多元函数的极限与连续

第一篇：多元函数的极限与连续

多元函数的极限

1.求下列极限：

x2y111)lim(4x3y)；

2）lim(xy)sinsin；

3）lim2.2x0x2x0xyxyy0y1y02

2.证明：若f(x，y)

xy，(xy0)，求 limlimf(x，y)与limlimf(x，y).x0y0y0x0xyx4y43.设函数f(x，y)4，证明：当点(x，y)沿通过原点的任意直线(ymx)趋于（0,0）时，函数f(x，y)23(xy)存在极限，且极限相等.但是，此函数在原点不存在极限.x2y22D(x，y)yx4.若将函数f(x，y)2限制在区域，则函数f(x，y)在原点（0，0）存在极限.2xy

5.求下列极限： 1）lim

3）lim(xy)In(xy)；

4）limx0y022xysinxy；

2）； limx1x2xyy2x0xy2y4(14x2)(16y2)12x23y2x0y0.

第二篇：多元函数的极限与连续

数学分析

第16章

多元函数的极限与连续

计划课时：

0 时

第16章

多元函数的极限与连续(1 0 时)

§ 1

平面点集与多元函数

一.平面点集:平面点集的表示: E{(x,y)|(x,y)满足的条件}.余集Ec.1.常见平面点集:

⑴

全平面和半平面 : {(x,y)|x0}, {(x,y)|x0}, {(x,y)|xa}，{(x,y)|yaxb}等.⑵ 矩形域: [a,b][c,d], {(x,y)|x||y|1}.⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分.极坐标表示, 特别是 {(r,)|r2acos}和{(r,)|r2asin}.⑷ 角域: {(r,)|}.⑸ 简单域: X型域和Y型域.2.邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集

{(x,y)|0|xx0| , 0|yy0|}的区别.3． 点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:

（1）内点、外点和界点：

内点：存在U(A)使U(A)E

集合E的全体内点集表示为intE,.外点：存在U(A)使U(A)E

界点：A的任何邻域内既有E的点也有不属于E的点。E的边界表示为E

集合的内点E, 外点E , 界点不定.例1 确定集E{(x,y)|0(x1)(y2)1 }的内点、外点集和边界.例2 E{(x,y)|0yD(x), x[ 0 , 1 ] } , D(x)为Dirichlet函数.确定集E的内点、外点和界点集.（2）(以凝聚程度分为)聚点和孤立点:

聚点：A的任何邻域内必有属于E的点。

孤立点：AE但不是聚点。孤立点必为界点.例3 E{(x,y)|ysin }.确定集E的聚点集.解

E的聚点集E[ 1 , 1 ].221x 2 4．区域：

（1）(以包含不包含边界分为)开集和闭集: intE E时称E为开集 , E的聚点集E时称E为闭集.intE 存在非开非闭集.（3）有界集与无界集:

（4）

点集的直径d(E)： 两点的距离(P1 , P2).（5）

三角不等式：

|x1x2|（或|y1y2|）或(P1,P2)R2和空集为既开又闭集.（2）(以连通性分为)开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域.(x1x2)2(y1y2)2 |x1x2||y1y2|.(P1,P3)(P2,P3)

二.R2中的完备性定理:

1． 点列的极限:

设Pn(xn , yn)R2, P0(x0 , y0)R2.PnP0的定义(用邻域语言)

定义1。

limn0,N,nNPnU(P0,)或(P0,Pn)

例4(xn , yn)(x0 , y0)xnx0, yny0,(n).例5 设P0为点集E的一个聚点.则存在E中的点列{ Pn }, 使limPnP0.n

2．R2中的完备性定理：

（1）Cauchy收敛准则:

.（2）.闭域套定理:（3）.聚点原理: 列紧性 ，Weierstrass聚点原理.（4）有限复盖定理:

三．二元函数:

1.二元函数的定义、记法、图象：

2.定义域： 例6 求定义域：

ⅰ> f(x,y)3.二元函数求值: 例7 例8 9x2y2x2y21;ⅱ> f(x,y)lny.2ln(yx1)yf(x,y)2x3y2, 求 f(1 , 1), f(1 ,).xf(x,y)ln(1x2y2), 求f(cos , sin).4.三种特殊函数: ⑴ 变量对称函数: f(x,y)f(y,x),例8中的函数变量对称.⑵ 变量分离型函数: f(x,y)(x)(y).例如

zxye2x3y, zxy2xy2, f(x,y)(xyy)(xyx)等.(xy)2 4 但函数zxy不是变量分离型函数.⑶ 具有奇、偶性的函数

四．n元函数

二元函数 推广维空间 记作R n

作业 P9—8.§ 2 二元函数的极限

一.二重极限

二重极限亦称为全面极限

1.二重极限

定义1 设f为定义在DR上的二元函数，P0为D的一个聚点，A是确定数 若 0,0,或

2PU0(P0,)D,f(P)A则limf(P)A

PP0(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A

例1 用“”定义验证极限

(x,y)(2,1)lim(x2xyy2)7.xy20.例2 用“”定义验证极限 lim2x0xy2y0例3 x2y2,(x,y)(0,0),xyf(x,y)x2y2

