第十四讲多元函数的极限与连续

第一篇：第十四讲多元函数的极限与连续

第十四讲多元函数的极限与连续.1 多元函数极限与连续的基本概念

对多元函数的研究，主要以二元函数为代表，对多于两个变元的函数，基本上与二元函数相似．要讨论二元函数，就要涉及它所定义的平面点集问题，这正如要讨论一元函数就要研究实数点集一样．

一、关于平面点集．点 P0x0,y0的邻域

对0，称点集x,y|xx0,yy0为P0点的方形邻域；称点集

．通称为P0点的邻域，xx02yy022为P0点的圆形邻域（它们是等价的）记作P0;，简记为P0，空心邻域记为 0P0.2 ．点与点集之关系 PR2为一定点，ER2为一点集．

(1）内点：若0，使 P;E，则称P为 E 的内点． E 的所有内点所成之集称为 E 的内部，记为 intE.(2）外点：若0，使 P;E，则称P为 E 的外点．

CC(3）界点：若0，有 P;E，且P;E（其中厂为E的余集），则称P为 E 的边界点，简称为界点． E 的所有界点所成之集称为 E 的边界，记为E

0(4）聚点：若 0，有P;E，则称P为 E 的聚点． E 的所有聚点所

'成之集称为 E 的导集，记为E．

0(5）孤立点：若PE，且0，使P;E，则称P为 E 的孤立点． ．一些重要的平面点集

(1）开集：若intEE，则称 E 为开集．

(2）闭集：若EE，则称 E 为闭集，(3）连通集：若 E 内任意两点之间都可用一条完全含于 E 内的有限折线相连接，则称 E 为连通集．

(4）开域：连通的开集称为开域．

(5）闭域：开域连同其边界所成点集称为闭域．

(6）区域：开域、闭域或开域连同它的部分边界所成的点集通称为区域．

(7）有界集：若r0，使得EO,r(O 为坐标原点），则称 E 为有界集． '（8）无界集：若 r0，使得EO,r(O 为坐标原点），则称 E 为无界集．

(9）点集的直径：dEsupP,Q（其中 p 表示距离）

O,QE4.R的完备性．

与实数的完备性一样，R也是完备的．刻画实数完备性的定理也可推广到R中来．(l）点列的极限：设Pnxn,ynR2，为一点列，P0x0,y0R2 为一定点，若对 当 n > N 时，恒有Pn,P0，则称Pn收敛于P0，记为limPnP0 0,N0，n222注：limPnP0limxnx0,limyny0．

nnn(2）柯西准则：点列Pn收敛对 0,N0，当n , m > N 时，恒有Pn,Pm·

(3）闭域套定理：设Dn是R中的闭域列，满足：

2① DnDn1,n1,2,...；

②limdn0dndDn;

n则存在唯一的点P0Dn,n1,2,...(4）聚点定理：设 E 为有界无穷点集，则必有聚点． 推论：有界无穷点列必有收敛子列．

(5）有限覆盖定理：设 D 为有界闭域，Ha|a,aI为开域｝，若 H 覆盖了 D，则必有有限个开域覆盖了 D , 即iD.i1n例 14.1 设ER为一点集，Axa,ya为 E 的内点，Bxb,yb为 E 的外点，证明：2连接 A , B 的直线段必与 E 的边界E 至少有一个交点．

证明：记xaxbl1,yaybl2．取线段 AB 的中点 C xc,yc，若CE，则结论已成立．否则 A 与 C 或 B 与 C 必有一对是一内一外的．将它们记为A1x1,y1，bb．则显然：

B1x1,y1aa① x1,x1xa,xb,y1,y1ya,yb； ababb② x1x1al1al,y1y1b2． 22重复以上步骤，若有某次取的中点CnE，则证明结束，否则这一过程一直进行下去，aa得到两个点列Anxn,yn , Bx,y满足：

nbnbnabababab① xn,2,... 1,xn1xn,xn,yn1,yn1yn,ynn1② xnxnabl1l2ab,yy nn2n2nabab由实数的闭区间套定理必存在唯一的x0xn,xn,y0yn,yn,n1,2,...,下证

P0x0,y0E．事实上，假设不是如此，则P0要么属于 E 的内部，要么属于 E 的外部，不妨设它属于 E 的内部，由开集的定义，0，使得P0;E由区间套定理，aa对上述的,N0，当 n > N 时，Anxn,ynP;,Bx,yP;，此

0nbnbn0与我们的取法矛盾，即必有P0x0,y0E 二、二元函数及极限

（一）二元函数．二元函数定义

若厂是从DR到实数集R上的一个映射，则称f是一个二元函数，D 为f的定义域，2fDR 是其值域．记为zfx,y,x,yD..n 元函数定义

若f是DR到实数集R上的一个映射，则称 f 是一个 n 元函数，D 为f的定义域，2fDR是其值域．记为yfx1,x2,...,xn,x1,x2,...,xnD.k 一次齐次函数

