函数极限与连续习题(含答案)

第一篇：函数极限与连续习题(含答案)

1、已知四个命题：（1）若

（2）若

（3）若

（4）若f(x)在x0点连续，则f(x)在xx0点必有极限 f(x)在xx0点有极限，则f(x)在x0点必连续 f(x)在xx0点无极限，则f(x)在xx0点一定不连续f(x)在xx0点不连续，则f(x)在xx0点一定无极限。其中正确的命题个数是（B、2）

2、若limf(x)a，则下列说法正确的是（C、xx0f(x)在xx0处可以无意义）

3、下列命题错误的是（D、对于函数f(x)有limf(x)f(x0)）

xx04、已知f(x)1

x，则limf(xx)f(x)的值是（C、1）

x0xx2

x125、下列式子中，正确的是（B、limx11）2(x1)

26、limxaxb5，则a、x11xb的值分别为（A、7和6）

7、已知f(3)2,f(3)2,则lim2x3f(x)的值是（C、8）

x3x38、limxa

xxaa（D、3a2）

29、当定义f(1)f(x)1x

2在x1处是连续的。1x10、lim16x12。

x27x31111、lim12、x21xxx12x31

limx2x112 3x1113、lim(x2xx21)1

x

214、lim(x2xx21)1

x2

x,0x1115、设(1)求xf(x),x1

2

1,1x2

1时，f(x)的左极限和右极限；(2)求f(x)在x1的函数值，它在这点连续吗？(3)求出的连续区间。

答：（1）左右极限都为1（2）不连续（3）（0，1）（1，2）

第二篇：函数极限与连续

函数、极限与连续

一、基本题

1、函数f

xln6x的连续区间ax2x2x

12、设函数fx，若limfx0，且limfx存在，则 x1x1x12axb

a-1，b

41sin2x

3、limx2sin-2x0xx

4、n2x4/(√2-3)k

5、lim1e2，则k=-1xx

x2axb5，则a3，b-

46、设limx1x

17、设函数fx2xsinx1,gxkx，当x0时，fx~gx，则k

ex2x0

8、函数fx2x10x1的定义域R ；连续区间(-oo,1),(1,+oo)3x1x1

1xsinx

a9、函数fx1xsinbxx0x0在x0处连续，则a1，b1x010、函数fxe

1e11

x1x的间断点为x=0，类型是 跳跃间断点。

11、fx,yx2y2xycosx，则f0,1ft,1y12、fxy,xyx2y2，则fx,yy^2+x13、函数zln

2x2y2的定义域为 {(x,y)|1=0}

14、1e2xylim-12；x,y0,0x2y2exyx,y0,01x2y2x2y2lim

3-12；lim12xyx15、x0

y0

二、计算题

1、求下列极限

（1）0

0型：

1）limexex2x

x0xsin3x；=0

2）limexx

1x0x1e2x;=-1/

43）limtan3xln12x

x01cos2x;=-

34）limtanxsinx

x0xsin2x2;=1/4

（2）

型：

1）lnsin3x

xlim0lnsin2x=1

lim2n13n1

2）n2n3n=3

（3）型：

1）lim11

x0xex1=1/

22）lim

x111x1lnx=-1/2

3)xlimarccosx=π/3

4)xlimx=-1 x0y2

（4）0型：

1）limxarctanx=1x2

2)limx1tanx1x2=-π/2

（5）1型：

21）lim1xx3x2=e^(-6)

4x23x12）limx3x2

3)lim12xx0 =e^(-4)=e^(2/5)1sin5x

14)limcos=e^(-1/2)xx

（6）00型：1）limxsinx=1 x0x2

方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)

公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))

（7）型：1）limx20x

x1x=2

同上

2、已知：fxsin2xln13x2limfx，求fx x0x

f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+

2(方法：两边limf(x)x->0)

x2x3、求函数fx的间断点，并判定类型。2xx1驻点x=0,x=1,x=-

11）当x=0+时，f(x)=-1；当x=0-时，f(x)=1 跳跃间断点

2）当x=1时，f(x)=oo;第二类间断点

3）当x=-1时，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去间断点

sin2xx

4、设函数fxa

ln1bx1e2xx0x0在定义域内连续，求a与b x0

Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-

45、证明方程：x33x29x10在0,1内有唯一的实根。（存在性与唯一性）证明：

1）存在性：

令f(x)=x^3-3x^2-9x+1

f(0)=1>0;

f(1)=-10<0;

