函数、极限、连续 易混淆概念总结

第一篇：函数、极限、连续 易混淆概念总结

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《高等数学》易混淆概念

一、函数、极限、连续

1.1 无界变量一定是无穷大量吗？

答：不一定是．

xXD 无界变量：设函数f(x)的定义域为D，如果存在正数M，使得f(x)M，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就成函数f(x)在X上无界；也就是说如果对于任何正数M，总存在x1X，使f(x1)M，那么函数f(x)在X上无界．

无穷大量：设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或x大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数（或正数X），只要x适合不等式0xx0（或xX），对应的函数值f(x)总满足不等式f(x)M，则称函数f(x)为当xx0（或x）时的无穷大．

注意相互关系: 无穷大变量一定是无界变量, 无界变量不一定是无穷大变量.根据以上叙述, 很容易举出无界变量不一定是无穷大变量的反例:

例1.1．fxx,gxx,xn，limfxlimx，即当 x时, x0,xnx

fx是无穷大量；对于gx, 当x时, gx的值总可以大于任何的正数M, 但是也总有可能等于0 gn0.所以当 x时, gx是无界变量但不是无穷大量.例1.2． 当 gx时, fxxsinx是无界变量, 不是无穷大量.1.2 当a0时，limf(x)a，可以推出limf(x)a成立；反之，若limf(x)a，x0x0x0

可以推出成立limf(x)a吗？当a0的时候呢？

x0

答：当a0时，反过来是不一定成立的．例如：若an则此时an的绝对值极限为1，而本身极限不存在．

1n为偶数,1n为奇数

当a0时，limf(x)alimf(x)a，并且对于任意的极限过程都是成立的．

x0

x0

1.3 设xnznyn，且lim(ynxn)0,则limzn一定存在吗？

n

n

答：不一定存在．

分析：若limxnlimyna0，由夹逼定理可得limzna0．取，n

n

n

xn(1)n,yn(1)n,zn(1)n，则xnznyn，且lim(ynxn)0，nnn

但limzn不存在．遇到此类问题一定要会用反例．

n

1.4 和函数的极限一定等于函数的极限和吗？答：不一定．

例1.3： lim（12n

...)22nn2n1nn2nnn12n

lim2lim2...lim2 nnn1nnn2nnnn00...00，对吗？显然不对．原因在于：错用了极限的运算法则中“和的极限等于极限的和”，这一法则只适用于有限项的和，不适用无限项的和．

正确答案：因为，12n12n

...... 222222

nnnnnnnnnnn1nn2nnn

12n22...2所以，nn1nn1nn1



n(n1)12nn(n1)

... 22222

2(nnn)nn1nn2nnn2(nn1)n(n1)n(n1)1

lim，故由夹逼准则得，n2(n2nn)n2(n2n1)2

lim（n

而，lim

12n1

...)

n2n1n2n2n2nn2

例1.4：求极限lim

1nn

...2

解答：因为，lim1nn

...lim

n



kn

n

k1

limf()xk

nnnk1

其中，f(x)xk所以，原式



n，













x cosdx

2

如何求此类函数的极限值呢？通常有两种方法：

①用“夹逼准则”，适当的“放大”和“缩小”所求的式子，求出其极限．如例1.3； ②用“定积分定义”，把所求的式子看做是某个函数在某个区间上的积分，利用积分求出其极限值．如例1.4．

1.5 函数乘积的极限等于各个函数极限的乘积吗？

答：不一定．只有当各个函数的极限都存在时，该命题才成立．

x2sin

例1.5：lim

x0

sinx

limx

x0

limsin0，对吗？ x0xlimx0x

这样做的错误在于limsin

x0

不存在，从而不能利用“函数乘积的极限等于极限的乘积”x

这一结论．正确的做法：

因为limxsin

x0

1sinx=0，（无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量）．而lim=1，所

x0xx

以，原函数极限为0.虽然结果一样，但是也要运用正确的求解方法求解．

1.6 含参数的数列极限中常见的问题.例1.6： lim

1e

n1，这样做对吗？ nxn1elim(1enx)

n

nx

lim(1enx)

这样做是不对的，错误在于，忽视了对参数取值范围的讨论.enx)1enxlim(1n

正确解答，当x0时, lim1.nxn1enxlim(1e)

n

当x0时, lim

1e

nnxnx1 nxn1elime(e1)

n

nx

limenx(enx1)

注：含参数数列或函数求极限时，注意对参数进行讨论．

1.7 如果函数极限不存在，那么极限一定是无穷大吗？答：不一定．

当xx0（或x）时的无穷大的函数f(x)，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．

x1

例1.7：函数f(x)0

x1

x0x0x0，当x0时f(x)的极限不存在．

1.8如果limf(x)0，那么是否有lim

xx0

xx0

？ f(x)

