pp0例8：求lim(x,y)(1,2)xyxy

是初等函数 它的定义域为D(x,y)x0,y0, 解 函数f(x,y)P0(1,2)为Dxyxy的内点 故存在P0的某一邻域U(P0)D,而任何邻域都是区域 所以U(P0)是f(x,y)的一个定义区域 因此

(x,y)(1,2)limf(x,y)f(1,2)32

一般地 求limf(P)时 如果f(P)是初等函数 且P0是f(P)的定义域的内PP0点 则f(P)在点P0处连续 于是limf(P)f(P0).PP0例9：求lim(x,y)(0, 0)xy11xy

(xy11)(xy11)xy(xy11)解 lim(x,y)(0, 0)xy11xylim(x,y)(0, 0)lim(x,y)(0, 0)1xy111 2

多元连续函数的性质

性质1(有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数 必定在D上有界 且能取得它的最大值和最小值

性质1就是说 若f(P)在有界闭区域D上连续 则必定存在常数M0 使得对一切PD,有f(P)M,且存在P1,P2D,使得

f(P1)maxf(P)PD;f(P2)minf(P)PD，性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值

思考：一元连续函数的零点存在定理在多元连续函数中该如何理解？

第四篇：函数极限与连续

函数、极限与连续

一、基本题

1、函数f

xln6x的连续区间ax2x2x

12、设函数fx，若limfx0，且limfx存在，则 x1x1x12axb

a-1，b

41sin2x

3、limx2sin-2x0xx

4、n2x4/(√2-3)k

5、lim1e2，则k=-1xx

x2axb5，则a3，b-

46、设limx1x

17、设函数fx2xsinx1,gxkx，当x0时，fx~gx，则k

ex2x0

8、函数fx2x10x1的定义域R ；连续区间(-oo,1),(1,+oo)3x1x1

1xsinx

a9、函数fx1xsinbxx0x0在x0处连续，则a1，b1x010、函数fxe

1e11

x1x的间断点为x=0，类型是 跳跃间断点。

11、fx,yx2y2xycosx，则f0,1ft,1y12、fxy,xyx2y2，则fx,yy^2+x13、函数zln

2x2y2的定义域为 {(x,y)|1=0}

14、1e2xylim-12；x,y0,0x2y2exyx,y0,01x2y2x2y2lim

3-12；lim12xyx15、x0

y0

二、计算题

1、求下列极限

（1）0

0型：

1）limexex2x

x0xsin3x；=0

2）limexx

1x0x1e2x;=-1/

43）limtan3xln12x

x01cos2x;=-

34）limtanxsinx

x0xsin2x2;=1/4

（2）

型：

1）lnsin3x

xlim0lnsin2x=1

lim2n13n1

2）n2n3n=3

（3）型：

1）lim11

x0xex1=1/

22）lim

x111x1lnx=-1/2

3)xlimarccosx=π/3

4)xlimx=-1 x0y2

（4）0型：

1）limxarctanx=1x2

2)limx1tanx1x2=-π/2

（5）1型：

21）lim1xx3x2=e^(-6)

4x23x12）limx3x2

3)lim12xx0 =e^(-4)=e^(2/5)1sin5x

14)limcos=e^(-1/2)xx

（6）00型：1）limxsinx=1 x0x2

方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)

公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))

（7）型：1）limx20x

x1x=2

同上

2、已知：fxsin2xln13x2limfx，求fx x0x

f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+

2(方法：两边limf(x)x->0)

x2x3、求函数fx的间断点，并判定类型。2xx1驻点x=0,x=1,x=-

11）当x=0+时，f(x)=-1；当x=0-时，f(x)=1 跳跃间断点

2）当x=1时，f(x)=oo;第二类间断点

3）当x=-1时，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去间断点

sin2xx

4、设函数fxa

ln1bx1e2xx0x0在定义域内连续，求a与b x0

Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-

45、证明方程：x33x29x10在0,1内有唯一的实根。（存在性与唯一性）证明：

1）存在性：

令f(x)=x^3-3x^2-9x+1

f(0)=1>0;

f(1)=-10<0;