因为f(0).f(1)<0所以在（0,1）内存在一个实根

2）唯一性

f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

所以f(x)在(0,1)内为单调减函数

故x33x29x10在0,1内有唯一的实根。

第三篇：多元函数的极限与连续习题

多元函数的极限与连续习题

1.用极限定义证明:lim(3x2y)14。x2y1

2.讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。

（1）f(x,y)xy； xy

(2)f(x,y)(xy)sisi； 1

x1y

x3y3

(3)f(x,y)2； xy

1(4)f(x,y)ysi。x

3.求极限（1）lim(xy)x0y022x2y2；

（2）limx2y2

xy122x0y0；

（3）lim(xy)sinx0y01； 22xy

sin(x2y2)（4）lim。22x0xyy0

ln(1xy)4.试证明函数f(x,y)xy

x0x0在其定义域上是连续的。

1.用极限定义证明:lim(3x2y)14。

x2y1

因为x2,y1，不妨设|x2|0,|y1|0，有|x2||x24||x2|45，|3x2y14||3x122y2|

3|x2||x2|2|y1|15|x2|2|y1|15[|x2||y1|]

0，要使不等式

|3x2y14|15[|x2||y1|]成立 取min{



30,1}，于是

0，min{



30,1}0，(x,y)：|x2|,|y1|

且(x,y)(2,1)，有|3x2y14|，即证。

2.讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。（1）f(x,y)

xy

； xy

xyxy

limli1，limlim1

y0x0xyx0y0xy

二重极限不存在。

xyxy1

或lim0，li。

x0xyx0xy3

yx

y2x

(2)f(x,y)(xy)sin

11sin； xy

0|(xy)sinsin||x||y|

xy

可以证明lim(|x||y|)0所以limf(x,y)0。

x0y0

x0y0

当x

111，y0时，f(x,y)(xy)sinsin极限不存在，kxy

因此limlim(xy)sisi不存在，x0y0xy

lim(xy)sisi不存在。同理lim

y0x0

x1y

x3y3

(3)f(x,y)2；

xy

2x3

limf(x,y)lim0，x0x0xx

yx

当 P(x, y)沿着yxx趋于（0,0）时有

yxx

x3(x3x2)3limf(x,y)li21，x0x0xx3x223

x0y0

所以 limf(x,y)不存在；

limlimf(x,y)0，limlimf(x,y)0。

x0y0

y0x0

(4)f(x,y)ysinx

0|ysin||y|

x

∴limf(x,y)0，x0y0

limlimysi0，limlimysi不存在。x0y0y0x0xx

3.求极限（1）lim(xy)

x0

y0

2x2y2；

(x2y2)2

0|xyln(xy)||ln(x2y2)|，22

(x2y2)2t

ln(x2y2)limlnt0，又 lim

x0t044

y0

∴lim(xy)

x0

y0

2x2y2

e

limx2y2ln(x2y2)(x,y)(0,0)

1。

（2）lim

x2y2xy1

x0y0；

(x2y2)(x2y21)lim2。lim2222x001xy1xy1x

y0y0

x2y2

（3）lim(xy)sin

x0y0

；22

xy

||xy|，|(xy)sin2

xy

而lim(xy)0

x0

y0

故lim(xy)si20。2x0xyy0

sin(x2y2)

（4）lim。22x0xyy0

令xrcos，yrsin，(x,y)(0,0)时，r0，sin(x2y2)sinr2

limlim21。22x0r0rxyy0

ln(1xy)

4.试证明函数f(x,y)x

y

x0x0

在其定义域上是连续的。

证明：显然f(x, y)的定义域是xy>-1.当x0时，f(x, y)是连续的，只需证明其作为二元函数在y轴的每一点上连续。以下分两种情况讨论。（1）在原点（0,0）处

f(0, 0)=0,当x0时

0ln(1xy)1f(x,y)

xyxyln(1xy)

由于limln1(xy)

x0

y0

1xy

y0,y0

1

1xy

不妨设|ln1(xy)从而0，取

xy

1|1，|ln1(xy)|2，当0|x|,0|y|时，

ln(1xy)

0||yln(1xy)xy||

x

|y||ln(1xy)|2|y|，于是，无论x0,x0，当|x|,|y|时，都有limf(x,y)0f(0,0)

x0y0

1xy

（2）在(0,)处。（0)

xy

当x0时，|f(x,y)f(0,)||yln(1xy)