0 ,(x,y)(0,0).f(x,y)0.(用极坐标变换)

P94 E2.证明

(x,y)(0,0)lim2.归结原则：

定理 1

limf(P)A, 

对D的每一个子集E , 只要点P0是E的聚点 , PP0PD就有limf(P)A.PP0PE

推论1

设E1D, P0是E1的聚点.若极限limf(P)不存在 , 则极限limf(P)也不存在.PP0PE1PP0PD

推论2

设E1,E2D, P0是E1和E2的聚点.若存在极限limf(P)A1，PP0PE1PP0PE2limf(P)A2, 但A1A2, 则极限limf(P)不存在.PP0PDPP0PD

推论3

极限limf(P)存在,  对D内任一点列{ Pn }, PnP0但PnP0, 数列{f(Pn)}收敛.通常为证明极限limf(P)不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限PP0不相等, 或证明极限与方向有关.但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等  全面极限存在

例4 xy ,(x,y)(0,0), 证明极限limf(x,y)不存在.f(x,y)x2y2(x,y)(0,0)0 ,(x,y)(0,0).6 例二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限: ⅰ>

(x,y)(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)(3,0)yx2y2 ⅲ>

3．极限(x,y)(0,0)limxy11ln(1x2y2);ⅳ> lim.22(x,y)(0,0)xyxy(x,y)(x0,y0)limf(x,y)的定义:

2定义2．设f为定义在DR上的二元函数，P0为D的一个聚点，若 M0,0,或

PU0(P0,)D,f(P)M则limf(P)

PP0(x,y)(x0,y0)limf(x,y)

其他类型的非正常极限，(x,y)无穷远点的情况.例7 验证(x,y)(0,0)lim1.222x3y二.累次极限

二次极限

1.累次极限的定义:

定义3．设Ex,EyR,x0,y0分别是Ex,Ey的聚点，二元函数f在集合ExEy上有定义。若对每一个yEyyy0存在极限limf(x,y)

记作(y)limf(x,y)

xx0xExx0xE若Llim(y)存在，则称此极限为二元函数f先对x后对y的累次极限

yy0yEy记作Llimlim(y)

简记Llimlim(y)

yy0xx0yEyxExyy0xx0例8 f(x,y)xy, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.x2y2 7 例9 x2y2, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.f(x,y)22xy11ysin, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.yx例10 f(x,y)xsin2.二重极限与累次极限的关系:

⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等.(例9)⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数f(x,y)xsin1在点(0 , 0)的情况.y

⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在.例如例10中的函数, 由 , y)(0,0).可见全面极限存在 , 但两个累次极限均不存在.|f(x,y)|  |x||y|0 ,(x

⑷ 两个累次极限存在(甚至相等)

二重极限存在.(参阅例4和例8).综上 , 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.定理2 若二重极限

推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时 , 三者相等.推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时 , 二重极限不存在.但两个累次极限中一个存在 , 另一个不存在 

二重极限不存在.参阅⑵的例.(x,y)(x0,y0)limf(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在 , 则必相等.xx0yy0

作业提示: P99 1、2、4

§ 3 二元函数的连续性(4 时)

一． 二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入.1.连续的定义:

定义

用邻域语言定义相对连续.全面连续.函数f(x,y)有定义的孤立点必为连续点.例1 xy22 , xy0 ,22xy

f(x,y)m , x2y20.1m2证明函数f(x,y)在点(0 , 0)沿方向ymx连续.1 , 0yx2, x ,例2

f(x,y)

([1]P124 E4)0 , 其他.证明函数f(x,y)在点(0 , 0)沿任何方向都连续 , 但并不全面连续.函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性.函数在区域上的连续性.2.二元连续(即全面连续)和单元连续 :

定义

(单元连续)

二元连续与单元连续的关系: 参阅[1]P132 图16—9.3.连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性.仅证复合函数连续性.二.二元初等函数及其连续性:

二元初等函数 , 二元初等函数的连续性.三.一致连续性: 定义.四.有界闭区域上连续函数的性质:

1.有界性与最值性.(证)

2.一致连续性.(证)

3.介值性与零点定理.(证)

Ex

[1]P136—137 1 ⑴—⑸，2，4，5；

P137—138

1，4.10

第三篇：一、多元函数、极限与连续解读

一、多元函数、极限与连续 ㈠二元函数 ．二元函数的定义：设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P（x，y）∈ D，变量 按照