因为f(0).f(1)<0所以在（0,1）内存在一个实根

2）唯一性

f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

所以f(x)在(0,1)内为单调减函数

故x33x29x10在0,1内有唯一的实根。

第五篇：函数极限与连续教案

第四讲

Ⅰ 授课题目（章节）

1.8：函数的连续性

Ⅱ 教学目的与要求：

1、正确理解函数在一点连续及在某一区间内连续的定义；

2、会判断函数的间断点.4、了解初等函数在定义区间内是连续的、基本初等函数在定义域内是连续的；

5、了解初等函数的和、差、积、商的连续性，反函数与复合函数的连续性； 6 掌握闭区间上连续函数的性质

教学重点与难点：

重点：函数在一点连续的定义，间断点，初等函数的连续性

难点：函数在一点连续的定义，闭区间上连续函数的性质

Ⅳ 讲授内容：

一 连续函数的概念函数的增量

定义1设变量u从它的初值u0变到终值u1，终值与初值之差u1u0，称为变量u的增

量，或称为u的改变量，记为u，即uu1u0

xx1x0

yf(x0x)f(x0)函数的连续性

定义2 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若当自变量的增量x趋近于零

时，相应函数的增量y也趋近于零，即

limy0或 x0

x0limf(x0x)f(x0)0

则称函数f(x)在x0点连续

2例1 用连续的定义证明y3x1在点x02处是连续的证明 略

若令xx0x则当x0时，xx0又yf(x0x)f(x0)即

f(x)f(x0)y故y0就是f(x)f(x0)

因而limy0可以改写成limf(x)f(x0)x0xx0

定义3 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若

xx0limf(x)f(x0)

则称函数f(x)在x0点连续

由定义3知函数fx在点x0连续包含了三个条件：

（1）fx在点x0有定义

（2）limf(x)存在xx0

（3）limf(x)f(x0)xx0

sinx,x0例2 考察函数f(x)x在点x0处得连续性

1,x0

解略

3左连续及右连续的概念.定义4 若limf(x)f(x0)，则函数f(x)在x0点左连续 xx0

若limf(x)f(x0)，则函数f(x)在x0点右连续 xx0+

由此可知函数f(x)在x0点连续的充分必要条件函数f(x)在x0点左连续又右连续

4、函数在区间上连续的定义

（a,b）（a,b）定义5 若函数f(x)在开区间内每一点都连续，则称函数f(x)在开区间内连

续

（a,b）若函数f(x)在开区间内连续，且在左端点a右连续，在右端点b左连续，则

称称函数f(x)在闭区间a,b上连续

（-,+）例3 讨论函数yx在内的连续性

解 略

二 函数的间断点定义6函数f(x)不连续的点x0称为函数f(x)的间断点

由定义6可知函数f(x)不连续的点x0有下列三种情况

（1）fx在点x0没有定义

（2）limf(x)不存在xx0

（3）limf(x)f(x0)xx0

2间断点的分类

左右极限都相等（可去间断点）第一类间断点：左右极限都存在间断点 左右极限不相等（跳跃间断点）

第二类间断点：左右极限至少有一个不存在

x21,x0例4考察函数f(x)在x0处得连续性

0,x0

解 略

例5考察函数f(x)

解 略

1,x0例6考察函数f(x)x在x0处得连续性

0,x0x,x0x1,x0在x0处得连续性

解 略

三 连续函数的运算与初等函数的连续性

1、连续函数的和、差、积、商的连续性

2、反函数与复合函数的连续性

3、初等函数的连续性：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的．一切初等函数在其定义区间内都是连续的．对于初等函数,由于连续性xx0limf(x)f(x0),求其极限即等价于求函数的函数值

四闭区间上连续函数的性质

定理1（最大值最小值定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则函数f(x)在闭区间a,b上必有最大值和最小值

定理2（介值定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，m 和M分别为f(x)在a,b上的最小值和最大值，则对于介于m 和M之间的任一实数C，至少存在一点a,b，使得

f()C

定理3（零点定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号，则至少存在一点a,b，使得f()0

例7 证明x52x20在区间(0,1)内至少有一个实根 证明 略

Ⅴ 小结与提问：

Ⅵ 课外作业：

习题1-8 2，5，7，9