若函数uftx1,tx2,...,txntkfx1,x2,...,xn则称f为k一次齐次函数。如

xfx,yx2y2xytan是2一次齐次函数

y

（二）二元函数的极限．二重极限

(l）定义：设f定义在DR上的二元函数，P0为 D 的聚点，A是一个定常数，若对

20,0，使当 P0P0;D 时，有fPA，则称 f 在 D上当

PP0时，以A为极限，记为limfPA

PP0注：若Px,yP0x0,y0，则极限用坐标表示为：若P0x0,y0为 D 的聚点，对0,0，当xx0,yy0，且x,yx0,y0时，恒有

fx,yA 记为(2）充要条件： ①

②x,yx0,y0limfx,yA

PP0PP0PDlimfPAlimfPA,ED

nPP0PDlimfPA对PnD,且PnP0有limfPnA

(3）极限不存在（特殊路径法）：存在E1,E2D，且P0是它们的聚点，若

PP0PE1limfPA1,PP0PE2limfPA2

且A1A2，则limfP不存在．

PP0例 14.2

当x,y0,0时，证明：（1）fx,yxsin11ysin极限为0 yx（2）fx,yxy极限不存在．

x2y21,0yx2x,yR2极限不存在．（3）fx,y0,其余证明：（1）对0，取20，当x,y时，恒有

fx,y0xsin即11ysinxy yxx,y0,0limfx,y0

（2）当沿着x轴（即y0）让动点x,y0,0时，xy0，当沿着

x,y0,0x2y2lim直线xy让动点x,y0,0时，1xy10，所以 ，而

x,y0,0x2y222limxy不存在。

x,y0,0x2y2lim(3）沿任何通过原点的直线ykx，让动点x,y0,0时，函数的极限都存在．且为 0.事实上，当y0时，f0，结论显然成立；当 y > 0 时，不妨设 k > 0（因为 k < o 充分小时（这一点总可以实现．因为x0），必有ykxx2，此时fx,kx0，x,y0,0limfx,ylimfx,kx0，即恒有

x0limfx,kx0

x0但是

x,y0,0limfx,y还是小存在，事头上，当沿着路径y12x，让动点x,y0,0 2x,y0,0limfx,y10

注：这个例子说明，当判断二元函数在某点处极限是否存在时，即使沿通过该点的所有直线趋于该点时的极限都存在且相等，还不能确定该点的极限存在．．二次极限（也叫累次极限）

(l）定义：形如limlimfx,y和limlimfx,y的极限，分别称为先x 后 y 和先 y 后yy0xx0xx0yy0x的二次极限．

注：两二次极限若都存在，可未必相等；也可以一个存在，另一个不存在． 例 14.3

考查下来函数的两个累次极限：

xyx2y2(1)fx,y在0,0点；

xy(2)fx,yxsin11和gx,yysin在0,0点；

xy(3)fx,yxy 22xyx2xy2y

1解：（1）limlimfx,ylim1，但limlimfx,ylimx0y0y0y0x0y0xy(2)limlimfx,ylimlimxsiny0x0y0x0110,但limlimxsin不存在

x0y0yy11limlimgx,ylimlimysin不存在，但limlimysin0 y0x0y0x0x0y0xx(3)limlimfx,ylimlimy0x0y0x0xy0limlimfx,y

22x0y0xy(2）二重极限与二次极限的关系：

① 无蕴含关系：即二重极限存在，两个二次极限未必存在，如例 14.2(l）和例 14.3(2)；两二次极限存在且相等，二重极限未必存在，如例 14.2(2）和例 14.3(3).② 有联系：若二重极限与二次极限都存在，它们必相等． 证明：设x,yx0,y0limfx,y与limlimfx,y都存在，记

xx0yy0x,yx0,y0limfx,yA，则对

0,10,当xx01,yy01且x,yx0,y0时，恒有fx,yAyy0yy02

对于固定的x,x0x0,1由于limfx,y极限存在，记为limfx,yx，所以

01，当0yy0时，有

fx,yx当0xx0,0yy0时，有

2

xAxfx,yfx,yA即x,yx0,y022

limfx,yA.同理，当另一个二次极限与二重极限都存在时，它们也相等，所以得到了判定二重极限存在的又一种方法：若两个二次极限都存在，但不相等，则二重极限必不存在．如例 14.3(1）中的函数在原点处，二重极限必不存在．

注：已经知道，对一元函数，其极限类型共有 24 种，对二元函数，极限类型更多，没必要再一一指出，下面仅通过一个例子稍加说明． 例 14.4

写出下列类型极限的精确定义：(l)(3)x,yx0,x,y,y0limfx,yA（2）

x,y,x,yx0,limfx,yA fx,y． limfx,y（4）

lim解：(l）对0，0及 M > O，当0xx0,yM时，恒有

fx,yA

(2）对0，M0，当xM,yM 时，恒有

fx,yA

(3）对M0,G0，及0，当xG,0yy0时，恒有

fx,yM

(4）对M0,G0及0，当0xx0,yM时，恒有

fx,yM

例 14.5

给出符合下列条件的函数的例子：当x,y时：

(1）两个二次极限存在，但二重极限不存在；(2）两个二次极限不存在，但二重极限存在；

(3）重极限与二次极限都不存在；

(4）重极限与一个二次极限存在，另一个二次极限不存在． 解：(1)fx,yxy，二次极限 limlimfx,y0limlimfx,y，但二22xyyxxy重极限不存在：当沿着yx与y2x两条路径趋于时它们的极限不等．

(2)fx,y11sinysinx，符合要求（验证略）xy(3)fx,yxy，符合要求（验证略）(4)fx,y1siny，符合要求（验证略）.x3 ．二重极限的求法