一定法则总有确定的值与它对应，则称 是变量 x、y 的二元函数（或点 P 的函数），记为

（或），点集 D 为该函数的定义域，x、y 为自

为该函数值域。由此变量，为因变量，数集也可定义三元函数以及三元以上的函数。二元函数的图形通常是一张曲面。例如 面。

㈡二元函数的极限

⒈设函数 f（x,y）在开区域（或闭区域）D 内有定义，是 D 的内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式，都有 的一切点

是球心在原点，半径为 1 的上半球

成立，则称常数 A 为函数f（x,y）当

或 , 这里 时的极限，记作

。为了区别一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。⒉注意：二重极限存在是指 都无限接近A。因此，如果条定直线或定曲线趋于

沿任意路径趋于，函数

沿某一特殊路径，例如沿着一时，即使函数无限接近于某一确定值，我们也不能由此判定函数的极限存在。

㈢多元函数的连续性 ．定义：设函数 f（x，y）在开区间（或闭区间）D 内有定义，是 D 的内点或边界点且

。如果

连续。如果函，则称函数 f（x，y）在点

数 f（x，y）在开区间（或闭区间）D 内的每一点连续，那么就称函数 f（x，y）在 D 内连续，或者称 f（x，y）是 D 内的连续函数。2 ．性质

⑴一切多元初等函数在其定义域内是连续的；

⑵在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有最大值和最小值；

⑶在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取两个不同的函数值，则它在 D 上取得介于这两 个值之间的任何值至少一次；

⑷在有界闭区域 D 上的多元连续函数必定在 D 上一致连续。

二、偏导数和全微分 ㈠偏导数

⒈偏导数定义：设函数

在点 的某一邻域内有定义，时，相应地函数有增量

存在，则称此极限为

处对 的偏导数，记作，当 固定 在而 在处有增量，如果函数

或 类似，函数 在点

在点

处对 的偏导数定义为，记作

际中求，或。在实的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以求 时只要将暂时看作常量而对 求导数；求 时，则只要将 暂时看作常量而对 求导数。偏导数可以推广到二元以上的函数 注意：对于一元函数来说 可以看作函数的微分 分 之商，而偏导数的记

与自变量微号是一个整体符号，不能看作分母与分子之商。⒉偏导数的几何意义：设 过 做平面，截此曲面得一曲线，此曲线在平面，则导数

上的方程为

为曲面

上的一点，即偏导数

对 轴的 斜率。同样，偏导数 截得的曲线在点 的切线

处，就是这曲线在点 处的切线 的几何意义是曲面被平面 所对 轴的斜率。

在区域 D 内具有偏导数，都是，⒊高阶偏导数：设函数，那么在 D 内 的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数 的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同有以下四个二阶偏导数： ,。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。

定理：如果函数 的两个二阶混合偏导数 及 在区域 D 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。（即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。）㈡全微分

⒈全微分定义：如果函数

可表示为

赖于、而仅与、有关，在点

可微分，而

称

在点 的全增量，其中 A、B 不依，则称函数

为函数

在点 的全微分，记作，即。如果函数在区域 D 内各点都可微分，那么称这函数在 D 内可微分。定理 1（必要条件）：如果函数 函数在点 的偏导数

在点 的全微分为 在点

可微分，则该必定存在，且函数

。定理2（充分条件）：如果函数续，则函数在该点可微分。的偏导数 在点 连以上关于二元函数全微分的定义及可微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数。习惯上将自变量的增量、分别记作、；并分别称为自变量的微分，则函数 的全微分可表示为 分等于它的两个偏微分之和

这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。叠加原理也适用于二元以上的函数的情形。

三、多元复合函数的求导法则 ㈠复合函数的全导数：如果函数 函数 在对应点

在点 可导，且

及

都在点 可导。通常将二元函数的全微具有连续偏导数，则复合函数 其导数可用下列公式计算：。此定理可推广到中间变量多余两个的情况，例如，，则，其中 称为全导数。上述定理还可推广

到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。㈡复合函数的偏导数 : 设 则

是

可微，函数，对，并且，的复合函数。如果 的偏导数存在，则 复合函数

对 的偏导数存在，且

㈢全微分形式的不变性 : 设函数 则有全微分 果、又是，如 的函数、具有连续偏导数，且这两个函数也具有连续偏导数，则复合 函数 的全微分为

由此可见，无论 是自变量、的函数或中间变量、的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫做全微分形式不变性。