1xy

|

1(xy)|y(ln1)(y)| 1||y|

|y||ln(1xy)

xy

当x=0时,|f(x,y)f(0,)||y|,1xy

注意到，当0时limln1(xy)

x0

y1，于是，无论x0,x0，当0时lim|f(x,y)f(0,)|0，x0y即 f(x, y)在在(0,)处连续，综上，f(x, y)在其定义域上连续。

第四篇：函数极限与连续教案

第四讲

Ⅰ 授课题目（章节）

1.8：函数的连续性

Ⅱ 教学目的与要求：

1、正确理解函数在一点连续及在某一区间内连续的定义；

2、会判断函数的间断点.4、了解初等函数在定义区间内是连续的、基本初等函数在定义域内是连续的；

5、了解初等函数的和、差、积、商的连续性，反函数与复合函数的连续性； 6 掌握闭区间上连续函数的性质

教学重点与难点：

重点：函数在一点连续的定义，间断点，初等函数的连续性

难点：函数在一点连续的定义，闭区间上连续函数的性质

Ⅳ 讲授内容：

一 连续函数的概念函数的增量

定义1设变量u从它的初值u0变到终值u1，终值与初值之差u1u0，称为变量u的增

量，或称为u的改变量，记为u，即uu1u0

xx1x0

yf(x0x)f(x0)函数的连续性

定义2 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若当自变量的增量x趋近于零

时，相应函数的增量y也趋近于零，即

limy0或 x0

x0limf(x0x)f(x0)0

则称函数f(x)在x0点连续

2例1 用连续的定义证明y3x1在点x02处是连续的证明 略

若令xx0x则当x0时，xx0又yf(x0x)f(x0)即

f(x)f(x0)y故y0就是f(x)f(x0)

因而limy0可以改写成limf(x)f(x0)x0xx0

定义3 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若

xx0limf(x)f(x0)

则称函数f(x)在x0点连续

由定义3知函数fx在点x0连续包含了三个条件：

（1）fx在点x0有定义

（2）limf(x)存在xx0

（3）limf(x)f(x0)xx0

sinx,x0例2 考察函数f(x)x在点x0处得连续性

1,x0

解略

3左连续及右连续的概念.定义4 若limf(x)f(x0)，则函数f(x)在x0点左连续 xx0

若limf(x)f(x0)，则函数f(x)在x0点右连续 xx0+

由此可知函数f(x)在x0点连续的充分必要条件函数f(x)在x0点左连续又右连续

4、函数在区间上连续的定义

（a,b）（a,b）定义5 若函数f(x)在开区间内每一点都连续，则称函数f(x)在开区间内连

续

（a,b）若函数f(x)在开区间内连续，且在左端点a右连续，在右端点b左连续，则

称称函数f(x)在闭区间a,b上连续

（-,+）例3 讨论函数yx在内的连续性

解 略

二 函数的间断点定义6函数f(x)不连续的点x0称为函数f(x)的间断点

由定义6可知函数f(x)不连续的点x0有下列三种情况

（1）fx在点x0没有定义

（2）limf(x)不存在xx0

（3）limf(x)f(x0)xx0

2间断点的分类

左右极限都相等（可去间断点）第一类间断点：左右极限都存在间断点 左右极限不相等（跳跃间断点）

第二类间断点：左右极限至少有一个不存在

x21,x0例4考察函数f(x)在x0处得连续性

0,x0

解 略

例5考察函数f(x)

解 略

1,x0例6考察函数f(x)x在x0处得连续性

0,x0x,x0x1,x0在x0处得连续性

解 略

三 连续函数的运算与初等函数的连续性

1、连续函数的和、差、积、商的连续性

2、反函数与复合函数的连续性

3、初等函数的连续性：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的．一切初等函数在其定义区间内都是连续的．对于初等函数,由于连续性xx0limf(x)f(x0),求其极限即等价于求函数的函数值

四闭区间上连续函数的性质

定理1（最大值最小值定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则函数f(x)在闭区间a,b上必有最大值和最小值

定理2（介值定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，m 和M分别为f(x)在a,b上的最小值和最大值，则对于介于m 和M之间的任一实数C，至少存在一点a,b，使得

f()C

定理3（零点定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号，则至少存在一点a,b，使得f()0

例7 证明x52x20在区间(0,1)内至少有一个实根 证明 略

Ⅴ 小结与提问：

Ⅵ 课外作业：

习题1-8 2，5，7，9

第五篇：函数极限连续试题

····· ········密············································订·········线·································装·····系·····封················· ··················__ __：_ ：___： ___________名______________业_姓_____ _号_____ _：：___级_ ____别年专______学

· ·····密·········· ·············································卷···线·································阅·······封········································

函数 极限 连续试题

1.设f(x)

求

(1)f(x)的定义域;(2)12f[f(x)]2

;(3)lim

f(x)x0x

.2.试证明函数f(x)x3ex2

为R上的有界函数.3.求lim1nnln[(11n)(12

n)