(l）用定义；

(2）用一元函数的方法，如特殊极限法、迫敛法则等；

xrcos(3）对x,y0,0类型的极。良，求极限日寸可作极坐标代换化为r0

yrsin的一元函数的极限，进而可以用洛必达法则等（注意，从例 14.2(3）可知，只有在极限存在时，才可以用此法）.例 14.6

求下列极限：

sinxyx2yx2y2lim(l）lim；(2）；(3）·

limx,y0,1xx,y0,0x2y2x,y,x4y4解：(l)（用定义）对0，取0，当 0x,0y时，恒有

x2yx2y2y 22xyxx2y即lim0 x,y0,0x2y2注：也可以用转化为极坐标的方法．

(2)（用定义）0，取M20，当xM,yM时，恒有

x2y2x2y211

x4y4x4y4x4y4x2y222x2y2即 lim0

x,y,x4y4(3)

sinxysinxylimy1 x,y0,1xx,y0,1xylim三、二元函数的连续性

（一）在一点的连续性．定义

(1）定义：设 f 的定义域为DR，P0x0,y0D，若

2x,yx0,y0limfx,yfx0,y0，则称f在P0点连续．

2(2)(语言）：设 f 的定义域为DR，P0x0,y0D，若对0，0，当x,yD且xx0,yy0时，恒有fx,yfx0,y0，则称 f 在P0点连续．

注：若P0x0,y0为 D 的孤立点，则 f 在P0点必连续．这是因为在P0的某邻域内属于f定义域的点仅有P0一个点，此时，fx,yfx0,y0fx0,y0fx0,y00(3)（用增量语言）：记

xxx0,yyy0,ffx,yfx0,y0（称为函数的全增量）;

xffx,y0fx0,y0,yffx0,yfx0,y0（分别称为关于x和 y 的偏增量）;则当

x,y0,0limf0时，称 f 在P0x0,y0点连续． ．间断点

使得 f 不连纹的点．叫f的间断点．特别若

x,yx0,y0limfx,yAfx0,y0

或 f 在点P0无定义时．称P0为可去间断点． 3 ．在P0x0,y0点关于两个变元分别连续

若limx,y0fx0,y0，则称fx,y在P0点关于x是连续的．

xx0若limfx0,yfx0,y0，则称fx,y在P0点关于 y 是连续的．

yy04 ．连续（或称为关于两变元（x , y）的整体连续）与分别连续的关系(1）连续分别连续：结论是显然的，因为若

x,y0,0limf0，则必有

x0limxf0，和limyf0·

y0(2）分别连续未必连续：例如，fx,y1,xy0在原点处显然不连续，但由于

0,xy0f0,yfx,00，因此，在原点处 f 对二和 y 是分别连续的．

注：若函数 f 关于各变量是分别连续的，再附加些什么条件可使其连续呢？这个问题在.2 节讨论． ．在一点连续的性质 同一元函数．

（二）在区域上的连续性．定义

若函数fx,y在区域 D 上每一点都连续，则称f在区域 D上连续． 2 ．有界闭域上连续函数的性质

(1）取最大（小）值性：若函数fx,y在有界闭域 D 上连续，则函数在 D上必可取到最大值和最小值．

(2）有界性：若函数fx,y在有界闭域 D 上连续．则函数在 D 上必有界．

(3）介值定理：若函数fx,y在区域 D 卜连续，P1,P2为 D 中任意两点．若

fP1fP2，则对任何满足不等式fP1ufP2的实数u．必存在P0D 使得

fP0

(4）一致连续性：若函数fx,y在有界闭域D上连续．则必致连续．

注： ① 二元函数fx,y在区域 D 卜致连续定义：对0,0，对x1,y1 , x2,y2D，当x1x2,y1y2时，恒有fx1,y1fx2,y2．

② 二元函数在区域 D 上不一致连续定义：对0,x1,y1,x2,y2D．虽00，然x1x2,y1y2，但是fx1,y1fx2,y20． 例 14.7

证明函数fx,y1在D0,10,1上连续，但不一致连续．

1xy1的定义域，而初等函数在定义域上都是连续 1xy证明：因为 D 属于初等函数fx,y的．下证它不一致连续：取010，对001，取x1y11； 82x2y21，则x1,y1,x2,y2D，且x1x22,y1y22但是

fx1,y1fx2,y21即fx,y241223114111 02881 在D0,10,1上不一致连续． 1xy

第二篇：第十六章 多元函数的极限与连续

第十六章 多元函数的极限与连续(1 0 时)§1平面点集与多元函数(3 时)

一.平面点集:平面点集的表示: E{(x,y)|(x,y)满足的条件}.1.常见平面点集:

⑴ 全平面和半平面: {(x,y)|x0}, {(x,y)|x0}, {(x,y)|xa}, {(x,y)|yaxb}等.⑵矩形域: [a,b][c,d], {(x,y)|x||y|1}.⑶圆域: 开圆, 闭圆, 圆环.圆的个部分.极坐标表示, 特别是

{(r,)|r2acos}和{(r,)|r2asin}.⑷角域: {(r,)|}.⑸简单域:X型域和Y型域.2.邻域:圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集

{(x,y)|0|xx0| ,0|yy0|}的区别.二.点集的基本概念:

1.内点、外点和界点：集合E的全体内点集表示为intE, 边界表示为E.集合的内点E, 外点E, 界点不定.2.聚点和孤立点: 孤立点必为界点.例1 确定集E{(x,y)|

3.开集和闭集: 1(x1)2(y2)24 }的内点、外点集、边界和聚点.intEE时称E为开集,E的聚点集E时称E为闭集.存在非开非闭集.R2和空集为既开又闭集.4.开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域.5.有界集与无界集:

6.点集的直径d(E)：两点的距离(P1 , P2).7.三角不等式：

5|x1x2|（或|y1y2|）(x1x2)2(y1y2)2 |x1x2||y1y2|.三.点列的极限:设Pn(xn , yn),P0(x0 , y0).定义limPnP0的定义(用邻域语言).n

例2(xn , yn)(x0 , y0)xnx0,yny0,(n).例3 设P0为点集E的一个聚点.则存在E中的点列{ Pn }, 使limPnP0.n

四.R2中的完备性定理:

1.Cauchy收敛准则:

先证{(xn , yn)}为Cauchy列{ xn}和{ yn}均为Cauchy列.2.闭集套定理:[1]P89.3.聚点原理: Weierstrass聚点原理，列紧性.4.有限复盖定理:

五.二元函数:

1.二元函数的定义、记法、图象：

2.定义域：

例4 求定义域：

ⅰ>f(x,y)

3.有界函数:

4.n元函数:

Ex[1]P92—931—8.9x2y2x2y21;ⅱ>f(x,y)lny.2ln(yx1)

§2二元函数的极限(3 时)

一.二元函数的极限:

1.二重极限limf(P)A的定义:也可记为PP0PD(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A或

xx0yy0limf(x,y)A

146

例1 用“”定义验证极限(x,y)(2,1)lim(x2xyy2)7.[1]P94 E1.xy

20.例2 用“”定义验证极限 lim2x0xy2

y0

x2y2,(x,y)(0,0),xy22例3 设f(x,y)xy

0 ,(x,y)(0,0).

证明(x,y)(0,0)limf(x,y)0.(用极坐标变换)[1]P94 E2.PP0PETh 1 limf(P)A对D的每一个子集E ,只要点P0是E的聚点,就有limf(P)A.PP0PD

推论1 设E1D,P0是E1的聚点.若极限limf(P)不存在, 则极限limf(P)也不存在.PP0PE1PP0PD

推论2 设E1,E2D,P0是E1和E2的聚点.若存在极限limf(P)A1,limf(P)A2, PP0PE1PP0PE2

但A1A2,则极限limf(P)不存在.PP0PD

推论3 极限limf(P)存在对D内任一点列{ Pn },PnP0但PnP0,数列{f(Pn)}PP0PD

收敛.2方向极限:

方向极限limf(x0cos ,y0sin)A的定义.0

通常为证明极限limf(P)不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两PP0

个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关;或沿两条特殊的路径的极限存在而不

相等.但应注意, 沿任何方向的极限存在且相等  二重极限存在(以下例5).xy,(x,y)(0,0),22f(x,y)不存在.例4 设f(x,y)xy 证明极限lim(x,y)(0,0)0 ,(x,y)(0,0).

(考虑沿直线ykx的方向极限).[1]P95 E3.例5 设f(x,y)1,0,当0yx2,x时，其余部分.证明极限(x,y)(0,0)limf(x,y)不

存在.[1]P95 E4.147

二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限:

ⅰ>(x,y)(0,0)limx2ysinxylim;ⅱ>;(x,y)(3,0)yx2y2

xy11ln(1x2y2);ⅳ>lim.22(x,y)(0,0)xyxy

f(x,y)的定义:ⅲ>(x,y)(0,0)lim3． 极限(x,y)(x0,y0)lim

其他类型的非正常极限，(x,y)无穷远点的情况.例7验证(x,y)(0,0)lim1.222x3y

Ex[1]P99—1001⑴—⑹，4，5.二.累次极限:

1.累次极限的定义: 定义.例8 设f(x,y)xy, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.[1]P97 E6.22xy

x2y2

例9 设f(x,y)2, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.2xy

例10 设f(x,y)xsin11ysin, 求在点(0 , 0)的两个累次极限与二重极限.yx

2.二重极限与累次极限的关系:

⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等.(例9)

⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数f(x,y)xsin

1y

在点(0 , 0)的情况.⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在.(例10)

⑷ 两个累次极限存在(甚至相等)二重极限存在.(参阅例4和例8).综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.148

Th 2 若全面极限(x,y)(x0,y0)limf(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在,则xx0yy0

必相等.(证)[1]P98.推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时, 三者相等.注: 推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时, 全面极限不存在.注: 两个累次极限中一个存在,另一个不存在全面极限不存在.参阅⑵的例.Ex[1]P99

2§3二元函数的连续性(2 时)

一． 二元函数的连续概念：由一元函数连续概念引入.1.连续的定义:

定义 用邻域语言定义连续.注: 函数f(x,y)有定义的孤立点必为连续点.xy

例1 设f(x,y)22 ,x2y20 ,xy

m

1m2 ,x2y20.证明函数f(x,y)在点(0 , 0)沿方向ymx连续.例1 设f(x,y)1 ,0yx2,x ,0 ,其他.([1]P101)