四、隐函数的求导公式 ㈠、一个方程的情形 隐函数存在定理 1 ：设函数 有连续的偏导数，且，内恒能

唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满，则方程

在点 的某一邻域

在点 的某一邻域内具 足条件，并有

隐函数存在定理 2 ：设函数 具有连续的偏导数，且，一邻域

内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，则方程

在点 的某

在点 的某一邻域内，并有

㈡、方程组的情况 隐函数存在定理 3 ：设 某一邻域内、在点 的具有对各个变量的连续偏导数，又，且，偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）行列式）：

在点 点 不等于零，则方程组，在的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，它们满足条件，并有，，五、方向导数、梯度 ㈠、方向导数 1、定义：设函数

在点 的某一邻域 内有定义，自点 P 引射线。设轴正向到射线 的转角为 , 并设

为 上的另一点，且

。我们考虑函数的增量 的比

与 和 两点间的距离

值。当 沿着 趋于 时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数 在点沿着方向的方向导数，记作，即。、定理：如果函数 在点 是可微分的，那么函数，在该点沿任一方向 的方向导数都存在，且有 其中 为 x 轴到方向 的转角。上述定义也可推广到三元函数 着方向（设方向 的方向角为，其中，它在空间一点

沿）的方向导数可以定义为，如果函数在所考虑的点处可微，则函数在该点沿着方向 的方向导数为

㈡、梯度、定义(二元函数的情形)：设函数 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点量，这个向量称为函数，即，在点

在平面区域 D，都可定出一个向的梯度，记作，由梯度的定义可知，梯度的模为： 当 不为零时，x 轴到梯度的转角的正切为 2、与方向导数的关系：如果设

是与方向 同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式可知：

由此可知，就是梯度在 上的投影，当方向 与梯度的方向一致时，有，从而 有最大值。所以沿梯度方向的方向导数达最大值，也就是说，梯度的方向是函数

在该点增长最快的方向，因此，函数在某点的梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。※上述所讲的梯度的概念也可推广到三元函数的情况。设函数 续偏导数，则对于每一点，这个向量称为函数

六、多元函数的泰勒公式、极值和几何应用 ㈠、二元函数的泰勒公式 定理：设 的连续偏导数，在点 的某一邻域内连续且有直到

阶

在空间区域 G 内具有一阶连，都可定出一个向量

在点 的梯度，即 为此邻域内任一点，则有

一般地，记号 表示

设，则上式可表示为

⑴，公式⑴称为二元函数

在点的n阶泰勒公式，而的表达式为拉格朗日型余项。在泰勒公式⑴中，如果取 公式，则⑴式成为 n 阶麦克劳林

㈡、多元函数的极值 定理 1（必要条件）：设函数 数，且在点

在点（,）具有偏导(,)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：

定理 2（充分条件）: 设函数 内连续且

有一阶及二阶连续偏导数，又)=A,(,)=B,(,)=C, 则 f(x,y)在（,）处是否取得极值的条件如下：，令

(,，在点（,）的某邻域⑴ AC->0 时具有极值，且当 A<0 时有极大值，当 A>0 时有极小值；

⑵ AC-<0 时没有极值；

⑶ AC-=0 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。㈢、几何应用、空间曲线的切线和法平面： ⑴设空间曲线 的参数方程为 在曲线上取相应于 的一点，这里假设 解析几何中有，假设三个函数都可导，则曲线在点 M 处的切线方程为

均不为零。如果有个别为零，则应按空间关直线的对称式方程来理解。切线的方向向量成为曲线的切向量。向量

就是曲线 在点 M 处的一个切向量。

⑵通过点 M 而与切线垂直的平面称为曲线 在点 M 处的法平面，它是通过点

而与 T 为法向量的平面，因此方程为。

⑶若空间曲线 的方程以 为： 的形式给出 , 则切线方程，其中分母中带下标 0 的行列式表示

行列式在点 的值；曲线在点

处的法平面方程为 的值；曲线在点 处的法平面方程为、曲面的切平面和法线 ⑴若曲面方程为 M 处的

切平面的方程为：

；，是曲面上一点，则曲面在点

法线方程为： ⑵若曲面方程为，则切平面方程为

或 ；而法线方程为

第四篇：多元函数的极限与连续习题

多元函数的极限与连续习题

1.用极限定义证明:lim(3x2y)14。x2y1

2.讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。

（1）f(x,y)xy； xy

(2)f(x,y)(xy)sisi； 1

x1y

x3y3

(3)f(x,y)2； xy

1(4)f(x,y)ysi。x

3.求极限（1）lim(xy)x0y022x2y2；

（2）limx2y2

xy122x0y0；

（3）lim(xy)sinx0y01； 22xy

sin(x2y2)（4）lim。22x0xyy0

ln(1xy)4.试证明函数f(x,y)xy

x0x0在其定义域上是连续的。

1.用极限定义证明:lim(3x2y)14。

x2y1

因为x2,y1，不妨设|x2|0,|y1|0，有|x2||x24||x2|45，|3x2y14||3x122y2|

3|x2||x2|2|y1|15|x2|2|y1|15[|x2||y1|]