答：不一定．

x

例1.8：f(x)

0

x为有理数lim，则x

x0

x为无理数

f(x)0，但由于1

f(x)

在x0的任一

邻域的无理点均没有定义，故无法讨论

在x0的极限． f(x)

结论：如果limf(x)0，且f(x)在x0的某一去心邻域内满足f(x)0，则

xx0

xx0

li11

．反之，f(x)为无穷大，则为无穷小． f(x)f(x)

1.9 求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等，遇到间断点求极限要注意左右极限是否相等．

例1.9：求极限lime,lime

x

x0x

1x

解：limex,limex0，因而x时ex极限不存在．

x

x1x

lime0,lime，因而x0时e极限不存在．

x0

x0

1x1x

1.10 利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题．

tanxsinx

x0x3

tanxsinxxx

lim0解：lim33x0x0xx

例1.10：求极限lim

利用等价无穷小代换．这样计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的命题．

若~',~',则~''.考察这个命题，

limlimlim，当1时,这个命题是真命题；当

11

时,命题是假命题． 1





对于例1.10，因为，sinx,tanx,''x，lim所以，证明的结论是错误的．正确解答:

sinxlim1 x0x0tanx

x2x

tanxsinxtanx(1cosx)1.limlimlimx0x0x0x3x3x32

sin(x2sin 例1.11：求lim

x0x

sin(x2sin)x2sin

limlimxsin10 错误解答: lim

x0x0x0xxx

错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小代换：

11

sinx2sinx2sin,x0

xx

而根据无穷小的比较的定义，当x取所以不能用等价无穷小的代换．

正确解答：当x0时，111(nZ)时，sin(x2sin)和x2sin均为0，nxx

11sin(x2sin)x2sin

11x0(x0)sin(x2sin)x2sinx2，xxxx

所以，由夹逼准则知原函数极限为0．

sinx

xx

解：本题切忌将sinx用x等价代换，导致结果为1．

sinxsin

应该为：lim0.xx

例1.12：求极限lim

注意：

（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用．这时，一般可以用泰勒公式来求极限．

（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换．

1.11 函数连续性的判断

（1）设f(x)在xx0间断，g(x)在xx0连续，则f(x)g(x)在xx0间断．而

f(x)g(x),f2(x),f(x)在xx0可能连续．

0

例如，设f(x)

1

x0，g(x)sinx，则f(x)在x0间断，g(x)在x0连续，x0

f(x)g(x)f(x)sinx0在x0连续．

1

若设f(x)

1

x0，f(x)在x0间断，但f2(x)f(x)1在x0均连续． x0

（2）“f(x)在x0点连续”是“f(x)在x0点连续”的充分不必要条件．

xa”可得“如果limf(x)f(x0)，则分析：由“若limf(x)a，则limf（xx0

xx0xx0

xx0

limf(xfx(0)”，因此，f(x)在x0点连续，则f(x)在x0点连续．f(x)

在x0点连续并不能推出f(x)在x0点连续．

（3）(x)在xx0连续，f(u)在uu0(x0)连续，则f((x))在xx0连续．其余结论均不一定成立．

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第二篇：函数极限概念

一． 函数极限的概念

1.x趋于时函数的极限

设函数f定义在,上，类似于数列情形，我们研究当自变量x趋于+时，对应的函数值能否无线地接近于某个定数A.例如，对于函数fx=，从图象上可见，当无x限增大时，函数值无限地接近于x1

0；而对于函数gx=arctanx则当x趋于+时，函数值无限地接近于.2我们称这两个函数当x趋于+时有极限.一般地，当x趋于+时函数极限的精准定义如下：

定义1 设f为定义在,上的函数，A为定数。若对任给的0，存在正数M，使得当xM时有fxA，则称函数f当x趋于+时以A为极限，记作lim

fxA或f xAx.x

在定义1中正数M的作用与数列极限定义中的N相类似，表明x充分大的程度；但这里所考虑的是比M大的所有实数x，而不仅仅是正整数n。因此，当x时函数f以A为极限意味着：A的任意小邻域内必含有f在+的某邻域内的全部函数值.