证明函数f(x,y)在点(0 , 0)不全面连续但在点(0 , 0)f对x和y分别连续.2.函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性.3.函数在区域上的连续性.4.连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性.(仅证复合函数连续性[1]P102).二.一致连续性:定义.三.有界闭区域上连续函数的性质:

1.有界性与最值性.(证)

2.一致连续性.(证)

3.介值性与零点定理.(证)

149

Ex[1]P104—1051 ⑴—⑸，2，4，5.150

第三篇：多元函数的极限与连续

数学分析

第16章

多元函数的极限与连续

计划课时：

0 时

第16章

多元函数的极限与连续(1 0 时)

§ 1

平面点集与多元函数

一.平面点集:平面点集的表示: E{(x,y)|(x,y)满足的条件}.余集Ec.1.常见平面点集:

⑴

全平面和半平面 : {(x,y)|x0}, {(x,y)|x0}, {(x,y)|xa}，{(x,y)|yaxb}等.⑵ 矩形域: [a,b][c,d], {(x,y)|x||y|1}.⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分.极坐标表示, 特别是 {(r,)|r2acos}和{(r,)|r2asin}.⑷ 角域: {(r,)|}.⑸ 简单域: X型域和Y型域.2.邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集

{(x,y)|0|xx0| , 0|yy0|}的区别.3． 点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:

（1）内点、外点和界点：

内点：存在U(A)使U(A)E

集合E的全体内点集表示为intE,.外点：存在U(A)使U(A)E

界点：A的任何邻域内既有E的点也有不属于E的点。E的边界表示为E

集合的内点E, 外点E , 界点不定.例1 确定集E{(x,y)|0(x1)(y2)1 }的内点、外点集和边界.例2 E{(x,y)|0yD(x), x[ 0 , 1 ] } , D(x)为Dirichlet函数.确定集E的内点、外点和界点集.（2）(以凝聚程度分为)聚点和孤立点:

聚点：A的任何邻域内必有属于E的点。

孤立点：AE但不是聚点。孤立点必为界点.例3 E{(x,y)|ysin }.确定集E的聚点集.解

E的聚点集E[ 1 , 1 ].221x 2 4．区域：

（1）(以包含不包含边界分为)开集和闭集: intE E时称E为开集 , E的聚点集E时称E为闭集.intE 存在非开非闭集.（3）有界集与无界集:

（4）

点集的直径d(E)： 两点的距离(P1 , P2).（5）

三角不等式：

|x1x2|（或|y1y2|）或(P1,P2)R2和空集为既开又闭集.（2）(以连通性分为)开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域.(x1x2)2(y1y2)2 |x1x2||y1y2|.(P1,P3)(P2,P3)

二.R2中的完备性定理:

1． 点列的极限:

设Pn(xn , yn)R2, P0(x0 , y0)R2.PnP0的定义(用邻域语言)

定义1。

limn0,N,nNPnU(P0,)或(P0,Pn)

例4(xn , yn)(x0 , y0)xnx0, yny0,(n).例5 设P0为点集E的一个聚点.则存在E中的点列{ Pn }, 使limPnP0.n

2．R2中的完备性定理：

（1）Cauchy收敛准则:

.（2）.闭域套定理:（3）.聚点原理: 列紧性 ，Weierstrass聚点原理.（4）有限复盖定理:

三．二元函数:

1.二元函数的定义、记法、图象：

2.定义域： 例6 求定义域：

ⅰ> f(x,y)3.二元函数求值: 例7 例8 9x2y2x2y21;ⅱ> f(x,y)lny.2ln(yx1)yf(x,y)2x3y2, 求 f(1 , 1), f(1 ,).xf(x,y)ln(1x2y2), 求f(cos , sin).4.三种特殊函数: ⑴ 变量对称函数: f(x,y)f(y,x),例8中的函数变量对称.⑵ 变量分离型函数: f(x,y)(x)(y).例如

zxye2x3y, zxy2xy2, f(x,y)(xyy)(xyx)等.(xy)2 4 但函数zxy不是变量分离型函数.⑶ 具有奇、偶性的函数

四．n元函数

二元函数 推广维空间 记作R n

作业 P9—8.§ 2 二元函数的极限

一.二重极限

二重极限亦称为全面极限

1.二重极限

定义1 设f为定义在DR上的二元函数，P0为D的一个聚点，A是确定数 若 0,0,或

2PU0(P0,)D,f(P)A则limf(P)A

PP0(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A

例1 用“”定义验证极限

(x,y)(2,1)lim(x2xyy2)7.xy20.例2 用“”定义验证极限 lim2x0xy2y0例3 x2y2,(x,y)(0,0),xyf(x,y)x2y2

0 ,(x,y)(0,0).f(x,y)0.(用极坐标变换)

P94 E2.证明

(x,y)(0,0)lim2.归结原则：

定理 1

limf(P)A, 

对D的每一个子集E , 只要点P0是E的聚点 , PP0PD就有limf(P)A.PP0PE

推论1

设E1D, P0是E1的聚点.若极限limf(P)不存在 , 则极限limf(P)也不存在.PP0PE1PP0PD

推论2

设E1,E2D, P0是E1和E2的聚点.若存在极限limf(P)A1，PP0PE1PP0PE2limf(P)A2, 但A1A2, 则极限limf(P)不存在.PP0PDPP0PD