0，要使不等式

|3x2y14|15[|x2||y1|]成立 取min{



30,1}，于是

0，min{



30,1}0，(x,y)：|x2|,|y1|

且(x,y)(2,1)，有|3x2y14|，即证。

2.讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。（1）f(x,y)

xy

； xy

xyxy

limli1，limlim1

y0x0xyx0y0xy

二重极限不存在。

xyxy1

或lim0，li。

x0xyx0xy3

yx

y2x

(2)f(x,y)(xy)sin

11sin； xy

0|(xy)sinsin||x||y|

xy

可以证明lim(|x||y|)0所以limf(x,y)0。

x0y0

x0y0

当x

111，y0时，f(x,y)(xy)sinsin极限不存在，kxy

因此limlim(xy)sisi不存在，x0y0xy

lim(xy)sisi不存在。同理lim

y0x0

x1y

x3y3

(3)f(x,y)2；

xy

2x3

limf(x,y)lim0，x0x0xx

yx

当 P(x, y)沿着yxx趋于（0,0）时有

yxx

x3(x3x2)3limf(x,y)li21，x0x0xx3x223

x0y0

所以 limf(x,y)不存在；

limlimf(x,y)0，limlimf(x,y)0。

x0y0

y0x0

(4)f(x,y)ysinx

0|ysin||y|

x

∴limf(x,y)0，x0y0

limlimysi0，limlimysi不存在。x0y0y0x0xx

3.求极限（1）lim(xy)

x0

y0

2x2y2；

(x2y2)2

0|xyln(xy)||ln(x2y2)|，22

(x2y2)2t

ln(x2y2)limlnt0，又 lim

x0t044

y0

∴lim(xy)

x0

y0

2x2y2

e

limx2y2ln(x2y2)(x,y)(0,0)

1。

（2）lim

x2y2xy1

x0y0；

(x2y2)(x2y21)lim2。lim2222x001xy1xy1x

y0y0

x2y2

（3）lim(xy)sin

x0y0

；22

xy

||xy|，|(xy)sin2

xy

而lim(xy)0

x0

y0

故lim(xy)si20。2x0xyy0

sin(x2y2)

（4）lim。22x0xyy0

令xrcos，yrsin，(x,y)(0,0)时，r0，sin(x2y2)sinr2

limlim21。22x0r0rxyy0

ln(1xy)

4.试证明函数f(x,y)x

y

x0x0

在其定义域上是连续的。

证明：显然f(x, y)的定义域是xy>-1.当x0时，f(x, y)是连续的，只需证明其作为二元函数在y轴的每一点上连续。以下分两种情况讨论。（1）在原点（0,0）处

f(0, 0)=0,当x0时

0ln(1xy)1f(x,y)

xyxyln(1xy)

由于limln1(xy)

x0

y0

1xy

y0,y0

1

1xy

不妨设|ln1(xy)从而0，取

xy

1|1，|ln1(xy)|2，当0|x|,0|y|时，

ln(1xy)

0||yln(1xy)xy||

x

|y||ln(1xy)|2|y|，于是，无论x0,x0，当|x|,|y|时，都有limf(x,y)0f(0,0)

x0y0

1xy

（2）在(0,)处。（0)

xy

当x0时，|f(x,y)f(0,)||yln(1xy)

1xy

|

1(xy)|y(ln1)(y)| 1||y|

|y||ln(1xy)

xy

当x=0时,|f(x,y)f(0,)||y|,1xy

注意到，当0时limln1(xy)

x0

y1，于是，无论x0,x0，当0时lim|f(x,y)f(0,)|0，x0y即 f(x, y)在在(0,)处连续，综上，f(x, y)在其定义域上连续。

第五篇：第十四讲多元函数的极限与连续

第十四讲多元函数的极限与连续.1 多元函数极限与连续的基本概念

对多元函数的研究，主要以二元函数为代表，对多于两个变元的函数，基本上与二元函数相似．要讨论二元函数，就要涉及它所定义的平面点集问题，这正如要讨论一元函数就要研究实数点集一样．

一、关于平面点集．点 P0x0,y0的邻域

对0，称点集x,y|xx0,yy0为P0点的方形邻域；称点集

．通称为P0点的邻域，xx02yy022为P0点的圆形邻域（它们是等价的）记作P0;，简记为P0，空心邻域记为 0P0.2 ．点与点集之关系 PR2为一定点，ER2为一点集．

(1）内点：若0，使 P;E，则称P为 E 的内点． E 的所有内点所成之集称为 E 的内部，记为 intE.(2）外点：若0，使 P;E，则称P为 E 的外点．