(1nn)].4.设在平面区域D上函数f(x,y)对于变量x连续，对于变量y 的一阶偏导数有界，试证：f(x,y)在D上连续.（共12页）第1页

5.求lim（2x3x4x1

x03)x.1(1x)x

6.求lim[

x0e]x.7.设f(x)在[1,1]上连续，恒不为0，求x0

8.求lim(n!)n2

n

.9.设x

axb)2,试确定常数a和b的值.（共12页）第2页

10.设函数f(x)=limx2n1axb

n1x

2n连续，求常数a,b的值.11.若limsin6xxf(x)6f(xx0x30，求lim)

x0x2

.12.设lim

axsinx

x0c(c0),求常数a,b,c的值.xln(1t3)btdt

13.判断题：当x0时，x

1cost2

0t

是关于x的4阶无穷小量.114.设a为常数，且lim（ex

x0

2aarctan1

x)存在，求a的值，并计算极限.ex1

（共12页）第3页

215.设lim[

ln(1ex)x0

1a[x]]存在，且aN，求a的值，并计算极限.ln(1ex)

16.求n(a0).n

17.求limn2(a0,b0).

ln(1

f(x)

18.设lim)

x0

3x1

=5，求limf(x)x0x2.19.设f(x)为三次多项式，且xlim

f(x)f(x)f2ax2axlim4ax4a1，求xlim(x)

3ax3a的值.（共12页）第4页

24.设连续函数f(x)在[1,)上是正的，单调递减的，且

dnf(k)f(x)dx，试证明：数列dn收敛.n

n

20.设x1,求lim(1x)(1x2)(1x4n

n)

(1x2).21.试证明：(1)（1n1111+n)1





为递减数列；(2)n1ln(1n)n,n1,2,3,.limnn

22.求n3nn!

.23.已知数列：a1

112，a222，a32，22

a42

12

1的极限存在，求此极限.22

（共12页）第5页

k1

25.设数列xn，x0a，x1b，求limn

xn.26.求lima2n

n1a2n

.28.求limx

.x1

n2

(xn1xn2)(n2)，（共12页）第6页

29.设函数f(x)是周期为T(T0)的连续函数，且f(x)0,试证：

xlim1xx0f(t)dt1TT0f(t)dt.30.求lim1

1n0

x.en

(1x)n

n

31.设lim（1x)x

tetxx

dt，求的值.32.判断函数f(x)limxn1

nxn1的连续性.33.判断函数f(x.（共12页）第7页

34.设f(x)为二次连续可微函数，f(0)=0，定义函数

g(x)

f(0)当x0，试证：g(x)f(x)

x当x0连续可微.35.设f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)，对x(a,b)，g(x)lim

f(xt)f(xt)

t0

t

存在，试证：存在c(a,b),使g(c)0.36.若f(x)为[a,b]上定义的连续函数，如果b

a[f(x)]2dx0，试证：

f(x)0(axb).37.设函数f(x)在x=0处连续，且lim

f(2x)f(x)

x0

x

A，试证：f(0)=A.（共12页）第8页

38.设f(x)在[a,b]上二阶可导，过点A(a,f(a))与B(b,f(b))的直线与曲线

yf(x)相交于C(c,f(c))，其中acb.试证：至少存在一点(a,b)，使得f()=0.39.设f(x)，g(x)，h(x)在axb上连续，在(a,b)内可导，试证：

f(a)

g(a)

h(a)

至少存在一点(a,b)，使得f(b)

g(b)h(b)=0,并说明拉格朗日中值 f()g()h()

定理和柯西中值定理是它的特例.40.试证明函数ysgnx在x[1,1]上不存在原函数.41.设函数f(x)=nf(x)的不可导点的个数.（共12页）第9页

42.设f(x(0x

),求f(x).43.设xn1(n1,2,3,)，0x13，试说明数列xn的极限存在.x0

44.求函数f(x)=sin1

x21

x(2x)的间断点.2cosx

x0

45.求曲线

3的斜渐近线.（共12页）第10页

1

46.求数列nn的最小项.

50.求lim

x.x0

sin1

x

47.求limtan(tanx)sin(sinx)

x0tanxsinx

.48.设f(x)在[0,2]上连续，在（0,2)内有二阶导数，且lim

f(x)

x1(x1)2

1，

f(x)dxf(2)，试证：存在(0,2)，使得f()=(1+1)f().49.试证：若函数f(x)在点a处连续，则函数f+(x)=maxf(x),0与

f-(x)=minf(x),0在点a处都连续.（共12页）第11页

12页）第12页

（共