推论3

极限limf(P)存在,  对D内任一点列{ Pn }, PnP0但PnP0, 数列{f(Pn)}收敛.通常为证明极限limf(P)不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限PP0不相等, 或证明极限与方向有关.但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等  全面极限存在

例4 xy ,(x,y)(0,0), 证明极限limf(x,y)不存在.f(x,y)x2y2(x,y)(0,0)0 ,(x,y)(0,0).6 例二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限: ⅰ>

(x,y)(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)(3,0)yx2y2 ⅲ>

3．极限(x,y)(0,0)limxy11ln(1x2y2);ⅳ> lim.22(x,y)(0,0)xyxy(x,y)(x0,y0)limf(x,y)的定义:

2定义2．设f为定义在DR上的二元函数，P0为D的一个聚点，若 M0,0,或

PU0(P0,)D,f(P)M则limf(P)

PP0(x,y)(x0,y0)limf(x,y)

其他类型的非正常极限，(x,y)无穷远点的情况.例7 验证(x,y)(0,0)lim1.222x3y二.累次极限

二次极限

1.累次极限的定义:

定义3．设Ex,EyR,x0,y0分别是Ex,Ey的聚点，二元函数f在集合ExEy上有定义。若对每一个yEyyy0存在极限limf(x,y)

记作(y)limf(x,y)

xx0xExx0xE若Llim(y)存在，则称此极限为二元函数f先对x后对y的累次极限

yy0yEy记作Llimlim(y)

简记Llimlim(y)

yy0xx0yEyxExyy0xx0例8 f(x,y)xy, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.x2y2 7 例9 x2y2, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.f(x,y)22xy11ysin, 求在点(0 , 0)的两个累次极限.yx例10 f(x,y)xsin2.二重极限与累次极限的关系:

⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等.(例9)⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数f(x,y)xsin1在点(0 , 0)的情况.y

⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在.例如例10中的函数, 由 , y)(0,0).可见全面极限存在 , 但两个累次极限均不存在.|f(x,y)|  |x||y|0 ,(x

⑷ 两个累次极限存在(甚至相等)

二重极限存在.(参阅例4和例8).综上 , 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.定理2 若二重极限

推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时 , 三者相等.推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时 , 二重极限不存在.但两个累次极限中一个存在 , 另一个不存在 

二重极限不存在.参阅⑵的例.(x,y)(x0,y0)limf(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在 , 则必相等.xx0yy0

作业提示: P99 1、2、4

§ 3 二元函数的连续性(4 时)

一． 二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入.1.连续的定义:

定义

用邻域语言定义相对连续.全面连续.函数f(x,y)有定义的孤立点必为连续点.例1 xy22 , xy0 ,22xy

f(x,y)m , x2y20.1m2证明函数f(x,y)在点(0 , 0)沿方向ymx连续.1 , 0yx2, x ,例2

f(x,y)

([1]P124 E4)0 , 其他.证明函数f(x,y)在点(0 , 0)沿任何方向都连续 , 但并不全面连续.函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性.函数在区域上的连续性.2.二元连续(即全面连续)和单元连续 :

定义

(单元连续)

二元连续与单元连续的关系: 参阅[1]P132 图16—9.3.连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性.仅证复合函数连续性.二.二元初等函数及其连续性:

二元初等函数 , 二元初等函数的连续性.三.一致连续性: 定义.四.有界闭区域上连续函数的性质:

1.有界性与最值性.(证)

2.一致连续性.(证)

3.介值性与零点定理.(证)

Ex

[1]P136—137 1 ⑴—⑸，2，4，5；

P137—138

1，4.10

第四篇：多元函数的极限与连续

多元函数的极限

1.求下列极限：

x2y111)lim(4x3y)；

2）lim(xy)sinsin；

3）lim2.2x0x2x0xyxyy0y1y02

2.证明：若f(x，y)

xy，(xy0)，求 limlimf(x，y)与limlimf(x，y).x0y0y0x0xyx4y43.设函数f(x，y)4，证明：当点(x，y)沿通过原点的任意直线(ymx)趋于（0,0）时，函数f(x，y)23(xy)存在极限，且极限相等.但是，此函数在原点不存在极限.x2y22D(x，y)yx4.若将函数f(x，y)2限制在区域，则函数f(x，y)在原点（0，0）存在极限.2xy

5.求下列极限： 1）lim

3）lim(xy)In(xy)；

4）limx0y022xysinxy；

2）； limx1x2xyy2x0xy2y4(14x2)(16y2)12x23y2x0y0.