CC(3）界点：若0，有 P;E，且P;E（其中厂为E的余集），则称P为 E 的边界点，简称为界点． E 的所有界点所成之集称为 E 的边界，记为E

0(4）聚点：若 0，有P;E，则称P为 E 的聚点． E 的所有聚点所

'成之集称为 E 的导集，记为E．

0(5）孤立点：若PE，且0，使P;E，则称P为 E 的孤立点． ．一些重要的平面点集

(1）开集：若intEE，则称 E 为开集．

(2）闭集：若EE，则称 E 为闭集，(3）连通集：若 E 内任意两点之间都可用一条完全含于 E 内的有限折线相连接，则称 E 为连通集．

(4）开域：连通的开集称为开域．

(5）闭域：开域连同其边界所成点集称为闭域．

(6）区域：开域、闭域或开域连同它的部分边界所成的点集通称为区域．

(7）有界集：若r0，使得EO,r(O 为坐标原点），则称 E 为有界集． '（8）无界集：若 r0，使得EO,r(O 为坐标原点），则称 E 为无界集．

(9）点集的直径：dEsupP,Q（其中 p 表示距离）

O,QE4.R的完备性．

与实数的完备性一样，R也是完备的．刻画实数完备性的定理也可推广到R中来．(l）点列的极限：设Pnxn,ynR2，为一点列，P0x0,y0R2 为一定点，若对 当 n > N 时，恒有Pn,P0，则称Pn收敛于P0，记为limPnP0 0,N0，n222注：limPnP0limxnx0,limyny0．

nnn(2）柯西准则：点列Pn收敛对 0,N0，当n , m > N 时，恒有Pn,Pm·

(3）闭域套定理：设Dn是R中的闭域列，满足：

2① DnDn1,n1,2,...；

②limdn0dndDn;

n则存在唯一的点P0Dn,n1,2,...(4）聚点定理：设 E 为有界无穷点集，则必有聚点． 推论：有界无穷点列必有收敛子列．

(5）有限覆盖定理：设 D 为有界闭域，Ha|a,aI为开域｝，若 H 覆盖了 D，则必有有限个开域覆盖了 D , 即iD.i1n例 14.1 设ER为一点集，Axa,ya为 E 的内点，Bxb,yb为 E 的外点，证明：2连接 A , B 的直线段必与 E 的边界E 至少有一个交点．

证明：记xaxbl1,yaybl2．取线段 AB 的中点 C xc,yc，若CE，则结论已成立．否则 A 与 C 或 B 与 C 必有一对是一内一外的．将它们记为A1x1,y1，bb．则显然：

B1x1,y1aa① x1,x1xa,xb,y1,y1ya,yb； ababb② x1x1al1al,y1y1b2． 22重复以上步骤，若有某次取的中点CnE，则证明结束，否则这一过程一直进行下去，aa得到两个点列Anxn,yn , Bx,y满足：

nbnbnabababab① xn,2,... 1,xn1xn,xn,yn1,yn1yn,ynn1② xnxnabl1l2ab,yy nn2n2nabab由实数的闭区间套定理必存在唯一的x0xn,xn,y0yn,yn,n1,2,...,下证

P0x0,y0E．事实上，假设不是如此，则P0要么属于 E 的内部，要么属于 E 的外部，不妨设它属于 E 的内部，由开集的定义，0，使得P0;E由区间套定理，aa对上述的,N0，当 n > N 时，Anxn,ynP;,Bx,yP;，此

0nbnbn0与我们的取法矛盾，即必有P0x0,y0E 二、二元函数及极限

（一）二元函数．二元函数定义

若厂是从DR到实数集R上的一个映射，则称f是一个二元函数，D 为f的定义域，2fDR 是其值域．记为zfx,y,x,yD..n 元函数定义

若f是DR到实数集R上的一个映射，则称 f 是一个 n 元函数，D 为f的定义域，2fDR是其值域．记为yfx1,x2,...,xn,x1,x2,...,xnD.k 一次齐次函数