第三篇：函数极限与连续

函数、极限与连续

一、基本题

1、函数f

xln6x的连续区间ax2x2x

12、设函数fx，若limfx0，且limfx存在，则 x1x1x12axb

a-1，b

41sin2x

3、limx2sin-2x0xx

4、n2x4/(√2-3)k

5、lim1e2，则k=-1xx

x2axb5，则a3，b-

46、设limx1x

17、设函数fx2xsinx1,gxkx，当x0时，fx~gx，则k

ex2x0

8、函数fx2x10x1的定义域R ；连续区间(-oo,1),(1,+oo)3x1x1

1xsinx

a9、函数fx1xsinbxx0x0在x0处连续，则a1，b1x010、函数fxe

1e11

x1x的间断点为x=0，类型是 跳跃间断点。

11、fx,yx2y2xycosx，则f0,1ft,1y12、fxy,xyx2y2，则fx,yy^2+x13、函数zln

2x2y2的定义域为 {(x,y)|1=0}

14、1e2xylim-12；x,y0,0x2y2exyx,y0,01x2y2x2y2lim

3-12；lim12xyx15、x0

y0

二、计算题

1、求下列极限

（1）0

0型：

1）limexex2x

x0xsin3x；=0

2）limexx

1x0x1e2x;=-1/

43）limtan3xln12x

x01cos2x;=-

34）limtanxsinx

x0xsin2x2;=1/4

（2）

型：

1）lnsin3x

xlim0lnsin2x=1

lim2n13n1

2）n2n3n=3

（3）型：

1）lim11

x0xex1=1/

22）lim

x111x1lnx=-1/2

3)xlimarccosx=π/3

4)xlimx=-1 x0y2

（4）0型：

1）limxarctanx=1x2

2)limx1tanx1x2=-π/2

（5）1型：

21）lim1xx3x2=e^(-6)

4x23x12）limx3x2

3)lim12xx0 =e^(-4)=e^(2/5)1sin5x

14)limcos=e^(-1/2)xx

（6）00型：1）limxsinx=1 x0x2

方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)

公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))

（7）型：1）limx20x

x1x=2

同上

2、已知：fxsin2xln13x2limfx，求fx x0x

f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+

2(方法：两边limf(x)x->0)

x2x3、求函数fx的间断点，并判定类型。2xx1驻点x=0,x=1,x=-

11）当x=0+时，f(x)=-1；当x=0-时，f(x)=1 跳跃间断点

2）当x=1时，f(x)=oo;第二类间断点

3）当x=-1时，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去间断点

sin2xx

4、设函数fxa

ln1bx1e2xx0x0在定义域内连续，求a与b x0

Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-

45、证明方程：x33x29x10在0,1内有唯一的实根。（存在性与唯一性）证明：

1）存在性：

令f(x)=x^3-3x^2-9x+1

f(0)=1>0;

f(1)=-10<0;

因为f(0).f(1)<0所以在（0,1）内存在一个实根

2）唯一性

f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

所以f(x)在(0,1)内为单调减函数

故x33x29x10在0,1内有唯一的实根。

第四篇：函数极限连续试题

····· ········密············································订·········线·································装·····系·····封················· ··················__ __：_ ：___： ___________名______________业_姓_____ _号_____ _：：___级_ ____别年专______学

· ·····密·········· ·············································卷···线·································阅·······封········································

函数 极限 连续试题

1.设f(x)

求

(1)f(x)的定义域;(2)12f[f(x)]2

;(3)lim

f(x)x0x

.2.试证明函数f(x)x3ex2

为R上的有界函数.3.求lim1nnln[(11n)(12

n)

(1nn)].4.设在平面区域D上函数f(x,y)对于变量x连续，对于变量y 的一阶偏导数有界，试证：f(x,y)在D上连续.（共12页）第1页

5.求lim（2x3x4x1

x03)x.1(1x)x

6.求lim[

x0e]x.7.设f(x)在[1,1]上连续，恒不为0，求x0

8.求lim(n!)n2

n

.9.设x

axb)2,试确定常数a和b的值.（共12页）第2页

10.设函数f(x)=limx2n1axb

n1x

2n连续，求常数a,b的值.11.若limsin6xxf(x)6f(xx0x30，求lim)

x0x2

.12.设lim

axsinx

x0c(c0),求常数a,b,c的值.xln(1t3)btdt

13.判断题：当x0时，x

1cost2

0t

是关于x的4阶无穷小量.114.设a为常数，且lim（ex

x0

2aarctan1

x)存在，求a的值，并计算极限.ex1

（共12页）第3页

215.设lim[

ln(1ex)x0

1a[x]]存在，且aN，求a的值，并计算极限.ln(1ex)

16.求n(a0).n

17.求limn2(a0,b0).

ln(1

f(x)

18.设lim)

x0

3x1

=5，求limf(x)x0x2.19.设f(x)为三次多项式，且xlim

f(x)f(x)f2ax2axlim4ax4a1，求xlim(x)

3ax3a的值.（共12页）第4页

24.设连续函数f(x)在[1,)上是正的，单调递减的，且

dnf(k)f(x)dx，试证明：数列dn收敛.n

n

20.设x1,求lim(1x)(1x2)(1x4n

n)

(1x2).21.试证明：(1)（1n1111+n)1





为递减数列；(2)n1ln(1n)n,n1,2,3,.limnn

22.求n3nn!