第五篇：第十六章多元函数的极限与连续

第十六章 多元函数的极限与连续

§1平面点集与多元函数

1、判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并区分它们的聚点与界点？分析：由定义结合图形直接得。

(1)[a,b)[c,d)解：是有界集，区域，聚点：E={(x,y)|(x,y)[a,b][c,d]}界点：E={(x,y)|(a,y),(b,y),cyd或(x,c),(x,d),axb}(2){(x,y)|xy0}解：是开集，聚点：E=R2,界点：{(x,y)|xy=0}(3){(x,y)|xy=0}解：是闭集，聚点：E={(x,y)|xy=0}(4){(x,y)|y>x2}解：是开集，区域，聚点：E{(x,y)|yx2}，界点集：{(x,y)|y=x2}(5){(x,y)|x2,y2,xy2}解：是开集，有界集，区域，聚点：E{(x,y)|x2,y2,xy2}界点集：{(x,y)|x2,0y2}{(x,y)|y2,0x2}{(x,y)|xy2,0x2}(6){(x,y)|x2y21,y0,0x1}解：是闭集，有界点集，聚点：E{(x,y)|x2y21y0,0x1},界点：EE(7){(x,y)|x2y21或y0,1x2}解：是闭集，有界集，聚点：E{(x,y)|x2y21或y0,1x2}，E{(x,y)|x2y21,y0,1x2}(8){(x,y)|x,y均为整数}解：是闭集，界点集{(x,y)|x,y均为整数}1(9){(x,y)|ysin,x0}x1解：是闭集，聚点E{(x,y)|ysin,x0}x{(0,y)|1y1},EE

2、试问集合{(x,y)|0

分析：画出它们表示的图形即可知结论，{(x,y)|0

解：不相同，因为点集E1={(x,y)|xa,00,NN+n当n>N时，有PnU0(P0,)P0是E的聚点.反之，若P0是E的聚点对11,P1U0(P0,)E.1对2=min{,(P0,P1)}，则P2U0(P0,)E.2显然(P2,P0)<2(P0,P1)P1,P2互不相同一般，若已找到{P1,P2,Pk}E,PiU0(P0,)1其中i=min{,(Pi-1,P0)}i则因为(Pk,P0)<(Pk-1,P0)<<(P1,P0)P1,P2,Pk互不相同1,(Pk,P0)}，则Pk+1U0(P0,)互不相同，如此继续k+1得到各点互不相同的点列{Pn}E,PnP0且因为对k+1=min{ (Pn,P0)1limPnP0.nn

4、证明：闭域必为闭集，举例说明反之不真。证：若D是闭域，由于闭是开域连同其边界所成点集，故对任意一点PE()若是开域中一点P是一内点P一定是聚点()若P是一界点P同样也是D的聚点(因为开域的边界上的界点是非弧上点)从而推得D上一切点都是D的聚点，所以D是闭集反之不真：如E={(x,y)|x2+y21或y=0,2x3}这里E的一切点都是聚点，且是E的全部聚点，所以E是闭集，然而E中的开域是E1{(x,y)|x2+y21}及E1{(x,y)|x2+y21}且E1E1E，所以E不是闭域

5、证明：点列{Pn(xn,yn)}收敛于P0(x0,y0)的充要条件是limxn=x0和limyn=y0

nn

证：“必要性”，若limPn=P0>0,NN+,当n>N时，就有PnU(P0,)n即 (Pn,P0)(xn-x0)2(yn-y0)2推得xn-x0(Pn,P0)，即limxn=x0nyn-y0(Pn,P0)，即limyn=y0n“充分性”，若limxn=x0，limyn=y0对0,NNnn

当n>N时，就有xn-x0,yn-y0221212=，22这时(Pn,P0)(xn-x0)2(yn-y0)2即PnU(P0,),所以limPn=P0n

6、求下列各函数的函数值1+31-3arctan(x+y)(1)，f(x,y)=,求f(,)arctan(x-y)22 2xyy(2)f(x,y)=2,求f(1,).xy2xx(3)f(x,y)=x2+y2-xyarctan,求f(tx,ty).y212arctan(1+3+1-3)1+31-3arctan192解:(1)f(,)16122arctan3arctan(1+3-1+3)221yyx2xy(2):f(1,)x12(y)2x2y2xtxx(3)f(tx,ty)=(tx)2+(ty)2-(tx)(ty)arctant2(x2+y2-xyarctan)tyy27、设F(x,y)=lnxlny，证明：若u>0,v>0，则 F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v)证：右式=lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv=(lnx+lny)lnu+(lnx+lny)lnv=(lnx+lny)(lnu+lnv)=lnxylnuv=左式

8、求下列各函数的定义域，画出定义的图形，并说明是何种点集。

x2y2(1)f(x,y)=2xy2

定义域D={(x,y)|yx},是开集，但不是开域，图略。(2)f(x,y)=12x23y2

解：定义域D={(x,y)|2x23y20},是开集，也是开域.图略。(3)f(x,y)=xy解：定义域D={(x,y)|xy0},是闭集，也是闭域.图略。(4)f(x,y)=1-x2y21

解：定义域D={(x,y)|x1,y1},是闭集，但不是区域。图略。(5)f(x,y)lnxlny解：定义域D={(x,y)|x>0,y>0},是开集，也是开域。图略。

(6)f(x,y)=sin(x2y2)解：定义域D={(x,y)2kx2+y2(2k+1),k0,1,2,} 是闭集，但不是区域.(7)f(x,y)=ln(y-x)解：定义域D={(x,y)|y>x}，是开集，也是开域.(8)f(x,y)=e-(x2y2)2解：定义域D=R,是开集，又是闭集，是闭域又是开域.(9)f(x,y,z)=zx2y21

解：定义域D=R2，是开集也是闭集，是开域又是闭域.（10）f(x,y,z)=R2x2y2z21xyzr2222(Rr)