若函数uftx1,tx2,...,txntkfx1,x2,...,xn则称f为k一次齐次函数。如

xfx,yx2y2xytan是2一次齐次函数

y

（二）二元函数的极限．二重极限

(l）定义：设f定义在DR上的二元函数，P0为 D 的聚点，A是一个定常数，若对

20,0，使当 P0P0;D 时，有fPA，则称 f 在 D上当

PP0时，以A为极限，记为limfPA

PP0注：若Px,yP0x0,y0，则极限用坐标表示为：若P0x0,y0为 D 的聚点，对0,0，当xx0,yy0，且x,yx0,y0时，恒有

fx,yA 记为(2）充要条件： ①

②x,yx0,y0limfx,yA

PP0PP0PDlimfPAlimfPA,ED

nPP0PDlimfPA对PnD,且PnP0有limfPnA

(3）极限不存在（特殊路径法）：存在E1,E2D，且P0是它们的聚点，若

PP0PE1limfPA1,PP0PE2limfPA2

且A1A2，则limfP不存在．

PP0例 14.2

当x,y0,0时，证明：（1）fx,yxsin11ysin极限为0 yx（2）fx,yxy极限不存在．

x2y21,0yx2x,yR2极限不存在．（3）fx,y0,其余证明：（1）对0，取20，当x,y时，恒有

fx,y0xsin即11ysinxy yxx,y0,0limfx,y0

（2）当沿着x轴（即y0）让动点x,y0,0时，xy0，当沿着

x,y0,0x2y2lim直线xy让动点x,y0,0时，1xy10，所以 ，而

x,y0,0x2y222limxy不存在。

x,y0,0x2y2lim(3）沿任何通过原点的直线ykx，让动点x,y0,0时，函数的极限都存在．且为 0.事实上，当y0时，f0，结论显然成立；当 y > 0 时，不妨设 k > 0（因为 k < o 充分小时（这一点总可以实现．因为x0），必有ykxx2，此时fx,kx0，x,y0,0limfx,ylimfx,kx0，即恒有

x0limfx,kx0

x0但是

x,y0,0limfx,y还是小存在，事头上，当沿着路径y12x，让动点x,y0,0 2x,y0,0limfx,y10

注：这个例子说明，当判断二元函数在某点处极限是否存在时，即使沿通过该点的所有直线趋于该点时的极限都存在且相等，还不能确定该点的极限存在．．二次极限（也叫累次极限）

(l）定义：形如limlimfx,y和limlimfx,y的极限，分别称为先x 后 y 和先 y 后yy0xx0xx0yy0x的二次极限．

注：两二次极限若都存在，可未必相等；也可以一个存在，另一个不存在． 例 14.3

考查下来函数的两个累次极限：

xyx2y2(1)fx,y在0,0点；

xy(2)fx,yxsin11和gx,yysin在0,0点；

xy(3)fx,yxy 22xyx2xy2y

1解：（1）limlimfx,ylim1，但limlimfx,ylimx0y0y0y0x0y0xy(2)limlimfx,ylimlimxsiny0x0y0x0110,但limlimxsin不存在

x0y0yy11limlimgx,ylimlimysin不存在，但limlimysin0 y0x0y0x0x0y0xx(3)limlimfx,ylimlimy0x0y0x0xy0limlimfx,y

22x0y0xy(2）二重极限与二次极限的关系：

① 无蕴含关系：即二重极限存在，两个二次极限未必存在，如例 14.2(l）和例 14.3(2)；两二次极限存在且相等，二重极限未必存在，如例 14.2(2）和例 14.3(3).② 有联系：若二重极限与二次极限都存在，它们必相等． 证明：设x,yx0,y0limfx,y与limlimfx,y都存在，记

xx0yy0x,yx0,y0limfx,yA，则对

0,10,当xx01,yy01且x,yx0,y0时，恒有fx,yAyy0yy02

对于固定的x,x0x0,1由于limfx,y极限存在，记为limfx,yx，所以

01，当0yy0时，有

fx,yx当0xx0,0yy0时，有

2

xAxfx,yfx,yA即x,yx0,y022

limfx,yA.同理，当另一个二次极限与二重极限都存在时，它们也相等，所以得到了判定二重极限存在的又一种方法：若两个二次极限都存在，但不相等，则二重极限必不存在．如例 14.3(1）中的函数在原点处，二重极限必不存在．

注：已经知道，对一元函数，其极限类型共有 24 种，对二元函数，极限类型更多，没必要再一一指出，下面仅通过一个例子稍加说明． 例 14.4

写出下列类型极限的精确定义：(l)(3)x,yx0,x,y,y0limfx,yA（2）

x,y,x,yx0,limfx,yA fx,y． limfx,y（4）

lim解：(l）对0，0及 M > O，当0xx0,yM时，恒有

fx,yA

(2）对0，M0，当xM,yM 时，恒有

fx,yA

(3）对M0,G0，及0，当xG,0yy0时，恒有

fx,yM

(4）对M0,G0及0，当0xx0,yM时，恒有

fx,yM

例 14.5

给出符合下列条件的函数的例子：当x,y时：

(1）两个二次极限存在，但二重极限不存在；(2）两个二次极限不存在，但二重极限存在；

(3）重极限与二次极限都不存在；

(4）重极限与一个二次极限存在，另一个二次极限不存在． 解：(1)fx,yxy，二次极限 limlimfx,y0limlimfx,y，但二22xyyxxy重极限不存在：当沿着yx与y2x两条路径趋于时它们的极限不等．