.23.已知数列：a1

112，a222，a32，22

a42

12

1的极限存在，求此极限.22

（共12页）第5页

k1

25.设数列xn，x0a，x1b，求limn

xn.26.求lima2n

n1a2n

.28.求limx

.x1

n2

(xn1xn2)(n2)，（共12页）第6页

29.设函数f(x)是周期为T(T0)的连续函数，且f(x)0,试证：

xlim1xx0f(t)dt1TT0f(t)dt.30.求lim1

1n0

x.en

(1x)n

n

31.设lim（1x)x

tetxx

dt，求的值.32.判断函数f(x)limxn1

nxn1的连续性.33.判断函数f(x.（共12页）第7页

34.设f(x)为二次连续可微函数，f(0)=0，定义函数

g(x)

f(0)当x0，试证：g(x)f(x)

x当x0连续可微.35.设f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)，对x(a,b)，g(x)lim

f(xt)f(xt)

t0

t

存在，试证：存在c(a,b),使g(c)0.36.若f(x)为[a,b]上定义的连续函数，如果b

a[f(x)]2dx0，试证：

f(x)0(axb).37.设函数f(x)在x=0处连续，且lim

f(2x)f(x)

x0

x

A，试证：f(0)=A.（共12页）第8页

38.设f(x)在[a,b]上二阶可导，过点A(a,f(a))与B(b,f(b))的直线与曲线

yf(x)相交于C(c,f(c))，其中acb.试证：至少存在一点(a,b)，使得f()=0.39.设f(x)，g(x)，h(x)在axb上连续，在(a,b)内可导，试证：

f(a)

g(a)

h(a)

至少存在一点(a,b)，使得f(b)

g(b)h(b)=0,并说明拉格朗日中值 f()g()h()

定理和柯西中值定理是它的特例.40.试证明函数ysgnx在x[1,1]上不存在原函数.41.设函数f(x)=nf(x)的不可导点的个数.（共12页）第9页

42.设f(x(0x

),求f(x).43.设xn1(n1,2,3,)，0x13，试说明数列xn的极限存在.x0

44.求函数f(x)=sin1

x21

x(2x)的间断点.2cosx

x0

45.求曲线

3的斜渐近线.（共12页）第10页

1

46.求数列nn的最小项.

50.求lim

x.x0

sin1

x

47.求limtan(tanx)sin(sinx)

x0tanxsinx

.48.设f(x)在[0,2]上连续，在（0,2)内有二阶导数，且lim

f(x)

x1(x1)2

1，

f(x)dxf(2)，试证：存在(0,2)，使得f()=(1+1)f().49.试证：若函数f(x)在点a处连续，则函数f+(x)=maxf(x),0与

f-(x)=minf(x),0在点a处都连续.（共12页）第11页

12页）第12页

（共

第五篇：易混淆概念---定义

旅游景点（景点）（通俗意义-可大可小）

即国标《旅游区（点）质量等级的划分与评定》的旅游区（点）

专为供来访参观、游乐和增长知识而设立和管理的长久性休闲活动场所。

专用性-大学校园

长久性-会展

可控性-管理收费或公益

旅游区：

风景名胜区：--建设部

《风景名胜区条例》

http://baike.baidu.com/view/529994.htm 本条例所称风景名胜区，是指具有观赏、文化或者科学价值，自然景观、人文景观比较集中，环境优美，可供人们游览或者进行科学、文化活动的区域。

第三条 国家对风景名胜区实行科学规划、统一管理、严格保护、永续利用的原则。第五条

国务院建设主管部门负责全国风景名胜区的监督管理工作。国务院其他有关部门按照国务院规定的职责分工，负责风景名胜区的有关监督管理工作。

省、自治区人民政府建设主管部门和直辖市人民政府风景名胜区主管部门，负责本行政区域内风景名胜区的监督管理工作。省、自治区、直辖市人民政府其他有关部门按照规定的职责分工，负责风景名胜区的有关监督管理工作。

第八条 风景名胜区划分为国家级风景名胜区和省级风景名胜区。

第十条 设立国家级风景名胜区，由省、自治区、直辖市人民政府提出申请，国务院建设主管部门会同国务院环境保护主管部门、林业主管部门、文物主管部门等有关部门组织论证，提出审查意见，报国务院批准公布。

设立省级风景名胜区，由县级人民政府提出申请，省、自治区人民政府建设主管部门或者直辖市人民政府风景名胜区主管部门，会同其他有关部门组织论证，提出审查意见，报省、自治区、直辖市人民政府批准公布。

观光旅游

体验游

旅游规划通则：