22222解：定义域{(x,y,z)rxyzR}不是开集，也不是闭集，是有界集。

9、证明：开集与闭集具有对偶性---若E是开集，则CE是闭集；若E是闭集，则CE是开集。分析：由开、闭集的定义。

证：(1)若E是开集PE且不为E的界点，若>0，使U(P，)E=点P有U(P，)CE.故P是CE的内点，从而也是CE的聚点；若P是E的界点，那么P同时也是CE的界点P是CE的聚点。从而CE的一切点都是CE的聚点.于是CE是闭集。(2)若E是闭集对PCE，即PE，则P不是E的聚点总存在P的某个邻域U(P，)，使U(P，)E=U(P，)CEP是CE的内点CE的每个点都是CE的内点，所以CE也是开集.10、证明：(1)若F1，F2是闭集，则F1F2与F1F2都是闭集证：先证：C(F1F2)=CF1CF2；C(F1F2)=CF1CF2若PC(F1F2)P(F1F2)PF1且PF2PCF1且PCF2PCF1CF2)C(F1F2)=CF1CF2反之，若QCF1CF2QCF1且QCF2QF1且QF2QF1F2QC(F1F2)C(F1F2)=CF1CF2故C(F1F2)=CF1CF2.类似可证C(F1F2)=CF1CF2由于F1，F2是闭集，由习题9知，CF1，CF2是开集PC(F1F2)PCF1CF21>0.有U(P，1)CF1且2>0.有U(P，2)CF2U(P，min{1，2})CF1CF=C(F1F2)是开集F1F2是闭集.而对QC(F1F2)QCF1CF2'1>0,有U(P，'1)CF1或者'2>0,有U(P，'2)CF2U{Q，min{'1,'2}}CF1CF2C(F1F2)C(F1F2)是开集，F1F2是闭集。(2)若E1，E2是开集，则E1E2与E1E2都为开集。证：E1，E2都为开集CE1，CE2都为闭集CE1CE2=C(E1E2)CE1CE2=C(E1E2)都是闭集(见(1))E1E2，E1E2(见习题9)(3)若F是闭集，E为开集，则FE为闭集，EF为开集证：先证：任何两个集A，B：AB=ACB因为：xABxA，xBxA，xCBxACB反之，yACB=yAyA，yByAB，所以AB=ACB由于 F是闭集，E为开集CF是开集，CE是闭集FCE是闭集FE为闭集，而ECF是开集，EF是开集。注：本题亦可以按定义证明：这里只证EF为开集，pEF，则pE,pF,由此知p为E的内点，p为F的外点，于是分别存在10和20,使得U(p;1)E,U(p;2)F=,取=min(1,2),则有U(p;)EF,即p是EF的内点，所以EF为开集。

11、试把闭域套定理推广 闭集套定理，并证明之.闭集套定理：设{Dn}是R2中的闭集列，它满足(i)DnDn+1,n1,2,(ii)dnd(Dn),limdn0n则存在唯一点P0D,n1,2,.其中为Dn非空点集证：任取点列PnDn,n=1,2,,由于Dn+pDn,Pn+p,Pn从而有 (Pn+p,Pn)dn0(n)根据柯西准则，P0R2,使limPnP0n对任意确定的nN+，对pN+，有Pn+pDn,再令p因为Dn是闭集，P0作为Dn的聚点必属于Dn，即 P0limPn+pDn,n=1,2,,p若还有P'0Dn,n=1,2,，则由(P0,P'0)(P0,Pn)(P'0,Pn)2d0(n)(P'0,Pn)0,即P0P'0，故定理成立.

12、证明定理16.4定理：设DR2为一有界闭域，{}为一开域族，它覆盖D(即DU)，U则在{}中必存在有限开域1,23n，它覆盖了D(即D)，)证：因为DR2为一有界域a,b,c,d,使 Dn{(x,y)|axb,cyd}1反证法：若不存在有限个开域覆盖D，则取直线x=(a+b)及21y=(c+d)将区域划分成四个区域，这四个区域将D划分若个2区域，且其中至少有一个闭域不能被有限个开域所覆盖.则D1D且记上述闭域为D1，而A中包含A1则：D1D，A1A且d1d(D1)1(ba)2(dc)22记A1{(x,y)|a1xb1,c1xd1}11b1a1(ba),d1c1(ba)22同理将长方形区域，划分成四个长方形子域，而D1被划分成若个闭子域，其中至少有一个闭子域D2，不能被有限个开域所覆盖。记上述闭域为D2，而A1中包含D1的区域为A2.1(b1a1)2(d1c1)221记A2{(x,y)|a2xb2,c2yd2}b2a22(ba),d2c22112(dc).如此继续，得一闭域套{Dn}，其中bnann(ba)221dncnn(dc),n3,4,2且满足(i)Dn+1Dn,n1,2,3,，且Dn不能被有限中开域所则D2D1，A2A1，d2d(D2)覆盖.(ii)dnd(Dn)所以limdn0n12n(ba)2(dc)2.根据闭域定理，存在唯一点P0Dn，N=1,2，3，根据闭域定理，存在唯一点P0Dn，n=1,2，3，存在某个区域，使P0存在P0的某个邻 域U(P0)使U(P0)但因为limdn0NN,当n>N时，就有n

DnU(P0)与假设矛盾故必存在有限个区域1,2,n，使它们覆盖D.