(2)fx,y11sinysinx，符合要求（验证略）xy(3)fx,yxy，符合要求（验证略）(4)fx,y1siny，符合要求（验证略）.x3 ．二重极限的求法

(l）用定义；

(2）用一元函数的方法，如特殊极限法、迫敛法则等；

xrcos(3）对x,y0,0类型的极。良，求极限日寸可作极坐标代换化为r0

yrsin的一元函数的极限，进而可以用洛必达法则等（注意，从例 14.2(3）可知，只有在极限存在时，才可以用此法）.例 14.6

求下列极限：

sinxyx2yx2y2lim(l）lim；(2）；(3）·

limx,y0,1xx,y0,0x2y2x,y,x4y4解：(l)（用定义）对0，取0，当 0x,0y时，恒有

x2yx2y2y 22xyxx2y即lim0 x,y0,0x2y2注：也可以用转化为极坐标的方法．

(2)（用定义）0，取M20，当xM,yM时，恒有

x2y2x2y211

x4y4x4y4x4y4x2y222x2y2即 lim0

x,y,x4y4(3)

sinxysinxylimy1 x,y0,1xx,y0,1xylim三、二元函数的连续性

（一）在一点的连续性．定义

(1）定义：设 f 的定义域为DR，P0x0,y0D，若

2x,yx0,y0limfx,yfx0,y0，则称f在P0点连续．

2(2)(语言）：设 f 的定义域为DR，P0x0,y0D，若对0，0，当x,yD且xx0,yy0时，恒有fx,yfx0,y0，则称 f 在P0点连续．

注：若P0x0,y0为 D 的孤立点，则 f 在P0点必连续．这是因为在P0的某邻域内属于f定义域的点仅有P0一个点，此时，fx,yfx0,y0fx0,y0fx0,y00(3)（用增量语言）：记

xxx0,yyy0,ffx,yfx0,y0（称为函数的全增量）;

xffx,y0fx0,y0,yffx0,yfx0,y0（分别称为关于x和 y 的偏增量）;则当

x,y0,0limf0时，称 f 在P0x0,y0点连续． ．间断点

使得 f 不连纹的点．叫f的间断点．特别若

x,yx0,y0limfx,yAfx0,y0

或 f 在点P0无定义时．称P0为可去间断点． 3 ．在P0x0,y0点关于两个变元分别连续

若limx,y0fx0,y0，则称fx,y在P0点关于x是连续的．

xx0若limfx0,yfx0,y0，则称fx,y在P0点关于 y 是连续的．

yy04 ．连续（或称为关于两变元（x , y）的整体连续）与分别连续的关系(1）连续分别连续：结论是显然的，因为若

x,y0,0limf0，则必有

x0limxf0，和limyf0·

y0(2）分别连续未必连续：例如，fx,y1,xy0在原点处显然不连续，但由于

0,xy0f0,yfx,00，因此，在原点处 f 对二和 y 是分别连续的．

注：若函数 f 关于各变量是分别连续的，再附加些什么条件可使其连续呢？这个问题在.2 节讨论． ．在一点连续的性质 同一元函数．

（二）在区域上的连续性．定义

若函数fx,y在区域 D 上每一点都连续，则称f在区域 D上连续． 2 ．有界闭域上连续函数的性质

(1）取最大（小）值性：若函数fx,y在有界闭域 D 上连续，则函数在 D上必可取到最大值和最小值．

(2）有界性：若函数fx,y在有界闭域 D 上连续．则函数在 D 上必有界．

(3）介值定理：若函数fx,y在区域 D 卜连续，P1,P2为 D 中任意两点．若

fP1fP2，则对任何满足不等式fP1ufP2的实数u．必存在P0D 使得

fP0

(4）一致连续性：若函数fx,y在有界闭域D上连续．则必致连续．

注： ① 二元函数fx,y在区域 D 卜致连续定义：对0,0，对x1,y1 , x2,y2D，当x1x2,y1y2时，恒有fx1,y1fx2,y2．

② 二元函数在区域 D 上不一致连续定义：对0,x1,y1,x2,y2D．虽00，然x1x2,y1y2，但是fx1,y1fx2,y20． 例 14.7

证明函数fx,y1在D0,10,1上连续，但不一致连续．

1xy1的定义域，而初等函数在定义域上都是连续 1xy证明：因为 D 属于初等函数fx,y的．下证它不一致连续：取010，对001，取x1y11； 82x2y21，则x1,y1,x2,y2D，且x1x22,y1y22但是

fx1,y1fx2,y21即fx,y241223114111 02881 在D0,10,1上不一致连续． 1xy